3 primjena odr int novo

7/23/2019 3 Primjena Odr Int Novo

1/12

AUDITORNE VJEBE#3| MATEMATIKA 2 | STRUNI STUDIJ

Ana okevi, prof. | [email protected] | K1-7 | Konz. po dogovoru | Page 1of 12

1.

UVOD: PRIMJENA INTEGRALNOG RAUNA

a) raunanje povrina

b) odreivanje duljine luka krivulje

c) obujam (volumen) tijela

d) rotacijsko tijelo

2. RAUNANJE POVRINA

2.1. PRAVOKUTNE KOORDINATE

2.1.1.

Jednadba krivulje zadana je u eksplicitnom obliku = Ako su fje i integrabilne na , i , , , onda je povrina podruja koje se protee izmeu = i = , od = do = , jednaka integralu

= .

Na sljedeim slikama prikazujemo mogunosti protezanja krivulja:


2/12



1. Odredite povrinu omeenu kubnom parabolom = i pravcem = 2 .


3/12



Odredimo sjecita: = 2 2 = 0 2 = 0 = 0, , = 2Kako su obje fje neparne = = 2

= 2 2

= 2

2. Izraunajte povrinu, koja lei iznad osi x, a omeena je polukubnom parabolom = i pravcem = .

Sjecita:

=

= = 1 = 0 , = 0, = 1

= = 110


4/12



3.

Izraunajte povrinu podruja omeenog parabolom = 2 i pravcem = .

2.1.2. Jednadba krivulje zadana je s = Akoje lik omeen lukom krivulje = , osi i pravcima = , = tada imamo slj situaciju:


5/12



4. Izraunajte povrinu omeenu parabolom = od = 0do = 9.

Trai li se povrina, koja lei uzdu osi y, tada treba prijei na inverznu fju!

Ovdje je inverzna fja = = 2 = 3 6

5. Odredite povrinu omeenu parabolom = i krivuljom = .

Sjecita: = 1 = 0 = 0 , ,, = 1 = = 13


6/12



6.

Izraunajte povrinu lika omeenog sinusoidom i segmentom 0, .

= = 2 3.

ODREIVANJE DULJINE LUKA KRIVULJE(pravokutne koordinate)

3.1. JEDNADBA KRIVULJE ZADANA JE U EKSPLICITNOM OBLIKU =

= + = 1 +

= = ( ) + ( ) = 1 +


7/12



7.

Izraunajte duljinu krunice = , = , 0,2. = ( ) + ( )

= + = = 2

8. Izraunajte duljinu parabole = od = 0do = 1. = 1 + = 1 + 4

3.2. JEDNADBA KRIVULJE ZADANA JE U EKSPLICITNOM OBLIKU =

= 1 + 4. OBUJAM (VOLUMEN) TIJELA

4.1. METODA ODREZAKA

Ako se tijelo protee du osi x, od = do = i ako na razini ima presjek poznate povrine , te ako je fjaintegrabilna na , , onda je njegov volumen jednak integralu

=


8/12



9.

Izraunjate volumen kosoga soca ija baza ima radijus i ija je visina .

Presjek stoca na razini ima radijus = jer iz slinosti trokuta slijedi = .Slijedi da je povrina presjeka = = pa je volumen

5. ROTACIJSKO TIJELO

Rotacijsko tijelo geometrijsko je tijelo omeeno rotacijskom plohom, za koju se pretpostavlja da nastaje rotacijomoko apscisne osi luka krivulje, zadane eksplicitnom jednadbom = nad . .

5.1.

OKO APSCISE

Volumene rotacijskih tijela lako raunamo, jer je njihov presjek na svakoj razini krug, iju povrinu znamo.

Ako tijelo nastaje rotacijom oko osi x, onoga lika koji se protee izmeu , na osi x i grafa integrabilne fje =, onda je presjek toga rotacijskog tijela, na razini x, krug s radijusomi povrinom . Slijedi da jevolumen toga rotacijskog tijela

= .


9/12



Ako je tijelo nastalo rotacijom oko osi x, onoga lika koji se od = do = protee izmeu = i =,, onda je njegov volumen jednak razlici dvaju volumena prethodnog tipa, = .

10. Izraunajte volumen tijela koje nastaje rotacijom oko osi x, lika omeenog s = i = u prvomkvadrantu.


10/12



Sjecita: = 0, = 1 !

5.2. OKO ORDINATE

Ako tijelo nastaje rotacijom oko osi y, onoga lika koji se protee izmeu , na osi x i grafa integrabilne fje =

, onda je volumen

= 2 .Ako je tijelo nastalo rotacijom oko osi y, onoga lika kojij se od = do = protee izmeu = i =,, onda je njegov volumen jednak razlici dvaju volumena prethodnog tipa, = 2 .11. Izraunjate volumen tijelakoje nastaje rotacijom oko osi y, lika koji se protee od

0, 1na osi x do grafa

=.


11/12



6.

ZADACI

1. Izraunajte povrinu omeenu parabolom = , pravcima = 1i = 3i osi apscisa. = 2. Izraunajte povrinu omeenu krivuljom = 2 i osi ordinata.

= , : 3. Izraunajte povrinu zatvorenu meu krivuljama = 2 i = . = 4. Odredite povrinu omeenu krivuljama

= i

+ 2 = 0.

=

5. Odredite povrinu omeenu krivuljama = 4 i = 2 5. = 7 6. Izraunajte duljinu luka polukubne parabole = od = 0do = 5. = 7

7. Izraunajte volumen tijela nastalog rotacijom lika omeenog jednim poluvalom sinusoide = iodsjekom 0 osi x oko

a) osi x

=

b) osi y [ = 2]8. Izraunajte volumen tijela nastalog rotacijom plohe omeene krivuljama = , = 0 , = 0oko

a) osi x = b) osi y [ = 2]

9. Izraunajte duljinu luka parabole = 2od = 0do = 1. [2 + l n1 + 2]


12/12



7.

SAETAK

3 primjena odr int novo

Documents