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Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2

As anotações, fotos, gráficos e tabelas contidas neste texto,foram retiradas dos seguintes livros:

- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Ferdinand P. Beer- E. Russel Johnston Jr.

Ed. PEARSON - 3ª edição – 1995

- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - R. C. HibbelerEd. PEARSON - 5ª edição – 2004

Parte 03:

Torção;- Definição;- Deformação por torção;- Tensão e ângulo de torção no regime elástico:

-- Em barra circular de seção uniformesob momento de torção na extremidade;

-- Em barra circular de seção variável sob momentosde torção aplicados ao longo do eixo central da barra

-- Em barras sólidas de seção não circular sob momentosde torção aplicados ao longo do eixo central da barra;

-- Em barras e eixos vazados de paredes finas sobmomentos de torção aplicados ao longo do eixo central;


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1 - Definição de TorçãoPeças (barras, eixos, vigas) submetidas

à ação de momentos de torção ou torque (T)tende a torcer em torno de seu eixo centrallongitudinal, conforme mostra a figura 1.

Figura 1: barra sob torção

2 - Deformação por torção de um eixo ou barra circularQuando uma barra ou eixo circular é submetido á torção ou momento de torção:- Todas as seções transversais permanecem planas e indeformadas;- As várias seções transversais ao longo do eixo giram em diferentesângulos, mas como disco sólido e rígido (figura 2);

Figura 2: as seções transversais permanecem planas e indeformadas;

3 - Fórmula de torção A ação de um momento de torção ou torque (T) gera internamente uma

distribuição de tensão de cisalhamento () na seção transversal da barra, ou seja,surge uma variação linear na tensão de cisalhamento ao longo de qualquer linharadial na seção transversal, conforme ilustra a figura 3.

Considerando que o material da barra trabalha no regime elástico a tensão atensão de cisalhamento () em qualquer ponto p distante do eixo central da barracircular é definida:

= . 1

Em que :T = momento de torção ou torque (T) que atua

na seção transversal da barra; = distância do ponto p ao eixo central da barra;

Varia de 0 até c (raio externo)J = Momento de inércia polar da seçãotransversal da barra;

Figura 3: distribuição de tensão de cisalhamento na seçãotransversal da barra circular maciça provocado pelo T

Analisando a equação 1, verifica-se que a tensão de cisalhamento é máxima nasuperfície da barra, ou seja, quando = c, o que permite escrever:

á = . 2

Ponto p


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Para barras e eixos de seção transversal circular maciça, o momento polar deinércia é definido por:

= .

Em que:c = raio externo do círculo;

Figura 4: distribuição de tensão de cisalhamento em barras e

eixos de seção circular maciça;

Para barras e eixos de seção transversal circular vazada, o momento polar deinércia é definido por:

= ( . ) Em que:c = raio externo do círculo;ci = raio interno do círculo;

Figura 5: distribuição de tensão de cisalhamento em barras eeixos de seção circular vazada;

A figura 5 apresentada a distribuição de tensão de cisalhamento (

) de uma barra oueixo de seção circular vazada, de raio interno ci e raio externo c. Do conceito deproporção de triângulo obtém a seguinte relação:

í =

á → í =

á

í =

á 5


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Exemplo1: Uma barra circular vazada de aço inoxidável tem comprimento L = 1,5 m ediâmetros interno e externo respectivamente de 40 e 60 mm. Determine:a) qual é o maior momento de torção que pode ser aplicado à barra, para que a tensãode cisalhamento não exceda 120 MPa?b) qual é o valor mínimo da tensão de cisalhamento para este caso?

Aço inoxidável: E= 190 GPa; G = 73 GPa; e = 152 MPa

Resolução:

ci = 20 mm = 0,02 m

c = 30 mm = 0,03 m

a) T = ? de modo que máx ≤ 120 MPa, ou seja, máx = 120 MPa

- como

máx < e ( tensão de cisalhamento de escoamento)- Portanto ocorrem Tensões no regime elástico:

á = . Nesta equação sabe-se: c = 0,03 m; máx = 120 MPa ,Falta apenas o momento de inércia polar da barra vazada: = ( .( ) ) Jbarra = 1/2 [. ( (c)4 - (ci)4) ] = 1/2 [ . ( (0,03)4 - (0,02)4 ) ] = 1,021 . 10-6 m4

á = . → = á . = 120 . 10 . 1,021 . 10− 0,03 = 4,08 .10 N.m

= 4,08 . N.m = 4,08 kN.m b) A menor tensão de cisalhamento de uma barra vazada ocorre na face interna dabarra, sendo esta a tensão de cisalhamento mínima, a qual é obtida por:í

0,02 =á 0,03

→ í = 0,020,03

120 . 10

→ í = 80 . 10 N.m = 80 MPa í á

0,02

0,03


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Exemplo2: A distribuição de tensão em um eixo circular maciço foi representada em umgráfico ao longo de três linhas radiais arbitrárias como mostra a figura a seguir.Determine o torque interno resultante na seção transversal;

T = ?- Devido ao torque interno resultante surge uma distribuição de tensão de cisalhamentoilustrada na figura acima, onde o valor máximo de tensão ocorre na superfície, cujovalor é definido por:

á = .

Portanto:

= á.

Sabe-se:

máx = 56 MPa = 56 . 106 N/m2

c = 50 mm = 0,050 m

= . momento de inércia polar da barra;Jbarra = 1/2 [.c4 ] = 1/2 [ . 0,054 ] = 9,82 . 10-6 m4

= á.

= 56 . 10 . 9,82 . 10−

0,05 = 10998,40 . = 11. 10 . = .


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Exemplo3: Um tubo mostrado na figura a seguirtem diâmetro interno de 80 mm e diâmetro externode 100 mm. Se sua extremidade for apertadacontra o apoio em A usando uma chave em B,determine a tensão de cisalhamento desenvolvidano material nas paredes internas e externa aolongo da parte central do tubo ( C ) quandosão aplicadas forças de 80 N na chave.Indicar a tensão de cisalhamento naparede interna e externa do tubo pormeio de elementos infinitesimaislocalizados nestas paredes; Resolução:- Momento de torção ou Torque gerado pelas forças de 80 N ao longo das seçõestransversais do tubo inclusive na seção C:

T = 80 . 0,3 + 80 . 0,2 = 40 N. m

- Para manter o equilíbrio surge torque interno de igual intensidade e sentidocontrário:

∑ Ty = 0 + 40 – Tc = 0 Tc = 40 N.m

- Determinação da tensão de cisalhamento provocadapor um torque qualquer (T) em qualquer ponto na

seção transversal de uma barra circular: = . T = 40 N.m

= ( . ) = 1/2 [.( (0,05)4 - (0,04)4 ) ] = 5,80 . 10-6 m4

Tensão localizada na parede interna: = 0,04 mTensão localizada na parede externa: = 0,05 m

= . = 40 . 0,045,80 . 10− = 0,276 . 10 / =0,276 MPa

= . =40 . 0,055,80 . 10− = 0,345 . 10 / =0,345 MPa

TTc


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Exemplo4: O projeto original de um eixo de transmissão adotou uma barra vazada comdinterno=100 mm e dexterno=150 mm. O material desta barra possui tensão admissível decisalhamento de 83 MPa. Determine o máximo torque que pode ser transmitido:a) com a barra vazada do projeto original;b) com uma barra maciça de mesmo volume ecomprimento da barra vazada do projeto original;c) com uma barra vazada com diâmetro externo de200 mm e de mesmo volume e comprimento dabarra vazada do projeto original;

Resolução:

a) T = ? de modo que máx ≤ adm = 83 MPa

á = .

ci = 0,050 m; c = 0,075 mJoriginal =1/2 [. ( (c)4 - (ci)4) ] = 1/2 [. ( (0,075)4] - (0,050)4 ) ] = 39,8 . 10-6 m4

. = . ,, .− → = . . , .−

, = . = .

b) T = ? de modo que volume barra sólida sejao mesmo da barra vazada do projeto original:

á = .

Asólida = c2 =

Aoriginal = [(0,075)2 - (0,050)2] = 9,8175 . 10-3 m2 c2 = 9,8175 . 10-3 c = 0,056 m = 56 mmJsólida = 1/2 [.c4] = 1/2 [ . (0,056)4] = 15,45 . 10-6 m4

. = . ,, .− → = . . , . −

, = . = , .

c) T = ? de modo que volume barra vazada sejao mesmo da barra vazada do projeto original:

á = . ci = ?; c = 0,100 m Avazada = [(0,100)2 - (c1)2] = 0,03142 - (c1)2 Aoriginal = 9,8175 . 10-3 m2

0,03142 - (c1)2 = 9,8175 . 10-3 c1 = 0,083 m = 83 mmJvazada = 1/2 [. ( (c2)4 - (c1)4) ] = 1/2 [. ( (0,1)4] - (0,083)4 ) ] = 82,53 . 10-6 m4

á = .

. = . , , .− → = .

. , .−

, = .=, .

2,50 m

150 mm100 mm

Vsólido = Voriginal

Asólida . L = Aoriginal . L Asólida = Aoriginal

Vvazada = Voriginal

Avazada . L = Aoriginal . L Avazada = Aoriginal


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Barras circulares Submetidas á ação de diversos momentos de torção ou torques:Nestes casos, o momento de torção interno ou torque interno bem como o

ângulo de torção são determinados pelo método das seções considerando a seguinteconvenção de sinais:

CONVENÇÃO DE SINAIS: Para realizar o somatórioRegra da mão direita:Polegar saindo da seção: Polegar entrando na seção:

T + (torque positivo) T - (torque negativo) + (ângulo de torção positivo) - (ângulo de torção negativo)

Exemplo5: O eixo circular no trecho central BC é vazado, e tem diâmetros de 90 mm e120 mm, respectivamente interno e externo. Os eixos AB e CD são maciços, comdiâmetro d. Determine, para o carregamento indicado:a) o valor máximo e o valor mínimo da tensão de cisalhamento no trecho BC;b) qual o diâmetro necessário nos trechos AB e CD se a tensão admissível no materialé 65 MPa.

Resolução:- Método das seções para traçar o diagrama de torção ao longo da barra ABCD:

Analisando da esquerda direita:T Ad = - 6 kN.mTBe = - 6 kN.mTBd = - 6 -14 = - 20 kN.mTCe = - 20 kN.mTCd = - 20 + 26 = 6 kN.mTDe = + 6 kN.m A B C D

Torque (kN.m)

T AB = - 6 kN.m

TBC = - 20 kN.m

TCD = + 6 kN.mL (m)


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a) máx = ? e mín = ? do trecho BC

á = .

e í =

á

Jbarra = 1/2 [. ( (c)4 - (ci)4) ] = 1/2 [.( (0,06)4 - (0,045)4 ) ] = 13,921 . 10-6 m4

á = . =20 . . 0,0613,921 . − = 86,20 . N . = 86,20 MPa

í = á =0,045

0,06

86,20 = 64,7 MPa

b) d AB = ? e dCD = ? de modo que máx ≤ adm = 65 MPa

- como máx < e ( tensão de cisalhamento de escoamento)- Tensões no regime elástico o que permite utilizar a equação:

á = . para calcular o diâmetro necessário dos trechos AB e CD:

- Como: | T AB | = | TCD | = 6 kN.m ambos os trechos terão o mesmo diâmetro;

- Nos trechos AB e CD o eixo circular é maciço, portanto: JEIXO = Jcírculo

- Jcírculo = 1/2 [ . (c)4]

Substituindo: máx , T e J na equação: á = .

á = . → . = . .

/ . → . = .

/ .

= .

/ . . → = .

/ . . = , .−

= √

, . − → = , = , → = . = ,


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Exemplo6: O eixo mostrado na figura a seguir está apoiado em dois mancais e sujeito atrês torques. Determine a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos 1 e 2localizados na seção s-s. Representar o estado de tensão nos pontos 1 e 2 porelementos infinitesimais de volume.

Resolução:- Método das seções para traçar o diagrama de torção ao longo da barra ABCD: Analisando da esquerda direita:

T Ad = 0 kN.mmTBe = 0 kN.mmTBd = - 4250 kN.mmTCe = - 4250 kN.mmTCd = - 4250 + 3000 = - 1250 kN.mmTDe = - 1250 kN.mmTDd = - 1250 + 1250 = 0 kN.mmTEe = 0 kN.mm

A seção s-s está no trecho CD T = 1250 kN.mm

1 = ? e 2 = ? = .

- 1 = 75 mm = 0,075 m ; 2 = 15 mm = 0,015 m- Jbarra =1/2 [. c4 ] = 1/2 [. 0,0754] = 49,70 . 10-6 m4

= . = . ,

, . − = , . / =,

= . = . ,, . − = , . =,

OBS: Esquerda direita Esquerda Direita

Ponto 1:

Ponto 2:

1

2

s

s

A B C D E

Torque (kN.mm)

TBC = - 4250 kN.mm

TCD = - 1250 kN.mmT AB = 0

A

B

C

D

E

TDE= 0

1,89 MPa

0,38 MPa

L (mm)

1

2


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Exemplo7: A tensão de cisalhamento admissível é de 103 MPana barra de aço AB de 38,1 mm de diâmetro e 55 MPa nabarra de latão BC de 45,7 mm de diâmetro. Desprezando oefeito de concentrações de tensão, determine o maior valorpara o torque T que pode ser aplicado.

Resolução:- Método das seções para traçar o diagrama de torçãoao longo da barra ABC:

Analisando de cima baixo:

T Ai = - T kN.mTBs = - T kN.m

TBi = - T + 2,5 T = + 1,5 T kN.mTCs = + 1,5 T kN.m

Trecho AB: TAB = T = ?

á = . = á.

Sabe-se: máx = 103 MPa = 103 . 106 N/m2

c = d/2 = 38,1/2 = 19,05 mm = 0,01905 m


= = á. = 103 . 10 . 2,069 . 10−

0,01905 1,12 . 10 . = , . = , . Trecho BC: TBC = 1,5 T = ?

á = . = á.

Sabe-se:

máx = 55 MPa = 55 . 106 N/m2

c = d/2 = 45,7/2 = 22,85 mm = 0,02285 m


= , = á. = 55 . 10 . 4,282 . 10−

0,02285 =1,03 . 10 .= , ., = , . =, .Comparando os valores limites para T de cada trecho, verifica-se que o valor máximopara o torque: T = 0,687 kN.m

A

B

Torque (kN.m)

T AB= - T

T

2,5 T

aço

latão

L (m)

C

T AB= + 1,5 T


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Exemplo8: Dois eixos maciços de aço estão acoplados pelas engrenagens mostradasna figura. Eixo AB está apoiado no mancal A que permite livre rotação e o eixo CD estáfixo em D, o que impede o giro livre dos eixos. Sabendo-se que a tensão decisalhamento de ruptura é de 110 MPa, determine: o maior torque que To que pode seraplicado considerando um fator de segurança de 2,0;

Resolução:- T0 = ? Para que a tensão de cisalhamento máxima na

barra AB e na barra CD adm =110/2 = 55 MPa

- Na barra AB: T AB = T0 - Na barra CD: TCD = ?

- Lembrando do conceito de momento de torção ou torque:T = F. r

T AB = T0 T0 = F1 . 0,022 F1 = T0/0,022

TCD = ? TCD = F1 . 0,062 TCD = (T0/0,022) . 0,062 TCD = 2,82T0

- Com o torque nas barras definidos em função de T0, o maior valor para T 0pode ser determinado:

T AB = T0 TCD = 2,82T0

900 mm

650 mm

25 mm

19 mm

62 mm22 mm

r C r B

C BF1

F1


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- barra AB:

á = . = á.

→ = = Sabe-se: máx = 55 MPa = 55 . 106 N/m2

c = d/2 = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m


= á. = . 10 . 1,28 . 10−

0,0095 = 74,11 .

= = = 74,11 .

= , .

- barra CD:

á = . = á.

→ = = , Sabe-se: máx = 55 MPa = 55 . 106 N/m2

c = d/2 = 25/2 = 12,5 mm = 0,0125 m


= á. = . 10 . 3,83 . 10−

0,0125 = 168,52 .

= = , = 168,52 . , = 168,52 . = , .

Para que a tensão na barra AB não ultrapasse 55 MPa T0 = 74,11 N.mPara que a tensão na barra CD não ultrapasse 55 MPa T0 = 59,76 N.m

Portanto, para a tensão de 55 MPa não seja ultrapassada nas duas barras omaior valor para T0 é 59,76 N. m;


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Exemplo9: Um torque de intensidade T = 120 kN.m éaplicado ao eixo AB do trem de engrenagem mostrado.Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível paraos três eixos sólidos é de 75 MPa, determine:

a) o diâmetro necessário de cada eixo AB; CD; EF;b) a intensidade e o sentido (horário ou anti-horário)da força F que deve ser aplicada sobre odisco dentado do eixo EF para que o tremde engrenagem fique em equilíbrio estático;

Resolução:

a)1- Determinar o toque em cada eixo do tremEixo AB: T AB = 120 kN.mEixo CD: TCD = ? kN.mEixo EF: TEF = ? kN.m

TORQUE: T = F. r

T AB = 120 kN.m = F1 . r B 120 = F1 . 0,025 F1 = 120/0,025 = 4800 kN

TCD = ? kN.m = F1 . r C TCD = 4800 . 0,060 = 288 kN.m

TCD = 288 kN.m = F2 . r D 288 = F2 . 0,030 F2 = 288/0,030 = 9600 kN

TEF = ? kN.m = F2 . r E TEF = 9600 . 0,075 = 720 kN.m

r E r D

r C r B

E

D

CB

F1F1

F1

F2

F2

F2

TCD

TEFD


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2 - Conhecido os torques os diâmetros podem ser determinados:

d AB = ? de modo que máx ≤ adm = 75 MPa

á = . ; T AB = 120 kN.m ; c = r ; Jcírculo = 1/2 [ . (c)4] = 1/2 [ . (r)4]

á = . → . = . . / . → . =

. . , .

. = , .

→ =, .

. → = , = ,

dCD = ? de modo que máx ≤ adm = 75 MPa

á = .

; TCD = 288 kN.m ; c = r ; Jcírculo = 1/2 [ . (c)4] = 1/2 [ . (r)4]

á = . → . = . . / . → . =

. . , .

. = , .

→ =, .

. → = , = ,

dEF = ? de modo que máx ≤ adm = 75 MPa

á = . ; TEF = 720 kN.m ; c = r ; Jcírculo = 1/2 [ . (c)4

] = 1/2 [ . (r)4

]

á = . → . = . . / . → . =

. . , .

. = , .

→ =, .

. → = , = ,

b) Para o trem de engrenagem ficar em equilíbrio estático deve ser aplicado sobre o

disco dentado do eixo EF uma força F = F2 = 9600 kN no sentido HORÁRIO


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4 - Ângulo de torção () no regime elásticoPara uma barra circular sujeita à ação de

um momento de torção ou torque (T) aplicado emuma das suas extremidades, as seções transversaissofrem uma rotação, ou seja, apresentam umângulo de torção, conforme mostra a figura 6;

Figura 6: Ângulo de torçãoProduzido por um torque;

Para barras e eixos de seção circular CONSTANTE submetido à ação de umtorque aplicado em sua extremidade, o ângulo de torção é definido por:

= . . (em radianos) (6) Em que:T = Torque aplicado na barra;L = comprimento da barra;J = momento polar de inércia da seção transversal da barra;G = módulo de elasticidade ao cisalhamento;

Se a barra ou eixo de seção circular CONSTANTE estiver sujeita a diversosmomentos de torção ou torques, conforme mostra a figura 7, o ângulo de torção dado

pela equação (6) é escrita da seguinte forma: = ∑ . . (em radianos) (7)

O ângulo de torção é dado pelasoma do ângulo de cada trecho da barra.

Figura 7: Ângulo de torçãoProduzido por váriosTorque aplicados;

Para determinar este ângulo é necessário estabelece uma convenção de sinais:

CONVENÇÃO DE SINAIS: Para realizar o somatórioRegra da mão direita:Polegar saindo da seção: Polegar entrando na seção:

T + (torque positivo) T - (torque negativo) + (ângulo de torção positivo) - (ângulo de torção negativo)


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Exemplo10: a)Que valor de momento de torçãodeve ser aplicado à barra circular do Exemplo1,de modo que o ângulo de torção produzido naextremidade A seja de 20 ?;b) Que ângulo de torção provoca uma tensão decisalhamento de 70 MPa na face interna da barra? Aço inoxidável: E= 190 GPa; G = 77 GPa;

Resolução:a)T = ? de modo que o ângulo de torção da barra seja: ∅ = A/B = A = . . (em radianos)

- Porém, antes de calcular este T é necessário determinar: J =?J = ? Momento polar da barra vazada:

Jbarra = 1/2 [. ( (c2)4

] - (c1)4

) ] = 1/2 [. ( (0,03)4

] - (0,02)4

) ] = 1,021 . 10-6

m4

OBS: Lembrando que o ângulo de torção é calculado em radianos: 2 radianos = 3600 x = 20 x = 34,9 x 10-3 rad

A = . . → = A . .

=34,9 . 10−3 . 1,021 . 10−6 . 77. 109

1,5 = 1,829 . 103 N.m = 1,83 . k N.m

b) = ? de modo que a tensão na face interna do barra circular: = 70 MPa - O ângulo de torção é determinado por: A = . .

- Porém, antes de calcular este ângulo é necessário determinar: T =?T=? produz na face interna da barra uma tensão: = 70 MPa

- A tensão de cisalhamento () de qualquer ponto distante do eixo central dabarra circular provocado por momento de torção T pode ser calculada por:

= .

Nesta equação sabemos: = 70 MPa ; = = 0,02 ; J=1,021 . 10 - 6 m4

. = . ,, .− → = . . , .−

, → = , .

- Agora o ângulo produzido para esta tensão na face interna vale:

A = , . ,1,021 . 10-6 . . = 68,18 . − rad = ,9


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Exemplo11: Determine o ângulo de torção da extremidade A do eixo AE e odeslocamento do dente P da engrenagem A. Supondo que o material das engrenagense do eixo tenha as seguintes tenha módulo de elasticidade de cisalhamento outransversal G = 80 GPa. O eixo possui 14 mm de diâmetro, a engrenagem A possui100 mm de raio. O eixo gira livremente no mancal (ponto de apoio) em B.

Resolução:- Método das seções para traçar o diagrama de torção ao longo da barra ABCD:

Analisando da esquerda direita:T Ad = +150 N.mTCe = +150 N.mTCd = + 150 - 280 = -130 N.mTDe = - 130 N.mTDd = - 130 - 40 = - 170 N.mTEe = - 170 N.m

a)Como o eixo é feito de um único material e possui seção constante, em cada trecho doeixo J e G serão os mesmos em todos os trechos:

Jbarra = 1/2 [. (c)4] = 1/2 [. (0,007)4] = 3,77 . 10-9 m4

G = 80 . 109 N/m2

A = ∑ .

. = + .,

,.−

. . +

. ,

,.−

. . +

.,

,.−

. .

A = 0,212 rad =, Pela regra da mão direita a extremidade A do eixo gira no sentido, ilustrado abaixo:

Valor negativo: polegar entrando na seção;

A BD E

Torque (N.m)

TCD = - 130 N.m

T AC = +150 N.m

TDE= - 170 N.m

L (m)C


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b) O deslocamento do dente P da engrenagem A é dado por:

dp = PP’ = ? Lembrando que para ângulos pequenos: sen = e tg = INSERIR SEMPRE O ÂNGULO NO S.I EM RADIANOS

A = ′ → ′ = A . = 0, 212 .100 mm = 21,2 mm dP = PP’ = 21,2 mm

P

r

P’


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Exemplo12: O eixo horizontal AD está engastado a uma base rígida em D e submetidoaos torques mostrados na figura a seguir. O eixo é vazado no trecho CD. Sabendo queo eixo é feito de aço com G = 77 GPa, determine o ângulo de torção da extremidade A.

Resolução:- Método das seções para traçar o diagrama de torçãoao longo da barra ABCD:

Analisando da direita esquerda:T Ae = - 250 N.m

TBd = - 250 N.mTBe = - 250 - 2000 = - 2250 N.mTCd = - 2250 N.mTCe = - 2250 N.mTDd = - 2250 N.m

Como o eixo é feito de um único material, porém possui seção diferente em cadatrecho. Portanto, cada trecho possui um J diferente:

Trechos:JAB = 1/2 [. (c)4] = 1/2 [. (0,015)4] = 0,0795 . 10-6 m4 JBC = 1/2 [. (c)4] = 1/2 [. (0,030)4] = 1,272 . 10-6 m4 JCD = 1/2 [. ( (c2)4] - (c1)4) ] = 1/2 [. ( (0,030)4] - (0,022)4) ] = 0,904 . 10-6 m4

G = 77 . 109 N/m2

A = ∑ . . = . ,

,.−. . + . ,

,.−. . + . ,

,.−. .

A = 0,0403 rad =, Pela regra da mão direita a extremidade A do eixo gira no sentido, ilustrado abaixo:

Valor negativo: polegar entrando na seção;

D B A

Torque (N.m)

TBC = - 2250 N.mTCD = - 2250 N.m

T AB = - 250 N.m

L (m)C


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21

5 - Torção em barras sólidas de seção não-circularPara estas barras verifica-se que ao serem submetidas à momentos de torção a

seção transversal apresentam uma distribuição de tensão de cisalhamento, conformeilustra a figura a seguir

Em barras ou eixos de seção não circular submetidos à ação detorques verifica-se o seguinte comportamento:

- A tensão de cisalhamento varia de zero até um valor máximo ao atingirsobre uma das faces, conforme indicado na figura (a);

- Pontos localizados nos vértices ou ao longo das arestas longitudinaispossuem tensão de cisalhamento nula, conforme indicado nas figuras (a) e (c );

Por meio de ensaios experimentais e da Teoria da elasticidade determinou-separa algumas seções não-circulares equações que fornecem o valor da tensão decisalhamento máxima e o valor do ângulo de torção, apresentadas na tabela a seguir.

a

b

a/b = 1,51

c1 =?

c2 =?

interpolação

a/b c1 c2 1,0 0,208 0,14061,2 0,219 0,16611,5 0,231 0,19582,0 0,246 0,2292,5 0,258 0,2493,0 0,267 0,2634,0 0,282 0,2815,0 0,291 0,29110,0 0,312 0,333

T T . L

C1ab2 C2ab3G

Retangular máx


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22

Se barra estiver sujeita a diversos momentos de torção ou torques o ângulo de torçãodado pelas equações apresentadas na tabela acima é escrita da seguinte forma:

Barras de seção quadrada:

= ∑ , . . . (em radianos) (8)

Barras de seção triangular:

= ∑ . . . (em radianos) (9)

Barras de seção elíptica:

= ∑ + . . . . . (em radianos) (10)

Barras de seção retangular:

= ∑ . . . . (em radianos) (11)


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23

Exemplo13: Determine o maior momento de torção T quepode ser aplicado na extremidade do eixo feito dealumínio (G = 26 GPa) se a tensão de cisalhamentoadmissível é adm = 55,15 MPa e o ângulo de torçãoem sua extremidade é limitado a um valor máximo deadm = 0,02 rad. Qual momento de torção T poderia ser

aplicado a um eixo de seção transversal circular maciça,de mesmo volume e comprimento, considerando o mesmolimite de ângulo de torção em sua extremidade dado poradm = 0,02 rad; Obs: triângulo eqüiláteroResolução:De acordo com a tabela anterior o momento de torçãopode ser determinado pelas seguintes equações:

= 20 . =46 . .

55,15 .10 = 20 . 0,0381 → = 55,15 .10 .0,0381 20 → = 152,51 .

0,02 = 46 . 1,250,0381 . 26 . 10 → = 0,02 . 0,0381 . 26 . 10

46 . 1,25 → = 19,1 .

Comparando-se os valores, verifica-se que o momento de torção para não ultrapassara tensão limite e o ângulo de torção limite, T não pode ser maior que 19,1 N.m

T = ? eixo circular de mesmo volume e comprimento do eixo triangularVcircular = Vtriangular

Acírculo . L = Atriângulo . L

Acírculo = Atriângulo B= 38,1/2 = 19,05 mmAtriângulo = 2 [ 1/2 . H . B]

tg 600 = H/ B 1,7321 = H/ 19,05H = 1,732 . 19,05 = 33,0 mm

Atriângulo = 2 [ 1/2 . H . B] = 2 [ 1/2 . 33,0 . 19,05 ] = 628,65 mm2 Acírculo = Atriângulo r 2 = 628,65 r = 14,15 mm

= . = . .c = 14,15 mm = 0,01415 mJbarra = 1/2 [.c4 ] = 1/2 [ . 0,014154 ] = 6,30 . 10-8 m4

55 . 15 = .0,014156,30 . 10− → =55,15 .10 . 6,30 .10−

0,01415 → = 245,54 .

0,02 = . 1,25

6,30 . 10−

. 26 . 10 → =

0,02 . 6,30 .10− . 26 . 10

1,25

→ = 26,21 . Comparando-se os valores, verifica-se que o momento de torção para não ultrapassara tensão limite e o ângulo de torção limite, T não pode ser maior que 26,21 N.m

1,25 m

38,1 mm

600

H=?

B B

38,1 mm


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Exemplo14: Determine o maior momento de torção Tque pode ser aplicado sobre o eixo maciço feito deaço com tensão de cisalhamento admissíveldada por adm = 69 MPa e o ângulo de torção emsua extremidade é limitado a um valor máximode adm = 1,50. Sabendo que b = 20 mm e queG = 77 GPa;

Resolução:De acordo com a tabela anterior o momento de torçãopode ser determinado pelas seguintes equações:

= =.

.

a = 30 mm;b = 20 mma/b = 30/20 = 1,50 tabela fornece: c1 = 0,231 e c2 = 0,1958

= 1,500 2rad - 3600 x - 1,50

x = 1,50 . 2rad / 3600 = 0,026 rad

69 . 10 = 0,231 . 0,030 . 0,020 → = 69 . 10 . 0,231 . 0,030 . 0,020 → = 191,27 .

0,026 = . 0,750,1958 . 0,030 . 0,020 . 77 . 10

= 0,026 . 0,1958 . 0,030 . 0,020

. 77 . 10

0,75 =125,43 .

Comparando-se os valores, verifica-se que o momento de torção para não ultrapassara tensão limite e o ângulo de torção limite, T não pode ser maior que 125,43 N.m


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Exemplo15: Determine o maior momento de torção T que pode ser aplicado na barramaciça de seção transversal retangular se a tensão de cisalhamento admissível é dadapor adm = 55 MPa e o ângulo de torção em sua extremidade é limitado a um valormáximo de adm = 2,50. Sabendo que G = 26 GPa.

Resolução:- Método das seções para traçar o diagrama de torção ao longo da barra ABC:

Analisando da esquerda

direita:T Ad = - T N.mTBe = - T N.mTBd = - T + 2,75 T = 1,75T N.mTCe = + 1,75T N.m

Para barra de seção retangular sob ação de vários torques:

pode ser determinado pelas seguintes equações: = =

. .

a = 150 mm; b = 100 mma/b = 150/100 = 1,50 tabela fornece: c1 = 0,231 e c2 = 0,1958 = 2,500 2rad - 3600

x - 2,50 x = 2,50 . 2rad / 3600 = 0,044 rad

55 . 10 = 1,75 T

0,231 . 0,15 . 0,10 → T = 55 . 10 . 0,231 . 0,15 . 0,10

→ = 10,89 .10.

0,044= T . 2,00,1958 . 0,15 . 0,10 . 26 . 10 ++ 1,75 T . 3,0

0,1958 . 0,15 . 0,10 . 26 . 10

0,044 =2,62 .10− + 6,87 . 10− → = 0,0444,25 . 10− = 10,35 . 10.

Comparando-se os valores, verifica-se que o momento de torção para não ultrapassara tensão limite e o ângulo de torção limite, T não pode ser maior que 10,35 . 103 N.m

T

2,75 T

A C

Torque (N.m)

T AB = - T

TBC = +1,75 T

L (m)B


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6 - Torção em barras (tubos) e eixos vazados de paredes finas

Para estas barras (tubos) e eixos vazados de paredes finas,verifica-se que ao serem submetidos à ação de momentos de torçãoapresentam em qualquer ponto da parede fina umatensão de cisalhamento média, cujo valor é dado por:

é = . (12)

Onde:méd = tensão de cisalhamento média que atua sobre a espessura do tubo,T = momento de torção aplicado sobre o tubo;t = espessura da parede do tubo;Am = área média compreendida no interior da linha de centro da espessura do tubo.

O ângulo de torção barras (tubos) e eixos vazados de paredes finas édeterminado por meio do método de energia, o qual fornece a seguinte expressão se omaterial do tubo comporta-se de maneira linear elástica:

∅ = . . . ∮ (13)

Para barras (tubos) e eixos vazados de paredes finas de espessura constante(t), a equação (13) pode ser escrita da seguinte forma:

∅ =

. . .

∮ (14)

Onde:

→ a integral é calculada ao longo da linha limite d áre médi , ou sej , integr l represent ocomprimento dest linh limite

= comprimento d linh limite Exemplos:

Ex1: Ex2

: =

, . , + .

, . , +

, .,

: =

, ., +

, . ., + . . ,

0,30 m

0,20 m

0,08 m

0,04 m0,02 m

0,18 m

0,24 m

0,50 m

0,45 m0,05 m

0,10 m

0,20 m0,25 m

0,40 m

0,45 m

0,225 m

Comprimento docírculo: 2r

0,02 m


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Se barras (tubos) e eixos vazados de paredes finas com espessura constante (t) estãosob a ação de vários torques em cada trecho o ângulo de torção é definido por:

∅ = ∑ . . . ∮ (15) Por exemplo: o tubo possui três trechos sob diferentes torques: AB, BC, CD, Assim, para este tubo a equação (15) deve ser aplicada para cada trecho, sendo emseguida realizada a soma destes valores;


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Exemplo16: O tubo CD é feito de alumínio (G = 26 GPa) e tem seção transversalquadrada como mostra a figura a seguir. Se o tubo estiver submetido a um torque de85 N.m, determine:a) a tensão de cisalhamento média no ponto A.Representar o estado de tensão no ponto A pormeio de um elemento infinitesimal de volume.b) o ângulo de torção da extremidade livre C;

Resolução:- Método das seções para traçar o diagrama de torção ao longo da barra CD:

Analisando da esquerda

direita:TCd = + 85 N.mTDe = + 85 N.m

a) A tensão de cisalhamento média em pontos na parede de barras (tubos) e eixosvazados de paredes finas é dada por:

é = . T = 85 N.m O pontos A está trecho CD;t = ? t A = 10,0 mm = 0,01 m

Am = ? área média Am = 50 . 50 = 2500 mm2 = 2500. 10-6 m2

é_ = . , . . − = , . / = ,

b) O ângulo de torção da extremidade C do tubo vale:- Quando o tubo esta sobre a influência de vários torques, o ângulo é dado por:

∅ = 4 . . .1

OBS: ∮ → Comprimento do contorno da Área média

∅ = 85 . 1,54 . 2500.10− . 26 . 10 . [1

0,010 . 4 . 0,050]

∅ = 3,92 . 10−

C D

Torque (N.m)

TCD = +85 N.m

L (m)

1,70 MPa


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Exemplo17: O tubo é feito de bronze C86100 (G=38.10 9 Pa) e tem seção transversalretangular como mostra a figura a seguir, determine:a) a tensão de cisalhamento média nos pontos A e B. Representar o estado de tensãonos pontos A e B por elementos infinitesimais de volume.b) o ângulo de torção da extremidade C;

Resolução:- Método das seções para traçar o diagrama de torção ao longo da barra CDE: Analisando da esquerda direita:

TCd = + 60 N.mTDe = + 60 N.mTDd = + 60 - 25 = + 35 N.mTEe = + 35 N.m

a) A tensão de cisalhamento média em pontos na parede de barras (tubos) e eixosvazados de paredes finas é dada por:

é = . T = 35 N.m Os pontos A e B estão no trecho DE;t = ? t A = 5,0 mm = 0,005 m \\\ tB = 3,0 mm = 0,003 m

Am = ? área média Am = (60 - 1,5 - 1,5 ) . ( 40 - 2,5 - 2,5) = 57 . 35 = 1995 mm2

Am = 1995. 10-6 m2

é_ = . , . . − = , . / = ,

é_ = . , . . − = , .

= ,

Ponto A: Ponto B:

C E

Torque (N.m)

TDE= 35 N.m

TCD = +60 N.m

L (m)D

2,92 MPa1,75 MPa


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30

b) O ângulo de torção da extremidade C do tubo vale:- Como o tubo esta sobre a influência de vários torques, o ângulo é dado por:

∅ =

4 . . . 1

OBS:

1 → Comprimento do contorno da Área média

∅ =60 . 0,5

4 . 1995.10− . 38 . 10 . [1

0,005 . 2 . 0,057 +1

0,003 . 2 . 0,035] + 35 . 1,54 . 1995.10− . 38 . 10 . [

10,005 . 2 . 0,057 +

10,003 . 2 . 0,035 ]

∅ = 6,29 . 10−


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Exemplo18: Um tubo fino é feito de três chapas de aço A-36 (G = 75 GPa) com 5 mmde espessura cada, de modo a formar uma seção transversal triangular como mostra afigura a seguir. Determine o torque máximo T ao qual o tubo pode ser submetido se a

tensão de cisalhamento admissível é adm = 70 MPa e o tubo está restrito a uma torção

de não mais que = 0,008 rad.

Resolução:- Método das seções para traçar o diagrama de torção ao longo da barra CD: Analisando da esquerda direita:

TCd = + T N.mTDe = + T N.m

O momento de torção pode ser determinado pelas seguintes equações:

=

.

= ∑

. . .

∮

T = ?t = ? t = 5,0 mm = 0,005 m Am = ? área média Am = 2 (h .100/2)

h = ? tg 600 = h/100 h = 173,21 mm Am = 2 (173,21.100/2) = 17321,0 mm2 = 17321 . 10-6 m2

70 .10

=T

2 . 0,005 . 17321 .10 − → T = 12,12. 10

N. m = 12,12 kN. m

0,008= . 3,04 . 17321.10− . 75 . 10 . [1

0,005 . 3 . 0,20]

→T =2,0.10 N. m = 2,0 kN. m

Comparando-se os valores, verifica-se que o momento de torção para não ultrapassara tensão limite e o ângulo de torção limite, T não pode ser maior que 2,0 kN.m

C D

Torque (N.m)

TCD = +T N.m

L (m)

h


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3 Lista exercícios1) Um eixo é feito de uma liga de aço com tensãode cisalhamento admissível adm = 84 MPa. Se odiâmetro do eixo for 37,5 mm, determine o torquemáximo T que pode ser transmitido. Qual seria oo torque máximo T’ se fosse feito um furo de25 mm de diâmetro ao longo do eixo? Faça umesboço (rascunho) da distribuição de tensão aolongo de uma linha radial, ou seja, sobre umaseção transversal do eixo em cada caso;

2) O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado paratransferir os torque aplicado às engrenagens. Determine

a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo

3) O eixo tem diâmetro externo de 32 mm ediâmetro interno de 25 mm. Se for submetido aostorques aplicados mostrados a seguir na figura,determine a tensão de cisalhamento máximaabsoluta no eixo. O eixo é livre para girar nos

mancais A e B;

4) O elo funciona como parte do controle do elevador de um pequeno avião. Se o tubode alumínio conectado tiver 25 mm de diâmetro interno e diâmetro externo de 35 mm,determine a tensão de cisalhamento máxima no tubo quando for aplicada a força de

600 N aos cabos. Além disso, faça um esboço (rascunho) da distribuição de tensão aolongo de uma linha radial, ou seja, sobre uma seção transversal do tubo;

C

D


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33

5) O eixo maciço de alumínio tem diâmetro de 50 mm e tensão de

cisalhamento admissível adm = 6 MPa. Considerando T1 = 215 N.m,Determine:a) a tensão de cisalhamento máxima no eixo maciço;

b) a tensão máxima na face interna de um eixo vazado com100 mm de diâmetro externo e com mesmo peso eComprimento do eixo maciço;

6) O motor transmite um torque de 50 N.m ao eixo AB.Esse torque é transmitido ao eixo CD pelas engrenagensem E e F. Determine o torque de equilíbrio T’ no eixo CD

e a tensão de cisalhamento máxima em cada eixo.Os mancais C e D permitem livre rotação dos eixos.Dica: T’= ? torque de equilíbrio, ou seja,

o torque necessário para o conjuntopermanecer estático, imóvel;

7) Para o eixo composto por dois segmentos AB e BC submetido ao

carregamento mostrado na figura, determine os diâmetros d1 e d2exigidos para os segmentos AB e BC respectivamente.Considerar o material do eixo com tensão de cisalhamento

admissível adm = 175 MPa;

8) O eixo de aço A-36 (G= 75 GPa) de 20 mm de diâmetro éSubmetido aos torques mostrados. Determine o ângulo deTorção da extremidade B;

d1

d2


34/36


34

9) O eixo de aço-A36 (G =75 GPa) é composto pelos tubos AB e CD euma seção maciça central BC. Está apoiado em mancais lisosque permitem livre rotação. Para o carregamento aplicadodetermine o ângulo de torção do disco dentado A em relaçãoao disco dentado D. Os tubos têm diâmetro externo de 30 mme diâmetro interno de 20 mm. A seção maciça temdiâmetro de 40 mm;

10) O parafuso de aço A-36 (G =75 GPa) com8 mm de diâmetro está parafusado firmemente ao bloco A.Determine as força conjugadas F que devem ser aplicada

à chave de torque de modo que a tensão de cisalhamento máximano parafuso seja de 18 MPa. Calcule também o deslocamentocorrespondente de cada força F necessário para causar essa tensão.Considerar que a chave de torque seja rígida (não deforme)Dica: calcular o ângulo depois o comprimento do arco;

11) Para o eixo maciço de aço A-36 (G =75 GPa) preso naparede e submetido aos carregamentos de torção mostradosna figura. Determine o ângulo de torção na extremidade livreC do eixo devido a esses carregamentos.

12) O eixo de latão vermelho C83400 (G =37 GPa) com60 mm de diâmetro está submetido aos carregamentosde torção mostrados na figura. Determine a tensão decisalhamento máxima nos trechos AC e BC e o ângulode torção na extremidade A em relação à extremidade B;

13) O eixo de aço tem 300 mm de comprimento e está sendo parafusadoem uma parede com uma chave torque. Determine a máxima tensãode cisalhamento no eixo e o deslocamento que cadaforça conjugada sofre se o valor dasforças conjugadas for F = 150 N,Gaço = 75 GPa.

250 mm

150 mm

150 mm

150 mm


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35

14) Para os casos de barras de seção s-s não circular constante ao longo da barra,conforme mostrado nas figuras a seguir , determine:a) maior momento de torção T que pode ser aplicado se a tensão de cisalhamentoadmissível é dada por adm = 55 MPa e o ângulo de torção em sua extremidade élimitado a um valor máximo de adm = 2,50. Sabendo que G = 26 GPa.b) Determine a tensão de cisalhamento desenvolvida no ponto 1 na seção s-slocalizada no trecho bc. Utilizar o valor de T definido no item a. Representar o estadode tensão no ponto 1 por meio de um elemento infinitesimal de volume.

Caso1) Caso2) Caso3)

a a a

a = 25 mm a = 200 mm a =50 mmseção: s-s seção: s-s seção: s-s b = 20 mm

15) Para os casos de barras de seção s-s não circular constante ao longo da barra,conforme mostrado nas figuras a seguir , determine o valor necessário para adimensão a da seção sabendo que a tensão de cisalhamento admissível é dada poradm = 55 MPa e o ângulo de torção em sua extremidade é limitado a um valor máximode adm = 1,50. Sabendo que G = 26 GPa.


a a a

a = ? a = ? a = ?seção: s-s seção: s-s seção: s-s b = 0,4a

Ts

s2,90T

0,8 m0,6 m

0,4 m

1,2T

aa b

b

T= 200 N.ms

s1,2T

0,8 m

0,6 m

0,4 m

1,9T

aa b

b

1 1

1

ab

c

d


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16) O tubo de parede fina de aço inoxidável 304tem espessura de 10 mm. Se o torque aplicadofor T = 50 N.m, determine a tensão decisalhamento média no tubo;

17) Para cada tubo de parede fina de aço inoxidável de seção transversal s-s constantemostrada nas figuras a seguir, determine:a) O valor máximo de T de modo que tensão de cisalhamento no tubo não ultrapasse103,4 MPa;b) comprimento máximo admissível para tubo de parede fina de modo que os torquesdeterminados no item a não produzam um ângulo de torção na extremidade livre maior

que 1,50

. Adote G = 77,2 GPa;c) Determine a tensão de cisalhamento média desenvolvida no ponto a da seção s-slocalizada no trecho bc. Utilizar o valor de T definido no item a. Representar o estadode tensão no ponto a por meio de um elemento infinitesimal de volume.


seção: s s seção: s s seção: s s

Ts

s

L =?

t = 8 mm

1,5T

0,4L

0,6L

75 mm

a

b

c

3 - resmat ii plll3.pdf

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