Introduction to Control Systems

III. Βασικές Ιδιότητες της Ανάδρασης (Basic Properties of Feedback)

Πλεονεκτήματα των συστημάτων κλειστού βρόχου 1) Απόρριψη διαταραχών [disturbance rejection]

2) Ευαισθησία σε μεταβολές παραμέτρων [sensitivity to parameter variations] 3) Μεταβατική ανάλυση [transient response]

4) Μειωμένο σφάλμα μόνιμης κατάστασης [reduced steady-state error] Κόστος της ανάδρασης • Αισθητήρες

Παράδειγμα: Έλεγχος ταχύτητας [speed control]

aa a a a b

m a i

div R i L Kdt

J K i f T

θ

θ θ

= + +

= − +

Τi: Διαταραχή ροπής φορτίου [load-torque disturbance]

Έξοδος:

Είσοδος:

y θ=

Είσοδος Ελέγχου: Είσοδος Διαταραχής :

au v=

iw T=

Συνάρτηση μεταφοράς (παίρνοντας Laplace)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

a a a a b

m a

U s R I s L sI s K Y sJsY s K I s fY s W s

= + + = − +

Απαλειφή ( )aI s [ ]1( ) ( ) ( )a ba a

I s U s K Y sL s R

= −+

( ) [ ]

( ) ( )2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

mb

a a

a a a a m b m a a

KJs f Y s U s K Y s W sL s R

JL s JR fL s fR K K Y s K U s L s R W s

+ = − ++

+ + + + = + +

aa a a a b

m a i

div R i L Kdt

J K i f T

θ

θ θ

= + +

= − +

aa a a b

m a

diu R i L K ydt

Jy K i fy w

= + +

= − +

( )( ) ( )( )1 2 1 2

( ) ( ) ( )m a aK L s RY s U s W ss s s sβ β β β

+= +

+ + + +

( )21 2, 0a a a a m bό ί JL s JR fL s fR K Kπου β β οι ρ ζες της + + + + =

r

Αισθητήρας

+ -

Ελεγκτής +

(φορτίο) w

( )( )1 2

a aL s Rs sβ β

++ +

( )( )1 2

mKs sβ β+ +

κινητήρας u

y+

Αν u(t), w(t) είναι σταθερές: ,u u w w= =

Τότε η ταχύτητα μόνιμης κατάστασης yss είναι:

1 2 1 2

m ass

K Ry u wβ β β β

= +(Από θεώρημα τελικής τιμής)

ssy Au Bw= +

1 2 1 2

m aK RA Bβ β β β

= =

1) Απόρριψη διαταραχών

Ανοιχτός βρόχος: u=Kr K: σταθερή τιμή του ελεγκτή [constant controller gain]

Για 0w = θέλουμε: ssy r→

ssy AKr=

1KA

= (Για βέλτιστη απόδοση)

Στη μόνιμη κατάσταση:

1 2

mss

m

K Ky rK Kβ β

=+

Αν το Κ επιλεγεί αρκετά μεγάλο, έτσι ώστε KmK>>β1β2 τότε ssy r≈

Για 0w = (χωρίς φορτίο):

( )( ) ( )1 2

( ) ( ) ( )mKY s K R s Y ss sβ β

= −+ +

Κλειστός βρόχος: u=K(r-y) (Αναλογικός έλεγχος) [proportional control]

Τι γίνεται όταν υπάρχει διαταραχή;

Ανοιχτός βρόχος:

1 2

1ss

ss

ass

y Au Bw

y AKr Bw KA

Ry r Bw ό B

µε

πουβ β

= +

= + =

= + =

ssy y r Bwδ = − =

1 2 1 2

m ass

m m

K K Ry r wK K K Kβ β β β

= ++ +

Για Κ μεγάλο: ssy r→

( )( ) ( ) ( )( )1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )m a aK L s RY s K R s Y s W ss s s sβ β β β

+= − +

+ + + +

Κλειστός βρόχος: u=K(r-y)

Παράδειγμα Ρίζες: Σταθερές:

1 250 500β β= =5 2 610 , 10 , 10m a aK L R−= = =

Επιθυμητή ταχύτητα: 100 rad/sec (r) Διαταραχή: -0.2 N·m ( )w

Σε αυτή την περίπτωση: 1 2 1 2

4 40m aK RA Bβ β β β

= = = =

Ανοιχτός βρόχος: 1 0.25KA

= =

100 40 0.2 92 / secssy r Bw rad= + = − ⋅ =

Κλειστός βρόχος: u=K(r-y)

1 2

mss

m

K Ky rK Kβ β

=+

Για K=20 τότε yss=98.77rad/sec

Με διαταραχή:

1 2 1 2

98.67 / secm ass

m m

K K Ry r w radK K K Kβ β β β

= + =+ +

2) Ευαισθησία σε μεταβολές των παραμέτρων

( )( )1 2

( ) ( )mKY s U ss sβ β

=+ +

Κινητήρας u y

;m m mί ό K K Kι γ νεται ταν δΤ → +

Ανοιχτός βρόχος: u=Kr

( )( )1 2

( ) ( )mK KY s R ss sβ β

=+ +

Κινητήρας r yΚ u

Για βηματικές εισόδους: ( )( )1 2 1 2

( ) m mss

K K K KrY s y rs s sβ β β β

= ⇒ =+ +

:m m mK K K όν δ τ τεΑ → +

( )1 2 1 2 1 2

m m m mss

K K K K K K Ky r r rδ δ

β β β β β β+

= = +

1 2 1 mss

m m

KK y rK K

δβ βια

Γ = ⇒ = +

mss

m

Ky rKδδ⇒ =

Π.χ. Μεταβολή 10% της παραμέτρου έχει ως αποτέλεσμα σφάλμα 10% στη μόνιμη κατάσταση.

Κλειστός βρόχος: u=K(r-y)

( )( )1 2

( ) ( )m

m

K KY s R ss s K Kβ β

=+ + +

Κινητήρας r yΚ u

Για βηματικές εισόδους: 1 2

1 2

( )mss m

m

K Ky r ή K KK K

επιλογ β ββ β

= >>+

+ -

:m m mK K K όν δ τ τεΑ → +

( )( )1 2

m mss

m m

K K Ky r

K K Kδ

β β δ+

=+ +

( )1 2

1 2 1 2 1 2

ss

m mss

m m m m

y

K K K Ky rK K K K K K K

δ

δ β ββ β β β δ β β

⋅= + ⋅

+ + + +

1 2

1 2 1 2

mss

mm m

Ky rK KK K

K

δ β βδβ β β βδ

= ⋅+ + +

Κλειστός βρόχος

Σύγκριση με ανοιχτό βρόχο: mss

m

Ky rKδδ =

m m mK K Kδ→ + ( )( )1 2

m mss

m m

K K Ky r

K K Kδ

β β δ+

=+ +

τότε: Αν

Παράδειγμα: (ίδιοι αριθμοί όπως και προηγουμένως)

Ρίζες: 1 250 500β β= =

5 51 10 0.9 10× → ×

Επιθυμητή ταχύτητα: 100 rad/sec (r)

Υποθέτουμε ότι το Κm αλλάζει από

Ανοιχτός βρόχος: ( )0.25K =

( )1 2

m mss

K K Ky r

δβ β+

= 100 / 90 /ss ssy r s y r s= → =

Κλειστός βρόχος: ( )20K =

( )( )1 2

m mss

m m

K K Ky r

K K Kδ

β β δ+

=+ +

98.77 / 98.63 /ss ssy r s y r s= → =

( ) ( )( )

Y sT s

R s= ( )G s( )R s ( )C s+

-

( )T s

( )Y s

/ ( )/

TG

T GS έ έG G G T

για µικρ ς αλλαγ ς∆Τ Τ ∂= = ⋅∆ ∂

( ) ( )TGS ί s έ G sευαισθησ α της ως προς τις µεταβολ ς της= Τ

Γενικά:

( )TS ί s έ έα ευαισθησ α της ως προς τις µεταβολ ς της παραµ τρου α= Τ

T T GGS S Sα α= ⋅

( , )( , ) :( , )

N sT s όD s

αν α τ τεα

Α =

2T

N DD NT N DST D N D N Dαα α α αα α

α α α

∂ ∂−∂ ∂ ∂∂ ∂= ⋅ = ⋅ = ⋅ − ⋅

∂ ∂ ∂

T N DS S Sα α α= −

3. Μεταβατική Απόκριση [Transient Response]

Για σύστημα ανοικτού βρόχου:

Για σύστημα κλειστού βρόχου:

( )( )1 2

( ) ( )mK KY s R ss sβ β

=+ +

( )( )1 2

( ) ( )m

m

K KY s R ss s K Kβ β

=+ + +

Στο σύστημα κλειστού βρόχου η χρονική απόκριση επηρεάζεται μεταβάλλοντας το Κ. Επομένως μπορούμε να τοποθετήσουμε τους πόλους σε θέσεις εκτός των β1 , β2. • Γεωμετρικός τόπος των ριζών • Αστάθεια

Παράδειγμα: Έλεγχος ταχύτητας • Μηδενικές διαταραχές • Βηματική απόκριση για διαφορετικά Κ

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.030

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

OL: K=0.25CL: K=50CL: K=20CL: K=3

4. Σφάλμα μόνιμης κατάστασης [Steady-State Error]

( )G s( )R s ( )C s

( )T s

( )Y s

Σύστημα ανοικτού βρόχου

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) ( )

OL

OL

s R s Y s R s G s C s R ss G s C s R s

Ε = − = −

Ε = −

( )G s( )R s ( )C s+ -

( )T s

( )Y s

Σύστημα κλειστού βρόχου

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1( ) ( )1 ( ) ( )

CL

CL CL

CL

s R s Y s R s G s C s R s Y ss R s G s C s E s

E s R sG s C s

Ε = − = − −

Ε = −

=+

Όταν R(s) είναι η μοναδιαία βηματική συνάρτηση:

( ) 1 (0) (0)1( )

1 (0) (0)

OL

CL

e G C

eG C

∞ = +

∞ =+

Κλασικός έλεγχος (PID Control)

1. Αναλογικός έλεγχος (P) ( )pu K e e r y= = −

2. Ολοκληρωτικός έλεγχος (I) 0

( ) ( )t

I tu t K e dτ τ= ∫

3. Διαφορικός έλεγχος (D) ( ) D

deu t Kdt

=

Συνηθισμένες διατάξεις:

0

0

:

: ( )

:

: ( )

p

t

p I t

p D

t

p I Dt

P u K e

PI u K e K e d

dePD u K e Kdt

dePID u K e K e d Kdt

τ τ

τ τ

→ =

→ = +

→ = +

→ = + +

∫

∫

Χαρακτηριστικά αναλογικού ελέγχου (P) • Απλός. • Μη μηδενικό σφάλμα μόνιμης κατάστασης. • Απόρριψη διαταραχών – όχι πάντα ικανοποιητική. • Καθώς αυξάνεται το Κp μπορεί να οδηγήσει σε αστάθεια. • Ένας βαθμός ελευθερίας.

Παράδειγμα: ( )( )1 2

mKs sβ β+ +r pK+

- yue

( )( )1 2

( )( )

m p

m p

K KY sR s s s K Kβ β

=+ + +

Αν r(t) είναι η μοναδιαία βηματική συνάρτηση τότε:

1 2

m pss

m p

K Ky

K Kβ β=

+

Ολοκληρωτικός έλεγχος (I)

[ ]( ) ( ) ( )IKU s R s Y ss

= −

Χαρακτηριστικά ολοκληρωτικού ελέγχου (I) •Βελτιώνει το σφάλμα μόνιμης κατάστασης. •Καθυστερεί την απόκριση. •Καθώς αυξάνεται το KI μπορεί να οδηγήσει σε αστάθεια.

Παράδειγμα: ( )( )1 2

mKs sβ β+ +r IK

s+

- yue

( )( )1 2

( )( )

m I

m I

K KY sR s s s s K Kβ β

=+ + +

Αν r(t) είναι η μοναδιαία βηματική συνάρτηση (R(s)=1/s) τότε:

( )( )0 01 2

lim ( ) lim 1m Iss s s

m I

K Ky sY ss s s K Kβ β→ →

= = =+ + +

ΜΗΔΕΝΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ ΜΟΝΙΜΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

Έλεγχος PI

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )p IIp

K s KKU s K R s Y s R s Y ss s

+ = + − = −

Παράδειγμα:

( )( )1 2

mKs sβ β+ +r p IK s K

s++

- yue

( )( )( ) ( )1 2

( )( )

m p I

m p I

K K s KY sR s s s s K K s Kβ β

+=

+ + + +

•Μηδενικό σφάλμα θέσης (σφάλμα μόνιμης κατάστασης για βηματική είσοδο) •Δύο βαθμοί ελευθερίας για την επιλογή της θέσης των πόλων.

Διαφορικός έλεγχος (D) [Derivative Control]

( ) DU s K s=

Χαρακτηριστικά διαφορικού ελέγχου (D) •Βελτιώνει τα χαρακτηριστικά της ευστάθειας. •Δεν μπορεί να εφαρμοστεί στην πράξη (χρησιμοποιούνται προσεγγίσεις).

Παράδειγμα: ( )( )1 2

mKs sβ β+ +r DK s+

- yue

( )( )1 2

( )( )

m D

m D

K K sY sR s s s K K sβ β

=+ + +

Έλεγχος PID

• Χρησιμοποιείται εκτεταμένα στη βιομηχανία (διύλιση πετρελαίου, μεταλλουργεία, κατασκευή χαρτιού κλπ). • Τρεις βαθμοί ελευθερίας • Ρύθμιση του ελεγκτή: Kp,KI,KD Γενικά: -Αυξάνοντας το Kp & KI τα σφάλματα του συστήματος μειώνονται, αλλά επηρεάζεται η ευστάθεια. -Αυξάνοντας το KD βελτιώνεται η ευστάθεια.

2

( ) ( ) ( )D p IIp D

K s K s KKU s K K s E s E ss s

+ + = + + =

Παράδειγμα:

( )( )1 2

mKs sβ β+ +r I

p DKK K ss

+ ++ -

yue

( )( )( ) ( )

( ) ( )

2

21 2

2

3 21 2 1 2

( )( )

( )( )

m D p I

m D p I

m D m p m I

m D m p m I

K K s K s KY sR s s s s K K s K s K

K K s K K s K KY sR s s K K s K K s K K

β β

β β β β

+ +=

+ + + + +

+ +=

+ + + + + +

Μπορούμε να τοποθετήσουμε τους πόλους οπουδήποτε

Π.χ. επιθυμητό χαρακτηριστικό πολυώνυμο: 3 2( ) 3 3 1d s s s s= + + +

1 2 1 21 3 3, ,I p Dm m m

K K KK K K

β β β β− − −⇒ = = =