3. az alapegyenletek formÁi a cfd-ben · 2019-12-07 · 3. az alapegyenletek formÁi a cfd-ben...

Alkalmazott Áramlástan Széchenyi István Egyetem Előadók: Dr. Jakubík T. / Dr. Feszty D. Járműfejlesztési Tanszék ___

1

3. AZ ALAPEGYENLETEK FORMÁI A CFD-BEN

3.1. Alap – és modell-egyenletek a CFD-ben

A folyadékok áramlását a Navier-Stokes (N-S) egyenletek írják le, amelyek

egyszerűbb, inviszkóz áramlásokra vonatkozó formája az Euler egyenletek. A

CFD tanulásához azonban gyakran ezeknél sokkal egyszerűbb, ún. modell egyenleteket használunk. Ezeknek bizonyos szempontokból hasonló

tulajdonságaik vannak, mint a valós alapegyenleteknek, de sokkal könnyebb

őket elemezni vagy programozni. Ebben a fejezetben, az N-S és Euler egyenletek

különböző formáit fogjuk áttekinteni, a leggyakrabban alkalmazott modell

egyenletekkel együtt.

3.1.1. A Navier-Stokes egyenletek konzervatív és nem-konzervatív alakjai

A Navier-Stokes (N-S) egyenletek a folyadékok áramlásának alapegyenletei,

amelyek bármilyen folyadékáramlásra érvényesek, legyen az nagy vagy alacsony

sebességű, viszkóz vagy inviszkóz, összenyomható vagy összenyomhatatlan,

stacionáris vagy instacionáris, stb. áramlás.

Ahogy az előző fejezetben említettük, az N-S egyenletek a 3 megmaradás-

törvény elvére épülnek:

[n1] Megj.::

1) Tömegmegmaradás törvénye (Kontinuitás elve)

2) Lendület megmaradás törvénye (Newton 2. törvénye, F=m.a)

3) Energia megmaradás törvénye

Ezekre az elvekre építve, a következő 4 módon lehet levezetni az N-S

egyenleteket:

Folyadékelem Típus Egyenletek:

típusa formája

véges Ellenőrző Térfogat rögzített integrál konzervatív (1)

(finite Control Volume) mozgó integrál nem-konzervatív (2)

végtelenül kis térfogat rögzített differenciál konzervatív (3)

mozgó differenciál nem-konzervatív (4)


2

Fontos megjegyezni, hogy összenyomható folyadékok esetében nagyon fontos, hogy az alapegyenletek

- milyen típusúak (integrál vagy differenciál) és

- milyen formájúak (konzervatív vagy nem-konzervatív)

Ennek okai később válnak majd világossá. Érdemes továbbá megjegyezni, hogy a

4 fenti forma matematikailag ekvivalens. Történelmileg, mind a 4 formában való

kifejezés körülbelül 150 éve volt ismert és használatos, mielőtt a “konzervatív”

és “nem-konzervatív” osztályokba való besorolás fontossá vált volna. Ez a fajta

megkülönböztetés 1980 körül lett bevezetve a köztudatba, mégpedig pontosan a

CFD fejlesztések szükségletei végett.

A három megmaradási törvény (azaz a tömeg-, a lendület- és az energia-

megmaradás törvényeinek) alkalmazása a fenti 4 modell bármelyikére a

kontinuitás, lendület és energia egyenletek rendszeréhez vezet. Ezen modellek

némelyikének alkalmazását már láthattuk a 2. Fejezetben. Ebben a fejezetben

az egyenletek végső formáit fogjuk bemutatni a fenti táblázat 3-as és 4-es

modelljeire, azaz a differenciálegyenleteket a konzervatív és nem-konzervatív

alakokban.

Kontinuitás egyenlet: [n2]

Konzervatív forma (#3):

Nem-konzervatív forma (#4):

Lendület egyenletek: [n3]


x:

y:

z:


x:

y:

z:


3

Energia egyenlet: [n4]



A fenti egyenletekben:

[n5] [n6]

a folyadékelem egységnyi tömegére ható testerő, azaz pl. súlyerő

(gravitáció miatt), elektromos erő vagy mágneses erő.

- egységnyi tömegre eső hőmennyiség változásának mértéke, azaz pl.

a folyadékelem melegedése hőelnyelés vagy hősugárzás révén.


4

- a molekulák véletlenszerű mozgásával összeköthető belső energia,

egységnyi tömegre kifejezve

- j irányú feszültség, amely egy olyan síkra hat, amely merőleges az i

irányra.

[n7]

A Newtoni folyadékokra – ami azt jelenti, hogy a folyadékban megjelenő

nyírófeszültség arányos a deformáció (időben való) változásával (azaz a

sebesség-profillal) – a következő definíciók alkalmazhatóak a

nyírófeszültségekre:

[n8]

amelyben:

- molekuláris viszkozitási tényező, amely a hőmérséklet (T) valamint a

nyomás (p) függvénye. A nyomástól való függés általában

elhanyagolható, kivéve nagyon alacsony vagy nagyon magas

nyomásokkal együtt járó áramlások esetében. A hőmérséklettől való

függést viszont Sutherland törvényével fejezhetjük ki, mint:

[n9]


5

Gáz típusa C1 x 106 [kg/(m.s.K0.5)] C2 [K]

Levegő 1.458 110.4

CO2 1.550 233.0

CO 1.400 109.0

H2 0.649 70.6

N2 1.390 102.0

O2 1.650 110.0

- második viszkozitási koefficiens, amelyet Stokes definiált először.

Feltételezése alapján (ez a feltételezés továbbra is bizonyításra vár)

[n10]

- hővezetési (thermal conduction) tényező, amely a viszkozitáshoz

hasonlóan van definiálva, azaz ez fejezi ki az arányosságot a

hőmérsékleti gradiens és a hővezetés között. Ez is függ a p és T

értékeitől, habár a nyomáson való függés általában elhanyagolható.

2,000 K hőmérséklet alatti levegőre:

[n11]

A hővezetési tényező a Prandtl számmal is kifejezhető:

[n12]

Amelyben a Prandtl szám Ludwig Prandtl német tudósról van

elnevezve, s amely meghatározása [n13]:

A lendület diffúziója a viszkozitás által

Pr = =

A hő diffúziója hővezetés (conduction) által

Továbbá:

- lokális térbeli derivált vektor operátora, amely alakja a következő:

[n14]


6

- lokális időbeli derivált, azaz egy változó időbeli változásának mértéke

egy rögzített pontban a térben.

- egy változó (vagy folyadék-tulajdonság) időbeli változásának mértéke

egy olyan folyadékelemre, amely a térben mozog. Például, a folyadék

sűrűségére alkalmazva:

[n15]

Záró egyenletek:

Amint azt már a 2. fejezetben említettük, a megmaradási törvények

alkalmazásával 5 egyenletet (1 kontinuitás, 3 lendület, 1 energia) kapunk, de 7

változóval (, u, v, w, p, e, T), azaz, szükségünk van még 2 további egyenletre,

hogy “bezárjuk” az egyenletrendszert. Ezek általában a következők:

(Gáz-) Állapotegyenlet (tökéletes gázt feltételezve, azaz elhanyagolható

molekulák közti erőkkel):

[n16]

Kalorikus állapotegyenlet (kalorikusan tökéletes gázt feltételezve, azaz

konstans specifikus hő értékekkel):

[n17]


7

Megj.:

Viszkóz áramlásnak azt nevezzük, amelyben a következő energiaátadó

jelenségek (transport phenomena) BÁRMELYIKE jelen van [n18]:

- súrlódás (viszkozitás)

az előbbi egyenletekbe belefoglalva

- hővezetés

- tömeg diffúziója nincs tárgyalva ebben a kurzusban

különböző vegyi elemek koncentrációjának gradienseit jelenti

az áramlásban, pl. nem reaktív gázok nem homogén keveréke

(pl. hiperszonikus áramlások esetében), térben változó

reakcióidők jelenléte, stb.

3.1.2. A Navier-Stokes egyenletek fluxus vektor (flux vektor) formulációja

A Navier-Stokes egyenleteket többféle alakban lehet felírni. Ezek közül is a

CFD-ben a “fluxus vektor” (flux vector) alak a leghasznosabb és legnépszerűbb,

főleg stabilitás, számítási pontosság és programozási egyszerűség szempontjából.

Mi is az a “fluxus”? A fluxus szó magyarul egy keresztmetszeten keresztülfolyó

áramlást jelent. Megfigyelhetjük, hogy a N-S egyenletek konzervatív alakjaiban

a következő, tulajdonképpen fluxust megtestesítő kifejezések jelennek meg:

[n19]:

…………… tömeg fluxus (tömegáram egységnyi

keresztmetszetre)

…………… lendület fluxus, x-komponense (lendület

egységnyi keresztmetszetre)

…………… lendület fluxus, y-komponense

…………… lendület fluxus, z-komponense

…………… belső energia fluxusa

…………… …………… teljes energia fluxus


8

Megfigyelhető, hogy a fenti fluxusokból vektorokat (azaz: egyoszlopos mátrixokat)

tudunk létrehozni, és ezekkel újraírni a Navier-Stokes egyenleteket, amelyek így

programozás szempontjából egy nagyon előnyös alakot öltenek:

[n20]


9

3.1.3. Konzervatív és primitív változók

Az eredmények vektora, U (“solution vector”) a fenti vektor alakban felírt

egyenletrendszerben az ún. konzervatív vagy fluxus változók alakjában van

feltüntetve. Ezek nem mások, mint a (, (u), (v), (w) és (et) kifejezések. A

CFD eredmények elemzésekor, megjelenítésekor viszont inkább az ún. primitív változók - azaz a (, (u), (v), (w) and (et) kifejezések – megjelenítésében vagyunk

érdekeltek. Ha az eredmények vektora (U) már ismert, akkor a primitív változók

vektora könnyedén kifejezhető a konzervatív változókból a következő módon és

sorrendben:

2

2 222

2

wvu

Ve

e

ww

vv

uu

Érdemes megjegyezni, hogy a N-S egyenletek vektor alakban nemcsak a

konzervatív, hanem a primitív változók formájában is kifejezhetőek. Ezek

vezetnének a differenciálegyenletek ún. nem-konzervatív alakjához, amelyek –

ahogy az a következő szakaszban világossá fog válni, - pl. az összenyomható

gázok esetében nem a megfelelő formái a CFD-ben megoldandó

alapegyenleteknek.

3.1.4. A konzervatív alakban felírt N-S egyenletek előnye

A programozási kényelem mellett a N-S egyenletek konzervatív alakban való

felírásának van egy másik óriási haszna. Ez a “konzervatív” elnevezés

értelméből ered.

A “konzervatív” szó magyarul ugyanis “megőrző”-t jelent. A CFD-ben a

konzervatív alakban felírt változók “megőriznek” egy olyan fontos tulajdonságot,

amelyet primitív alakjukban elvesztenek. Konkrétan, a konzervatív alakban

felírt változók megőrzik a deriválhatóságukat olyan áramlási helyzetekben is,

amelyekben primitív változó alakjukban matematikailag már nem deriválhatóak.

Ez olyan áramlástani jelenségekkor fordulhat elő, amikor egy diszkontinuitás


10

(azaz éles ugrás, vagy más szóval a függvény folytonosságának elvesztése) lép fel,

mint pl. egy lökéshullám vagy égéstérben való égés esetében. Mivel az N-S

egyenletek differenciálegyenletek, ezért az abban szereplő kifejezések

deriválhatósága nagyon fontos a megoldásukhoz. Nem folytonos függvények

esetében ez a tulajdonság sérül. Éppen ezért egy változó folyamatosságának

megőrzése (“konzerválása”) annak konzervatív alakjában óriási érték

számunkra, amire építeni tudunk és amelyre építenek is a CFD szoftver

tervezők a gyakorlatban.

Miért tudják a konzervatív formában felírt N-S egyenletek jobban kezelni a

diszkontinuitásokat, mint a primitív alakban felírtak? Példaként vegyünk egy

lökéshullámot (“shock wave” angolul az ábrán), amely szuperszonikus

repülőgépek, rakéták körbeáramlásakor vagy robbanás követkleztében

keletkeznek. Ezek esetében a primitív és konzervatív változók a

következőképpen alakulnának:

[n21] A kifejezések, amelyek az

(1) és (2) közti állapotot

írják le.

Megfigyelhető, hogy a primitív alakban jelentkező “éles ugrások”, vagy

diszkontinuitások, amelyek megszakítják a függvény folytonosságát és egyben

deriválhatóságát, nem jelentkeznek a konzervatív alakban felírt formában.


11

Ennek eredményeként azok a CFD szoftverek, amelyek konzervatív alakban

írják fel az alapegyenleteket, sokkal robusztusabbak (azaz nem “robban fel” a

számítás) és pontosabban tudják megoldani a lökéshullámok helyzetét, erősségét

és sebességét (ha mozgó lökéshullámról beszélünk). Ez azt jelenti, hogy nem

lesznek körülöttük numerikus okokból jelentkező oszcillációk (“wiggles” angolul)

akkor, ha azokat a primitív változók formájában jelenítjük meg az eredmények

feldolgozásakor.

Ezért, a konzervatív formában felírt alapegyenletek 6 fő előnye összenyomható

gázok esetében a következők:

1) Programozási kényelem

2) Diszkontinuitások kezelése

3) Lökéshullámok stabil megoldása

4) Kevesebb “oszcilláció” a lökéshullámok körül Jó lökés-hullám

5) Helyes lökéshullám helyzet kezelési

6) Helyes lökéshullám erősség és sebesség képességek

Megj.: A fenti érvek nemcsak lökéshullámokra, hanem bármilyen éles

diszkontinuitásra érvényesek, amelyeket a megmaradási törvények vezérelnek,

A lökéshullámok csak egy konkrét és gyakori példája az ilyen

diszkontinuitásoknak. amelyek szuperszonikus összenyomható gázokban

jelentkeznek. A lényeg az: minden olyan áramlás, amelyben éles

diszkontinuitások jelentkeznek (pl. belsőégésű motorokban keletkező égések),

sokkal biztosabban és pontosabban oldható meg a CFD-ben akkor, ha az

alapegyenletek konzervatív alakban vannak felírva.

3.1.5. Euler egyenletek

A 3.1.1.-es szakaszban alkalmazott meghatározást felhasználva kijelenthetjük,

hogy nem-viszkóz, vagy ideális áramlással akkor állunk szemben, ha a

veszteségekkel járó energiaátviteli jelenségek (“dissipative transport

phenomena”) közül a következőket:

- súrlódás (viszkozitás)

- hővezetés mind egyszerre elhanyagolható.

- tömeg diffúzió


12

Ez esetben a N-S egyenletből egyszerűen elhagyhatjuk a súrlódással és

hővezetéssel kapcsolatos kifejezéseket, azaz fluxus vektor formában a következőt

kapjuk [n22]:

Euler

egyenletek

Megj.: Leonhard Euler német tudós a kontinuitás- és lendület- egyenleteket egy

nem-viszkóz folyadékra 1753-ban vezette le, és bár nem foglalkozott az

energiaegyenlettel (hiszen a Termodinamika majd egy évszázaddal később

köszöntött csak be), manapság már az energia-egyenlet is annak az

egyenletrendszernek a része, amit ma Euler egyenleteknek nevezünk.

3.1.6. Modell egyenletek

A N-S és Euler egyenletek nagyon komplex másodrangú parciális differenciál

egyenletek, amelyeket – legalábbis a mai napig – nem tudtunk analitikusan

megoldani s amelyek numerikus megoldása is sok erőfeszítést igényel.

Komplexitásuk miatt egy bevett gyakorlat a CFD mint tantárgy tanulásakor,

hogy helyettük egyszerű modell-egyenleteket vizsgáljunk, amelyek viselkedése

sok területen hasonló az N-S és Euler egyenletekéhez. A leggyakoribb modell-

egyenletek a CFD-ben [n23]:

Laplace egyenlet (2D) : (1)

Poisson egyenlet (2D): (2)

Stacionáris hő-diffúzió (1D): (3)

Nem-stacionáris hővezetés (2D): (4)

Stokes egyenlet (1D): (5)


13

Lineáris advekció (1D): (6)

Hullámegyenlet (1D): (7)

Burger egyenlet (1D): (8)

Skaláris konzerválás (1D) : (9)

Például, az összenyomható gázok tanulmányozására ideálisak a (3), (4) és (9)

egyenletek. Miért?

A stacionáris hő diffúzió (3) egy kitűnő modell a N-S egyenletekben található

diffúziós kifejezések (azaz a viszkozitással összefüggő kifejezések) numerikus

diszkretizációjának tanulmányozására.

A nem-stacionáris hővezetés egyenlete (4) a diffúziós és konvekciós kifejezések

elegye, így kiváló modell kétfajta kifejezés keverékének a tanulmányozására.

Ez a két modell egyenlet kiváló arra, hogy ezeken keresztül illusztráljuk a Véges

Térfogat Módszer (Finite Volume Method) elvét és alaptéziseit, amely a

legnépszerűbb diszkretizálási módszer manapság a legtöbb kommersz CFD

szoftverben, mint pl. a Vectis, ANSYS-CFX, FLUENT vagy OpenFOAM

szoftverekben.

Végezetül, a skaláris konzerválás egyenlete (fizikai értelemben) (9) csak

kondukciót tartalmaz, amely ezáltal egy kiváló modell egyenlet az Euler

egyenletekre. A skaláris konzerválás törvénye olyan, az összenyomható

gázokban jelentkező egyszerű jelenségek vizsgálatát teszi lehetővé, mint

diszkontinuitások vagy lökéshullámok.

-

3. az alapegyenletek formÁi a cfd-ben · 2019-12-07 · 3. az alapegyenletek formÁi a cfd-ben...

Documents