3 the discrete-time fourier analysis - embedded and signal processing … · 2009. 6. 9. · 3 the...

3 The Discrete-Time

Fourier Analysisร ร ฟร ร ไ การวเคราะหฟรเยรแบบไมตอเนองทางเวลา

ผศ.ดร. พระพล ยวภษตานนท

ภาควชา วศวกรรมอเลกทรอนกส

EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

DSP3-1

ปเปาหมาย

• นศ เรยนรการแปลงฟรเยรแบบไมตอเนองทางเวลา (The Discrete-

Ti F i T f DTFT) (DTFT Di Time Fourier Transform; DTFT) (DTFT แตกตางกบ Discrete

Fourier Transform (DFT) ในบทท 5)

• นศ เรยนรทฤษฎการสมสญญาณ

• นศ รจกความหมายของผลตอบสนองความถ


DSP3-2

ทาไมจงตองแปลง DTFT ?ทาไมจงตองแปลง DTFT ?

• เราทราบวา องคประกอบทางการประสานนน ซงคอ “หนวงเวลา” และการ “สเกลคา” ซงมประโยชนในการวเคราะห ระบบสาหรบสญญาณการ สเกลคา ซงมประโยชนในการวเคราะห ระบบสาหรบสญญาณอนพท หลากรปแบบ

• แตเมอระบบเปน linear shift-invariant (LSI) เราสามารถจะใชการแปลงฟรเยรแบบไมตอเนองทางเวลา (Discrete-time Fourier (Transform; DTFT)เพอทาใหการวเคราะหงายขนกวา การทาConvolution Convolution

• และผลจากการแปลง DTFT ทาใหทราบ “ผลตอบสนองความถ ของระบบ”


DSP3-3

Th Di Ti F i T fThe Discrete-Time Fourier Transform

• การแปลงฟรเยร แบบไมตอเนองทางเวลา DTFT ของ x(n) คอ∞

( ) ( )j j n

nX e x n eω ω

∞−

=−∞≡ ∑

n ∞

ω = ความถดจตอลหนวยเปน เรเดยน

ผลการแปลงในโดเมนความถดจตอลน สามารถแสดงในรป ผลการแปลงในโดเมนความถดจตอลน สามารถแสดงในรป

วงกลมหนงหนวย


DSP3-4

เรองของวงกลมหนงหนวย ( i i l )เรองของวงกลมหนงหนวย (unit circle)

แกนจนตภาพje ω

je 1. วงรอบของความถมคาซาทกๆ

2แกนจรง

ω 2π เรเดยนแกนจรง

2. ความถดจตอลมคาในชวง 2. ความถดจตอลมคาในชวง

0 ω π≤ < เรเดยน0 ω π≤ < เรเดยน


DSP3-5

1.วงรอบของความถมคาซาทกๆ 2 ๆเรเดยน

2π

2 10n=1,9,..

n=2,10,..

4π

n=0,8,..

(2 )j jπ π(2 ) 24 4j jje e e

π π− + −−= ×

4j

eπ

−=


DSP3-6

e

2 ใ ช2. ความถดจตอลมคาในชวง ω π> 7πω =

0 ω π≤ <

หาก เชน ตวอยางω π>4

ω =หาก เชน

( ) cos( )j n j ne ex n nω ω

ω−+

= =จะใหผลลพธซากบคาในชวง

ตวอยาง

( ) cos( )2

x n nω= = คอ0 ω π≤ <

4πω =

7 7 7(2 ) (2 )4 4 4 47( )

j n j n j n j ne e e e

π π π ππ ππ

− − − −+ +

4

cos( )4 2 2

j j

n

π π

= =

4 4

2

j n j ne e−

+=

2

cos( )4

nπ=


DSP3-74

U i S F iUnit Step Function

• ยนทสเตปฟงกชน1 0n ≥⎧1, 0

( )0, 0

nu n

n≥⎧

= ⎨ <⎩⎩11

nn00


DSP3-8

ตวอยางการแปลง DTFT Iตวอยางการแปลง DTFT I

• จงหาการแปลง DTFT ของ x(n)=0.5nu(n)

• วธทา( ) ( ) 0.5j j n n j nX e x n e eω ω ω

∞ ∞− −= =∑ ∑

0

1(0 5 )

n nj

j n e ωω

=−∞ =

∞−∑

0(0.5 )

1 0.5 0.5j n

j jn

ee e

ωω ω−

== = =

− −∑

ผลรวมเรขาคณตแบบไมจากด (Infinite geometric sum):1 1n

∞

∑0

, 11

n

na a

a== <

−∑


DSP3-9

ตวอยางการแปลง DTFT IIตวอยางการแปลง DTFT II

• จงหาการแปลง DTFT ของ x(n)=0.5 เมอ และเปน 0 เมอn

ป

0 1n L≤ ≤ −เปนคาอนๆ

• วธทา

1 1

( ) ( ) 0.5 0.5L L

j j n j n j nX e x n e e eω ω ω ω∞ − −

− − −= = =∑ ∑ ∑วธทา

• ( ) ( )0 0

12

sin / 210 5 0 5

n n n

j L j L Le eωω ω

=−∞ = =

− − −−= =

( )20.5 0.5

1 sin / 2j ee ω ω−= =

−ผลรวมเรขาคณตแบบจากด (Finite geometric sum):ผลรวมเรขาคณตแบบจากด (Finite geometric sum):

1, 1

Ln L

L a−

=⎧⎪⎨∑

01 , 11

n L

na a a

a=

⎪= ⎨ −≠⎪ −⎩

∑


DSP3-10

MATLAB i l iMATLAB simulation

1.5

2Magnitude Part

tude 1.5

2Real Part

al

•หาก x(n) มคาไมจากด เราจะใช

0 0.5 10.5

1

1.5

Mag

nitu

d

0 0.5 10.5

1

1.5

Rea

l MATLAB หา DTFT ของ x(n)

โดยตรงไมได 0 0.5 10.5

frequency in pi units

−0.5

0Angle Part

ians

0 0.5 10.5


−0.5

0Imaginary Part

inar

y

โดยตรงไมได

•แตเราจะใชสมการทไดจาก

0 0.5 1−1

−0.5


Rad

ia

0 0.5 1−1

−0.5


Imag

in

•power series 0 0.5 1frequency in pi units

0 0.5 1frequency in pi units

>>w = [0:1:500]*pi/500; % [0, pi] axis divided into 501 points.

exp_3_1.eps

[ ] p ; [ , p ] p

>> X = exp(j*w) ./ (exp(j*w) - 0.5*ones(1,501));


DSP3-11

ตวอยางการแปลง DTFT IIตวอยางการแปลง DTFT II

• จงหาการแปลง DTFT ของ ( ) {1,2,3,4,5}x n↑

=

• วธทา

( ) ( )j j nω ω∞

∑•

( ) ( )j j n

nX e x n eω ω−

=−∞= ∑

2 32 3 4 5j j j je e e eω ω ω ω− − −= + + + +

สงเกต เครองหมาย วา n=0 อย ณ ตาแหนงของคา 2↑


DSP3-12

หากอนพทมจานวนจากด เราใช MATLAB คานวณ DTFT • หากอนพทมจานวนจากด เราใช MATLAB คานวณ DTFT

ไดโดยตรง

• การคานวณ จะกระทาในชวง ( )jX e ω [0, ]πโดยแบง M+1 คา

, 0,...,k k MMπω ≡ =M

π0 M ชวงω

πM ชวง


DSP3-13

•จาก เรากาหนดการหา คา n ในชวง -1 ถง 3( ) {1,2,3,4,5}x n↑

=

10

15Magnitude Part

de 10

20Real Part

l

จาก เรากาหนดการหา คา n ในชวง 1 ถง 3

•เราหา DTFT ของ x(n) ไดจาก

( ) { , , , , }↑

5

10

Mag

nitu

de

0

10

Rea

l

3ω

0 0.5 10


M

5Angle Part

0 0.5 1−10

frequency in pi units5

Imaginary Part

y

3( / )

1( ) ( ) ,j j M kl

lX e x l eω π−

=−= ∑

0

Rad

ians

−5

0

Imag

inar

y

1l=

0 0.5 1−5


R

0 0.5 1−10

−5


Im

MATLAB code

>>n = -1:3; x = 1:5; % sequence x(n)

( / )* %>> k = 0:500; w = (pi/500)*k; % [0, pi] axis divided into 501

>> X = x * (exp(-j*pi/500)) .^ (n'*k); % DTFT using matrix-vectorEEET0485 Digital Signal Processing

Asst.Prof. Peerapol YuvapoositanonDSP3-14

X x (exp( j pi/500)) . (n k); % DTFT using matrix vector

ผลตอบสนองความถของระบบ

( )h( ) j nω ( )h n0( ) j nx n e ω= 0( ) j nh n e ω∗

•เมอทาการประสานจะได

0 0 ( )( ) ( ) ( )j n j n k

ky n h n e h k eω ω

∞−

=−∞= ∗ = ∑

0 0( )

k

j k j nh k e eω ω

= ∞

∞−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

0

( )

( ( ))k

j nF h n e ω

=−∞⎢ ⎥⎣ ⎦=

∑

การแปลงฟรเยรทความถ0( ( ))F h n e

ω ω==

0ωEEET0485 Digital Signal Processing


0

ป ล ส h(n)( )jH ω เปนผลตอบสนองความถของระบบ h(n)( )jH e ω

( ) ( )j j n

nH e h n eω ω

∞−

∞= ∑

n=−∞

ใชหาคาของเอาทพท y(n)

j( ) j nω

ใชหาคาของเอาทพท y(n)

( )jH e ω0( ) j nx n e ω=

0( ) ( ) j njy n H e e ωω=

หรอเขยนในรปโดเมนความถ

( ) ( ) ( )j j jY e H e X eω ω ω=


DSP3-16

Frequency Response from Poles and q y pZeros

• ขนาดผลตอบสนองความถเปน ขนาดจากซโร ไปยงวงกลมหนงหนวย

โ ไป หารดวย ขนาดจากโพลไปยงวงกลมหนงหนวย ณ ความถหนง

1 2( )( )j jj

e z e zω ω− −1 2

1 2

( )( )( )

( )( )j

j jH e

e p e pω

ω ω=

− −1ω =

AABB ขนาดท 1ω =

π 01( )j BH e =( )H e

A=


DSP3-17

E l f F RExample for Frequency Response

สมมตวา โพล สมมตวา โพล = .= .8 8 ซโร ซโร ==0 0

ความถตาความถตา ความถกลางๆความถกลางๆ ความถสงความถสง

AABB AABB AABBBBπ 0 π 0 π 0

BB >> AA BB == AA BB << AABB > > AA BB AA B B < < AA1( )jH e ω = = มาก มาก = = กลางๆ กลางๆ = = นอย นอย 1( )jH e ω 1( )jH e ω


DSP3-18

ๆๆ

Pl f M i dPlot of Magnitude

AABB AABB AA( )jH e ω

AABB AABB AABBπ 0 π 0 π 0

ตา กลาง สง


DSP3-19

ตวอยาง

• Example 4.4.1 หาผลลพทของระบบ โดยมอนพท

ป i l

1( ) ( )2

n

h n u n⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠njπ

เปน ลาดบ exponential 2( )j

x n Ae=1( ) ( )j j nH e h n eω ω

∞−= =∑( ) ( ) 11

2jn

H e h n ee ω−=−∞ −

∑

• ท ได0 2πω = 26.62 1 2( ) 1 5

j jH e eπ

−= =

• ดงนน

1 512

j+

nπ⎛ ⎞⎛ ⎞• ดงนน 26.626.6 222 2( )

5 5

nn jjjy n A e e Aeππ ⎛ ⎞−⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠EEET0485 Digital Signal Processing


5 5⎝ ⎠

หาผลตอบสนองของ h( )หาผลตอบสนองของ h(n)

1∞ 1( ) ( ) 11

j j n

jnH e h n e

e

ω ω

ω

∞−

−=−∞

= =−

∑1

21 j j

e

e eω ω

1 112 2

jj jee e

ωω ω−

= =− −

2 2

แสดงวา zero มตวเดยว คอ z1=0

Pole ม p1=1/2


DSP3-21

การหาผลตอบสนองความถจากสมการผลตาง (F R f Diff(Frequency Response from Difference

Equations)Equations)• จากสมการผลตาง ( ) ( ) ( )

N M

l my n a y n l b x n m+ − = −∑ ∑1 0

l ml m= =∑ ∑

ให ( ) j nx n e ω= ดงนน ( ) ( )j j ny n H e eω ω=( ) ( ) ( )y

( ) ( )( ) ( )N M

j j n j j n l j n mH e e a H e e b eω ω ω ω ω− −+ =∑ ∑1 0

( ) ( )l ml m

H e e a H e e b e= =

+ =∑ ∑ตด j ne ω

M

0( )

Mj m

mj m

b eH e

ω

ω

−

==∑

( )1

Nj l

l

H ea e ω−

=+ ∑


DSP3-221l=

ตวอยาง ตวอยาง มระบบ LSI ทอธบายไดดวย สมการผลตาง ของอนพทและเอาทพท

( ) 0.8 ( 1) ( )y n y n x n= − +

จงหา ผลตอบสนองและสญญาณ y(n) เมอ อนพทเปน จงหา ผลตอบสนองและสญญาณ y(n) เมอ อนพทเปน

( ) cos(0 05 ) ( )x n n u nπ=( ) cos(0.05 ) ( )x n n u nπ=วธทา ( ) 0.8 ( 1) ( )y n y n x n− − =

( 1)

( ) ( ) ( )( ) 0.8 ( )j j n j j n j n

y yH e e H e e eω ω ω ω ω−− =

( ) 0.8 ( )j j n j j n j j nH e e H e e e eω ω ω ω ω ω−− =1( )

1 0 8j

jH ee

ωω−= ⇐

−ผลตอบสนองความถ


DSP3-23

1 0.8e−

ท ( ) cos(0 05 ) ( )x n n u nπ=ท ( ) cos(0.05 ) ( )x n n u nπ=

0 05ω π0 0.05ω π=ดงนน

0.05 0.53771( ) 4 0928j jH e eπ −= =0.05( ) 4.09281 0.8 jH e e

e π−= =−

ไ ป ฟ จงไดจากการแปลง “เฟสเซอร”

( ) 4 0928cos(0 05 0 5377)y n nπ= −

[ ]( ) 4.0928cos(0.05 0.5377)

4.0928cos 0.05 ( 3.42)y n n

nππ

=

= −[ ]4.0928cos 0.05 ( 3.42)nπขนาด เฟส


DSP3-24

ทดสอบ คา y(n) ทคานวณ

( )jH e ω( )x n ( )y n

Input sequence

( )H e( ) ( )y

1

n)

Input sequence

−1

0x(n)

( ) cos(0.05 )x n nπ=0 20 40 60 80 100

−1

n5

Output sequence

4.092

0y(n)1( ) ( )y n x n⎛ ⎞= ⎜ ⎟

4.092

0 20 40 60 80 100−5

n

( ) ( )1 0.8 jy n x n

e ω−⎜ ⎟−⎝ ⎠ตางเฟส 3 42


DSP3-25

nตางเฟส =3.42

การสมสญญาณ (S li )การสมสญญาณ (Sampling)

• ทฤษฎการสมกลาววา “ความถของสญญาณสมจะตองมากกวา 2 เทาของ

( f )”ความถสงสดของสญญาณ ( fmax)”

• หากความถสม = fs หากความถสม fs

สญญาณสม

...1T

• ดงนน

s

Tf

=

2f f>• ดงนน max2sf f>


DSP3-26

สเปคตรม (Spectrum) และ ผลของการสม( p ) สญญาณ

• สเปคตรมเปนการแสดงคาการกระจายของสญญาณในเชงความถ

• ผลของการสมทาใหเกด สเปคตรมแบบเปนคาบ (periodic)

ความถ f หรอ f เรยกวา ความถไนควสต (Nyquist Frequency)ความถ fmax หรอ f0 เรยกวา ความถไนควสต (Nyquist Frequency)

ความถสมตาสดทจะไมเกด aliasing จะเรยกวา อตราไนควสต สเปคตรม(Nyquist rate)

ความถ

f=Nyquist Frequencyf = Nyquist rateEEET0485 Digital Signal Processing


sf0 =Nyquist Frequencyf Nyquist rate

อะไรคอแอลแอส (Ali i ) ?อะไรคอแอลแอส (Aliasing) ?

• คาวา alias หมายถง “ชอปลอม”

• การเกดแอลแอส ในทาง dsp คอ “การเกดการซอนทบของสเปคตรม”

• สาเหตคอ การทความถสมนอยกวาสองเทาของความถไนควสต หรอ• สาเหตคอ การทความถสมนอยกวาสองเทาของความถไนควสต หรอ

02sf f< 0sf f

แอลแอส ทางแก: แอลแอส ทางแก:

1 ใช Anti-aliasing filter ซงเปน

(L filt )

sff

วงจรกรองตาผาน (Low pass filter)

2 ทา Oversampling


DSP3-28

sf0f

ทฤษฎการสมและคนรปสญญาณ ฤ ฎ ญญ(Sampling and Reconstruction)

ผลตอบสนองของสญญาณตอเนองทางเวลา xa(t) คอ ( )aX jΩΩ = ความถแอนาลอก เปน เรเดยนตอวนาท

( )X jΩ ไ ป ฟ ( )t

( )x t ( )aX jΩ( )aX jΩ หาไดจากการแปลงฟรเยรของ ( )ax t

แปลงฟรเยร

( )ax t ( )a j

แปลงฟรเยร

−Ω Ω0−Ω 0Ωt


DSP3-29

ความถแอนาลอกกบ ความถดจตอล สมพนธกนดงน

Tω = Ωความถแอนาลอกกบ ความถดจตอล สมพนธกนดงน

•ผลของการสม ทาใหการแปลงฟรเยรเปน รายคาบ (periodic)

ดจตอล แอนาลอก

( )x n ( )jX e ω

แปลงฟเรยร

( )

ω− ωt ππ−2π− 2π•สญญาณสม มความถ= 1/T

0T−Ω0TΩ•สญญาณสม มความถ= 1/T


DSP3-30

สทฤษฎการสม( )as t( )a

( ) ( )Tแปลง อมพลส

เปน สญญาณ DT( )ax t ( )sx t ( ) ( )ax n x nT=

ญญ

( ) ( )Tδ∞

∑ ( ) ( )an

s t t nTδ=−∞

= −∑สญญาณสม:

สญญาณแอนะลอกทถกสม: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s a a an

x t s t x t x nT t nTδ∞

=−∞= = −∑

สญญาณไมตอเนอง (DT): ( ) ( )ax n x nT=


DSP3-31

ทฤษฎการสม (ตอ)

ป ฟ

ทฤษฎการสม (ตอ)

การแปลงฟรเยรสาหรบสญญาณแอนาลอก xa(t)

( ) ( ) j tX j x t e dt∞

− ΩΩ ≡ ∫เมอ คอ ความถแอนาลอก หนวยเรเดยนตอวนาท (rad/sec)Ω

( ) ( ) ja aX j x t e dt

−∞

Ω ≡ ∫เมอ คอ ความถแอนาลอก หนวยเรเดยนตอวนาท (rad/sec)Ω

1( ) ( ) j ta ax t X j e d

∞Ω= Ω Ω∫( ) ( )

2a a jπ −∞∫

ทาการสม สญญาณ แอนาลอก ดวย ความถ T วนาททาการสม สญญาณ แอนาลอก ดวย ความถ T วนาท

( ) ( )ax n x nT≡ a

และแปลงฟรเยร กไดเปน สญญาณไมตอเนองทางเวลา ( )jX e ω


DSP3-32

สมการแอลแอส (Aliasing formula)

การแปลง DTFT ของ x(n) ไดเปน

( g )

( ) ( ) ( )j jn jnX e x n e x nT eω ω ω∞ ∞

− −∑ ∑

( )

( ) ( ) ( )j j ja

n nX e x n e x nT e

=−∞ =−∞= =∑ ∑

( )jX e ω เปน ผลรวมของ ทตางความถ ( )aX jΩ

/

1 2( ) ( ) ( )js aT

kX e X j X j j k

T T Tω

ω

ω π∞

Ω=∞

= Ω = −∑kT T T=−∞

สมการแอลแอส (aliasing formula)


DSP3-33

T π<เมอชวงเวลาในการสม

0

T <Ω

เมอชวงเวลาในการสม

( )x n ( )jX e ω( )

ω− ωt ππ−2π− 2π

0 / T−Ω0 / TΩ

เมอชวงเวลาในการสม T π>Ω( ) ( )jX e ω

0Ω( )x n ( )X e

ω− ωt ω− ωt ππ−2π− 2πเกด แอลแอสและไมสามารถคนรปสญญาณได


DSP3-34

เกด แอลแอสและไมสามารถคนรปสญญาณได

แบนดวทของสญญาณทใชได (คอไมเกด

ใ H t1f

ญญ (แอลแอส)

ความถในการสมสญญาณ Hertz

Ω

sf T=

แบนดวทมากสดของสญญาณ

(ความถไนควสต) 0

0 2f

πΩ

= Hertz( )

( )jX e ω

0f sf 02sf f>

ω− ωππ2π 2πสญญาณสมตอง

ππ−2π− 2πมคามากกวา

แบนดวท 2 เทา EEET0485 Digital Signal Processing


แบนดวท 2 เทา

ตวอยางตวอยางfs = 1 kHz

DSP chipx(t) y(n)x(n)TMS320

ตวสมสญญาณ 1,250f Hz=

• มสญญาณ x(t) ถกสมท fs = 1kHz โดย

ญญ

( ) cos(2500 )x t tπ=

• จากความถแอนาลอกของ x(t) แปลงเปนความถดจตอล32500 (10 ) 2 5Tω −Ω เรเดยน32500 (10 ) 2.5Tω π π= Ω = = เรเดยน

ตดใหอยในยาน 0 ω π≤ <ตดใหอยในยาน 0 ω π≤ <

0.5ω π=EEET0485 Digital Signal Processing


0.5ω π

• ทาใหได สญญาณไมตอเนองทางเวลา x(n) เปน( ) (0 5 )

( ) cos(0.5 )x n nπ=

• แตเนองดวยความเปน “คาบ” ทกๆ

ส ใ

2π/TΩ2• มสญญาณความถแอนาลอกทกๆ เทาของ ทให

สญญาณแบบเดยวกบ x(n)

/TωΩ =2πญญ ( )

3( ) cos( ) 10 (0 5 ) 500x t t π π= Ω Ω = = f1= 250 Hz1 1 13

2 2 2

( ) cos( ), 10 (0.5 ) 500

( ) cos( ), 10 (2 0.5 ) 2500

x t t

x t t

π π

π π π

= Ω Ω = =

= Ω Ω = + =

f1= 250 Hz

f2= 1250 Hz3

3 3 3( ) cos( ), 10 (4 0.5 ) 4500x t t π π π= Ω Ω = + = f3 =2250 Hzและตอเนอง ไปเรอยๆ


DSP3-37และตอเนอง ไปเรอยๆ

f 1 kHfs = 1 kHz2250Hz

1250 H1250 Hz

250 Hz


DSP3-38dsp_3_7.jpg

สเปคตรม เมอความถสม F 1 KHสเปคตรม เมอความถสม Fs= 1 KHz

Fs=1 KHzFs=1 KHz

fs= 1kHz

250Hz 2250Hz1250Hz

จะเกดความถเงาหรอแอลแอสขน ท 250 และ 2250


DSP3-39

เมอ fs มากขนแตยงนอยกวา 2 เทาของ 1250 Hz

• เมอ fs =2 kHz จะได

( ) ( )( ) cos(0.25 )x n nπ=

•มสญญาณหลายความถแอนาลอกทใหสญญาณแบบเดยวกบ x(n)

31 1 1

3

( ) cos( ), 2*10 (0.25 ) 500

( ) ( ) 2*10 (2 0 25 ) 4500

x t t π π= Ω Ω = =

Ω Ω

f1= 250 Hz3

2 2 23

3 3 3

( ) cos( ), 2*10 (2 0.25 ) 4500

( ) cos( ), 2*10 (4 0.25 ) 8500

x t t

x t t

π π π

π π π

= Ω Ω = + =

= Ω Ω = + =f2= 2250 Hz

f3 =4250 Hzf3 4250 Hz

ยงคงเกด แอลแอสEEET0485 Digital Signal Processing


f 2 kHfs=2 kHz4250Hz

2250 H2250 Hz

250 Hz


DSP3-41dsp_3_6.jpg

สเปคตรม เมอความถสม F 2 KHสเปคตรม เมอความถสม Fs= 2 KHz

fs= 2kHz

fs ความถ250Hz 2250Hzfs250Hz 2250Hz


DSP3-42

f = 2500 Hz (2 1250 Hz)หาก fs = 2500 Hz (2 เทาของ 1250 Hz)

• นนคอ fs = 2500 Hz จะได( ) ( )

ได ความถทซาเปนจานวนเทา ของ 1250 Hz

( ) cos( )x n nπ=

• ได ความถทซาเปนจานวนเทา ของ 1250 Hz

3( ) ( ) 2 5*10 ( ) 2500t tΩ Ω f1= 1250 Hz31 1 1

32 2 2

( ) cos( ), 2.5*10 ( ) 2500

( ) cos( ), 2.5*10 (2 ) 7500

x t t

x t t

π π

π π π

= Ω Ω = =

= Ω Ω = + =

f1= 1250 Hz

f2= 2500 Hz3

3 3 3( ) cos( ), 2.5*10 (4 ) 12500x t t π π π= Ω Ω = + = f3 =6250 Hz


DSP3-43

f = 2500 Hzfs = 2500 Hz

6250Hz

2500 Hz

1250 H1250 Hz


DSP3-44dsp_3_8.jpg

สเปคตรมทความถสมตางๆสเปคตรมทความถสมตางๆ

fs= 1kHz x(t)

fs ความถ250Hz 2250Hz

fs= 2kHzความถ

x(t)

fs ความถ250Hz 2250Hzfs= 2.5kHz

fs250Hz

x(t)

2250Hz

fs ความถ1250HzEEET0485 Digital Signal Processing


fs ความถ1250Hz

ตดสญญาณ f ดวย L filตดสญญาณ fs ดวย Low pass filterLowpass

fs= 2.5kHz x(t)p

fs ความถ1250Hz

สามารถคนรปสญญาณได ญญ

fs= 2.5kHz x(t)

fs ความถ1250HzEEET0485 Digital Signal Processing


fs1250Hz

ป (R tr ti )ใ

การคนรปสญญาณ (Reconstruction)ใชวงจรกรองตาผานอดมคต

( )jX e ω ( )jX e ω( )X e ( )X e

กรองตาผาน

ππ−2π− 2π ππ−2π− 2πππ2π 2π


DSP3-47

จากเรองการสมเราได

( ) ( ) ( )sx t x n t nTδ∞

= −∑

จากเรองการสมเราได

... ( 1) ( ) (0) ( ) (1) ( ) ...n

x t T x t x t Tδ δ δ=−∞

= + − + + + − +

แปลงกลบเปน กรองตาผาน( )x n ( )x t ( )x tแปลงกลบเปน

อมพลสกรองตาผาน

อดมคต

( ) ( )sx t ( )ax t

ตวแปลง D/C( ) ( )x tอดมคต

( )x n ( )ax t


DSP3-48

⎧

ผลตอบสนองของวงจรกรองตาผานอดมคต( )rH jΩ

,( )

TTH j

π⎧ Ω ≤⎪⎪Ω = ⎨

T

( )0,

rH j

Tπ

Ω ⎨⎪ Ω >⎪⎩

Tπ

Tπ

−

( )rH jΩ ( )rh tแปลงผกผนฟเรยร

sin( / )t Tπ i ( / )

sinc( / )t T

sin( / )( )/rt Th t

t Tπ

π= sinc( / )t T=

การคนรปสญญาณ

,recon ( ) ( ) ( )a rn

x t x n h t nT∞

=−∞= −∑

การคนรปสญญาณ

sin ( ) /( )( ) /

n

t nT Tx nt T Tπ

= ∞

∞ −= ∑

สตรการทา

InterpolationEEET0485 Digital Signal Processing


( ) /n t nT Tπ=−∞ − Interpolation

× dsp 3 1 jpg× dsp_3_1.jpg

แตละจดของ x(n) ถกคณดวย

sinc function ทมการเลอนsinc function ทมการเลอน

ตาแหนง


DSP3-50

dsp_3_2.jpg

ผลการคณของแตล ตาแหนงผลการคณของแตละตาแหนง

(0)sinc( / )x t T

(1)sinc(( - ) / )x t T T

(2)sinc(( - 2 ) / )x t T T

(3)sinc(( 3 ) / )x t T T−


DSP3-51dsp_3_4.jpg

i t l ti ปผลรวมของการทา interpolation คอสญญาณคนรป


DSP3-52dsp_3_9.jpg

ส ปสรป

• การแปลง DTFT ทาให หาผลตอบสนองความถของระบบได

• เราสามารถหาผลลพธการประสานไดจากการทา DTFT

• การสมสญญาณทาใหเกดผลตอบสนองความถเปนรายคาบ• การสมสญญาณทาใหเกดผลตอบสนองความถเปนรายคาบ

• ความถการสมจะตองมากกวา 2 เทา ของ ความถแอนาลอกสงสด โดย

คนรปสญญาณไดโดยการใชวงจรกรองตาผานกบสญญาณไมตอเนอง

ทางเวลา ทางเวลา


DSP3-53

3 the discrete-time fourier analysis - embedded and signal processing … · 2009. 6. 9. · 3 the...

Documents