3-fundamentos matemáticos igomide/courses/ct820/transp/ct820fundament... · – times de futebol...
TRANSCRIPT
![Page 1: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/1.jpg)
CT 820 Teoria de Sistemas e Otimização FuzzyIntrodução e Aplicações
3-Fundamentos MatemáticosI
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 2: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/2.jpg)
Conteúdo
1. Introdução2. Conjuntos fuzzy3. Operações básicas4. Agregação5. Medidas fuzzy6. Princípio da extensão7. Relações fuzzy8. Análise fuzzy9.Teoria de possibilidade
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 3: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/3.jpg)
Ciência, tradição, complexidade e precisão
Breve história
Conjuntos e conjuntos fuzzy
Operações e operadores
Variáveis linguísticas
Relações fuzzy
1-Introdução
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 4: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/4.jpg)
Ciência, tradição e realidade
Pre
cisã
o
ImprecisaIncerta
Verdades parciais
QuantitativaPrecisa
RigorosaVerdades categóricas
Certeza
Tradição
Realidade
Fonte: Klir, 1995
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 5: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/5.jpg)
Co
mp
lexi
dad
e
Simplicidadeorganizada
Complexidadedesorganizada
Complexidadeorganizada
Sistemashumanísticos
Incerteza
Ciência e complexidade (Warren Weaver, 1948)
Fonte: Klir, 1995
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 6: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/6.jpg)
“As far as the propositions of mathematics refer to reality, they are not certain; and as far as they are certain, they do not refer to reality”.
Ciência e incerteza (Einstein, 1928)
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 7: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/7.jpg)
“Stated informally, the essence of this principle is that as the complexity of a system increases, our ability to make precise and yet significant statements about its behavior diminishes until a threshold is reached beyond which precision and significance (or relevance) become almost mutually exclusive characteristics.”
Princípio da incompatibilidade (Zadeh, 1973)
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 8: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/8.jpg)
“O gol em Wembley de fato foi um gol.”(Inglaterra × Alemanha, final 1966)
“Falta do Adriano”
....veracidade imprecisa,“falta” é um conceito impreciso
… incerta mas ou falsa ou verdadeiragol
Incerteza e imprecisão
falta
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 9: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/9.jpg)
Exemplo: Problema do caixeiro viajante
Fonte: New York Times, 12/03/91
Número Precisão TempoCidades (%) Computação
100.000 1 2 dias100.000 0.75 sete meses
1.000.000 3,5 3,5 horas
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 10: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/10.jpg)
“Although usually (but not always) undesirable when considered alone, uncertainty becomes very valuable when considered in connection to the other characteristics of systems models: in general, allowing more uncertainty tends to reduce complexityand increase credibility of the resulting model.”
Modelos, realidade e utilidade (Klir, 1995)
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 11: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/11.jpg)
Conjuntos
Classificam objetos em conceitos gerais:
– números pares
– cidades que são capitais
– carros esportes
– números impares
– times de futebol
– .............
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 12: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/12.jpg)
– grandescidades da América do Sul
– baixatemperatura
– alta taxa de inflação
– pequenoerro de aproximação
– rápida resposta de um sistema dinâmico
– mal condicionamentode um sistema de equações lineares
Conjuntos ?????
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 13: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/13.jpg)
“One seed does not constitute a pile nor two nor three… from
the other side everybody will agree that 100 million seeds
constitute a pile. What therefore is the appropriate limit? Can
we say that 325 647 seeds don’t consitute a pile but325 648
do?” [Borel, 1950],
Problema da dicotomia
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 14: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/14.jpg)
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 15: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/15.jpg)
Jan Lukasiewicz (~1920)
true (0)false (1)don’t know (1/2)
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 16: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/16.jpg)
“..in analyzing the Aristotelian codification, I had to deal with the two-valued, “either-or” type of orientation. In living, many issues are not so sharp,and therefore a system that posits the generalsharpness of “either-or” and so objectifies “kind”,is unduly limited; it must be revised and moreflexible in terms of “degree”…”
Visão não Aristotélica (Korzybski, 1933)
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 17: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/17.jpg)
Conjuntos fuzzy e lógica fuzzy
Lógica fuzzy: sobre o significado do termo
– sentido restrito:sistema lógico que visa o raciocínio aproximado
– sentido amplo:teoria de conjuntos nebulosos
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 18: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/18.jpg)
Lógica fuzzy: sistema lógico que formaliza o raciocínio aproximado
– variáveis linguísticas– formas canônicas– regras se-então– quantificadores nebulosos– raciocíonio interpolativo, silogismo, disposicional
Estes itens não são comuns em lógicas multivalores
Lógica fuzzy
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 19: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/19.jpg)
Paradoxo do barbeiro (Russell)
T(S) = T(¬ S)
T(¬ S) = 1 – T(S)
“I shave all, and only, those man who don´t shave themselves”
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 20: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/20.jpg)
Conjuntos fuzzy: classes cujos limites não são bem delimitados
– aritmética fuzzy– programação matemática fuzzy– topologia fuzzy– grafos fuzzy– análise fuzzy de dados– fuzzificação de teorias clássicas
A teoria de conjuntos fuzzyinclui a lógica nebulosa
Teoria de conjuntos fuzzy
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 21: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/21.jpg)
1920: J. Lukasiewicz, E. Post (three-valued and many valued logic)
1965: L. A. Zadeh (fuzzy sets)
1972: M. Sugeno (fuzzy measures)
1974: E.H. Mamdani (fuzzy controller)
1982: primeira aplicação industrial em operação, Dinamarca
1986: controlador trem metro da Hitachi
1987: aplicações em comerciais e industriais no Japão
1990: aplicações industriais e comerciais no mundo
1994: inteligência computacional
1995: 30 anos, IFSA World Congress, São Paulo, Brasil
1998: L. A. Zadeh computação granular
2005: L. A. Zadeh computação com linguagem natural
Breve história
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 22: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/22.jpg)
Medida (integral) de Sugeno (1972)
g : Ω → [0,1]
g(∅) = 0g(X) = 1seA ⊂ B entãog(A) ≤ g(B)
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 23: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/23.jpg)
Controle fuzzy (Mamdani, 1974)
zero
zerozero
is control of changethen
iserror of change and is error if
big positive
big negativebig positive
is control of changethen
iserror of change and is error ift
y
r(t)
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 24: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/24.jpg)
Computação flexível
Raciocínio probabilísticoIncerteza
Redes neurais Aprendizagem
Lógica e conjuntos fuzzyImprecisão
Inteligência computational× Computação flexível
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 25: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/25.jpg)
Computação clássica
– visão clássica da computação
– imprecisão e incerteza são indesejáveis
Computação clássica × Computação flexível
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 26: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/26.jpg)
Computação flexível
– explora a tolerância à imprecisão e incerteza para obter
• tratabilidade
• robustez
• baixo custo
• alto MIQ
• economia de comunicação
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 27: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/27.jpg)
MIQ
1990
Soft computingHard computing
Computação clássica × Computação flexível
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 28: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/28.jpg)
Fonte: Zimmermann, 1999
1965
1975
1985
1995
2005
Fuzzy sets
Fuzzy DecisionFuzzy Linear Programming
Fuzzy ControlLinguistic Variables
Fuzzy Measures
Fuzzy Clustering
Fuzzy Neuro SystemsComputação EvolutivaComputação Flexível
Inteligência ComputacionalComputação com Palavras
Computação com Percepções
Estágioacadêmico
Estágiotransferência
Fuzzybooms
ConsolidaçãoSistemas
inteligentes
Controle Fuzzy(Cement Kiln)
Metro SendaiFuzzy VideosFuzzy Eletros
ControleFreiosCranesPlantas PurificaçãoSistemas Aquecimento
Análise DadosIndústrias químicasControle QualidadeMarketing
Internet
Fuzzy chipFuzzy CTill-ShellFuzzy TechChip Neuro
Fuzzy SPSDataEngine
Teoria e metodologia Aplicações Ferramentas
Evolução sistemas fuzzy
![Page 29: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/29.jpg)
Conjuntos
Ax∈Ay∉
UniversoX
x
A
y
2-Conjuntos fuzzy
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 30: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/30.jpg)
Função característica (indicadora)
A: X → 0, 1
∉∈
=Ax
AxxA
if 0
if 1 )(
2 5 R
A(x)
1
A = x∈R / 2 ≤ x ≤ 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 N
A(x)
1
A = 1, 2, 4, 7, 8
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 31: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/31.jpg)
Universox
x
A
yz
Conjunto fuzzy
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 32: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/32.jpg)
A: X → [0, 1]
Função de pertinência
X
A(x)
1
x z y
DcaFeecUnicampGomideProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 33: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/33.jpg)
Exemplos
Triangular
-5 0 5 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1A(x)
x
a = -1m = 2 b = 5
>
∈−−
∈−−
<
=
bx
m,bxmb
xb
a,mxiam
axax
xA
if0
][if
)[f
if0
)(
0)],/()(),/(maxmin[(),,,( mbxbamaxbmaxA −−−−=
-1 2
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 34: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/34.jpg)
-5 0 5 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1 A(x)
x
a = -2.5m = 0n = 2.5b = 5.0
>
∈−−
∈
∈−−
<
=
bx
bnxnb
xbnmx
maxam
axaxi
xA
if0
],[if
),[if1
),[if
f0
)(
0)],/()(,1),/(maxmin[(),,,,( nbxbamaxbnmaxA −−−−=
2.5-2.5
Trapezoidal
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 35: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/35.jpg)
Gaussiana
-5 0 5 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1A(x)
x
k = 0.5m = 2
))(
exp()(2
2
σ
mxxA
−−=
σ = 0.5m = 2.0
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 36: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/36.jpg)
Grau de pertinência: semântica
Similaridade: grau de compatibilidade
(análise processamento de dados)
Incerteza: possibilidade
(raciocínio sob incerteza)
Preferência: grau de satisfação
(decisão, otimização)
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 37: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/37.jpg)
Fuzziness ≠ Probabilidade
João é alto Cara ou coroa?
A: X → [0,1]
X: universo (conjunto)
A: função de pertinência
P(A): F → [0,1]
P: função (argumento éA∈F)
F: σ-algebra de X
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 38: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/38.jpg)
t (°C)20
1
A(x)
18 22 t (°C)
1
A(x)
Exemplo: temperatura t = ~ 20 °C
número(conjunto unitário)
intervalo(conjunto)
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 39: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/39.jpg)
18 19 20 21 22 t (°C)
1
A(x)
conjunto fuzzy
Exemplo: temperatura t = ~ 20 °C
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 40: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/40.jpg)
Normalidade
Normal: hgt(A) = 1 Subnormal: hgt(A) < 1
)(sup)(hgt xAAx X∈
=
1.0
x
A(x)
A
1.0
x
A
A(x)
Altura de A hgt(A):
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 41: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/41.jpg)
0)(|)(Supp >∈= xAxA X conjunto aberto
1.0
x
A(x)
A
Supp(A)
Suporte
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 42: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/42.jpg)
0)(|)(CSupp >∈= xAxclosureA X conjunto fechado
1.0
x
A(x)
A
CSupp(A)
Suporte
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 43: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/43.jpg)
Núcleo
1.0
x
A(x)
A
Core(A)
1)(|)(Core =∈= xAxA X
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 44: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/44.jpg)
α−corte (nível)
1.0
x
A(x)
A
Aα+
α
1.0
x
A(x)
A
Aα
α
)(| α≥∈=α xAxA X )(| α>∈=α xAxA X α-corte forte
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 45: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/45.jpg)
Convexidade
1.0
x
A(x)
Aα
Não convexo
)(| α>∈=α xAxA X
)](),(min[])1([ 2121 xAxAxxA ≥λ−+λ
1.0
x
A(x)A[λx1 + (1−λ)x2)]
x1 x2
x = λx1 + (1−λ)x2
0 ≤ λ ≤ 1
ConvexoProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 46: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/46.jpg)
Cardinalidade
∑∈
=Xx
xAA )()(Card
∫=X
xxAA d)()(Card
X finito ou contável
Card(A) = |A| ≈ sigma count (σ–count)
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 47: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/47.jpg)
Inclusão
)()(,m xBxABAeBeA ≤⇔⊆X
A
BABAS
xBxAAA
BASx
∩=
−−= ∑∈
),(
)])()(,0max[(1
),(X
Zadeh
Kosko
![Page 48: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/48.jpg)
Especificidade de conjuntos fuzzy
Específico Não específico
1.0
x
A(x)
xo
1.0
x
A(x)
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 49: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/49.jpg)
Especificidade
1. Spec(A) = 1 se e somente se ∃x0 ∈ A(x0) = 1, A(x) = 0 ∀x≠ x0
2. Spec(A) = 0 se e somente se A(x) = 0, ∀x ∈ X
3. Spec(A1) ≤ Spec(A2) se A1 ⊃ A2
1.0
x
A1
A2
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 50: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/50.jpg)
Exemplos
∫α
αα= max
0d
)(
1)(Spec
ACardA
∑= α
α∆=m
ii
iACardA
1 )(
1)(Spec
Yager (1993)
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 51: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/51.jpg)
Qualquer conjunto fuzzy pode representado por uma família de conjuntos
)(sup)(]1,0[
]1,0[
xAxA
AA
α∈α
∈αα
α=
α= U1.0
x
A
αj
αk
αi
αkAαk
Aαi
Teorema da representação
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 52: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/52.jpg)
Operações e operadores
• união
• interseção
• complemento
3-Operações básicas
Igualdade e inclusão (Zadeh)
A = B se e somente se A(x) = B(x) ∀x ∈ X
A ⊆ B se e somente se A(x) ≤ B(x) ∀x ∈ X
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 53: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/53.jpg)
União de conjuntos
A = x∈R| 1 ≤ x ≤ 3
B = x∈R| 2 ≤ x ≤ 4 (A∪B)(x) = max [A(x), B(x)] ∀x∈X
A∪B: x∈R| 1≤ x ≤ 4
1.0
x
A(x)
A B1.0
x
A(x)
BA
A∪B
1 2 3 4 1 2 3 4
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 54: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/54.jpg)
C = A ∪ B A, B e C emX
s : [0,1] × [0,1] → [0,1]
C(x) = A(x) s B(x) ∀ x∈X
C = A ∪ B
X
1AB
X
1
União de conjuntos fuzzy
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 55: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/55.jpg)
Conorma triangular (s-norma)
s : [0,1] ×[0,1] → [0,1]
• commutativa: a s b= b s a
• associativa: a s(b s c) = (a s b) s c
• monotônica: if b ≤ c then a s b≤ a s c
• condições de contorno: a s 1 = 1
a s0 = a
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 56: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/56.jpg)
Interseção de conjuntos
A = x∈R| 1 ≤ x ≤ 3
B = x∈R| 2 ≤ x ≤ 4 (A∩B)(x) = min [A(x), B(x)] ∀x∈X
A∩B: x∈R| 2 ≤ x ≤ 3
1.0
x
A(x)
A B1.0
x
A(x)
BA
A∩B
1 2 3 4 1 2 3 4
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 57: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/57.jpg)
C = A ∩ B A, B e C em X
t : [0,1] × [0,1] → [0,1]
C(x) = A(x) t B(x) ∀ x∈X
C = A ∩ B
X
1AB
X
1
Interseção de conjuntos fuzzy
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 58: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/58.jpg)
Norma triangular (t-norma)
t : [0,1] ×[0,1] → [0,1]
• commutativa: a t b= b t a
• associativa: a t (b t c) = (a t b) t c
• monotônica: if b ≤ c then a t b≤ a t c
• condições contorno: a t 1 = a
a t 0 = 0
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 59: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/59.jpg)
A = x∈R| 1 ≤ x ≤ 3 A(x) = x∈R| x < 1 , x > 3
A(x) = 1 –A(x) ∀x∈X
1.0
x
A(x)A
1 2 3 4
Complemento
1.0
x1 2 3 4
A(x)AA
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 60: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/60.jpg)
A
X
1A
A de A emX
C: [0,1] → [0,1]
A(x) = C(A(x)) ∀ x∈X
Complemento fuzzy
A(x) = 1 –A(x)(complemento de um)
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 61: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/61.jpg)
(X, T(X), X, G, M)
Variável linguística
Velocidade Variável linguística
Baixa Média Alta
Conjunto de termosTermos linguísticos
X
1Baixa AltaMédia
Regra semântica
Universo Variável basex
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 62: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/62.jpg)
1.0
x
A1 A2 A3 A4
x
1.0
x
C1 C2 C3 C4
1.0F1 F2 F3 F4
Discretatizar Quantizar Granularizar
Granularização
ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp
![Page 63: 3-Fundamentos Matemáticos Igomide/courses/CT820/transp/CT820Fundament... · – times de futebol – ..... ProfFernandoGomide2012 DCA-FEEC-Unicamp – grandes cidades da América](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051407/5be97fc909d3f2bf7c8ce292/html5/thumbnails/63.jpg)
DCA-FEEC-UnicampProfFernandoGomide
Este material refere-se às notas de aula do curso CT 820 Teoria de Sistemas e Otimização Fuzzy: Introdução e Aplicações da Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação da Unicamp e do Centro Federal de Educação Tecnológica do Estado de Minas Gerais. Não substitui o livro texto, as referências recomendadas e nem as aulas expositivas. Este material não pode ser reproduzido sem autorização prévia dos autores. Quando autorizado, seu uso é exclusivo para atividades de ensino e pesquisa em instituições sem fins lucrativos.
Observação