3 ano - introdução a geometria plana - 2007
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8/6/2019 3 ANO - Introduo a geometria plana - 2007
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Prof. Jorge
Reta, plano e suas partes
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Conceitos primitivos
O ponto a reta e o plano so conceitos primitivos daGeometria plana.
r
P
E
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Posies relativas de ponto e reta
Na figura abaixo os pontos A, B e C pertencem a umamesma reta r. Dizemos, por isso, que eles so alinhados oucolineares.
r
A
B
C
D
A, B e C so alinhados ou colineares.A, B e D no so alinhados ou colineares.
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Determinao da reta
Por dois pontos, passa uma nica reta. Dizemos, por isso,que dois pontos determinam uma reta.
r
A
B
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Determinao do plano
Por trs pontos no-alinhados passa um nico plano, ouseja, trs pontos no colineares determinam um plano.
r
A
B
C
E
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Figura plana
Qualquer conjunto de pontos situados em um mesmoplano. Segmentos, tringulos e ngulos so exemplos defiguras planas.
A
B A
B C
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Semi-retas
Todo ponto de uma reta a divide em duas partes,chamadas semi-retas.
AM N r
Origem
Semi-reta AM Semi-reta
AN
As semi-retas AM e AN so opostas.A reta r a reta suporte das duas semi-retas.
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Segmento de reta
Se A e B so dois pontos de uma reta r, o conjuntoconstitudo pelos pontos A e B e por todos os pontos de rsituados entre A e B chamado segmento de reta.
A B r
Segmento AB
Os pontos A e B so os extremos do segmento AB (ou BA)e r sua reta suporte.
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Segmento de reta
Se dois segmentos possui um extremo comum, dizemosque eles so consecutivos; se tem a mesma reta suportedizemos que so colineares.
A
B
AB e BC so consecutivos, mas no-colineares.
C
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Segmento de reta
Se dois segmentos possui um extremo comum, dizemosque eles so consecutivos; se tem a mesma reta suportedizemos que so colineares.
M N
MN e MP so consecutivos e colineares.
Pr
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Segmento de reta
Se dois segmentos consecutivos e colineares no tmpontos interiores comuns, dizemos que eles so adjacentes.
M N
MN e NP so adjacentes.
P
MP = MN + NP ou MP MN = NP
r
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Ponto mdio de um segmento
Se um ponto M, interior a um segmento AB, tal queAM = MB, dizemos que M ponto mdio de AB.
MA
AM = MB M ponto mdio de AB.
B
Os pontos A e B so simtricos em relao a M.
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ngulos
Definio e elementos
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Semiplanos
Toda reta contida em um plano divide-o em duas regieschamadas semiplanos.
r
r a origem do plano
E1 e E2 so Semiplanosopostos.
E
E1
E2
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Definio
Duas semi-retas de mesma origem e no-opostas, contidasem um mesmo plano, dividem-no em duas regieschamadas de ngulos.
O
A
B
O ovrtice do ngulo
As semi-retas AO e OBso os seus lados
ngulo AB = E
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ngulos consecutivos, adjacentes engulos opostos pelo vrtice.
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ngulos consecutivos
Se dois ngulos possuem um lado comum, dizemos queeles so consecutivos.
O
A
C
B
AB e AC so consecutivos
Tambm so consecutivos os ngulos:
AC e BC AB e BC
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ngulos adjacentes
Se dois ngulos consecutivos no possuem, alm do ladocomum, outro ponto comum, dizemos que eles soadjacentes.
O
A
C
B
AB e BC so adjacentes
Apenas o lado OB comum aosdois ngulos
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ngulos opostos pelo vrtice
Se os lados de um ngulo so semi-retas opostas aos ladosde outro ngulo, dizemos que eles so opostos pelo vrtice(opv).
O
AC
AC e BD so opostos pelo vrtice
BD
AB e CD so opostos pelo vrtice
m(AC) = m(BD)
m(AB) = m(CD)
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ngulos reto, agudo e obtuso.ngulos complementares e
suplementares
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ngulo reto
Um ngulo reto quando sua medida for de 90.
O
A
B O ngulo AB reto.
m(AB) = 90
O smbolo indica que ongulo reto.
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ngulo agudo
Todo ngulo no-nulo menor que o reto chamado nguloagudo.
O
A
B
O ngulo AB = E agudo.
0 < E < 90
E
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ngulo obtuso
Todo ngulo maior que o reto e menor que o raso chamado ngulo obtuso.
O
A
B
O ngulo AB = F obtuso.
90
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ngulos complementares
Dois ngulos so complementares quando a soma de suasmedidas for igual a 90.
O
F
Os ngulos E e F so complementares.
E + F = 90E
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ngulos suplementares
Dois ngulos so suplementares quando a soma de suasmedidas for igual a 180.
O E
Os ngulos E e F so suplementares.
E + F = 180F
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Bissetriz de um ngulo
Chama-se bissetriz de um ngulo a semi-reta contida nongulo, de origem no seu vrtice e que o divide em doisngulos congruentes.
O
E
A semi-reta Ox a bissetriz do ngulo AB.
F
A
B
xE = F
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ngulos em retas paralelas
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ngulos em retas paralelas
Suponhamos que duas retas paralelas r e s sejaminterceptadas por uma reta t. Dizemos, nesse caso, que t transversal em relao a r e s.
r
s
t1
2
34
5 6
78
ngulos correspondentes:
1 e 5; 2 e 6; 3 e 7; 4 e 8.
ngulosAlternos internos:
3 e 5; 4 e 6.ngulosAlternos externos:
1 e 7; 2 e 8.
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ngulos em retas paralelas
Suponhamos que duas retas paralelas r e s sejaminterceptadas por uma reta t. Dizemos, nesse caso, que t transversal em relao a r e s.
r
s
t1
2
34
5 6
78
ngulos Colaterais internos:
3 e 6; 4 e 5.
ngulos Colaterais externos:1 e 8; 2 e 7.
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Exemplo
As retas a e b da figura so paralelas. Determinar o valor dex.
a
b
2x 10
3x + 40
3x + 40 + 2x 10 = 180
5x + 30 = 180
5x = 150
x = 30