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Trigonométrie
1 Définitions et généralités
1.1 Géométrie élémentaire
Soit un arc de cercle défini par l'angle α et le rayon r (voir Figure 1) :
αr
A
B
C
Figure 1
Si l'angle α est correctement défini en radians, l'arc de cercle BC se calcule de la manièresuivante :
BC = α⋅r (1)
La surface S définie par les segments AB, BC et l'arc de cercle BC se calcule de la manièresuivante :
2r 2
S ⋅α
= (2)
1.2 Résultats trigonométriques élémentaires
∀α ∈ 3 on a (formule fondamentale) :
cos2
(α) + sin2
(α) = 1 (3)
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1.2.1 Valeurs particulières
α 06
π
4
π
3
π
2
π
sin(α) 0 21 21
23 1
cos(α) 1
2
3
2
1
2
1
0
tg(α) 0
3
1
1 3 ∞
Tableau 1
Tous ces résultats sont à savoir par cœur.
Les angles 0..π/2 sont représentés sur le cercle trigonométrique (voir §1.2.3) par la Figure 2.
i
j
π/6
π/4
π/3π/2
0.5 0.71 0.87
0 . 5
0 . 7
1
0 . 8
7
Figure 2
1.2.2 Dans un triangle rectangle
A B
C
Figure 3
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On a :
hyp
)B̂(adj
BC
AB)B̂cos( ==
hyp
)B̂(opp
BC
AC)B̂sin( ==
)B̂(adj
)B̂(opp
AB
AC)B̂(tg ==
hyp
)Ĉ(adj
BC
AC)Ĉcos( == hyp
)Ĉ(opp
BC
AB)Ĉsin( == )Ĉ(adj
)Ĉ(opp
AC
AB)Ĉ(tg ==
Tableau 2
On déduit la relation simple de la tangente pour tout angle α (et par extension pour toutevaleur α ∈ 3) :
Tangente :)cos(
)sin()(tg
αα
=α avec cos(α)≠0 (4)
On définit encore pour tout angle α (et par extension pour toute valeur α ∈ 3) :
Cotangente :)(tg
1)(ctg
α=α avec sin(α)≠0 (5)
Secante :)cos(
1)sec(
α=α avec cos(α)≠0 (6)
Les définitions de la cotangente et de la sécante doivent être connues. Par la suite, cependant,nous nous limiterons à traiter les fonctions sin, cos et tg. Le cas échéant, les fonctions ctg etsec sont aisément déduites.
1.2.3 Sur le cercle trigonométrique
i
j
α
M
cos(α)
s i n ( α )
r = 1 tg(α)
Figure 4
Soit α une mesure d'un angle en radians et M son image sur le cercle trigonométrique. Lescoordonnées de M sont (cos(α), sin(α)).
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Trigonométrie
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Le cercle trigonométrique montre d'autres choses encore :• Le sens trigonométrique est le sens anti-horaire. Un angle donné dans le sens anti-
horaire est positif, alors qu'il est négatif s'il est donné dans le sens horaire.• L'angle α peut être plus grand que π/2 et les valeurs de sin(α) et cos(α) peuvent être
négatives. Dans ce cas, on ne peut plus raisonner par rapport à un triangle rectangle.
• Aux valeurs α et α+k ⋅2π avec k ∈9 correspond le même point M sur le cercletrigonométrique. A titre d'exemple, les valeurs α= −π/3, β=5π/3 et γ =11π/3 sontdécrites par le même point M; elles ont donc les mêmes valeurs de sinus et cosinus.On en conclut que les fonctions cos(x) et sin(x) sont périodiques de période 2π (attention: la fonction tg(x) est périodique de période π).
1.2.4 Courbes représentatives
La Figure 5 illustre les courbes représentatives y=sin(x) et y=cos(x) sur une période, enl'occurrence l'intervalle [0, 2π[.
x
yy = sin(x)y = cos(x)
0 π/4 3π/4 5π/4 7π/4π/2 π 3π/2 2π
1
−1
Figure 5
Constatations
- Les valeurs de sin(x) et cos(x) sont comprises entre –1 et 1- Le sinus est en fait un cosinus décalé de π/2 vers la droite. On a sin(x) = cos(x– π/2)- Le cosinus est en fait un sinus décalé de π/2 vers la gauche. On a cos(x) = sin(x+π/2)
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Trigonométrie
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La Figure 6 illustre la courbe représentative y= tg(x) sur une période, en l'occurrencel'intervalle ]−π/2, π/2[.
x
y y = tg(x)
0 π/4 3π/4 5π/4 7π/4π/2 π 3π/2 2π−π/2 −π/4
Figure 6Constatations
- Les valeurs de tg(x) sont comprises entre – ∞ et +∞ !- La fonction tg(x) est toujours croissante ! Les élèves la dessinent souvent de manière
erronée avec un point à tangente horizontale en x=0, un peu comme pour y=x3. La pente dey=tg(x) est toujours supérieure ou égale à m=1 !
1.3 Angles associés
On appelle angles associés de α tous les angles que l'on peut déduire de α.• α et −α sont appelés angles opposés
• α et π/2−α sont appelés angles complémentaires • α et π−α sont appelés angles supplémentaires • α et π/2+α sont appelés angles de différence π/2 • α et π+α sont appelés angles de différence π
Par simple observation du cercle trigonométrique, on déduit :
opposés )sin()sin( α−=α− )cos()cos( α=α− )(tg)(tg α−=α−
supplémentaires )sin()sin( α=α−π )cos()cos( α−=α−π )(tg)(tg α−=α−π
différence π )sin()sin( α−=α+π )cos()cos( α−=α+π )(tg)(tg α=α+π
complémentaires )cos(2
sin α=
α−
π )sin(
2cos α=
α−
π )(ctg
)(tg
1
2tg α=
α=
α−
π
différence π/2 )cos(2
sin α=
α+
π )sin(
2cos α−=
α+
π )(ctg
)(tg
1
2tg α−=
α−
=
α+
π
Tableau 3
Les cases grisées contiennent les formules les plus importantes et qui seront le plus souventutilisées.
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1.3.1 Solutions multiples
Du Tableau 3, on retient :• Si cos(x)=a, alors cos(−x)=a également• Si sin(x)=b, alors sin(π−x)=b également
•Si tg(x)=c, alors tg(x+
π)=c également
A partir de là, donner les valeurs de x sur l'intervalle [0, 2π[ satisfaisant les conditionssuivantes :
• cos(x) = 0.5 x= ? Réponse : S={π/3; 5π/3}• sin(x) = 0.5 x= ? Réponse : S={π/6; 5π/6}• cos(x) = −0.5 x= ? Réponse : S={2π/3; 4π/3}• sin(x) = −0.5 x= ? Réponse : S={7π/6; 11π/6}• tg(x) = 1 x= ? Réponse : S={π/4; 5π/4}
1.4 Equations de la forme sin(x)=sin(y), cos(x)=cos(y) et tg(x)=tg(y).
Au vu de ce qui précède, on peut résoudre n'importe quelle équation de type :
• sin(x) = sin(y) On a deux possibilités :
π⋅+−π=π⋅+=
2k )y(x
2k yx avec k ∈Z
• cos(x) = cos(y) On a deux possibilités :
π⋅+−=π⋅+=2k yx
2k yx avec k ∈Z
• tg(x) = tg(y) On a une seule possibilité : π⋅+= k yx avec k ∈Z
1.4.1 Exemple
Résoudre l'équation : cos(x) + sin(3x) = 0 dans l'intervalle x∈ [0, 2π[.
On pose :
π+=
π+
π−=
π−−=−=
2x3cos
2x3cos
2x3cos)x3sin()xcos(
Deux possibilités :
π⋅+
π+−=
π⋅+π
+=
2k 2
x3x) b
2k 2
x3x)a
avec k ∈Z
La possibilité a) donne :
π⋅+π
−= 2k 2
x2 1 ⇒ π⋅+π
−= k 4
x1 (⇒ 2 sol. dans [0, 2π[)
La possibilité b) donne :
π⋅+π
−= 2k 2
x4 2 ⇒ 2k
8x2
π⋅+
π−= (⇒ 4 sol. dans [0, 2π[)
Dans l'intervalle [0, 2π[, la solution est :
ππππππ=
8
15;
4
7;
8
11;
8
7;
4
3;
8
3S
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1.5 Formules de transformation
1.5.1 Somme et différence de deux angles
∀(α, β) ∈ 32 on a (sans démonstration) :
)sin()sin()cos()cos()cos( β⋅α−β⋅α=β+α (7))sin()cos()cos()sin()sin( β⋅α+β⋅α=β+α (8)
)(tg)(tg1
)(tg)(tg)(tg
β⋅α−β+α
=β+α (9)
)sin()sin()cos()cos()cos( β⋅α+β⋅α=β−α (10)
)sin()cos()cos()sin()sin( β⋅α−β⋅α=β−α (11)
)(tg)(tg1)(tg)(tg)(tgβ⋅α+ β−α=β−α
(12)
Toutes ces formules sont à savoir par cœur. Bien entendu, les formules (10)..(12) se déduisentassez facilement de (7)..(9).
1.5.2 Formules de duplication
Si β=α, les formules se simplifient. ∀α ∈ 3 on obtient :
)(sin)(cos)2cos( 22 α−α=α⋅ (13)
)cos()sin(2)2sin( α⋅α⋅=α⋅ (14)
)(tg1
)(tg2)2(tg
2 α−α⋅
=α⋅ (15)
Des équations précédentes (13).. (15), on déduit encore :
( ))2cos(12
1)(cos2 α⋅+⋅=α (16)
( ))2cos(1
2
1)(sin2 α⋅−⋅=α (17)
)2sin(2
1)sin()cos( α⋅⋅=α⋅α (18)
Ces formules paraissent nombreuses et "barbares", mais elles sont pour la plupart déductiblesdes trois relations (7)..(9). Leur connaissance permet souvent de simplifier considérablementles problèmes.
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Trigonométrie
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1.5.3 Formules du demi-angle
Il existe toute une kyrielle de formules mettant en valeur le demi-angle α/2 (voir vosformulaires). Elles ne sont pas d'un intérêt illimité, mises à part ces trois-ci :
α+
α
⋅=α
2tg1
2tg2
)sin(2
α+
α
−=α
2tg1
2tg1
)cos(2
2
α−
α
⋅=α
2tg1
2tg2
)(tg2
(19)
Ces trois formules sont très pratiques pour la résolution d'équations trigonométriques.
1.5.4 Transformations produit-somme
Des équations précédentes (7)..(12), on déduit encore pour toutes valeurs α et β réelles :
( ))cos()cos(2
1)cos()cos( β+α+β−α⋅=β⋅α (20)
( ))cos()cos(2
1)sin()sin( β+α−β−α⋅=β⋅α (21)
( ))sin()sin(2
1)sin()cos( β−α−β+α⋅=β⋅α (22)
Les équations (20)..(22) sont particulièrement pratiques pour les applications de modulationen télécommunications.
1.5.5 Transformations somme-produit
Des équations précédentes (7)..(12), on déduit encore pour toutes valeurs α et β réelles :
β−α⋅
β+α⋅=β+α
2cos
2cos2)cos()cos( (23)
α−β⋅
β+α⋅=β−α
2sin
2sin2)cos()cos( (24)
… (voir formulaire Gieck pour toutes les possibilités entre sin et cos)
1.5.6 Exemple
On veut calculer à la main cos(7π/12) et sin(7π/12).
On pose :
22
31
2
1
2
1
2
1
2
3
43sin
12
7sin
22
31
2
1
2
3
2
1
2
1
43cos
12
7cos
⋅+
=⋅+⋅=
π+
π=
π
⋅−
=⋅−⋅=
π+
π=
π
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1.5.7 Exemple
On veut trouver A et Φ tels que :
( ) ( )φ+⋅=⋅+⋅ xcosA)xsin(4xcos3On pose :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )φ⋅⋅−φ⋅⋅=⋅+⋅ sinxsinAcosxcosA)xsin(4xcos3
On compare les facteurs de cos(x) et sin(x) :
( )
( )φ⋅−=φ⋅=
sinA4
cosA3
Cela nous donne deux équations et deux inconnues, que l'on peut résoudre ainsi :
( ) ( )
( )34tg
AsinAcosA43 2222222
−=φ
=φ⋅+φ⋅=+
En étant prudent sur l'interprétation de la fonction arctg (Φ est dans le quatrième quadrant -voir la fonction arg(x, y) au §3.3.1 page 18), on trouve :
radians927.0
5A
−=φ=
En définitive :
( ) ( )927.0xcos5)xsin(4xcos3 −⋅=⋅+⋅
1.5.8 Exemple : modulation AM-P
Soit un signal x(t)=As⋅cos(2π⋅f s⋅t). On module ce signal en amplitude (modulation AM-P)avec une porteuse p1(t)=A p1⋅cos(2π⋅f p⋅t). Le signal modulé y(t) est le suivant :
( )[ ] ( )[ ]( )tf f 2costf f 2cos2
AA
)tf 2cos()tf 2cos(AA)t( p)t(x)t(y
s ps p1 ps
ps1 ps1
⋅−⋅π+⋅+⋅π⋅⋅
=
⋅⋅π⋅⋅⋅π⋅⋅=⋅=
Le signal modulé y(t) est l'addition de deux signaux d'amplitudes égales et de fréquences f p−f s et f p+f s. Comme en principe f p >> f s, le spectre du signal modulé se trouve "décalé" en haute
fréquence, et la bande passante du signal modulé y(t) est Bm = (f p+f s)−(f p−f s) = 2⋅f s.
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Pour démoduler le signal, il suffit de multiplier à nouveau y(t) par la porteuse p2(t)=A p2⋅cos(2π⋅f p⋅t). Attention : p2(t) doit être en phase avec p1(t) ! Pour cette raison, on parle de démodulation synchrone. Le signal démodulé z(t) est le suivant :
( ) ( )[ ] ( )[ ]
⋅−⋅⋅π⋅+⋅+⋅⋅π⋅+⋅⋅π⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅π⋅⋅⋅π⋅⋅⋅=⋅=
tf f 22cos41tf f 22cos
41tf 2cos
21AAA)t(z
)tf 2(cos)tf 2cos(AAA)t( p)t(y)t(z
s ps ps2 p1 ps
p2
s2 p1 ps2
On trouve ici l'addition de trois signaux, dont l'un est un multiple du signal original x(t), et lesdeux autres des signaux de fréquences plus élevées 2⋅f p−f s et 2⋅f p+f s. En filtrant z(t), il estfacile de rejeter ces signaux de fréquences élevées et de récupérer x(t) intégralement.
On a choisi ici un signal x(t) sinusoïdal. En fait, le même principe de modulation/démodulation fonctionne avec n'importe quel signal x(t) dont la bande passante B remplit lacondition suivante :
2f B p< (25)
Soit un conducteur de bande passante Bc large (100 kHz.. 100 MHz pour un câble coaxial) et plusieurs signaux xi(t) de bandes passantes Bi
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1.6 Résolution des équations trigonométriques simples
On aimerait résoudre dans l'intervalle [0, 2π[ une équation du type :
c)xsin( b)xcos(a =⋅+⋅ (26)
Pour illustrer la théorie, on va prendre un exemple concret :
4)xsin(3)xcos(5 =⋅+⋅ (27)
1.6.1 Première méthode
On remplace cos(x) ou sin(x) de la manière suivante :
)x(sin1)xcos( 2−= (28)
)x(cos1)xsin( 2−= (29)
Si on reprend notre exemple, on a :
4)xsin(3)x(sin15 2 =⋅+−⋅
)xsin(34)x(sin15 2 ⋅−=−⋅
)x(sin3)xsin(3816)x(sin2525 22 ⋅+⋅⋅−=⋅−
09)xsin(38)x(sin28 2 =−⋅⋅−⋅
=+⋅=
⋅−=−⋅
=
23
56120038)xsin(
314
3
56
120038)xsin(
2
1
De la première solution, on trouve : x1 = 5.903 rad et x2 = 3.522 radDe la seconde solution, on trouve : x3 = π/3 et x4 = 2π/3
En vérifiant les solutions, on se rend compte que x2 et x4 ne sont pas valables. C'est dû au faitqu'en mettant au carré l'équation triviale, on a doublé artificiellement les solutions. On adonc S = {π/3; 5.903}
1.6.2 Deuxième méthode
On pose t=tg(x/2) et on remplace cos(x) ou sin(x) de la manière suivante :
2
2
2
2
t1
t1
2
xtg1
2
xtg1
)xcos(+−
=
+
−
= (30)
22 t1
t2
2
xtg1
2
xtg2
)xsin(+⋅
=
+
⋅
= (31)
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Attention Avec cette méthode, il arrive qu'on manque des solutions si x=π+k ⋅2π estsolution de l'équation, car dans ce cas-là tg(x/2) n'est pas définie… Parconséquent, il faut toujours vérifier si x=π est solution ou pas de manièreséparée…
On résout la même équation qu'auparavant.a) Est-ce que x=π est solution ? Réponse: non, donc on peut continuer.
b) On substitue…
4t1
t23
t1
t15
22
2
=+⋅
⋅++−
⋅
22 t44t32t55 ⋅+=⋅⋅+⋅− 01t32t9 2 =−⋅⋅−⋅
=+⋅
=
−=
−⋅
=
3
1
18
4832t
33
1
18
4832
t
2
1
De la première solution, on trouve : x1/2 = −0.19, donc x1= −0.38. Comme on veut unesolution dans l'intervalle [0, 2π] il faut ajouter 2π, donc x1 = 5.903De la seconde solution, on trouve : x2/2 = π/6, donc x2= π/3
Cette méthode a l'avantage de ne pas doubler les solutions. On a donc S = {π/3; 5.903}
Exemple : résoudre dans R l'équation suivante :
13
x3cos3
x3sin =
π−−
π−
On substitue3
x3u π
−= et donc
( ) ( ) 1ucosusin =−
Est-ce que u=π est solution ? Réponse: oui, donc :
a) π⋅+π=π− 2k 3
x3 ⇒ 3
2k 9
4x π⋅+π= avec k ∈Z
A présent on substitue
π−=
=
62
x3tg
2
utgt et on continue :
b) 1t1
t1
t1
t22
2
2 =+−
−+
⇒
π−==
62
x3tg1t ⇒ π⋅+
π=
π− k
462
x3
⇒ 3
2k
18
5x
π⋅+
π=
Solution finale : π
⋅+ππ
⋅+π
= 32
k 9
4;3
2k 18
5S avec k ∈Z
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De manière général, il faut s'inquiéter quand les termes en t2 disparaissent ! C'est l'indicationselon laquelle une solution de type x=π+k ⋅2π est à étudier…
1.7 Linéarisation
On appelle linéarisation l'opération qui permet de transformer une expression contenant des puissances en une expression qui n'en contient plus.
1.7.1 Exemple
Linéariser a) f(x) = cos4(x) − sin4(x) b) g(x) = cos4(x) + sin4(x)
On pose pour a) :
( ) ( )
( )( ) ( )( )
[ ]( )
)x2cos(
)x2(cos)x2cos(21)x2(cos)x2cos(214
1x2cos14
1
x2cos14
1
xsinxcos)x(f
22
22
44
=
+⋅−−+⋅+⋅=
−⋅−+⋅=
−=
On pose pour b) :
( ) ( )
[ ]( )
( ))x4cos(34
1
))x4cos(1(2
112
1))x2(cos1(2
1
)x2(cos)x2cos(21)x2(cos)x2cos(214
1
xsinxcos)x(g
2
22
44
+⋅=
+⋅+⋅=+⋅=
+⋅−++⋅+⋅=
+=
1.7.2 Exemple
Mettre l'expression f(x)=cos(2x)+sin(3x) sous forme de puissances de sin(x) et cos(x).
On pose :
)x3sin()x2cos()x(f +=
( ) )xsin()x(sin)x(cos)x(cos)xsin(2)x(sin)x(cos)x(f )xsin()x2cos()xcos()x2sin()x(sin)x(cos)x(f
)xx2sin()x2cos()x(f
22222
22
⋅−+⋅⋅+−=
⋅+⋅+−=++=
)x(sin)x(cos)x(cos)xsin(3)x(sin)x(f 2223 −+⋅⋅+−=
Note La fonction f(x) n'a pas de valeur moyenne : en d'autres termes, la fonction a des valeurs positives et négatives en "quantités égales" sur un très long intervalle. Cette propriétéest immédiatement visible dans la forme linéaire, mais pas du tout dans la forme non-linéaire. D'une manière générale, la forme linéaire est toujours plus "parlante".
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Trigonométrie
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2 Formules trigonométriques dans un triangle quelconque
2.1 Théorème du cosinus
Le théorème du cosinus est la formule généralisée de Pythagore pour un triangle non
rectangle. Soit ABC un triangle quelconque :
A B
C
a b
c
Figure 8
On pose : a=BC, b=AC et c=AB.
On obtient :
)Ĉcos( ba2 bac
)B̂cos(ca2ca b
)Âcos(c b2c ba
222
222
222
⋅⋅⋅−+=
⋅⋅⋅−+=
⋅⋅⋅−+=
(32)
2.2 Aire du triangle
L'aire du triangle est définie de trois manières différentes :
)B̂sin(ca2
1S
)Ĉsin( ba2
1S
)Âsin(c b2
1S
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
(33)
2.3 Théorème du sinusLe théorème du sinus s'énonce ainsi, r étant le rayon du cercle circonscrit au triangle :
r 2)Ĉsin(
c
)B̂sin(
b
)Âsin(
a⋅=== (34)
2.3.1 Exemple
Soit un triangle avec les longueurs a=2 cm, b=3 cm, c=4 cm. Déterminer les angles Â, B̂ etC, ainsi que la surface de ce triangle.
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On déduit du théorème du cosinus :
deg5.104 ba2
c baarccosĈ
deg6.46ca2
bcaarccosB̂
deg9.28c b2
ac barccosÂ
222
222
222
=
⋅⋅−+
=
=
⋅⋅−+
=
=
⋅⋅−+
=
(35)
Quant à la surface, on trouve S=2.9 cm2.
Le résultat est illustré par la Figure 8, qui montre un triangle exactement proportionnel(triangle semblable) à celui de notre exemple.
3 Déterminations principales et fonctions réciproques
Les fonctions trigonométriques cos(x), sin(x) et tg(x) ne sont pas bijectives. Conclusion : lesfonctions réciproques arccos(x), arcsin(x) et arctg(x) posent le problème de l'univocité dessolutions.
Soient deux réels x et y tels que y ∈ [−1, 1] et y = sin(x). Considérons à présent la valeurx2=π−x. On trouve :
y)xsin()xsin()xsin( 2 ==−π= (36)
Admettons encore deux entiers relatifs n et m quelconques. Si on définit un nombre infini devaleurs xn=x+n⋅2π et xm=x2+m⋅2π, on voit que sin(xm) = sin(xn) = sin(x) = y.
En conclusion, on voit qu'il existe une infinité de valeurs xi pour lesquelles sin(xi)=y. Unraisonnement analogue est possible avec les fonctions cos(x) et tg(x). Cela pose un problème
pour les fonctions réciproques arcsin, arccos et arctg. En effet, à un élément de l'ensemble dedéfinition ne peut correspondre qu'un et un seul élément dans l'ensemble image.
Pour contourner ce problème, on définit dans l'ensemble des réels 3 un segment limité appelédétermination principale. Lorsque cette limitation est acceptée, les fonctionstrigonométriques deviennent bijectives et les fonctions réciproques n'admettent plus qu'une et
une seule valeur à l'intérieur de ce segment. Nos calculatrices ne font rien d'autre lorsqu'ellescalculent le résultat d'une fonction trigonométrique réciproque: elles renvoient la valeur situéedans la détermination principale de cette fonction. C'est à l'utilisateur de savoir que d'autressolutions existent, et c'est à lui que revient la responsabilité de choisir laquelle est la plusappropriée.
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Trigonométrie
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3.1 Détermination principale de sin(x)
La détermination principale de sin(x) est Df=[-π/2, π/2]. La Figure 9 illustre l'ensemble dedéfinition et l'ensemble image de sin(x) dans sa détermination principale.
-π 0 π
-1 0 1
x
y
-π/2 π/2sin(x) arcsin(y)
Figure 9
Voici la courbe y=sin(x) dans sa détermination principale :
1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.51
0
1
1
1−
sin x( )
0
xmaxxmin x
Figure 10
3.2 Détermination principale de cos(x)
La détermination principale de cos(x) est Df=[0, π]. La Figure 11 illustre l'ensemble dedéfinition et l'ensemble image de cos(x) dans sa détermination principale.
-π 0 π
-1 0 1
x
y
-π/2 π/2
cos(x)arccos(y)
Figure 11
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Trigonométrie
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Voici la courbe y=cos(x) dans sa détermination principale :
0 0.5 1 1.5 2 2.5 31
0
11
1−
cos x( )
0
xmaxxmin x
Figure 12
3.3 Détermination principale de tg(x)
La détermination principale de tg(x) est Df=]-π/2, π/2[. La Figure 13 illustre l'ensemble dedéfinition et l'ensemble image de tg(x) dans sa détermination principale.
-π 0 π
0
x
y
-π/2 π/2
tg(x) arctg(y)
Figure 13
Voici la courbe y=tg(x) dans sa détermination principale :
1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.510
0
1010
10−
tg x( )
0
xmaxxmin x
Figure 14
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Trigonométrie
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3.3.1 Problème de quadrants
Souvent, en électrotechnique ou en géométrie analytique, il est possible de déterminerexactement la valeur de ϕ=arctg(y/x) dans tout l'intervalle [0, 2π[ si on connaît lescomposantes du rapport x et y.
On invente une nouvelle fonction arg(x, y) avec la règle suivante :
y x ϕ = arg(x, y) positif positif premier quadrant 0 ≤ ϕ < π/2 positif négatif deuxième quadrant π/2 < ϕ < π négatif négatif troisième quadrant π ≤ ϕ < 3π/2 (ou −π ≤ ϕ < −π/2)négatif positif quatrième quadrant 3π/2 < ϕ < 2π (ou −π/2 < ϕ ≤ 0)
positif x=0 ϕ = π/2négatif x=0 ϕ = 3π/2 (ou ϕ = −π/2)
La fonction arg(x, y) peut être définie par morceaux :
=π
=
0yet0xsi2/3
0yet0xsi2/
0xsix
yarctg
0xsix
yarctg
)y,xarg( (37)
Exemples arg(1, −1) = −π/4arg(−1, 1) = π−π/4 = 3π/4arg(0, 1) = π/2
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Résumé des formules importantes
)sin()sin( α−=α− )cos()cos( α=α−
)(tg)(tg α−=α− ( )α−π=α sin)sin(
π−α=α
2cos)sin(
( )α−=α cos)cos(
α−
π=α
2sin)cos(
( )π+α=α tg)(tg)cos(
)sin()(tg
αα
=α
)(tg)(tg1)(tg)(tg)(tg
)sin()cos()cos()sin()sin(
)sin()sin()cos()cos()cos(
β⋅α−β+α=β+α
β⋅α+β⋅α=β+αβ⋅α−β⋅α=β+α
)(tg1)(tg2)2(tg
)cos()sin(2)2sin(
)(sin)(cos)2cos(
2
22
α−α⋅=α⋅
α⋅α⋅=α⋅α−α=α⋅
)(tg)(tg1
)(tg)(tg)(tg
)sin()cos()cos()sin()sin(
)sin()sin()cos()cos()cos(
β⋅α+β−α
=β−α
β⋅α−β⋅α=β−αβ⋅α+β⋅α=β−α
( )
( )
( ))sin()sin(2
1)sin()cos(
)cos()cos(2
1
)sin()sin(
)cos()cos(2
1)cos()cos(
β−α−β+α⋅=β⋅α
β+α−β−α⋅=β⋅α
β+α+β−α⋅=β⋅α
( )
( )
)2sin(2
1)sin()cos(
)2cos(12
1
)(sin
)2cos(12
1)(cos
2
2
α⋅⋅=α⋅α
α⋅−⋅=α
α⋅+⋅=α
α+
α⋅
=α
2tg1
2tg2
)sin(2
α+
α−
=α2
tg1
2tg1
)cos( 2
2