Exerccios resolvidos sobre Teoremas deProbabilidade

Aqui voc tem mais uma oportunidade de estudar os teoremas da probabilidade, por meio de umconjunto de exerccios resolvidos. Observe como as propriedades da probabilidade se aplicam aos

problemas apresentados.

Exerccio 1

Em uma empresa h 10 homens e 25 mulheres. Entre os homens, 5 so formados em Direito e, entre

as mulheres, 7 so formadas tambm em Direito. Os demais so formados em Administrao. Ao

sortear uma pessoa desse grupo:

a) qual a probabilidade de ser um homem formado em Administrao?

b) sabendo-se que a pessoa sorteada formada em Administrao, qual a probabilidade de ser

homem?

c) sabendo-se que um homem, qual a probabilidade de ser formado em Administrao?

d) sabendo-se que a pessoa sorteada formada em Direito, qual a probabilidade de ser umamulher?

e) sabendo-se que a pessoa sorteada uma mulher, qual a probabilidade de ser formada em

Direito?

Soluo

Enunciado

Em uma empresa h 10 homens e 25 mulheres. Entre os homens, 5 so formados em Direito e, entre

as mulheres, 7 so formadas tambm em Direito. Os demais so formados em Administrao. Ao

sortear uma pessoa desse grupo:

a) qual a probabilidade de ser um homem formado em Administrao?

b) sabendo-se que a pessoa sorteada formada em Administrao, qual a probabilidade de ser

homem?

c) sabendo-se que um homem, qual a probabilidade de ser formado em Administrao?

d) sabendo-se que a pessoa sorteada formada em Direito, qual a probabilidade de ser umamulher?

e) sabendo-se que a pessoa sorteada uma mulher, qual a probabilidade de ser formada em

Direito?

Soluo

As informaes dadas so:

Sejam os eventos:

H = ser homem

M = ser mulher

A = ser formado(a) em Administrao

D = ser formado(a) em Direito

Vamos verificar as alternativas uma a uma.

a) Temos de calcular a probabilidade de ser um homem e de ser formado em Administrao

Evento interseco Regra do Produto

b) Para calcular a probabilidade de a pessoa sorteada ser homem, sabendo-se que ela formada em Administrao, fazemos a aplicao direta da Probabilidade Condicionada.

c) Para calcular a probabilidade de a pessoa ser formada em Administrao, sabendo-se que o

sorteado foi um homem, aplicamos a Probabilidade Condicionada.

d) O clculo utilizado da Probabilidade Condicionada:

e) Mais uma vez, trata-se da Probabilidade Condicionada:

Exerccio 2

preciso formar uma comisso e para sua constituio h disponveis 2 professores e 4 assistentes.So escolhidas ao acaso 3 pessoas. Qual a probabilidade de que sejam escolhidos para esta

comisso 1 professor e 2 assistentes?

Soluo

Enunciado

preciso formar uma comisso e para sua constituio h disponveis 2 professores e 4 assistentes.

So escolhidas ao acaso 3 pessoas. Qual a probabilidade de que sejam escolhidos para estacomisso 1 professor e 2 assistentes?

Soluo

Temos: 2 professores

4 assistentes

Queremos formar uma comisso com trs pessoas, escolhidas ao acaso. H maneiras

de fazer isso.

Consideremos, agora, o caso particular em que a comisso formada por um professor e dois

assistentes. Existem duas maneiras de escolher esse professor (dentre os dois disponveis) e

maneiras de escolher os dois assistentes (dentre os quatro disponveis). Assim, o total de

comisses formadas por um professor e dois assistentes

Portanto, se E for o evento a comisso constituda por um professor e dois assistentes, teremos

Exerccio 3

Um casal vai mergulhar em busca de prolas no oceano. Sabemos que em razo das habilidades e do

condicionamento fsico deles, o rapaz tem 3/7 de chance de encontrar alguma prola e a moa, 2/7

de chance. Sabemos que a chance de os dois encontrarem prolas de 1/7. Sabendo-se que o rapaz

encontrou uma prola:

a) Qual a chance de a moa NO ter achado prola alguma antes e depois de saber que seuesposo encontrou uma delas?

b) Qual a chance de a moa encontrar uma prola depois de saber que o rapaz conseguiu uma

prola?

c) Decida se o evento de no encontro de prola do rapaz mutuamente excludente ao evento do

no encontro de prola da moa.

d) Sem ter a informao do achado do rapaz, qual a chance de somente um deles encontrar alguma

prola?

Soluo

Enunciado

Um casal vai mergulhar em busca de prolas no oceano. Sabemos que em razo das habilidades e do

condicionamento fsico deles, o rapaz tem 3/7 de chance de encontrar alguma prola e a moa, 2/7

de chance. Sabemos que a chance de os dois encontrarem prolas de 1/7. Sabendo-se que o rapaz

encontrou uma prola:

a) Qual a chance de a moa NO ter achado prola alguma antes e depois de saberque seu esposo encontrou uma delas?

b) Qual a chance de a moa encontrar uma prola depois de saber que o rapaz

conseguiu uma prola?

c) Decida se o evento de no encontro de prola do rapaz mutuamente excludente ao

evento do no encontro de prola da moa.

d) Sem ter a informao do achado do rapaz, qual a chance de somente um deles

encontrar alguma prola?

Soluo

Sejam os eventos:

HA = rapaz encontra prola

HS = rapaz no encontra prola

MA = moa encontra prola

MS = moa no encontra prola

Sabemos que P(HA) = 3/7, P(MA) = 2/7 e P(HA MA) = 1/7.

Vamos verificar cada uma das alternativas.

a) Uma informao adicional pode alterar a probabilidade de ocorrncia de um evento. Sem a

informao sobre o sucesso do rapaz, a chance de insucesso da moa calculada pelo evento

complementar.

Aps a informao, calculamos tambm pelo evento complementar, atentando para o espao

amostral considerado (que inclui apenas os eventos em que o rapaz encontra uma prola):

A probabilidade P(MA|HA) calculada pela expresso da Probabilidade Condicionada:

Ento, substituindo na expresso anterior:

Portanto, a informao sobre o achado do rapaz afeta a chance de a moa no encontrar algo.

b) Aps a informao de que o rapaz encontrou uma prola, a chance de a moa encontrar

calculada pela Probabilidade Condicionada:

c) Eventos mutuamente excludentes devem apresentar interseco nula. Nesse caso, devemosprocurar calcular a interseco dos eventos de encontrar uma prola para cada um deles. Pela Regra

do Produto temos:

Porm no sabemos ainda o valor de P(MS|HS). No entanto, podemos obt-lo por meio do teoremada Probabilidade Total, pois a chance de a moa achar uma prola depende de o rapaz ter

encontrado ou no.

Foi calculada anteriormente a probabilidade de a moa no ter achado nenhuma prola, dado que orapaz encontrou:

Assim, podemos fazer as substituies na expresso da Probabilidade Total e obter o valor de

P(MS|HS).

Voltando Regra do Produto, temos ento:

E, como a probabilidade de ocorrncia de interseco no nula, os eventos no so mutuamenteexcludentes.

d) Sem ter a informao do achado do rapaz, a chance de somente um dos dois encontrar uma

prola calculada pela Regra da Soma para a ocorrncia de algum dos eventos HS e MA e HA eMS, que so mutuamente excludentes.

P(MA|HS) nada mais que a probabilidade de o evento complementar a MS|HS, cujaprobabilidade foi calculada no item anterior.

P(MS|HA) tambm foi calculada anteriormente e vale 2/3. Portanto, substituindo na Regra da Soma:

Exerccio 4

Considere trs caixas, cada uma delas com dois compartimentos. Na caixa 1 h uma nota de R$ 50

em cada compartimento. Na caixa 2 h uma nota de R$ 10 em cada compartimento. Na caixa 3 huma nota de R$ 50 em um compartimento e uma nota de R$ 10 em outro. Escolhendo uma caixa aoacaso, abrimos um compartimento. Se a nota de R$ 50, qual a probabilidade de que no outro

compartimento tambm haja uma nota de R$ 50?

Soluo

Enunciado

Considere trs caixas, cada uma delas com dois compartimentos. Na caixa 1 h uma nota de R$ 50em cada compartimento. Na caixa 2 h uma nota de R$ 10 em cada compartimento. Na caixa 3 h

uma nota de R$ 50 em um compartimento e uma nota de R$ 10 em outro. Escolhendo uma caixa aoacaso, abrimos um compartimento. Se a nota de R$ 50, qual a probabilidade de que no outrocompartimento tambm haja uma nota de R$ 50?

Soluo

Este exerccio mais simples do que parece.

Supondo que a primeira nota retirada era de R$ 50, queremos saber a chance de a segunda tambmser de R$ 50.

A interseco dos eventos em questo ocorre apenas na caixa 1, que contm 2 notas de R$ 50.

Ento:

A probabilidade de retirar em primeiro lugar uma nota de R$ 50 pode ser entendida da seguinte

forma: temos 6 notas no total, das quais apenas 3 so de R$ 50. Isso possvel, pois igualmenteprovvel escolher qualquer uma das 3 caixas, assim como os compartimentos. Logo:

Ento, substituindo na primeira expresso:

Exerccio 5

Em uma caixa existem 3 envelopes brancos e 2 envelopes pardos. Eles so extrados da caixa sem

reposio. Calcule:

a) a chance de que saiam trs envelopes brancos sucessivos.

b) a chance de que saiam 2 pardos sucessivamente

c) a chance de que saiam ou 2 pardos sucessivos ou 3 brancos sucessivos.

d) a chance de que os envelopes sejam sorteados em tipos intercalados.

Soluo

Enunciado

Em uma caixa existem 3 envelopes brancos e 2 envelopes pardos. Eles so extrados da caixa semreposio. Calcule:

a) a chance de que saiam trs envelopes brancos sucessivos.

b) a chance de que saiam 2 pardos sucessivamente

c) a chance de que saiam ou 2 pardos sucessivos ou 3 brancos sucessivos.

d) a chance de que os envelopes sejam sorteados em tipos intercalados.

Soluo

Considere os eventos:

A = sarem 3 brancos sucessivos

B = sarem 2 pardos sucessivos

E = sarem intercalados

Vamos testar as alternativas uma a uma:

a) A chance de que saiam 3 brancos sucessivos de 0,3.

Antes de calcular as probabilidades das retiradas, devemos verificar quantas so as permutaespossveis. Neste caso so 3. Observe:

Agora sim, vamos aplicar a Regra do Produto, multiplicando as probabilidades por 3.

b) A chance de que saiam 2 pardos sucessivamente 0,4.

A resoluo anloga do item anterior.

Aplicando a Regra do Produto:

c) A chance de que saiam ou 2 pardos sucessivos ou 3 brancos sucessivos de 0,5.

Como calculamos nos itens anteriores:

Para obtermos a probabilidade de ocorrncia do evento unio, aplicamos a Regra da Soma:

Observe que existem duas combinaes, entre as 10 possveis, em que os eventos ocorremsimultaneamente:

Portanto, e, substituindo na Regra da Soma, temos:

d) A chance de que os envelopes sejam sorteados em tipos intercalados de 0,1.

Aqui, aplicamos a Regra do Produto para a nica combinao possvel em que os envelopes saemintercalados.

Exerccio 6

Considere dois eventos A e B. Sabendo que P(A) = 0,4 e P(A U B) = 0,7. Seja P(B) = p. A partirdisso, calcule os valores de p para que os eventos A e B sejam:

a) Mutuamente excludentes

b) Independentes

Soluo

Enunciado

Considere dois eventos A e B. Sabendo que P(A) = 0,4 e P(A U B) = 0,7. Seja P(B) = p. A partir

disso, calcule os valores de p para que os eventos A e B sejam:

a) Mutuamente excludentes

b) Independentes

Soluo

Eventos mutuamente excludentes so aqueles cuja interseco nula. Nesse caso, conforme o

axioma visto na primeira aula, a probabilidade de ocorrncia da unio dos eventos calculadadiretamente pela soma de cada uma das probabilidades.

Eventos independentes so aqueles tais que a ocorrncia de um deles no altera a probabilidade deocorrncia do outro. Ou seja:

Neste caso, a probabilidade da interseco calculada pelo produto das probabilidades de cada umdos eventos elementares. Dessa forma, aplicando a Regra da Soma teremos:

Exerccio 7

Considere o circuito eltrico ilustrado a seguir. preciso que passe um pulso entre os pontos A e B.

Como a estrutura onde ele est instalado muito precria, cada chave ilustrada do circuito temprobabilidade igual a de estar fechada. Alm disso, cada chave tem funcionamento completamente

independente das demais. Qual a chance de sucesso do pulso?

Soluo

Enunciado

Considere o circuito eltrico ilustrado a seguir. preciso que passe um pulso entre os pontos A e B.Como a estrutura onde ele est instalado muito precria, cada chave ilustrada do circuito tem

probabilidade igual a de estar fechada. Alm disso, cada chave tem funcionamento completamenteindependente das demais. Qual a chance de sucesso do pulso?

Soluo

Vamos analisar em que condies o pulso no ser transmitido entre os terminais.

No haver transmisso se:

Chave 1 aberta OU chave 2 aberta:

Chaves 4 e 5 abertas OU chave 3 aberta:

Ento, a chance de no passar o pulso de:

E a chance de passar o pulso ser dada pelo evento complementar:

Exerccio 8

Este exerccio conhecido como jogo das 3 portas e consiste em 3 portas das quais apenas umadelas esconde um prmio. O participante escolhe uma delas na qual ele acredita estar o prmio. Uma

vez escolhida a porta, o apresentador, que sabe onde est o prmio, abre uma porta sem prmio queno tenha sido escolhida pelo participante. Restam assim a porta escolhida pelo participante e a outrafechada. Por fim o apresentador pergunta se o participante quer trocar de porta ou continuar com aprimeira escolhida.

Se voc estivesse participando do jogo e o apresentador te desse a opo de trocar de porta, o quevoc faria?

Soluo

Enunciado

Este exerccio conhecido como jogo das 3 portas e consiste em 3 portas das quaisapenas uma delas esconde um prmio. O participante escolhe uma delas na qual eleacredita estar o prmio. Uma vez escolhida a porta, o apresentador, que sabe ondeest o prmio, abre uma porta sem prmio que no tenha sido escolhida peloparticipante. Restam assim a porta escolhida pelo participante e a outra fechada. Porfim o apresentador pergunta se o participante quer trocar de porta ou continuar com aprimeira escolhida.

Se voc estivesse participando do jogo e o apresentador te desse a opo de trocar deporta, o que voc faria?

Soluo

comum pensar que, aps a abertura de uma das portas (que no esconde o prmio),a probabilidade de acerto passa a ser 1/2, pois existem agora apenas duas portaspossveis. No entanto, devemos lembrar que probabilidade uma medida dainformao que temos a respeito da ocorrncia de um evento.

Como vimos nesta unidade, a probabilidade condicional depende exatamente daquantidade de informao que temos a respeito de dois eventos sucessivos.

Nesse caso, os eventos so a escolha de uma porta e a posterior abertura de outradelas. O que ocorre teoricamente simples.

Quando inicialmente se escolhe uma das portas, apesar de contarmos com nossaintuio, a informao que temos clara: temos 1/3 de chance de ganhar comqualquer uma das portas. No entanto, quando o apresentador escolhe uma das portasrestantes e abre, a informao que temos a respeito do jogo muda.

Sabemos que o apresentador detm a informao de qual porta esconde o prmio.Sabemos tambm que ele jamais abriria essa porta, afinal o jogo acabaria logo.

Com a abertura dessa porta o que ocorre simples: a chance de o prmio estar naporta que escolhemos continua a ser de 1/3; afinal, uma vez escolhida nossa porta, nadaaconteceu com ela at o momento. Ela continua sendo a mesma porta do incio do jogocom essa probabilidade de sucesso. Contudo, ganhamos a informao de que a portaaberta passou a ter 0% de chance de conter o prmio. Automaticamente, a porta queno foi escolhida nem aberta passa a ser detentora de das chances de esconder oprmio.

Em um primeiro momento parece inacreditvel e incorreta essa concluso, contudoaps refletir bastante voc ver que coerente com a teoria aprendida.