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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Baustatik III – SS 2018
3. Einführung in die Plattentheorie
3.1 Flächentragwerke 3.2 Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie3.3 Schnittgrößen in Platten3.4 Praktische Methoden zur Bestimmung der Schnittgrößen in Platten
3.4.1 Einfeldplatten3.4.1.1 Einachsig gespannte Platten3.4.1.2 Zweiachsig gespannte Platten
3.4.1.2.1 Drillfreie Platten (MARCUS-Verfahren, Tabellen nach STIGLAT/WIPPEL)
3.4.1.2.2 Drillsteife Platten (CZERNY-Tafeln, Tabellen nach HAHN)3.4.1.2.3 Bestimmung der Auflager- und Eckkräfte (Einzugsflächen-
Verfahren)3.4.2 Durchlaufende Platten (Verfahren nach Pieper/Martens)
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Baustatik III – SS 2018
3. Einführung in die Plattentheorie
3.1 Flächentragwerke
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Aufteilung der Tragwerke
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Aufteilung der Flächentragwerke
Flächentragwerke
Ebene Flächentragwerke
Scheiben
Platten
Faltwerke
Gekrümmte Flächentragwerke
Schalen
Membrane
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Scheiben: Voraussetzungen
Voraussetzungen: Dicke viel kleiner als die Seitenlängen Lasten wirken parallel zur Scheibenebene
Keine Verkrümmung der Scheibenebene!
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Platten: Voraussetzungen
Voraussetzungen: Dicke viel kleiner als die Seitenlängen Lasten wirken quer zur Plattenebene
Verkrümmung der Plattenebene!
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Scheiben
Scheiben sind ebene Flächentragwerke, bei denen die Belastung parallel zu ihrer Ebene wirkt.
Gottfried Leicher: Tragwerkslehre in Beispielen und Zeichnungen. 4. Auflage, BundesanzeigerVerlag GmbH, Köln, 2014.
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Platten
Platten sind ebene Flächentragwerke, bei denen die Belastung senkrecht zu ihrer Ebene wirkt.Platten können linienförmig durch Unterzüge oder Wände oder punktförmig durch Stützen unterstützt sein.
Gottfried Leicher: Tragwerkslehre in Beispielen und Zeichnungen. 4. Auflage, BundesanzeigerVerlag GmbH, Köln, 2014.
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Platten
Beispiele für liniengestützte und punktgestützte Platten
Gottfried Leicher: Tragwerkslehre in Beispielen und Zeichnungen. 4. Auflage, BundesanzeigerVerlag GmbH, Köln, 2014.
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Faltwerke
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Faltwerke
Faltwerke sind räumliche Flächentragwerke aus abgeknickten ebenenFlächentragwerken oder aus ebenen Einzelflächentragwerken, die zueinandergeneigt sind und längs ihrer gemeinsamen Kante miteinander verbunden sind.Faltwerke werden im Allgemeinen auf Zug/Druck und Biegung beansprucht.
Gottfried Leicher: Tragwerkslehre in Beispielen und Zeichnungen. 4. Auflage, Bundesanzeiger Verlag GmbH, Köln, 2014.
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Schalen
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Schalen
Schalen sind einfach oder doppelt gekrümmte räumlicheFlächentragwerke.Schalen werden im Allgemeinen auf Zug/Druck und Biegungbeansprucht.
Gottfried Leicher: Tragwerkslehre in Beispielen und Zeichnungen. 4. Auflage, BundesanzeigerVerlag GmbH, Köln, 2014.
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Membrantragwerke
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Membrantragwerke
https://de.wikipedia.org/wiki/Allianz_Arena
Water Cube in Beijing: Membranbau mit 100 Tonnen ETFE-Folien
http://www.detail.de/artikel/future-building-trends-neue-potenziale-durch-materialinnovationen-7364/
https://de.wikipedia.org/wiki/Membranbau
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Baustatik III – SS 2018
3. Einführung in die Plattentheorie
3.2 Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie
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3.2 Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie
Die Durchbiegung w der Platte (Verschiebung in z-Richtung) ist unabhängig von z: w = w(x,y), d.h.: alle Punkte P auf der Normalen besitzen die gleiche Durchbiegung w(x,y).
Es gilt die Normalenhypothese:Die Normalen bleiben nach der Deformation weiterhin senkrecht (orthogonal) zur Plattenmittelebene!
Normale
zw
P
P
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3.2 Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie
,, 0Z
w x yw w x y
z
0 Schubverzerrungxz yz
Daher werden die Kirchhoffschen Platten auch als „schubstarre“ Platten bezeichnet.
Die Normalspannung senkrecht zur Plattenmittelebene ist vernachlässigbar, d.h.
0z (Ebener Spannungszustand)
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Baustatik III – SS 2018
3. Einführung in die Plattentheorie
3.3 Schnittgrößen in Platten
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Schnittgrößen in Scheiben
x
y
z
x
y
xy
yxh
Annahme:Alle Spannungskomponenten sind konstant über h=t , da h sehr klein ist!
Spannungen
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Schnittgrößen in Scheiben
Scheibenkräfte
h
y
zx
yxn
xn
xyn
yn
Normalkräfte in x-Richtung: Normalkräfte in y-Richtung:
Schubkräfte:
wobei , da
x x
y y
xy xy xy
xy yx xy yx
n hn h
n h h
n n
21
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Schnittgrößen in Platten
xy
xyyx
x
y
zh
yz xz
SpannungenPlattenmittelebene
• Normalspannungen: ,x y
• Schubspannungen: , ,xy yx xz yz
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Schnittgrößen in Platten
Schnittgrößen Plattenmittelebene
x
y
zh
xymyxm
xqyqxm
ym
• Biegemomente: ,x ym m
• Querkräfte: ,x yq q
• Drillmoment: xy yxm m
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Schnittgrößen in Platten
Beziehungen zwischen Schnittgrößen und Spannungen:
h
2hz
2hz
z
2
2
wobei: h
hx x x xxm z dz m m
2
2
wobei: h
hy y y yym z dz m m
• Biegemomente:
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Schnittgrößen in Platten
• Drillmoment2
2
h
hxy xym z dz
xy yxm m
• Querkräfte
2
2
h
hx xzq dz
(qx = resultierende Kraft von xz )
2
2
h
hy yzq dz
(qy = resultierende Kraft von yz)
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Schnittgrößen in Platten
Hauptmomente:
1 2, , , Hauptmomentex y xym m m m m
22
1,2 2 2x y x y
xy
m m m mm m
2
tan 2 xy
x y
mm m
2m
1m
yxm
ym
xym
xm
x
y
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Bemerkungen:
Die Hauptmomente und die Hauptrichtungen können auch mit dem Mohrschen Kreis bestimmt werden.
Vorgehensweise zur Konstruktion des Mohrschen Kreises: Siehe Mohrscher Spannungskreis oder Mohrscher Dehnungskreis!
Schnittgrößen in Platten
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Beispiel: Gelenkig gelagerte quadratische Platte unter konstanter Flächenlast
1xm m
2ym m
2m1m
2
27,2pl2
21,6xyplm 2m
1 2 xym m m
x
y
auf der -Achsexm xmax. xm
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Beispiel: Gelenkig gelagerte quadratische Platte unter konstanter Flächenlast
1infolge bzw. xym m
Bemerkungen:• mx und my in der Plattenmitte am größten, |mxy| in den Ecken am größten.• Rissbilder auf der Plattenunterseite
Rissbilder auf der Plattenoberseite2infolge bzw. - xym m
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Eckkräfte in der Platte
Bei manchen Auflagerbedingungen sind Eckkräfte vorhanden, die abhebend sind!
Maßnahmen gegen Abheben:1) durch Auflast in der Ecke,2) durch Verankerung,3) durch biegesteife Verbindung der Ecke mit
der Unterstützung oder benachbarter Platte.
Quelle: Prof. J. Hegger: Vorlesung Massivbau II, RWTH Aachen.
1m
2m
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Baustatik III – SS 2018
3. Einführung in die Plattentheorie
3.4 Praktische Methoden zur Bestimmung der Schnittgrößen in Platten3.4.1 Einfeldplatten
3.4.1.1 Einachsig gespannte Platten3.4.1.2 Zweiachsig gespannte Platten
3.4.1.2.1 Drillfreie Platten (MARCUS-Verfahren, Tabellen nach STIGLAT/WIPPEL)
3.4.1.2.2 Drillsteife Platten (CZERNY-Tafeln, Tabellen nach HAHN)3.4.1.2.3 Bestimmung der Auflager- und Eckkräfte (Einzugsflächen-
Verfahren)3.4.2 Durchlaufende Platten (Verfahren nach Pieper/Martens)
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3.4 Praktische Methoden zur Bestimmung der Schnittgrößen in Platten
Bei komplizierten Plattengeometrien und Belastungen sind analytischeLösungen der Plattengleichung meistens aussichtslos. Vielmehr müssenComputerprogramme (z.B. Finite Elemente Methode bzw. FEM) verwendetwerden. Auch Näherungslösungen oder vereinfachte Methoden in Form vonTabellen und Diagrammen können dafür eingesetzt werden.
3.4.1 Einfeldplatten
xy
a
b
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3.4.1 Einfeldplatten
Einachsig gespannte Platte 2-achsig gespannte Platte
Einachsig gespannte Platten:Lastabtragung nur in einer Richtung
2-achsig gespannte Platten:Lastabtragung in 2 Richtungen
Einfeldplatten
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3.4.1.1 Einachsig gespannte Platten
1m1m Streifen
p
a
Einachsig gespannte Platten:•Bedingung:•Bei einer einachsig gespannter Platte kann ein 1m-Streifen als Balken betrachtet werden.•Beispiel: konstante Flächenlast
2
max. 8x
pam
max. 2xpaq
2 !y xl l
max. y xm m
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3.4.1.2 Zweiachsig gespannte Platten
Drillfreie bzw. drillweiche Platten:
Drillsteife Platten:
2-achsig gespannte
Platten
0xym
0xym
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Drillfreie bzw. drillweiche Platten:• Marcus-Verfahren (Streifenkreuz-Verfahren, Streifenmethode,
Lastaufteilungsverfahren).• Tabellen nach Stiglat-Wippel
Drillsteife Platten:• Czerny-Tafeln:
4- und 3-seitige Lagerung, konstante und dreiecksförmige Belastung.• Hahn:
3-seitige Lagerung, Linienlast am freien Rand.• Bruckner:
4- und 3-seitige Lagerung, Punkt- und Linienlasten.• Stiglat und Wippel, Pucher, Bittner:
Sonderfälle.
2-achsig gespannte Platten: Überblick
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Literatur:Bittner, E.: Platten und Behälter. Springer-Verlag, Wien/New York, 1965.
Bruckner, H.: Elastische Platten. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1977.
Hahn, J.: Durchlaufträger, Rahmen, Platten und Balken auf elastische Bettung.
Werner-Verlag, Düsseldorf, 1981.
Pucher, A.: Einflußfelder elastischer Platten. 5. Auflage, Springer-Verlag, 1977.
Stiglat, K., Wippel, H.: Massive Platten. In: Beton-Kalender, Teil 2, Ernst & Sohn
Verlag, 2000, Seiten 211-290.
Stiglat, K, Wippel, H.: Platten. Ernst & Sohn Verlag, 3. Auflage, 1993.
Czerny, F.: Tafeln für Rechteckplatten. In: Beton-Kalender, Teil 1, Ernst & Sohn
Verlag, 1999, Seiten 277-330.
2-achsig gespannte Platten: Überblick
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3.4.1.2.1 Drillfreie Platten: Streifenkreuz-Verfahren
xl
yl
1m
1m
p
xp
xl
yl
yp
Lastaufteilung:
x y
x x
y y
p p p
p k pp k p
1x yk k
und sind von RB abhängig und sie sind tabelliert!x yk k
Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerter Platte unter konstanter Flächenlast
22
max. , max. , 0 8 8
y yx xx y xy
p lp lm m m
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1 4 4
4 4 4 4 4
11 , 1 y xx y x
x y x y
l lk k kl l l l
y
x
ll
3.4.1.2.1 Drillfreie Platten: Streifenkreuz-Verfahren
Aus der nachfolgenden Tabelle abgelesen:
Bemerkung:Die beiden Lastaufteilungsfaktoren können aus der Bedingung der gleichenDurchbiegung der beiden Streifen in der Plattenmitte (Kompatibilitätsbedingung)bestimmt werden.
Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerter Platte unter konstanter Flächenlast
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xl
yl
1m
1m
p
xp
xf
yf
yp
44 55 , 384 384
y yx xx y
p lp lf fEI EI
x yf f
4 4x x y yp l p l
x yp p p
4
4 4
y
x
x y
k
yl
lp p
l
4
4 4 ,
x
y
y
k
xx
ll l
p p
3.4.1.2.1 Drillfreie Platten: Streifenkreuz-Verfahren
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Bautabelle Schneider
Drillfreie Platten:
Streifenkreuz-
Verfahren
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3.4.1.2.1 Drillfreie Platten: Tabellen nach Stiglat/Wippel
Alle 4 Ränder gelenkig gelagert
Stiglat, K., Wippel, H.: Beton-Kalender, 2000. 42
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Alle 4 Ränder eingespannt
3.4.1.2.1 Drillfreie Platten: Tabellen nach Stiglat/Wippel
Stiglat, K., Wippel, H.: Beton-Kalender, 2000. 43
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Annahme: 0
3.4.1.2.2 Drillsteife Platten: Czerny-Tafeln
gelenkig
eingespannt
44
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Alle 4 Ränder gelenkig gelagert
3.4.1.2.2 Drillsteife Platten: Czerny-Tafeln
45
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
3.4.1.2.2 Drillsteife Platten: Czerny-Tafeln
Alle 4 Ränder gelenkig gelagert
46
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
3.4.1.2.2 Drillsteife Platten: Czerny-Tafeln
Alle 4 Ränder gelenkig gelagert
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
3.4.1.2.2 Drillsteife Platten: Czerny-Tafeln
Alle 4 Ränder eingespannt
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
3.4.1.2.2 Drillsteife Platten: Czerny-Tafeln
Alle 4 Ränder eingespannt
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
3.4.1.2.2 Drillsteife Platten: Czerny-Tafeln
Alle 4 Ränder eingespannt
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3.4.1.2.2 Drillsteife Platten: Tabellen nach Hahn
3-seitig gelenkig gelagert
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3.4.1.2.2 Drillsteife Platten: Tabellen nach Hahn
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Quelle: Bautabelle Schneider
3.4.1.2.2 Drillsteife Platten: Tabellen nach Hahn
3-seitig eingespannt
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3.4.1.2.2 Drillsteife Platten: Tabellen nach Hahn
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Bemerkungen:•Bei einigen Tabellen wird vereinfachend =0 angenommen (z. B. Czerny-Tafeln, Bittner). Dies ist zulässig im Stahlbetonbau, mit der Ausnahme von Fahrbahnplatten.•Falls die Querkontraktionszahl zu berücksichtigen ist, dann erfolgt die folgende Umrechnung:
( ) ( 0) ( 0)
( ) ( 0) ( 0)
( ) (1 ) ( 0)
( ) ( 0)( ) ( 0)
( 0)( ) ( 0) (1 )
( 0)( ) ( 0) (1 )
x x y
y y x
xy xy
x x
y y
xyx x
xyy y
m m m
m m m
m m
q qq q
mq q
ym
q qx
Drillsteife Platten
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Mit Hilfe der Tabellen• Stiglat/Wippel-Tafeln /drillweiche Platten): Seiten 42-43.• Czerny-Tafeln (drillsteife Platten): Seiten 44-50.• Hahn-Tafeln (drillsteife, dreiseitig gelagerte Platten): Seiten 51-54.
Mit Streifenkreuz-Verfahren (drillweiche Platten): Seiten 38-41.
3.4.1.2.3 Bestimmung der Auflager- und Eckkräfte
Methoden zur Bestimmung der Auflager- und Eckkräfte:
56
, 2 2
y yx xx y
p lp lA A xl
yl
1m
1m
p
xp
xl
yl
yp
xA xA
yA
yA
Mit den Einzugsflächen
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Quelle: Bautabelle Schneider
3.4.1.2.3 Bestimmung der Auflager- und Eckkräfte
Die Auflager- und Eckkräfte können mit der Methode der Einzugsflächenäherungsweise bestimmt werden.
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Bautabelle Schneider
Bestimmung der
Auflager- und
Eckkräfte:
Methode der
Einzugsfläche
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Quelle: Bautabelle Schneider
3.4.1.2.3 Bestimmung der Auflager- und Eckkräfte
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
xl
yl
p
x
yBeispiel: 4-seitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte
unter konstanter Flächenlast
/ 1,5y xl l
22
2max
22
22
max
22
0,07313,7
0,073
0,02835,7
0,02934,7
0,06116,3
xxm x
x xm x
xym x
xy x
xxye x
plm pl
m m pl
plm pl
plm pl
plm pl
22
2max
22
22
max
0,1287,8
0,128
0,0520
0,0519,9
0
xxm x
x xm x
xym x
xy x
xye
plm pl
m m pl
plm pl
plm pl
m
22
2max
22
2max
0,1048
0,104
0,0468
0,046
0
x xxm x
x xm x
y yym x
y ym x
xye
p lm pl
m m pl
p lm pl
m m pl
m
Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte
Czerny-Tafel:Stiglat/Wippel:
Marcus:
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Momente Czerny(drillsteif)
Stiglat/Wippel(drillweich)
Marcus(drillweich)
xmm
maxxm
maxymymm
xyem
20,073 xpl
20,073 xpl
20,028 xpl
20,029 xpl20,061 xpl
20,128 xpl
20,128 xpl
20,05 xpl20,05 xpl
0
20,104 xpl
20,104 xpl
20,046 xpl20,046 xpl
0
Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte
Bemerkungen: Die maximalen Feldmomente bei der drillsteifen Platte sind kleiner als bei der
drillweichen Platte! Grund: Die 4 Ecken der drillsteifen Platte tragen die Last mit!
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Überblick:
Belastungsumordnungsverfahren (BU-Verfahren)• Dieses Verfahren wird auch als „Schachbrettverfahren“ bezeichnet.• Dabei werden die Verkehrslast (veränderliche Last) „schachbrettartig“ so
umgeordnet, dass es jeweils zu max. Feldmomenten und max. Stützmomenten (in Betrag) führt.
• Voraussetzung: min. l / max. l ≥0,75.
Verfahren nach Pieper/Martens• Voraussetzungen: q ≤ 2g, q ≤ 2(g+q)/3 (g: Eigenlast, q: Verkehrslast).• Verfahren beruht auf BU-Verfahren.• Verfahren liefert im Allgemeinen größere Feldmomente als BU-Verfahren
(auf der sicheren Seite).• Rechenaufwand wesentlich geringer als BU-Verfahren.
3.4.2 Durchlaufende Platten
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Wände
3.4.2 Durchlaufende Platten: BU-Verfahren
Schachbrettartige Anordnung der Verkehrslast q
Für max. Feldmoment Für max. Stützmoment (Betrag)
x
y
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Eigenlast : g
Verkehrslast : q
Eigenlast : g
Verkehrslast : / 2q
Verkehrslast : / 2q
Anordnung der Verkehrslast q
3.4.2 Durchlaufende Platten: BU-Verfahren
+
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
/2g q
Ersatzsystem für max. Feldmoment
Innenfeld
3.4.2 Durchlaufende Platten: BU-Verfahren
/ 2q
Innenfeld
Ersatzsystem für max. Feldmoment
1.) Belastung aller Felder durch g+q/2 2.) Schachbrettartige Belastung durch g+q/2
Bestimmung von max. Feldmoment
In y-Richtung genauso!
gelenkigeingespannt/2g q / 2q
x
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
/2g q
Ersatzsystem für max. Stützmoment
Innenfeld
3.4.2 Durchlaufende Platten: BU-Verfahren
Innenfeld
Ersatzsystem für max. Feldmoment
1.) Belastung aller Felder durch g+q/2 2.) Schachbrettartige Belastung durch g+q/2
Bestimmung von max. Stützmoment (in Betrag)
In x-Richtung wie beim max. Feldmoment!
/ 2q
eingespannt
gelenkig
y
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK Quelle: Bautabelle Schneider
3.4.2 Durchlaufende Platten: Verfahren nach Pieper/Martens
67
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Bautabelle Schneider
Durchlaufende Platten:
Verfahren nach
Pieper/Martens
68
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK Quelle: Bautabelle Schneider
3.4.2 Durchlaufende Platten: Verfahren nach Pieper/Martens
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Bautabelle Schneider
Durchlaufende
Platten:
Verfahren nach
Pieper/Martens
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Quelle: Bautabelle Schneider
3.4.2 Durchlaufende Platten: Verfahren nach Pieper/Martens
Wände 4
6
Beispiel
71