3. sistema a controlar -...

Interfaz para el uso de microcontroladores de bajocoste con instrumentación de control estándar

Ensayos de laboratorio

3. Sistema a controlar

3.1. Función de transferencia en tiempo continuoUno de los inconvenientes del controlador SIPART DR20 es su baja velocidad de muestreo, que según el fabricante es una muestra por segundo.

Es por ello que buscaremos un sistema con una constante de tiempo elevada para que pueda ser controlado sin dificultad. Además realizaremos una discretización del sistema empleando un tiempo de muestreo muy pequeño, para que se pueda considerar continuo desde el punto de vista del controlador.

El sistema escogido es un conjunto de dos depósitos en serie como se muestra en la figura. La variable a controlar es la altura del segundo depósito (H2), y la señal de actuación el grado de apertura de la válvula de entrada (X). A continuación se procederá a obtener la función de transferencia del sistema en tiempo continuo.

El llenado de un depósito se rige por la siguiente expresión:

d V (t )dt

=Qe(t )−Q s(t)

Para el caso de un depósito cilíndrico:

V (t )=Π⋅R2⋅H (t )

d V (t )dt

=Π⋅R2⋅d H (t )dt

El caudal de salida del depósito sigue la ley de Torricelli:

Q s(t)=Ao⋅C v⋅√2⋅g⋅H (t )=K⋅√H (t )

De esta forma, la ecuación del primer depósito queda definida por:

José María Fernández Olmo Página 7 de 20

Versión: 2.00 Fecha de Actualización: 27/12/2012

Figura 6: Sistema



Π⋅R12⋅d H 1(t )

dt=R⋅X (t )−K1⋅√H 1(t )

Para el segundo depósito:

Π⋅R22⋅d H 2(t)

dt=K1⋅√H 1(t)−K 2⋅√H 2(t )

Se observa que ambas ecuaciones no son lineales, por lo que procederemos a linealizar ambas ecuaciones entornos a un punto de trabajo H2eq.

En régimen estacionario:

0=K 1⋅√H 1 eq−K2⋅√H 2 eq → H 1 eq=K 22

K 12⋅H 2eq

0=R⋅X eq−K 1⋅√H 1eq → X eq=K 2⋅√H 2eq

R

Para el primer depósito:

f ( H 1(t ) , H 1(t ) , X (t ))=Π⋅R12⋅d H 1(t )

dt−R⋅X (t )+K 1⋅√H 1(t )

∂ f∂ H 1(t )

⋅( H 1(t )− ˙H 1eq)+∂ f

∂ H 1(t )⋅(H 1(t)−H 1eq)+

∂ f∂ X (t)

⋅(X (t )−X eq)=0

Π⋅R12⋅( H 1(t )− ˙H 1eq)+

K 1

2⋅√H 1eq

⋅(H 1(t )−H 1eq)−R⋅(X (t)−X eq)=0

Realizando un cambio de variable:

α(t )=X (t )−X eq

β(t )=H 1(t )−H 1 eq

Π⋅R12⋅β(t )+

K 1

2⋅√H 1eq

⋅β(t )−R⋅α(t )=0

Mediante la transformada de Laplace:

Π⋅R12⋅S⋅β(S)+

K12⋅√H 1 eq

⋅β(S )−R⋅α(S )=0





La función de transferencia para el primer depósito queda:

G1(S)=β(S)α(S )

=

2⋅R⋅K 2⋅√H 2 eq

K 12

2⋅Π⋅R12⋅K2⋅√H 2 eq

K12 ⋅S+1

De forma análoga para el segundo depósito:

f ( H 2(t) , H 2(t ) , H 1(t ))=Π⋅R22⋅d H 2(t )

dt−K 1⋅√H 1(t )+K 2⋅√H 2(t )

∂ f∂ H 2(t )

⋅( H 2(t )− ˙H 2eq)+∂ f

∂H 2(t)⋅(H 2(t )−H 2eq)+

∂ f∂ H 1(t )

⋅(H 1(t )−H 1 eq)=0

Π⋅R22⋅( H 2(t )− ˙H 2eq)+

K 2

2⋅√H 2eq

⋅(H 2(t )−H 2eq)−K 1

2⋅√H 1eq

⋅(H 1(t )−H 1eq)=0

Realizando un cambio de variable:

β(t )=H 1(t )−H 1 eq

γ(t )=H 2(t)−H 2 eq

Π⋅R12⋅β(t )+

K 1

2⋅√H 1eq

⋅β(t )−R⋅α(t )=0

Mediante la transformada de Laplace:

Π⋅R22⋅S⋅γ(S )+

K 2

2⋅√H 2 eq

⋅γ(S )−K 1

2⋅√H 1eq

⋅β(S)=0

La función de transferencia queda:

G2(S )=α(S)β(S )

=

K 12

K 22

2⋅Π⋅R22⋅√H 2 eq

K 2

⋅S+1

Particularizaremos las expresiones para un caso concreto, en el que supondremos unos depósitos de grandes dimensiones y una altura máxima de 2,5 metros. El punto de trabajo





para la linealización lo supondremos sobre la mitad de la altura, es decir, 1 metro de altura.

R1=R2=3mH 2eq=1m

K 1=A1⋅CV⋅√2⋅g=Π⋅0,152⋅0,9⋅√2⋅9,8=1,12m5 /2/ sK 1=A2⋅CV⋅√2⋅g=Π⋅0,102⋅0,9⋅√2⋅9,8=0,5m5 /2/ sR=0,03m3/ s

Obtenemos las siguientes funciones de transferencia, correspondiente a un sistema de segundo orden.

G1(S)=0,023722,3⋅S+1

G2(S )=5,06

225,6⋅S+1

G(S)=G1(S )⋅G2 (S )

3.2. Parámetros de sintonización del PIDA continuación debemos obtener los parámetros de sintonización del PID. Para ello emplearemos las reglas propuestas por Ziegler-Nichols y Cohen-Con, basados en la respuesta del sistema en lazo abierto ante un escalón en la entrada:





Emplearemos el método de la tangente, como se observa en la figura:

T=1,5⋅(t2−t1)=1,5⋅(250,5−99,25)=226,88L=t2−T=250,5−226,88=23,63

La ganancia estática es K=0,1197



Figura 7: Respuesta lazo abierto



De donde obtenemos:

3.3. Discretización del sistema e implementaciónPara poder implementar el sistema en el microcontrolador debemos discretizar la función de transferencia del sistema y obtener la ecuación en diferencias. Para ello usaremos las funciones que dispone Matlab. Tomaremos un tiempo de muestreo de 100 ms, 10 veces más rápido que el tiempo de muestreo del Sipart DR20. Suponiendo un mantenedor de orden cero, obtenemos la siguiente función de transferencia:

G(Z )=1.1887e-07⋅Z+1.1868e-07

Z 2−1.9951⋅Z+0.9951

Modificamos la función de transferencia para poder obtener la ecuación en diferencias:

G(Z )=1.1887e-07⋅Z−1v+1.1868e-07⋅Z−2

1−1.9951⋅Z−1+0.9951Z−2

=H (Z )

X (Z )

H (Z )−1.9951⋅Z−1⋅H (Z )+0.9951⋅Z−2

⋅H (Z)=1.1887e-07⋅Z−1⋅X (Z )+1.1868e-07⋅Z−2

⋅X (Z)

Antitransformando:

H (K )=1.9951⋅H (K−1)−0.9951⋅H (K−2)+1.1887e-07⋅X (K−1)+1.1868e-07⋅X (K−2)





Esta expresión es la que implementaremos en nuestro microcontrolador. A través del periférico Timer1 que dispone el Atmega328 generaremos una señal de interrupción con una frecuencia correspondiente a la frecuencia de muestreo (100ms) del sistema, en la que se llevan a cabo las siguientes acciones:

• Leer la señal de actuación X(K) procedente del PID empleando la tarjeta de entradas analógicas.

• Calcular H(K) según la expresión anterior.

• Aplicar la señal H(K) a través de una salida de la tarjeta de salidas analógicas.

• Actualizar: X(K-2)=X(K-1); X(K-1)=X(K); H(K-2)=H(K-1); H(K-1)=H(K),

• Esperar siguiente interrupción del Timer1.



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