Péndulo físico

Un péndulo físico o péndulo compuesto es cualquiercuerpo rígido que pueda oscilar libremente en el campogravitatorio alrededor de un eje horizontal fijo, que nopasa por su centro de masa.

1 Deducción del periodo

Figura 1. Péndulo físico..

El péndulo físico es un sistema con un sólo grado de li-bertad; el correspondiente a la rotación alrededor del ejefijo ZZ′ (Figura 1). La posición del péndulo físico quedadeterminada, en cualquier instante, por el ángulo θ queforma el plano determinado por el eje de rotación (ZZ′)y el centro de gravedad (G) del péndulo con el plano ver-tical que pasa por el eje de rotación.Llamaremos h a la distancia del centro de gravedad (G)del péndulo al eje de rotación ZZ′. Cuando el péndulo estádesviado de su posición de equilibrio (estable) un ánguloθ , actúan sobre él dos fuerzas (mg yN ) cuyomomentoresultante con respecto al eje ZZ′ es un vector dirigido alo largo del eje de rotación ZZ′, en el sentido negativo delmismo; i.e.,

(1)Me = −mgh sin θ

Si es IO el momento de inercia del péndulo respecto al ejede suspensión ZZ′ y llamamos θ̈ a la aceleración angular

del mismo, el teorema del momento angular nos permiteescribir la ecuación diferencial del movimiento de rota-ción del péndulo:

(2) −mgh sin θ = IOθ̈

que podemos escribir en la forma

(3) θ̈ + mghIO

sin θ = 0

que es una ecuación diferencial de segundo orden, delmismo tipo que la que encontramos para el péndulo sim-ple.En el caso de que la amplitud angular de las oscilacionessea pequeña, podemos poner sen θ ≈ θ y la ecuación [3]adopta la forma

(4) θ̈ + mghIO

θ = 0

que corresponde a un movimiento armónico simple.El periodo de las oscilaciones es

(5) T = 2π√

IOmgh

2 Longitud reducida

Siempre es posible encontrar un péndulo simple cuyo pe-riodo sea igual al de un péndulo físico dado; tal péndu-lo simple recibe el nombre de péndulo simple equivalen-te y su longitud λ recibe el nombre de longitud reducidadel péndulo físico. Utilizando la expresión del periodo delpéndulo simple de longitud λ, podemos escribir

(6) T = 2π√

IOmgh = 2π

√λg

y, por lo tanto, tenemos que

(7) λ = IOmh

Así, en lo que concierne al periodo de las oscilaciones deun péndulo físico, la masa del péndulo puede imaginar-se concentrada en un punto (O′) cuya distancia al eje desuspensión es λ. Tal punto recibe el nombre de centro deoscilación. Todos los péndulos físicos que tengan la mis-ma longitud reducida λ (respecto al eje de suspensión)oscilarán con la misma frecuencia; i.e., la frecuencia delpéndulo simple equivalente, de longitud λ.

1

2 4 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE HUYGENS

3 Puntos conjugados

Es conveniente sustituir en la expresión [5] el valor delmomento de inercia IO del péndulo respecto al eje de sus-pensión ZZ′ por el momento de inercia IG del cuerpo res-pecto a un eje paralelo al anterior que pase por el centrode gravedad del péndulo. Así, sirviéndonos del teoremade Steiner, y llamando K al radio de giro del cuerpo res-pecto a este último eje, podemos escribir

Figura 2. Representación gráfica de la dependencia del periodocon la distancia entre el centro de suspensión (O) y el de gravedad(G).

(8) IO = IG + mh2 = mK2 + mh2 =m(h2 +K2)

de modo que la expresión [5] se transforma en

(9) T = 2π√

h2+K2

gh

En la Figura 2 hemos representado gráficamente la fun-ción T(h). Obtenemos una curva con dos ramas, que co-rresponden a colocar el eje de suspensión a un lado u otrodel centro de gravedad del cuerpo. Como ambas ramasson simétricas respecto al eje vertical, en la práctica bas-tará con hacer observaciones a un sólo lado del c.d.g..Como queda bien manifiesto en la representación gráficade Figura 2, la función T(h) dada por [9], el periodo delas oscilaciones presenta un valor mínimo para un ciertovalor de la distancia h existente entre el centro de grave-dad y el eje de suspensión. A partir de la expresión [9] esfácil demostrar que el valor mínimo del periodo se pre-senta cuando h = K, esto es, cuando la distancia entre elc.d.g. y el eje de suspensión coincide con el radio de girorespecto a un eje que pasa por el c.d.g..La gráfica de la Figura 2 también pone de manifiesto quepara un valor del periodo T > T í existen cuatro puntos

(O,O′,Q,Q′) tales que al hacer pasar por ellos el eje desuspensión (en direcciones paralelas entre sí) las oscila-ciones del péndulo físico tendrán el mismo periodo. Dela simetría de la gráfica de la Figura 2 se deduce que lospuntos O y Q, son equidistantes del centro de gravedaddel cuerpo, y que lo mismo ocurre para los puntos O′ yQ′. Además, dado que la distancia que separa los puntosO y O′, esto es, OO′ = λ, es la misma que separa los pun-tos Q y Q′ (QQ′ = λ), decimos que los puntos O y O′ sonconjugados entre sí; y lo mismo decimos de los puntos Qyy Q′. Veamos a que obedece tal denominación.Cuando el péndulo oscila alrededor de un eje horizontalque pasa por el punto O, dicho punto recibe el nombre decentro de suspensión, y el punto O′, que se encuentra auna distancia λ del punto O, recibe el nombre de centrode oscilación.El centro de oscilación recibe también el nombre de centro depercusión porque cuando se aplica a él una percusión (impulsoproducido por una fuerza de corta duración) su conjugado, estoes, el centro de suspensión, no acusa percusión alguna. El cuerpotiende a girar alrededor del centro de suspensión aun cuando nopase por él ningún eje fijo.

Si ahora hacemos pasar el eje de suspensión por el puntoO′, demodo que sea paralelo al anterior eje de suspensión,el punto O′ pasa a ser el punto de suspensión, en tantoque el punto O pasa a ser el centro de oscilación. Ambospuntos han permutado entre sí sus papeles; por eso se diceque son conjugados. Lo mismo podemos decir para lospuntos Q y Q′. Los resultados anteriores constituyen elllamado Teorema deHuygens (1629-1695), que podemosenunciar en la forma siguiente:

La longitud reducida de un péndulofísico no varía cuando el centro deoscilación O′ pasa a ser centro desuspensión (O), pues ambos puntospermutan entre sí sus papeles. Elperiodo del péndulo será el mismoen ambos casos.

Esta propiedad se aprovecha para la construcción del lla-mado péndulo reversible de Kater, instrumento que per-mite medir el valor de la aceleración gravitatoria con granprecisión.

4 Demostración del Teorema deHuygens

Hemos demostrado el teorema de Huygens a partir deunas consideraciones semicualitativas acerca de la sime-tría de las dos ramas de la curva que representa a la fun-ción T(h). Veamos ahora una demostración analítica másrigurosa. Consideremos que el eje de suspensión del pén-dulo pase por el punto O, situado a una distancia h del

5.2 Véase también 3

centro de gravedad del cuerpo. Combinando las expresio-nes [7] y [8], la longitud reducida del péndulo, respectoa ese eje de suspensión, puede expresarse en la forma

(10) λ = IOmh = IG+mh2

mh = mK2+mh2

mh =h2+K2

h = h+ K2

h

Ahora, hagamos pasar el eje de suspensión por otro punto,situado sobre la recta OG y que se encuentre a una dis-tancia h′ del centro de gravedad de modo que el periodode las oscilaciones sea el mismo que antes; esto equivale adecir que la longitud reducida del péndulo, respecto a estenuevo eje de suspensión, es la misma que anteriormente(λ=λ′). Podemos escribir

(11) λ = h2+K2

h = h′2+K2

h′ = h2−h′2

h−h′ =(h+h′)(h−h′)

(h−h′)

donde hemos hecho uso de la siguiente propiedad de lasproporciones a

b = cd = a±c

b±d }} y, por lo tanto,

(12) λ(h− h′) = (h+ h′)(h− h′)

ecuación que tiene dos soluciones:

1. Puede ser h = h′; i.e., se trata del punto Q, situa-do al otro lado del centro de gravedad y a la mismadistancia de éste que el punto O.

2. En el caso de que sea h ≠ h′, dividiendo por (h-h′)ambos miembros de la igualdad [12] y teniendo encuenta [10], nos quedará:

(13)< λ = h + h′ ⇒ h′ = λ − h =K2

h ⇒ hh′ = K2

correspondiendo la distancia h′ a la posición del punto O′,conjugado del O, que se encuentra situado al otro lado delcentro de gravedad y de modo que la suma de distanciasal mismo (h+h′) es la longitud reducida (λ) del péndulo.

5 Referencias

5.1 Bibliografía

• Feynman, Leighton and Sands. Lectures on physics.Addison-Wesley. ISBN 0-8053-9045-6.

• Marion, Jerry B. (1996). Dinámica clásica de laspartículas y sistemas. Barcelona: Ed. Reverté. ISBN84-291-4094-8.

• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Fí-sica (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4,ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.

• Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y latecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté.ISBN 84-291-4382-3.

• Resnick,R. and Halliday, D. (1996). Physics. JohnWiley & Sons. ISBN 0-471-83202-2.

5.2 Véase también

• Oscilador armónico

• Doble péndulo

• Metrónomo

• Péndulo balístico

• Péndulo cicloidal

• Péndulo cónico

• Péndulo de Foucault

• Péndulo de Foucault (lista)

• Péndulo de Kater

• Péndulo de Newton

• Péndulo de Pohl

• Péndulo de torsión

• Péndulo esférico

• Péndulo simple

• Péndulo simple equivalente

• Reloj de péndulo

• Teorema de Huygens

5.3 Referencias externas

• Docencia de la Física. (en español) Abundante in-formación para el nivel de la Física Universitaria.Incluye textos y animaciones.

• Curso Interactivo de Física en Internet. Ángel Fran-co García.

• Página en inglés Con animaciones de oscilaciones yondas.

4 6 TEXT AND IMAGE SOURCES, CONTRIBUTORS, AND LICENSES

6 Text and image sources, contributors, and licenses

6.1 Text• Péndulo físico Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Péndulo_físico?oldid=76087676 Colaboradores: Davius, Montgomery, Algarabia,

Technopat, Muro Bot, Jperelli, Jkbw, Botarel, Miss Manzana, ZéroBot, Sergio Andres Segovia, KLBot2 y Anónimos: 13

6.2 Images• Archivo:Moglfm2111pendulo_fisico.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d8/Moglfm2111pendulo_fisico.

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