43

Mnoge konstrukcije ili dijelovi konstrukcija sadrže elemente koji imaju jednu dimenziju

znatno veću od preostale dvije dimenzije koje su istog reda veličine. Primjer su mostovi,

antenski stubovi, krovne konstrukcije, itd. Takvi trodimenzionalni elementi nazivaju se

štapovi ili grede. Veća dimenzija štapa ili grede naziva se aksijalnom ili longitudinalnom

dimenzijom, dok preostale dvije dimenzije istog reda veličine su transferzalne dimenzije.

Grede prvenstveno nose lateralno opterećenje i glavni im je zadatak da se suprotstavljaju

momentima savijanja i transferzalnim silama. Za razliku od greda, štapovi su izloženi samo

silama u pravcu longitudinalne ili aksijalne dimenzije.

Štapovi su jedan od najjednostavnijih i najčešćih elemanata konstrukcija. Konstrukcije

sastavljene od štapova kao elemenata koji prvenstveno trpe aksijalne sile nazivaju se

rešetke. Štapovi u rešetci mogu biti međusobno vezani zakovicama, vijcima, zavareni ili

zglobno vezani, slika 3.1. Razlikuju se prostorne i ravanske rešetke. Kod ravanskih rešetki ose

svih štapova kao i opterećenje leže u jednoj ravni. Ravanske rešetke se najčešće koriste kao

dijelovi krovnih ili mostovskih konstrukcija, slika 3.2.

MKE u analizi štapova i rešetki

44

Slika 3.1 Veze između štapova rešetke: veza zakovicama (a) i zglobna veza (b)

(b) (a)

Da bi se dizajnirali štapovi rešetke, kao i elementi kojima se ostvaruje veza između štapova

rešetke, potrebno je odrediti sile u štapovima rešetke. Prilikom dizajna rešetke pretpostavlja

se da su štapovi u rešetci međusobno vezani zglobnim vezama sa odsustvom trenja, i da je

opterećenje na rešetku isključivo na mjestu spojeva štapova. Na osnovu ovih pretpostavki

slijedi da su štapovi rešetke opterećeni aksijalnim silama (na pritisak ili zatezanje). Na slici

3.2(a) prikazan je fizikalno realan model dijela krovne konstrukcije, a na slici 3.2(b) dat je

model za dizajn rešetke u kojem su veze štapova aproksimirane zglobnim vezama, veze

krovne konstrukcije sa osnovom aproksimirane pokretnim i nepokretnim osloncem, a

opterećenje na plašt krova zamijenjeno je ekvivalentnim opterećenjem koje djeluje na

mjestu spojeva štapova.

Slika 3.2 Fizikalno realan model krovne konstrukcije (a) i pripadajući matematski model ravne rešetke (b) i primjer ravne rešetke (c)

(a)

(b) (c)

45

Kada su štapovi u rešetci međusobno vezani zakovicama, vijcima ili zavareni, aproksimacija

njihove međusobne veze zglobnim vezama je u većini slučajeva opravdana. Pojava

takozvanih sekundarnih napona u štapovima rešetke usljed savijanja štapova moguća je u

slučaju kada opterećenje ne djeluje isključivo na mjestu spojeva štapova, kada se ose

štapova koji su u međusobnoj vezi ne sjeku u jednoj tački (pojava ekscentriciteta), veoma

krute veze spoja štapova, ili velike razlika u krutosti štapova koji su u međusobnom spoju.

Analiza sekundarnih napona u rešetci rijetko se provodi, mada za neke geometrije rešetki

(posebno mostovskih kod kojih je manja vitkost štapova) ovi naponi mogu biti značajni

(Timoshenko i Young, 1965).

Težina štapova, odnosno elemenata veze štapova u rešetci, se često zanemaruje pri analizi

opterećenja, jer je obično znatno manja od opterećenja koje nosi rešetka. U slučaju kada se

težina štapova uzima u obzir, težina svakog štapa se ravnomjerno raspoređuje na krajeve

štapa. Mjesta međusobnog spoja štapova rešetke se nazivaju čvorovi rešetke.

U ovoj Glavi prvo će biti analizirano naponsko i deformaciono stanje štapa, a potom rešetki

čije naponsko i deformaciono stanje je analizirano pomoću metode konačnih elemenata.

3.1 Naponi i deformacije štapa

Prilikom analize napona i deformacija štapa pretpostavit će se da je štap prizmatičan

(konstantnog poprečnog presjeka), da sile na krajevima štapova djeluju u geometrijskom

središtu poprečnog presjeka štapa. Geometrija štapa određena je njegovom dužinom u

aksijalnom pravcu i poprečnim presjekom površine koji leži u ravni normalnoj na

aksijalnu osu štapa (slika 3.3(a)).

Slika 3.3 Prizmatični štap opterećen silama u longitudinalnom pravcu štapa (a) i normalni napon u poprečnom presjeku štapa (b)

(a)

x

z

y F

F

A

(b)

x

z

y

F C x C

C

46

(3.1)

(3.3)

Pod pretpostavkom da se štap pod dejstvom aksijalnih sila uniformno deformiše, u

poprečnom presjeku štapa djelovat će konstantan normalni napon (slika 3.3(b))

dok su naponi y i z kao i tangencijalni naponi jednaki nuli u cijelom štapu. Pretpostavka o

uniformnoj deformaciji štapa vrijedi za slučaj homogenog i izotropnog materijala štapa. Znak

napona u jednačini (3.1) određuje znak aksijalne sile u poprečnom presjeku štapa. Prema

uobičajenoj konvenciji aksijalna sila je pozitivna ako isteže štap.

Za idealno elastično tijelo veza između napona i dilatacija definisana je Hookovim zakonom i

za slučaj jednoosnog naprezanja vrijedi:

Usljed dejstva aksijalne sile štap će se izdužiti za veličinu (slika 3.4). Obzirom da je štap

izložen uniformnoj deformaciji vrijedi

i korištenjem jednačina (3.1) i (3.2) dobija se izraz za izduženje homogenog izotropnog

idealno elastičnog štapa:

Iz jednačine (3.4) se vidi da je izduženje štapa pod dejstvom aksijalne sile funkcija geometrije

štapa (dužine i površine poprečnog presjeka ) i vrste materijala štapa, odnosno modula

elastičnosti koji određuje linearnu zavisnost između napona i elastične deformacije u tijelu

za slučaj jednoosnog naprezanja.

l

l+l

F F

Slika 3.4 Izduženje štapa opterećenog silama u pravcu ose štapa

(3.4)

(3.2)

47

Sila statički ekvivalentna dejstvu napona u poprečnom presjeku štapa koja prolazi kroz

geometrijsko središte presjeka štapa naziva se unutrašnja ili aksijalna sila u štapu. Prilikom

dimenzionisanja štapova važno je znati da li je štap opterećen na zatezanje ili pritisak,

obzirom da štapovi izloženi pritisku moraju biti provjereni na izvijanje.

Prethodna analiza koja je provedena za slučaj prizmatičnog štapa može se koristiti i u slučaju

štapova kontinuirane ali male promjene poprečnog presjeka. Na primjer, za slučaj štapa

promjenjivog pravougaonog poprečnog presjeka, čije suprotne strane su pod uglom od 150,

napon računat po formuli (3.1) je za oko 2% manji od stvarnog napona računatog pomoću

teorije elastičnosti (Hibbeler, 2006).

U sljedećem primjeru biće pokazano kako se uz pomoć izraza (3.4) mogu riješiti statički

neodređeni problemi.

Primjer 3.1

Čvrsto tijelo AD (slika 3.5(a)), obostrano ukliješteno na krajevima, sastoji se od dva

prizmatična dijela AB i BD dužine , poprečnog presjeka površina A1 i A2. Tijelo je napravljeno

od homogenog, izotropnog i linearno elastičnog materijala modula elastičnosti E. Na sredini

dijela BD djeluje sila intenziteta F sa napadnom tačkom C kao što je prikazano na slici.

Zanemarujući težinu tijela i pretpostavljajući jednoosno naponsko stanje u pravcu ose

simetrije tijela potrebno je izračunati reakcije veze na mjestu uklještenja.

Slika 3.5 Čvrsto tijelo opterećeno aksijalnom silom (a), reakcije veze (b), dijagram aksijalnih sila (c), i model problema (d)

B

A1

A

D

C

F

A2

A2

A

B

D

A1

A2

F

(a) (c)

C

A

B

D

F

FD

FA

(b)

C

z x

y FA

FD

+

(d)

48

Problemi u kojima je tijelo oblika štapa promjenjivog poprečnog presjeka opterećeno

aksijalnim silama analizira se u Elastostatici koristeći pretpostavku o uniformnoj deformaciji

međusobno povezanih štapova. Ukupna deformacija štapova se računa koristeći

pretpostavku o uniformnoj deformaciji za svaki štap posebno primjenom izraza (3.4).

Na slici 3.5(b) nacrtane su reakcije veze za sistem tijelo AD, dok je na slici 3.5(c) nacrtan

dijagram aksijalnih sila, gdje znak plus označava silu zatezanja. Da bi sistem sila dat na slici

3.5(b) bio u statičkoj ravnoteži potrebno je da svih šest statičkih jednačina ravnoteže

( ,

, ,

, , i

budu zadovoljene. Pet

statičkih jednačina ravnoteže su identički zadovoljene za dati sistem sila, dok za preostalu

jednačinu vrijedi:

Jednačina (3.5) sadrži dvije nepoznate veličine što problem čini statički neodređenim. Imajući

u vidu da je tijelo AD čvrsto vezano za nepokretne oslonce, problem se može riješiti

postavljajući dodatni (geometrijski) uslov prema kome je ukupno longitudinalno izduženje

(skraćenje) tijela AD pod dejstvom aksijalnih sila jednako nuli, . Ukupno izduženje

tijela AD može se računati kao zbir izduženja pojedinih njegovih dijelova:

Imajući u vidu jednačinu (3.4) i dijagram aksijalnih sila na slici 3.3(c) za slučaj elastične

deformacije tijela AD iz jednačine (3.6) slijedi:

Rješenjem sistema jednačina (3.5) i (3.7) dobijaju se nepoznate vrijednosti reakcija veze.

Prilikom rješavanja prethodnog problema korištena je jednačina (3.4) za izduženje

izotropnog, homogenog i idealno elastičnog štapa koja podrazumijeva uniformnu

deformaciju štapa. Dakle, problem dat na slici 3.3(a) modeliran je pomoću štapova na

osnovu modela datog na slici 3.3(d) (uz spriječeno lateralno kretanje čvorova B i C) i

prezentirano matematsko rješenje prethodnog problema pretstavlja u stvari tačno rješenje

ovog modela.

Fizikalna intuicija, kao i provedeni eksperimenti, upućuju da pretpostavka o uniformnoj

deformaciji štapa nije zadovoljena na mjestima geometrijske promjene poprečnog presjeka

štapa, mjestima veze štapa sa drugim tijelima ili mjestima napadnih tačaka sila.

(3.5)

(3.6)

(3.7)

49

Na slici 3.6 prikazan je jedan od eksperimenata na štapu koji je na jednom kraju čvrsto vezan

za zid, a na drugom kraju na mjestu rupe opterećen silom u aksijalnom pravcu štapa čija

napadna tačka prolazi kroz geometrijsko središte poprečnog presjeka štapa. Na osnovu

deformacije uniformne mreže, koja je čvrsto vezana za štap prije opterećenja štapa silom,

može se zaključiti da se javlja jaka neuniformna deformacija štapa u okolini napadne tačke

sile kao i na mjestu veze štapa sa zidom koji sprečava bočnu kontrakciju štapa kao rezultat

„Poissonovog efekta“, dok deformacija štapa postaje uniformna udaljavanjem od mjesta

napadne tačke sile i veze štapa sa zidom.

U problemu datom na slici 3.5(a) na mjestima uklještenja A i D, promjene u površini

poprečnog presjeka na mjestu B, gdje se javlja koncentracija napona, kao i na mjestu

napadne tačke sile C, pretpostavka o uniformnoj deformaciji nije zadovoljena. Iz ovog razloga

rješenje modela datog na slici 3.5(a) sa pretpostavkom o uniformnoj deformaciji štapa može

dati rješenje koje odgovara rješenju stvarnog problema, u okviru zadovoljavajuće tačnosti,

samo u slučaju da neuniformnost deformacije ima lokalni karakter. Prilikom statičke ili

dinamičke analize rešetkaste konstrukcije ovi lokalni efekti obično se zanemaruju.

Opravdanost za ovakvu aproksimaciju leži u Saint Venantovom principu.

Saint-Vainantov princip glasi:

Dva statički ekvivalentna sistema sila koja djeluju na isti dio tijela proizvest će jednako

stanje napona i deformacija u tijelu na dovoljnoj udaljenosti od mjesta djelovanja

ovih ekvivalentnih sistema sila.

Prema Saint-Vainantovom principu ekvivalentni sistemi sila prikazani na slici 3.7 (a), (b) i (c)

proizvest će jednako stanje napona i deformacija u tijelu na „dovoljnoj udaljenosti“ od

mjesta djelovanja sistema sila. Šta znači „dovoljna udaljenost“ može se ocjeniti na osnovu

slike 3.8 na kojoj su dati rasporedi normalnih napona u poprečnom presjeku štapa zavisno

Slika 3.6 Početni oblik tijela prekrivenog uniformnom mrežom vazanom za tijelo (a) i deformisani oblik tijela i mreže nakon dejstva sile (b)

(a) (b)

50

Slika 3.8 Raspored napona u poprečnim presjecima štapa na različitim

udaljenostima od napadne tačke sile;

- srednji napon

w

a w/4

w

a b b

c c c c

b b a a

w/2

max

sr

a

h

F

od njegove udaljenosti od napadne tačke sile. Na slici se vidi da udaljavanjem od napadne

tačke sile napon u poprečnom presjeku štapa postaje uniforman, što je rezultat uniformne

deformacije u štapu. Na osnovu rezultata analitičkog rješenja (Timoshenko i Goodier, 1970)

najveći normalni napon u presjeku udaljenom od napadne tačke sile za širinu štapa w je oko

2.7% veći od srednjeg napona. Ovo znači da se u praktičnoj primjeni može sa dovoljnom

tačnosti smatrati da će u dijelu štapa udaljenom od napadne tačke sile za njegovu jednu

širinu vrijediti pretpostavka o uniformnoj deformaciji.

Da bi rezultati dobiveni na osnovu pretpostavke o uniformnoj deformaciji štapa bili dovoljno

tačni za praktičnu primjenu potrebno je da su dijelovi štapa za koji vrijedi ova pretpostavka

znatno veći od dijelova štapa gdje pretpostavka nije zadovoljena (kao što su npr. mjesta

napadnih tačaka sile, nagle promjene poprečnog presjeka itd.). U opštem slučaju može se

a

F

a

a

2F

(a) (b) (c)

Slika 3.7 Primjer ekvivalentnih sistema sila koji djeluju na dio tijela

51

reći, da bi analiza naprezanja štapa bila validna potrebno je da bude ispunjen uslov

, gdje je longitudinalna dimezija štapa, a su karakteristične lateralne

dimenzije štapa koje su istog reda veličine (Bucalem i Bathe, 2011).

Problem određivanja napona i deformacija čvrstih tijela numerički se može rješavati na više

načina. Kada se primjenjuje metoda konačnih elemenata vrši se diskretizacija čvrstog tijela ili

konstrukcije jednodimanzionalnim (1D), dvodimenzionalnim (2D) ili trodimenzionalnim (3D)

elementima koji se nazivaju konačni elementi (KE). U metodi konačnih elemenata razlikuju

se brojni konačni elementi kao što su konačni element štapa, grede, ljuske, ploče, trougaoni i

četverougaoni 2D konačni elementi, ili 3D konačni elementi oblika tetraedra ili prizme.

Da bi se pokazala važnost izraza (3.4), izvedenog u ovom poglavlju, u analizi konstrukcija

sastavljenih od štapova, u narednom poglavlju biće uveden pojam matrice krutosti konačnog

elementa štapa.

3.2 Matrica krutosti konačnog elementa štapa

Konačni element štapa definiše se na osnovu jednačina za naprezanja i deformacije

prizmatičnog štapa datih u prethodnom poglavlju i izvedenih na pretpostavki o uniformnoj

deformaciji štapa. Konačni element štapa spada u 1D KE obzirom da se sve statičke i

kinamatske veličine duž štapa izražavaju u funkciji jedne nezavisne varijable – položaja

materijalne tačke u longitudinalnom pravcu štapa.

Matrica krutosti štapa određuje vezu između pomjeranja u čvorovima štapa i aksijalnih sila

koje djeluju u tim čvorovima. Da bi se definisala matrica krutosti štapa analizirat će se štap

prikazan na slici 3.9(a), koji je dio ravanske konstrukcije koja se pod dejstvom opterećenja

deformiše.

(a) (b)

Slika 3.9 Početni i deformisani položaj štapa (a) i početni položaj štapa sa vektorima pomjeranja čvorova štapa (b)

x

y

2

1

u2

u1

x

y

2

1

u2

1

2

1

u1

52

Položaj štapa definisan je sa početnim čvorom 1 i krajnjim čvorom 2 čiji položaj je definisan u

globalnom pravouglom koordinatnom sistemu koji u ovom slučaju određuje ravan u

kojem se nalazi konstrukcija. Usljed deformacije konstrukcije čvorovi štapa premještaju se u

novi ravnotežni položaj određen vektorima pomjeranja čvorova štapa i . Imajući u

vidu da je analiza ograničena na linearnu teoriju elastičnosti, koja između ostalog u ovom

slučaju podrazumijava da su pomjeranja mnogo manja od dužine štapa, za analizu ravnoteže

štapa nije bitna razlika između početnog i deformisanog položaja štapa. Iz ovog razloga

analizirat će se ravnoteža štapa u njegovom početnom položaju, slika 3.9(b).

Vektorima pomjeranja čvorova štapa i određeno je i kretanje štapa kao krutog tijela.

Za analizu deformacija štapa važne su komponente vektora pomjeranja u pravcu ose štapa.

Da bi se analizirala deformacija štapa uvest će se lokalni koordinatni sistem gdje se osa

podudara sa aksijalnom osom štapa, slika 3.10.

Na slici 3.10 sa i prikazane su komponente vektora pomjeranja čvorova štapa i

u pravcu ose lokalnog koordinatnog sistema, dok su sile u čvorovima štapova koje

uzrokuju deformaciju štapa i sa pretpostavljenim smjerovima u pozitivnom pravcu

ose. Na osnovu poznatog izduženja štapa , za štap dužine , površine

poprečnog presjeka A koji je napravljen od homogenog, izotropnog i linearno elastičnog

materijala modula elastičnosti E može se izračunati intenzitet aksijalne sile u čvoru 2 na

osnovu izraza (3.4):

(3.8)

Slika 3.10 Lokalni koordinatni sistem vezan za štap, analiza sila u čvorovima štapa i vektori pomjeranja čvorova štapa

x

y

A, l

2

1

u2 F1

F2

u2

u1

u2

u2

u2

53

Treba primjetiti da je izraz (3.8) u saglasnosti sa pretpostavljenim smjerom sile prema

kome ova sila isteže štap. Za slučaj kada je štap će biti napregnut na istezanje i

vrijednost u jednačini (3.8) biće pozitivna što znači da je dobro pretpostavljen smjer sile

. U skladu sa izrazom (3.8) slijedi i intenzitet sile u čvoru 1:

Sistem jednačina (3.8) i (3.9) može se pisati u matričnom obliku na sljedeći način:

ili

gdje se matrica

naziva matrica (koeficijenata) krutosti KE štapa. Matrica krutosti KE štapa je simetrična i

singularna kvadratna matrica drugog reda. Matrica krutosti KE štapa zavisi od geometrije

štapa (dužine i poprečnog presjeka) i od materijala štapa (modula elastičnosti). Vektor

kolona sadrži pomjeranja u čvorovima 1 i 2 u pravcu ose štapa, a elementi

vektor kolone su aksijalne sile u čvorovima štapa. Matrica krutosti ,

pomjeranja, i sile u čvorovima KE štapa se odnose na lokalni koordinatni sistem vezan za KE

štapa.

Elementi i u vektor koloni nazivaju se stepeni slobode (kretanja) KE štapa. Na

osnovu ove definicije KE štapa ima u svakom od čvorova po jedan stepen slobode, odnosno

ukupno dva stepena slobode. Broj stepeni slobode KE određuje i red matrice krutosti tog

elementa, odakle je i matrica krutosti KE štapa reda 2x2. Treba primijetiti da transferzalno

pomjeranje čvorova štapa nije razmatrano kao stepen slobode štapa iz razloga što štap ne

pruža otpor kretanju (deformaciji) u tom pravcu (osnovna pretpostavka je da u čvorovima

štapova djeluju samo aksijalne sile).

Obzirom da konačnom elementu štapa prikazanom na slici 3.10 nije spriječeno kretanje kao

krutom tijelu, nije moguće na osnovu poznatih vrijednosti intenziteta sila u čvorovima štapa

(3.9)

(3.10) (3.11)

(3.13)

(3.12)

54

izračunati pomjeranja u čvorovima štapa jer promjena položaja takvog štapa nije određena

samo silama (determinanta matrice sistema jednačina (3.10) je jednaka nuli, to jest, matrica

krutosti KE štapa je singularna).

Fizikalno značenje elemenata matrice krutosti KE štapa (3.12) može se vidjeti analizom

štapova prikazanih na slici 3.11(a) i 3.11(b). U slučaju kada je štap nepokretan u čvoru 2

( ), a čvor 1 se pomjeri za (slika 3.11(a)), uvrštavanjem vrijednosti

pomjeranja u prvu jednačinu sistema jednačina (3.10) ili (3.12) slijedi intenzitet sile potrebne

da proizvede jedinično izduženje u čvoru 1 KE štapa: . Iz prethodnog izraza

slijedi da element matrice krutosti štapa k11 ima vrijednost intenziteta sile potrebne da

izazove jedinično pomjeranje čvora 1 KE štapa. Uvrštavanjem vrijednosti pomjeranja u

čvorovima štapa na slici 3.11(a) u drugu jednačinu sistema jednačina (3.10) ili (3.12) slijedi da

je element matrice krutosti k21 jednak intenzitetu sile u čvoru 2 koja predstavlja reakciju veze

u ovom čvoru: . Negativan znak intenziteta sile F2 znači da je sila (reakcije

veze) u čvoru suprotnog smjera od onog pretpostavljenog na slici 3.10 što je razumljivo

obzirom na smjer sile u čvoru 1 na slici 3.11(a).

Na sličan način, za slučaj štapa prikazanog na slici 3.11(b), koji je vezan nepokretnim

osloncem u čvoru 1, dok se čvor 1 pod dejstvom sile pomjeri za slijedi da

element matrice krutosti k22 ima vrijednost intenziteta sile potrebne da izazove jedinično

pomjeranje čvora 2 KE štapa, dok je element k21 jednak intenzitetu sile u čvoru 1.

Da bi se analizirale deformacije i naponi u konstrukciji od štapova potrebno je sile u

čvorovima štapa datog na slici (3.10) izraziti u funkciji komponenti pomjeranja u globalnom

koordinatnom sistemu .

(a)

2

1

F2

2

1 F1

Slika 3.11 Sile u čvorovima rešetke za slučaj jediničnog pomjeranja u čvoru 1 (a) i jediničnog pomjeranja u čvoru 2 (b)

(b)

55

Veza između komponenti vektora pomjeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom

sistemu slijedi na osnovu slike 3.12 na kojoj je prikazana promjena komponenti vektora

pomjeranja sa rotacijom koordinatnog sistema, i jednačina (3.14) i (3.15).

Uvrštavanjem izraza (3.14) i (3.15) u jednačine (3.8) i (3.9) dobijaju se vrijednosti intenziteta

sila u čvorovima 1 i 2 štapa prikazanog na slici (3.10) kao funkcija komponenti vektora

pomjeranja u globalnom koordinatnom sistemu u čvorovima štapa:

Primjena izraza (3.16) i (3.17) u analizi napona i deformacija jedne statički određene i jedne

statički neodređene konstrukcije sastavljene od štapova biće pokazana na sljedeća dva

primjera.

Primjer 3.2

Za konstrukciju sastavljenu od štapova i opterećenu silom intenziteta F = 10 kN kao na slici

3.13(a), potrebno je odrediti sile u štapovima i pomjeranje čvora 2. Površina poprečnog

presjeka štapova je A = 5 cm2, dužina štapova = 1 m i = 2 m, a modul elastičnosti

materijala od kojeg su napravljeni štapovi E = 2105 MPa.

Slika 3.12 Promjena komponenti vektora pomjeranja sa rotacijom koordinatnog sistema

x

y

y

O

O1

O2

M

M1

u

uy

ux

uy

uy

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(3.17)

56

Intenziteti sila u štapovima mogu se izračunati iz statičkih jednačina ravnoteže sila u čvoru 2

prikazanih na slici 3.13(b):

odakle slijedi F2B = 11.547 kN i F2A = -5.7735 kN.

Pomjeranje čvora 2 može se odrediti na osnovu plana pomjeranja prikazanog na slici 3.14(a)

na kojoj je sa 2' označen položaj čvora 2 nakon deformacije konstrukcije. Aproksimacija

izduženja ili skraćenja štapova preko normale iz tačke 2' na pravce štapova prije deformacije

opravdana je za slučaj infinitezimalne deformacije . Vrijednosti izduženja, odnosno skraćenja

štapova A i B računaju se na osnovu izraza (3.4), a pomjeranje čvora 2 određeno je

presjekom normala prikazanih na slici 3.14(a).

Pomjeranje čvora 2 može se izračunati i bez crtanja plana sila korištenjem jednačina

ravnoteže (3.18) i (3.19) i izraza (3.16) i (3.17) kojim je određena veza između sila u

čvorovima štapova i pomjeranja tih čvorova. Treba voditi računa da su jednačine (3.16) i

(3.17) izvedene sa brojnim oznakama čvorova u lokalnom sistemu. U skladu sa brojnim

oznaka čvorova cijele konstrukcije (u daljem tekstu zvat će se brojevi čvorova u globalnom

sistemu) usvojit će sa za štap B da čvoru 3 u globalnom sistemu odgovara čvor 1 u lokalnom

sistemu, a čvoru 2 u globalnom sistemu odgovara čvor 2 u lokalnom sistemu. Usvojit će se za

štap A da čvoru 1 u globalnom sistemu odgovara čvor 1 u lokalnom sistemu, a čvoru 2 u

globalnom sistemu odgovara čvor 2 u lokalnom sistemu. Vodeći računa da izraz (3.17) vrijedi

(3.18)

(3.19)

Slika 3.13 Statički određena konstrukcija od štapova (a) i sistem sila u čvoru 2 (b)

(a)

1

3

2

F A

B

(b)

2

F

x y

600

F2B

F2A

57

(3.20)

za smjer sile u čvoru 2 kao na slici (3.10) i pretpostavljenim smjerovima sila u štapovima A i B

konstrukcije (slika 3.14(b)), izražavanjem sila u jednačinama ravnoteže (3.18) i (3.19) u

funkciji pomjeranja čvorova dobiju se sljedeće jednačine:

Primjenom geometrijskih graničnih uslova, , iz jednačina (3.20) i

(3.21) dobijaju se komponente vektora pomjeranja čvora 2 u globalnom koordinatnom

sistemu i .

Primjer 3.3

Da bi se povećala krutost konstrukcije iz primjera 3.2, konstrukciji je dodat štap C (slika

3.15), površine poprečnog presjeka A = 5 cm2, dužine = m i modula elastičnosti

materijala štapa E = 2105 MPa. Potrebno je izračunati pomjeranje čvora 2 i sile u štapovima.

(3.21)

Slika 3.14 Plan pomjeranja (a) i sile u štapovima (b)

(a) (b)

3

2

1 2

1

3

2

2'

B

A

lB

lA

58

Obzirom da je problem statički neodređen, nije moguće iz statičkih jednačina ravnoteže,

odrediti sile u štapovima konstrukcije. Da bi sistem jednačina bio zatvoren, dodatna

jednačina se može dobiti na osnovu veze između deformacija štapova koja se dobija

analizom plana pomjeranja (slika 3.15(c)) i jednačine (3.4) koja daje vezu između deformacija

štapa i aksijalne sile u štapu. Važno je primijetiti da ovakav pristup rješavanja problema zbog

kompleksnosti ne dolazi u obzir za slučaj složenijih rešetki.

Efikasniji pristup za rješenje problema je da se u sistemu jednačina (3.22) i (3.23) umjesto

intenziteta sila kao osnovnih nepoznatih veličina uvedu komponente vektora pomjeranja u

globalnom koordinatnom sistemu koristeći izraze (3.16) i (3.17) kojim je određena veza

između sila u čvorovima štapova i pomjeranja tih čvorova. Usvojit će se za sva tri štapa da

brojevima čvorova u globalnom sistemu koji su vezani za nepokretne oslonce odgovara čvor

1 u lokalnom sistemu, dok čvoru 2 u globalnom sistemu odgovara čvor 2 u lokalnom sistemu.

Imajući u vidu da izraz (3.17) vrijedi za smjer sile u čvoru 2 kao na slici (3.10) i

pretpostavljenim smjerovima sila u štapovima A, B i C, te brojnim oznakama čvorova u

lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu, izražavanjem sila u sistemu jednačina (3.22) i

(3.23) u funkciji pomjeranja čvorova dobija se sljedeći sistem jednačina:

1

3

2

F

B C

4

A

(b)

2

F

600

F2B

F2A

F2C

x y

1

3

2

2'

B

lB

lA

lC

A

4

Slika 3.15 Statički neodređena konstrukcija od štapova (a), sistem sila u čvoru 2 (b), i plan pomjeranja (c)

(c) (a)

(3.22)

(3.23)

59

Primjenom geometrijskih graničnih uslova, ,

jednačine (3.24) i (3.25) se svode na sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznete veličine

, čijim rješenjem slijedi i .

Nakon što su određena pomjeranja čvorova iz jednačina (3.16) i (3.17) mogu se odrediti sile

u štapovima rešetke vodeći računa o vezi između brojeva čvorova u globalnom i lokalnom

sistemu. Naprimjer,

gdje negativan znak pored intenziteta sile znači da je smjer ove sile suprotan

pretpostavljenom smjeru na slici 3.15(b).

Treba primijetiti da opisani metod jednako efikasno rješava statički određene i statički

neodređene probleme. U narednom poglavlju opisat će se još elegantniji pristup za

rješavanje problema napona i deformacija u rešetkastim konstrukcijama.

3.3 Primjena Castiglianove teoreme u analizi rešetki

Izraz za potencijalnu energiju deformacije (ili deformacioni rad) za jednoosno naponsko

stanje idealno elastičnog štapa može se na osnovu jednačine (2.26) pisati u lokalnom

koordinatnom sistemu u obliku:

(3.24)

(3.25)

60

Da bi se izračunala potencijalna energija deformacije potrebno je poznavati promjenu

dilatacije duž štapa. Dilatacija može se računati preko polja pomjeranja u skladu sa

jednačinom (2.4). U slučaju uniformne deformacije štapa opterećenog samo aksijalnim

silama u njegovim čvorovima polje pomjeranja se mijenja linearno u longitudinalnom pravcu

štapa (slika 3.16):

Nepoznati koeficijenti i mogu se izraziti u funkciji pomjeranja krajeva štapa iz uslova:

za , , i iz jednačine (3.27) slijedi , i

za , , i iz jednačine (3.27) slijedi , odakle je

.

Polje pomjeranja izraženo preko pomjeranja krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu

slijedi iz jednačine (3.27) uvrštavanjem izraza za i :

Na osnovu izraza (2.4) i jednačine (3.28) vrijedi izraz:

Slika 3.16 Vektori pomjeranja čvorova štapa u lokalnom koordinatnom sistemu vezanom za osu štapa

x

y

E, A, l

2

1

u2

u2

(3.26)

(3.27)

(3.28)

61

na osnovu kojeg se iz (3.26) potencijalna energija deformacije štapa 1 može izraziti u funkciji

pomjeranja krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu:

Izraz (3.30) za potencijalnu energiju deformacije štapa izražen je u funkciji pomjeranja

čvorova štapa u lokalnom koordinatnom sistemu. Potencijalna energija deformacije štapa

može biti napisana u funkciji komponenti vektora pomjeranja čvorova u globalnom

koordinatnom sistemu koristeći izraz (3.14) koji daje vezu između komponenti vektora

pomjeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu,

Prema Castiglianovoj teoremi izvod potencijalne energije deformacije po pomjeranju jednak

je sili u pravcu tog pomjeranja (jednačina 2.22), i za slučaj štapa, čija je potencijalna energija

deformacije data izrazom (3.31), komponente vektora sile u globalnom koordinatnom

sistemu u čvorovima štapa su:

gdje su sile u čvorovima štapa u pravcu osa globalnog koordinatnog sistema prikazane na

slici 3.17(a).

(3.29)

(3.30)

(3.31)

(3.32)

62

Primjena Castiglianove teoreme biće pokazana na sljedećem primjeru.

Primjer 3.4

Rešetka sastavljena od šest štapova označenih kao na slici 3.18(a) opterećena je silom

intenziteta F = 5 kN. Modul elastičnosti materijala štapova je E = 70000 MPa. Štapovi 1, 3, 4 i

6 imaju poprečni presjek površine A = 6 cm2, dok štapovi 2 i 5 imaju poprečni presjek

površine . Potrebno je izračunati sile u štapovima, reakcije veza i pomjeranja

čvorova rešetke.

Slika 3.18 Rešetkasta konstrukcija (a) i reakcije veze (b)

F

1

2

6

3

5

1 3

2 4

0.5 m

0.5 m

4

(a)

F

1

2

6

3

1 3

2 4

5

4

(b)

Slika 3.17 Sile u čvorovima štapa u pravcu osa globalnog koordinatnog sistema (a) i sile u čvorovima štapa u pravcu osa lokalnog koordinatnog sistema (b)

2

1

(b)

x

y

(a)

2

1

63

Da bi se primijenila Castiglianovu teorema za cijeli sistem potrebno je naći izraze za

potencijalnu energiju deformacije i njezine izvode po pomjeranjima za svaki štap

pojedinačno. Obzirom da je izraz (3.31) pisan za oznake čvorova u lokalnom sistemu

potrebno je za svaki štap izabrati kojem broju čvora u globalnom sistemu odgovara broj

čvora u lokalnom sistemu. U tabeli 3.1 data je veza između brojeva čvorova u globalnom i

lokalnom sistemu za štapove rešetke.

Broj štapa Globalni čvor

Lokalni čvor

1 2 1

1 2

2 4 1

1 2

3 4 1

3 2

4 3 1

1 2

5 2 1

3 2

6 4 1

2 2

Potencijalna energija deformacije i njezini izvodi po pomjeranjima za svaki štap imaju

sljedeće vrijednosti:

Štap 1

2

1

1

Tabela 3.1 Veza između brojeva čvorova u

globalnom i lokalnom sistemu

64

Štap 2

Štap 3

Štap 4

1 4 3

4

1

2

4

3

3

65

Štap 5

Štap 6

Potencijalna energija deformacije za rešetku jednaka je sumi potencijalnih energija

deformacije štapova koji je čine. U skladu sa Castiglianovom teoremom, parcijalni izvod

potencijalne energije deformacije za rešetku po pomjeranju čvora 1 u pravcu x ose jednak je

sili u čvoru 1 u pravcu x ose:

2

3

5

2 6 4

(3.33)

66

Potencijalne energije deformacije štapova 3, 5 i 6 nisu funkcija varijable tako da su

parcijalni izvodi potencijalne energije deformacije za ove štapove po ovoj varijabli jednaki

nuli. Na čvor 1 ne djeluje sila u pravcu x ose, to jest, , dok se unutrašnje sile između

štapova u kontaktu u čvoru 1 međusobno poništavaju. Uvrštavanjem parcijalnih izvoda

potencijalne energije deformacije za štapova 1, 2 i 4 po varijabli u izraz (3.33) slijedi

jednačina:

U skladu sa Castiglianovom teoremom, parcijalni izvod potencijalne energije deformacije za

rešetku po pomjeranju čvora 1 u pravcu y ose jednak je sili u čvoru 1 u pravcu y ose:

Na čvor 1 u pravcu y ose djeluje vanjska sila (vidjeti sliku 3.18 (b)), i uvrštavanjem

parcijalnih izvoda potencijalne energije deformacije štapova po varijabli u jednačinu

(3.35) slijedi jednačina:

Ponavljajući prethodni postupak za čvorove 2, 3 i 4 slijede jednačine:

(3.34)

(3.35)

(3.36)

(3.42)

(3.37)

(3.39)

(3.38)

(3.41)

(3.40)

67

Uvrštavanjem vrijednosti za modul elastičnosti, površine poprečnih presjeka štapova i dužine

štapova u jednačine (3.34), (3.36)-(3.42) ovaj linearan sistem algebarskih jednačina se može

pisati u sljedećem (matričnom) obliku:

U sistemu jednačina (3.43) u matrici koloni slobodnih članova nalaze se sile koje djeluju u

čvorovima rešetke. U čvorovima 3 i 4 djeluju (sile) reakcije veze čije su projekcije na ose

globalnog koordinatnog sistema nepoznate veličine.

Primjenom geometrijskih graničnih uslova, , iz prve četiri

jednačine sistema jednačina (3.43) slijedi sistem od četiri jednačine sa četiri nepoznate

komponente vektora pomjeranja u čvorovima 1 i 2:

Rješenje sistema jednačina (3.44) je:

Nakon što su poznata pomjeranja u čvorovima rešetke iz posljednje četiri jednačine sistema

jednačina (3.43) mogu se izračunati reakcije veze:

Sile u čvorovima štapa koje djeluju u pravcu štapa (vidjeti sliku 3.17(b)) mogu se izračunati primjenom Castiglianove teoreme koristeći izraz (3.30):

(3.40)

(3.43)

(3.44)

68

gdje se komponente vektora pomjeranja i računaju iz izraza (3.14) i (3.15). Treba

primjetiti da su izrazi (3.45) i (3.46) već izvedeni direktnim putem u jednačinama (3.8) i (3.9)

kada je definisana matrica krutosti KE štapa. Dilatacija u štapu može se jednostavno

izračunati pomoću izraza (3.29).

U prethodnom primjeru može se vidjeti elegantnost primijenjene metode, ali i veliki broj

računskih operacija koje se ponavljaju. Ovo metodu čini veoma pogodnom za programiranje

i primjenu na elektronskom računaru, a naročito ako se procedura svede na matrični

koncept. U narednom poglavlju opisana metoda će biti generalizovana u smislu

jednostavnog programiranja za primjenu na elektronskom računaru.

3.4 Globalna matrica krutosti sistema

Globalna matrica krutosti sistema određuje vezu između pomjeranja u čvorovima rešetke i

sila koje djeluju u tim čvorovima. Uobičajen pristup u MKE je da se formira globalna matrica

krutosti sistema na osnovu matrice krutosti KE kojim se diskretizuje tijelo ili konstrukcija.

U prethodnom poglavlju je rečeno da su u sistemu jednačina (3.11), koji daje vezu između

pomjeranja čvorova štapova u lokalnom koordinatnom sistemu i sila u čvorovima, isključeni

transferzalni stepeni slobode kretanja čvorova iz razloga što štap ne pruža otpor deformaciji

u tom pravcu. Da bi se povezala matrica krutosti štapa sa globalnim stepenima slobode,

sistem jednačina (3.11) biće proširen sa transferzalnim stepenima slobode koji će biti

pomnoženi sa nultim koeficijentima u matrici krutosti obzirom da štap ne pruža otpor

deformaciji u tom pravcu:

(3.46)

(3.45)

(3.47)

69

gdje je proširena matrica krutosti KE štapa u lokalnom koordinatnom sistemu, ,

, i (vidjeti sliku 3.10).

Jednačine (3.14) i (3.15) koje opisuju promjenu komponenti vektora pomjeranja sa

rotacijom koordinatnog sistema mogu se u matričnom obliku pisati na sljedeći način:

Matrica vektor kolona komponenti vektora pomjeranja u lokalnom koordinatnom sistemu u

sistemu jednačina (3.47) može se napisati u funkciji komponenti vektora pomjeranja u

globalnom koordinatnom sistemu u obliku

gdje se matrica , čiji su elementi koeficijenti transformacije koordinata iz lokalnog u

globalni koordinatni sistem, naziva matrica transformacije. Kao što je matricom

transformacije određena veza između komponenti vektora pomjeranja u lokalnom i

globalnom koordinatnom sistemu, , istom matricom je određena veza između

komponenti vektora sila u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu, , gdje je

.

Imajući u vidu vezu između komponenti vektora pomjeranja i sila u lokalnom i globalnom

koordinatnom sistemu, sistem jednačina (3.47) može se pisati u obliku:

Množenjem obje strane sistema jednačina (3.50) sa lijeve strane sa slijedi:

Jednostavno se može provjeriti da vrijedi jednakost . Uvođenjem smjene

(3.49)

(3.50)

(3.48)

(3.51)

(3.52)

70

sistem jednačina (3.51) može se pisati u obliku:

gdje matrica krutosti KE štapa u globalnom koordinatnom sistemu određuje vezu između

komponenti vektora pomjeranja i komponenti vektora sila u globalnom koordinatnom

sistemu u čvorovima štapa. Imajući u vidu jednačinu (3.52), sistem jednačina (3.53) može se

pisati u sljedećem obliku:

Globalna matrica krutosti sistema formira se kao zbir matrica krutosti KE štapa kojima je

diskretizovana rešetka. Matrica krutosti sistema je kvadratna matrica reda jednaka

proizvodu broja čvorova i stepeni slobode po čvoru. Naprimjer, rešetka na slici 3.18(b) ima

četiri čvora i dva stepena slobode po čvoru i globalna matrica krutosti sistema biće reda 8x8.

U sistemu jednačina (3.54) indeksi 1 i 2 u vektor kolonama i odnose se na lokalni

sistem označavanja čvorova i treba ih povezati sa brojevima čvorova u globalnom sistemu.

Naprimjer, za štap broj 2 na slici 3.18(b) lokalnom čvoru 1 odgovara globalni čvor 4 (vidjeti

tabelu 3.1), dok lokalnom čvoru 2 odgovara globalni čvor 1. Sistem jednačina (3.54) za

globalni sistem označavanja čvorova za štap broj 4 ima oblik:

Koeficijenti krutosti u jednačinama (3.55) sabiraju se sa odgovarajućim koeficijentima

krutosti globalne matrice krutosti sistema koji se množe sa komponentama vektora

pomjeranja u čvoru 4 i 1 u sistemu jednačina (3.56).

(3.53)

(3.54)

(3.55)

71

U sistemu jednačina (3.56) u vektor koloni F unose se samo komponente vektora spoljašnjih

sila u čvorovima 1 do 4, dok se unutrašnje sile kao rezultat međusobnog djelovanja štapova u

zajedničkom čvoru poništavaju. Naprimjer, za rešetku na slici 3.18(b) vektor kolona F ima

sljedeće komponente: .

Globalna matrica krutosti sistema je singularna matrica, i da bi se izračunala pomjeranja u

čvorovima rešetke potrebno je primijeniti geometrijske granične uslove. Geometrijski

granični uslovi moraju da spriječe kretanje sistema kao krutog tijela. Nakon uvrštavanja

geometrijskih graničnih uslova u sistem jednačina (3.56) red sistema se smanjuje za broj

stepeni slobode kretanja propisanih geometrijskim graničnim uslovima, nakon čega se

rješenjem sistema jednačina dobijaju pomjeranja u čvorovima rešetke po svakom stepenu

slobode za koji nisu propisani geometrijski granični uslovi. Nakon što su poznati vektori

pomjeranja u čvorovima iz jednačina u kojima su bile nepoznete rekacije veze računaju se

ove reakcije.

Opisana procedura za formiranje matrice krutosti sistema pomoću matrice krutosti KE štapa

za slučaj ravanskih rešetki jednostavno se može proširiti i za slučaj prostornih rešetki. U

narednom poglavlju biće više govora o graničnim uslovima vezanim za slučaj diskretizacije

konačnim elementima štapa.

3.5 Granični uslovi za slučaj diskretizacije KE štapa

Granični uslovi za slučaj diskretizacije konstrukcije KE štapa mogu biti zadani po silama, po

pomjeranjima (geometrijski granični uslov) ili mješovito u čvorovima KE. Zavisno da li se radi

o ravanskoj ili prostornoj rešetci (konstrukciji) svaki čvor ima dva, odnosno tri translatorna

stepena slobode kretanja. Granični uslovi se u opštem slučaju zadaju u globalnom

(3.56)

1 2 3 4

72

koordinatnom sistemu. U svakom čvoru rešetke za svaki stepen slobode moraju biti zadati

granični uslovi. Naprimjer, granični uslovi u čvoru B na slici 3.19(a) su: , dok su

u čvoru C: .

U slučaju kada je problem simetričan na osnovu geometrije, materijala, opterećenja i

geometrijskih graničnih uslova za analizu problema dovoljno je razmatrati samo dio

konstrukcije sa jedne strane ravni simetrije uz odgovarajuće granične uslove na mjestu ravni

simetrije. Neka je problem prikazan na slici 3.19(a) simetričan u odnosu na ravan c-c po

pitanju geometrije, materijala štapova, opterećenja i geometrijskih graničnih uslova. Prilikom

djelovanja opterećenja na konstrukciju, konstrukcija će se deformisati tako da će materijalne

tačke konstrukcije koje su ležale u ravni simetrije c-c ostati i nakon deformacije u ovoj ravni,

to jest, pomjeranja materijalnih tačaka normalno na ovu ravan su jednaka nuli. U slučaju ako

se koristi osobina simetrije i analizira samo dio problema sa jedne strane ravni simetrije

potrebno je silu u čvoru A rasporediti ravnomjerno na obje strane konstrukcije, uzeti u obzir

samo polovinu površine poprečnog presjeka štapa AB, i geometrijskim graničnim uslovima

osigurati da se čvorovi koji leže u ravni simetrije ne mogu pomjerati u pravcu normalno na

ovu ravan, što se može modelirati preko pokretnih oslonaca kao na slici 3.19(b). Granični

uslovi u čvorovima A i B su primjer mješovitih graničnih uslova gdje je u pravcu normalnom

na ravan simetrije zadan granični uslov po pomjeranjima ( ), a u ravni simetrije

granični uslov po silama (

).

Slika 3.19 Problem ravne rešetke sa ravni simetrije (a) i geometrijski granični uslovi u ravni simetrije (b)

(b)

x y

A

F

B

(a)

c

c

F

F F A

B C

73

Na slici 3.20(a) dat je primjer rešetke sa geometrijskim graničnim uslovima,

koje je jednostavno primijeniti obzirom da se pravci u kojima su spriječena

pomjeranja podudaraju sa pravcima globalnog koordinatnog sistema. Međutim, u slučaju

pokretnog oslonca B rešetke date na slici 3.20(b) to nije slučaj. Postoji više načina da se

primijeni granični uslov u čvoru B. Jedan od načina je da se u čvoru B umjesto

komponenti vektora pomjeranja i u koordinatnom sistemu uvedu komponente

vektora pomjeranja i u koordinatnom sistemu uz pomoć jednačina (3.14) i

(3.15) nakon čega je jednostavno primijeniti granični uslov .

3.6 Primjena KE štapa

U poglavlju 3.2 izvedena je matrica krutosti KE štapa sa dva čvora i u svakom čvoru sa po

jednim stepenom slobode u lokalnom koordinatnom sistemu KE. Konačni element štapa

može se primjenjivati samostalno ili u kombinaciji sa drugim elementima konstrukcije u

analizi 2D ili 3D problema. U slučaju primjene KE štapa u 2D problemima u svakom čvoru se

definišu dva (translatorna) stepena slobode u globalnom koordinatnom sistemu, odnosno tri

stepena slobode za 3D probleme.

MKE je prvenstvano razvijen za rješavanje inžinjerskih problema koji su opisani matematskim

modelom za koji nije poznato analitičko rješenje, i kao i drugi numerički metodi, numeričko

rješenje teži tačnom rješenju kada stepen diskretizacije raste. Međutim, KE štapa zasnovan

je na pretpostavci o uniformnoj deformaciji linearno elastičnog štapa, konstantnoj aksijalnoj

sili u štapu, odnosno linearnom polju pomjeranja duž štapa, tako da je numeričko rješenje

identično analitičkom rješenju matematkog modela zasnovanog na ovim pretpostavkama.

Ovo znači da je dovoljno diskretizovati jedan štap sa jednim KE štapa dok god su ispunjene

ove pretpostavke. Ove pretpostavke nisu ispunjene u slučaju štapova promjenjivog

poprečnog presjeka. Za analizu štapova promjenjivog poprečnog presjeka jednostavno je

x

y

B A

x' y'

B A

Slika 3.20 Primjer veze rešetke pokretnim osloncem B za koji je ograničeno kretanje u pravcu jedne od osa globalnog koordinatnog sistema (a) i primjer veze rešetke pokretnim osloncem B za koji je ograničeno kretanje u pravcu koji se ne podudara sa pravcem jedne od osa globalnog koordinatnog sistema (b)

(a) (b)

74

Slika 3.21 Prizmatični štap opterećen aksijalnim kontinuiranim

opterećenjem (a) i sile na dijelu štapa infinitezimalne dužine (b)

x

l

q = q(x)

x

dx

dx

q = q(x)

x

(a) (b)

razviti KE štapa sa promjenjivim poprečnim presjekom, ili je moguća aproksimacija ovakvih

štapova serijom KE štapa konstantnog poprečnog presjeka vodeći računa da deformacija

štapova nije uniformna usljed pojave smičućih napona. Upotreba štapova promjenjivog

poprečnog presjeka je rijetka obzirom da nema opravdanja za upotrebu ovakvih štapova iz

razloga nosivosti obzirom da je sila u štapu konstantna duž štapa.

Primjer 3.5

Prizmatični štap površine poprečnog presjeka i dužine opterećen je

vlastitom težinom, slika 3.21. Materijal štapa je linearno elastičan, modula elastičnosti

i gustine . Ubrzanje usljed gravitacije .

Potrebno je uporediti analitičko i numeričko rješenje polja pomjeranja i napona u

longitudinalnom pravcu štapa. Za analitičko rješenje pretpostaviti da granični uslovi

osiguravaju uniforman raspored normalnih napona u poprečnim presjecima štapa. Za

numeričko rješenje koristiti KE štapa sa 2 čvora.

Na slici 3.21(a) prikazan je štap pod dejstvom kontinuiranog opterećenja po jedinici

dužine štapa i uniformno je raspoređeno po poprečnom presjeku štapa. Usljed dejstva

opterećenja u poprečnom presjeku štapa javit će se rezultujuća aksijalna sila . Na slici

3.21(b) prikazan je diferencijalno mali dio štapa čija ravnoteža će se razmatrati. Usljed

dejstva opterećenja , na rastojanju između dva poprečna presjeka diferencijalno malog

elementa štapa desit će se priraštaj aksijalne sile d . Statička jednačina ravnoteže za sistem

sila na slici 3.19(b) ima oblik:

odakle slijedi:

(3.57)

(3.58)

75

odnosno, nakon integracije:

gdje je integraciona konstanta. Za iz jednačine (3.59) slijedi:

Integraciona konstanta slijedi iz graničnog uslova , tako da se

aksijalna sila u poprečnom presjeku štapa može opisati jednačinom:

Korištenjem izraza (3.61) može se izračunati normalni napon u poprečnom presjeku štapa:

Na osnovu konstitutivne relacije , gdje je dilatacija

, iz jednačine (3.62) slijedi

diferencijalna jednačina koja opisuje polje pomjeranja u aksijalnom pravcu štapa:

Integracijom jednačine (3.63) slijedi:

gdje je integraciona konstanta

određena iz graničnog uslova datog zadatkom:

. Uvrštavanjem integracione konstante u jednačinu (3.64) dobija se izraz za

polje pomjeranja u aksijalnom pravcu štapa vezanog na jednom kraju i opterećenog

aksijalnim kontinuiranim opterećenjem :

Element štapa dužine prikazan na slici 3.21(b) ima težinu ,

odakle je težina po jedinici dužine štapa

. Uvrštavanjem prethodnog izraza u

jednačine (3.62) i (3.65) dobijaju se izrazi za polje napona i pomjeranja štapa vezanog na

jednom kraju izloženog vlastitoj težini:

Iz jednačina (3.66) i (3.67) vidi se da se polje napona linearno mijenja u aksijalnom pravcu

štapa, dok je polje pomjeranja kvadratna funkcija položaja materijalne tačke duž štapa.

(3.59)

(3.60)

(3.61)

(3.62)

(3.63)

(3.64)

(3.65)

(3.67)

(3.66)

76

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

u 10

6 (

m)

x (m)

Analitičko rješenje MKE 1 KE

MKE 2 KE

MKE 10 KE 0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

z (M

Pa)

x (m)

Analitičko rješenje MKE 1 KE

MKE 2 KE

MKE 10 KE

Na slikama 3.22(a) i 3.22(b) prikazane su analitičke vrijednosti napona i pomjeranja duž štapa

za zadani primjer. Maksimalni normalni napon nalazi se na mjestu oslonca štapa i iznosi 0.25

MPa, dok je normalni napon jednak nuli na slobodnom kraju štapa. Maksimalno pomjeranje

nalazi se na slobodnom kraju štapa i iznosi .

Na slikama 3.22(a) i 3.22(b) prikazani su i rezultati numeričkog proračuna vrijednosti napona

i pomjeranja duž štapa tako što je izvršena diskretizacija štapa sa jednim, dva i deset KE

štapa sa dva čvora. Vlastita težina štapa je ravnomjerno raspoređena na svaki čvor KE štapa.

Obzirom da je za KE štapa sa dva čvora pretpostavljena linearna promjena polja pomjeranja

duž štapa, odnosno konstantan napon u štapu, očigledno je da se diskretizacijom štapa u

datom primjeru samo sa jednim KE štapa sa dva čvora ne mogu postići zadovoljavajući

rezultati. Pored toga, predstavljajući polje pomjeranja duž štapa kao funkciju pomjeranja

njegovih čvorova, osigurano je da štapovi koji su vezani u zajedničkom čvoru imaju i jednako

pomjeranje u tom čvoru (takozvani uslov kompatibilnosti), dok su prvi izvodi pomjeranja

(koji određuju dilataciju i napon) konstantni duž štapa i ne postoji kontinuitet polja prvih

izvoda u zajedničkom čvoru štapova.

Na slikama 3.22(a) i 3.22(b) može se vidjeti da sa rastom broja KE raste i tačnost rezultata

numeričkog proračuna. Polje napona je kod KE sa dva čvora konstantno duž KE tako da na

sastavu dva KE postoji diskontinuitet u polju napona.

Pored KE štapa sa dva čvora, koji se najčešće koristi za modeliranje rešetki i linearnih opruga,

većina softvera ima na raspolaganju i KE štapa sa tri i četiri čvora. Ovi elementi sa više

čvorova koriste se pri modeliranju lančanica i konstrukcija gdje se ovi KE koriste u

kombinaciji sa drugim elementima (višeg reda), kao naprimjer u slučaju konstrukcija od

armiranog betona.

Slika 3.22 Analitičko i numeričko rješenje za polje pomjeranja (a) i

polje napona (b) za štap opterećen vlastitom težinom

(a) (b)