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7/31/2019 30577079-Estatistica-Concursos-ESAF-1

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www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila: Estatstica p/Concursos - ESAF por Luciano Barbosa da Silva

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Apostila de Estatstica

Assunto:

ESTATSTICA

P/CONCURSOS

ESAF


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Autor:

LUCIANO BARBOSA DA SILVA

Introduo Estatstica Estatstica


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uma coleo de mtodos para PLANEJAR

EXPERIMENTOS, OBTER DADOS, ORGANIZ-LOS,

RESUMI-LOS, ANALIS-LOS, INTERPRET-LOS e deles

EXTREAIR CONCLUSES.

A estatstica uma cincia da INFORMAO.

DEFINIES IMPORTANTES

a)INDIVDUOS So os objetos descritos por um conjunto

de Dados. Os indivduos podem ser: pessoas, coisas, animais

etc.;

b)VARIVEL qualquer caracterstica de um indivduo;

c)POPULAO - a coleo completa de todos os

indivduos a serem estudados;

d)CENSO uma coleo de dados relativos a todos os

elementos de uma populao;

e)AMOSTRA uma sub-coleo de elementos extrados de

uma populao;


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Exemplo Nos EUA, uma pesquisa Nielsen tpica da

televiso utiliza uma amostra de 4000 lares e com base nos

resultados formula concluses acerca da populao de todos

os 97.855.392 lares americanos.

f)PARMETRO uma medida numrica que descreve

uma caracterstica de uma populao;

g)ESTATSTICA uma medida numrica que descreve

uma caracterstica de uma amostra;

Exemplo Pesquisa feita pela Bruskin-Goldring Research

com 1015 pessoas escolhidas aleatoriamente, 269 (26,5%)

possuam computador. Como a cifra de 26,5% se baseia em

uma amostra, e no em toda a populao trata-se de uma

estatstica (e no de um parmetro). Por outro lado de uma

pesquisa cuja populao alvo so os alunos matriculados na

disciplina de estatstica, feita com cada um desses alunos

revela que 26,5% no possuem computador em casa isto

um parmetro.


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h)EXPERIMENTO - Conjunto de procedimentos reprodutveis

que visam a obteno de informao sobre uma dada

realidade.

i)EXPERIMENTO DETERMINSTICO - aquele que

garantidas as mesmas condies iniciais o resultado ser

o mesmo.

Exemplo - Observar a temperatura de ebulio da gua

em condies normais de temperatura e presso.

Exemplo - Soltar um objeto a certa altura e calcular a

velocidade com que chega ao solo.

ii)EXPERIMENTO ALEATRIO - aquele que mesmo

garantindo as condies iniciais impossvel prever com

certeza o resultado do mesmo.

Exemplo - O lanamento de uma moeda;

Exemplo - O comportamento de um ndice financeiro

como o Ibovespa (Bolsa de Valores de So Paulo);


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e)VARIVEIS ALEATRIAS (VA) - So funes que associam

valores numricos a resultado de experimentos aleatrios;

i)VA's DISCRETAS - So aquelas que assumem um

numero finito ou infinito e enumervel de valores;

Praticamente podemos pensar na variveis aleatrias

discretas como funes que associam resultado de

experimentos aleatrios a nmeros inteiros.

Dica - Todas as variveis aleatrias associadas a

contagem so discretas.

Exemplo: Suponha que lancemos um dado e chamemos X

uma VA que assume o valor da face do dado que estiver

para cima. X s pode assumir 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. X,

portanto, discreta.

Exemplo - Suponhamos agora que um estudo sobre uma

populao em que estivessemos interessados em entender

o perfil educacional. Suponha que num questionrio

constasse o seguinte item: Escolaridade, e que as

respostas possveis a esse item fossem: 0 - Analfabeto; 1 -


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1 Grau Incompleto; 2 - 2 Grau incompleto; 3 - 3 Grau

Incompleto; 4 - 3 Grau Completo; 5 - Ps-graduao em

andamento; 6 - Ps-graduao completa.

Se associarmos uma VA X a esses valore, de modo que X

sp possa assumir 0, 1, 2, 3, 4, 5, ou 6 temo X como uma

VA discreta.

Se num outro item do questionrio tivessemos Sexo: 0 -

Masculino ou 1 - Feminino, e associamos uma VAY, de

modo que Y s pode assumir 0 ou 1, temos que Y uma

VA discreta;

Exemplo: Suponha que voc um dono de restaurante.

Defina X como o nmero de clientes que almoam no seu

restaurante a cada dia. X pode assumir 0, 1, 2, 3, 4.... X

uma VA discreta.

ii)VA's CONTNUAS - So aquelas que assumem uma

quantidade no-enumervel de valores. Para efeitos


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prticos aquelas que podem assumir valores num sub-

conjunto dos reais.

Dica - Todas as variveis associadas medidas que

dependam da preciso de um instrumento so contnuas.

Exemplo - Nos estudos astronmicos o tempo aparece em

medida de bilhes de anos. Nessa escala anos, dias e horas

so despresveis. Para a histria humana uma escala de anos

compe um quadro suficiente. Para o dia a dia um relgio

que marque hora e minutos suficiente para acertamos

nossos compromissos. Para a frmula 1 os cronmetros

precisam dos milsimos. Assim a durao do tempo uma

medida que pode ser detalhada infinitamente, sem deixar de

ser medida de tempo. Se X uma VA que mede a durao

de tempo X uma VA contnua.

OBS - No caso do exemplo anterior note que h uma

depend6encia da preciso do instrumento de medida.

Exemplo - Um estudo deseja entender a distribuio de

alturas no Brasil. Recolhe-se uma amostra e defne-se X

como a altura de um indivduo. X depende da preciso do


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instrumento e pode ser subdividida infinitamente, sem

deixar de ser uma medida coerente de altura. X uma VA

contnua.

PRINCIPAIS PARTES DA CINCIA ESTATSTICA

a)PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTO e

AMOSTRAGEM a parte da estatstica responsvel pela

gerao e/ou coleta dos dados;

b)ESTATSTICA DESCRITIVA a parte da estatstica

responsvel pela organizao e explorao de informaes

nos dados amostrais;

c)INFERNCIA ESTATSTICA a parte da estatstica

que a partir das informaes amostrais e utilizando

TEORIA AS PROBABILIDADES faz afirmaes sobre

toda a populao com um grau de certeza controlado.

Natureza dos Dados


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Dados Quantitativos Consistem em nmeros que

representam contagens ou medidas;

Dados Qualitativos (Categricos ou Atributos) Consiste em

simbolos que representam categorias.

Exemplo Dados Quantitativos Medidas de Altura;

Dados Qualitativos Sexo, Escolaridade.

Os dados quantitativos podem ser divididos em duas

classes:

a)Dados Discretos Resultam de um conjunto finito ou

enumervel de valores (em geral dados que se expressam

por nmeros inteiros);

b)Dados Contnuos Resultam de um nmero no-

enumervel de valores (em geral dados que se expressam

por nmeros reais).

OBS Quando os dados representam contagens so discretos

e quando representam medies so contnuos;


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Outra forma de classificao:

a)Nvel Nominal de Mensurao caraterizado por dados

que consistem apenas em nomes, rtulos ou categorias. Os

dados nominais no podem ser dispostos segundo um

esquema ordenado.

Exemplo Respostas Sim ou No, Sexo (Dados

Binrios), Marca de Automveis

OBS s vezes atribui-se nmeros a categorias (em especial

quando so utilizados computadores), mas tais nmeros no

tm qualquer significado para efeito de clculo.

Exemplo Sexo Masculino = 1, Feminino = 0

Marca de Automvel Ferrari = 1, Mercedes = 2,

Outros = 3

b)Nvel Ordinal de Mensurao Envolve dados que podem

ser dispostos em alguma ordem, mas as diferenas entre os

valores dos dados no podem ser determinadas ou no tm

sentido.


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Sumrio do que foi apresentado

Nvel Sumrio Exemplo

Nomin

al

To somente categorias. Os

dados no podem ser

dispostos em um esquema

ordenado.

Carros:

10 Ferrari;

20 Mercedes

30 Honda

Ordin

al

As categorias so ordenveis

mas no podemos estabelecer

diferenas, ou estas no tm

sentido.

Carros:

10 Compactos

20 Mdios

40 Grandes

Interv

alo

Podemos determinara

diferena entre valores, mas

no h ponto de partida

intrnseco. As razes no tm

sentido.

Temperatura:

15C

25C

30C

(30 no duas

vezes mais quente

que 15)

Razo Como intervalo, mas com um Peso:


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ponto de partida inerente. As

razes tm sentido.

70Kg

90Kg

140Kg

(140Kg duas

vezes mais pesado

que 70Kg)


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ESTATSTICA DESCRITIVA

Definio um conjunto de tcnicas que visa: organizar e

sumarizar a informao contida nos dados.

Para este fim utiliza-se TABELAS e GRFICOS

(organizao) e MEDIDAS (de centralidade e de disperso, p/

sumarizao).

TABULAO

Normas para Apresentao Tabular da Estatstica Brasileira.

Resoluo N 886, de 26 de outubro de 1966. (Pontos

Principais)

Definies

Uma tabela estatstica compe-se de elementos essenciais e

elementos complementares.

Os elementos essenciais de uma tabela estatstica so: o ttulo,

o corpo, o cabealho e a coluna indicadora.

Ttulo a indicao que precede a tabela e que contm a

designao do fato observado, o local e a poca em que foi

registrado.


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O corpo o conjunto de colunas e linhas que contm

respectivamente, em ordem horizontal e vertical, as informaes

sobre o fato observado.

Casa o cruzamento de uma coluna com uma linha.

As casas no devero ficar em branco, apresentando sempre

um nmero ou um sinal convencional.

Cabealho a parte superior da tabela que especifica o

contedo das colunas.

Coluna indicadora a parte da tabela que especifica o

contedo das linha.

Uma tabela pode Ter mais de uma coluna indicadora

Os elementos complementares de uma tabela estatstica so:

a fonte, as notas e as chamadas, e se situam de preferncia no

rodap da tabela.

Fonte a indicao da entidade responsvel pelo

fornecimento dos dados ou pela sua elaborao.

Notas: so informaes de natureza geral, destinadas a

conceituar ou esclarecer o contedo das tabelas, ou a indicar a

metodologia adotada na elaborao dos dados


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Chamadas: So informaes de natureza especfica sobre

determinadas partes da tabela, destinadas a conceituar ou

esclarecer dados.

As chamadas so indicadas no corpo da tabela em

algarismos arbicos, entre parnteses, esquerda nas casas e

direita na coluna indicadora.

A numerao das chamadas da tabela ser sucessiva, de

cima para baixo e da esquerda para a direita.

A distribuio das chamadas no rodap na tabela obedecer

ordem de sua sucesso na tabela, separando-se uma das outras

por ponto (.).

As chamadas de uma tabela que ocupe mais de uma pgina

devem figurar no rodap da tabela da ltima pgina, de acordo

com a sucesso da mesma.

Sinais Convencionais

1.- (trao), quando o dado for nulo;

2.... (trs pontos), quando no se dispuser do dado


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3.X (letra x), quando o dado for omitido a fim de evitar a

individualizao das informaes

Apresentao das Tabelas

As tabelas, excludos os ttulos, sero delimitadas, no alto e

em baixo, por traos horizontais grossos, preferencialmente.

Recomenda-se no delimitar as tabelas, direita e

esquerda, por traos verticais.

Ser facultativo o emprego de traos verticais para separar

as colunas no corpo da tabela.

Quando uma tabela, por expressa altura, tiver de ocupar

mais de uma pgina, no ser delimitada na parte inferior,

repetindo-se o cabealho na pgina seguinte. Neste caso, deve-se

usar, no alto do cabealho ou dentro da coluna indicadora, a

designao contnua ou concluso, conforme o caso.

Exemplo

(Ttulo)


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Pessoal Docente Lotado na Universidade X

Por categoria funcional e formao acadmica

1976

Formao

Acadmica

Categoria Funcional

Total

Titula

r

Adjunto Assiste

nte

Auxilia

r de

Ensino

Graduao 10 30 25 9 74

Especializa

o

- ... 1 31 4

Aperfeioam

ento

5 4 3 1 13

Mestrado 1 - 2 4 7

Doutorado

(1)

(2) 5 (3) 3 2 - 10

Total 21 37 33 17 108

Fonte: Servio de Estatstica da Educao e Cultura

(1) Com e sem curso de mestrado


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(2) Protegido pela Lei n 5.540

(3) Livres Docentes

Aps a coleta dos dados e sua apurao necessta-se de

mtodos de apresentao dos dados. Para tanto um dos

instrumentos a TABELA.

A filosofia da tabulao obedece ao seguinte critrio:

mximo de esclarecimento (informao) num mnimo de esforo

e tempo .

Uma tabela pode ser decomposta em 3 partes:

a)TTULO uma apresentao do que a tabela est

tentando representar. Deve conter informaes suficientes

para responder s seguintes questes:

i)O QUE? (referente ao fato);

ii)ONDE? (referente a lugar);

iii) QUANDO (referente a tempo).

Exemplo 1 Acidentes com morte na Br 232 em 2000

O QUE? Acidentes com morte;

ONDE? Br 232;


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QUANDO 2000.

Exemplo 2 N de acesso a disco, Servidor da Universo em

07/08/2000

O QUE? N de acesso a disco;

ONDE? Servidor da Universo;

QUANDO 07/08/2000.

b)CORPO composto de um conjunto de colunas e

subcolunas onde so postos os dados coletados.

Exemplo

Previso da Populao para a Cidade de So Paulo

1984 2020

Anos Populao(em 1000 hab.)

1984 9439

1990 11160

1995 12224

2000 13410

2010 14910

2020 15532


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Fonte: XXXX

c)RODAP Coloca-se todas as legendas que visam

esclarecer a interpretao da tabela. Geralmente tambm

no rodap que se coloca a fonte dos dados.

Exemplo

Sexo

Tipo

Homens Mulhere

s

Total

Maiores 60 30 90

Menores 40 10 50

Total 100 40 140

Fonte: Departamento de Relaes Industriais

SRIES ESTATSTICA


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So assim chamadas as tabelas estatsticas nas quais existe

um critrio distintivo de agrupamento. So elas:

a)Sries Cronolgicas;

b)Sries Geogrficas;

c)Sries Especficas;

d)Sries Conjugadas.

1)Sries Cronolgicas (ou temporais)

Neste tipo de srie o QUE (fato) e o ONDE (local)

permanecem fixos, enquanto o QUANDO (tempo varia), ou

seja a informao varia com a variao do tempo.

Ex:

Evoluo da Demanda de Vestibulandos

Brasil 1978 1982

Anos Inscritos

1978 1.250.537

1979 1.559.097

1980 1.803.5674

1981 1.735.457


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1982 1.689.249

Fonte: CODE INF/SESU/Ministrio da Educao.

OBS Aqui o QUE, Demanda de Vestibulandos, permanece

fixo, bem como o ONDE, no caso o Brasil. Mas a

informao muda com o tempo.

Exemplo

N de Computadores Vendidos no Estado X

1 Semestre de 1986

Meses N

Jan 25.000

Fev 26.000

Mar 340.000

Abr 350.000

Mai 190.000

Jun 220.000

Fonte: XXXXXX


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Fonte: SEEC IBGE

Exemplo:

Corpo Docente do Ensino de 3 Grau no Brasil

1975

Especificao Quantidade

Titular 28.079

Adjunto 11.306

Assistente 28.711

Colaborador 4.377

Auxiliar de Ensino 20.073

TOTAL 92.546

Fonte: SEEC IBGE

4)Sries Conjugadas (ou mistas)

So assim classificadas as sries que combinam pelo menos

duas das sries anteriores.


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Exemplo:

Receita do Municpio X

1983 1986

Receita ($ 1000)

Anos Prevista Arrecadada

83 10.746.393 10.739.487

84 24.891.790 19.374.275

85 52.913.762 60.721.847

86 79.648.844 90.757.069

Fonte: Secretaria de Economia e Finanas

OBS As informaes variam em dois sentidos: por ano

(vertical) e por especificao do fato observado (horizontal

Receita Prevista e Receita Arrecadada).


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Observados(x )

Observada(F )

1 62 33 54 25 36 1

Total 20

OBS

Na primeira coluna temos os primeiros valores doexperimento aleatrio em questo, no nosso caso, ospossveis valores das faces do dado;

Na segunda coluna temos o nmero de vezes que cadaface ocorreu no processo. Sendo assim l-se a tabelada

seguinte forma: A face 1 ocorreu 6 vezes, a face 2ocorreu 3 vezes, etc; A segunda coluna, coluna das freqncias, montada

contando-se as ocorrncias da respectiva face da tabelade resultados do nosso experimento;

A soma total da coluna das freqncias tem valor igualao total de observaes do experimento.

Exemplo: Suponha que voc o revisor de um livro e oresponsvel por encontrar os erros tipogrficos. Vocobserva que o nmero mximo de erros por pgina 4.Como resultado de sua reviso voc poderia ter, para um


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8,0 3,0 4,5 0,0 7,56,0 3,5 3,0 3,5 4,5

1,0 1,0 2,5 4,5 2,02,5 10,0 3,0 7,0 1,04,0 9,5 1,0 8,0 9,0

Da forma como esto esses dados so brutos, esto semnenhum critrio de organizao. Um rol crescente dessesdados seria

0,0 2,0 3,0 4,5 8,01,0 2,5 3,5 4,5 8,01,0 2,5 3,5 6,0 9,01,0 3,0 4,0 7,0 9,51,0 3,0 4,5 7,5 10,0

Limites de Classe: Uma classe um subconjunto doRol limitada inferiormente por um nmero chamadoLimite Inferior da classe e superiormente por umoutro nmero chamado Limite Superior da classe.

Exemplo: Uma classe , por exemplo, o conjunto 0 |----- 3. 0 o limite inferior da classe e 3 o limite superior. O smbolo

|------- indica que o limite inferior, no caso 0, contadocomo pertencente classe da qual limite inferior e que olimite superior, no caso 3, no contando como pertencentea essa classe. Em outras palavras para uma classe geral o


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seu limite inferior contado como pertencente mesmaenquanto o limite superior como no pertencente.

Amplitude Total uma medida estatstica definidacomo

AT = Max Min

onde:

Max o valor mximo dos dados,Min o valor mnimo dos dados.

No nosso exemplo: AT = 10 0 = 10

Ponto Mdio da Classe: a mdia aritmtica entreos limites da classe.

Nmero de Classes: definido como a quantidade declasses utilizada para representar os dados. Onmero n de classes definido como sendo:

n = 1 + 3,3log10(N)

onde N o nmero de dados com os quais se trabalha.

OBS

Em geral n no um nmero inteiro. Nestecaso n deve assumir um inteiro prximo. Ex n= 3,3 ento poderamos assumir 3 ou 4.


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Os nmeros da coluna de freqncias Fj soestabelecidos contando-se as quantidades de

valores que caram em cada classe. Por exemplo:conta-se na classe 0,0 |----- 1,7 qualquer valormaior ou igual a 0,0 e estritamente menor que 1,7.Assim os seguintes valores so contados nessaclasse: 0,0; 1,0; 1,6. Se existisse um valor 1,7 essevalor 1,7 seria contado na segunda classe 1,7 |-----3,4.

As tabelas de freqncia para os dados contnuostambm podem ser utilizadas para dadosdiscretos. Isso ocorre quando as possibilidades deocorrncias so muito grandes.

Os valores na coluna de freqncias Fj sochamados de freqncia absoluta.

Outras colunas importantes podem ser acrescentadas stabelas de freqncias:

a.Freqncia Absoluta Acumulada (FAC)Quando lemos os dados de freqncia absoluta somoscapazes de responder pergunta: quantas

observaes caram nesta classe?. No nosso caso naclasse 0,0 |----- 1,7 caram 7 etc.A freqncia acumulada toma por base o limitesuperior da classe em questo e pergunta: at esselimite superior, quantas observaes j ocorreram?.


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Para o nosso caso na primeira classe temos que at 1,7(limite superior da primeira classe) s ocorreram 5observaes. At 3,4 (limite superior da segunda classe)

ocorreram 11 observaes e assim por diante. Dessaforma teremos a seguinte tabela de freqncias:

Classes F FAC0,0 |-----

1,75 5

1,7 |-----3,4 6 11

3,4 |-----5,1

6 17

5,1 |-----6,8

1 18

6,8 |-----

8,5

4 22

8,5 |----10,2

3 25

Total 25 25

OBS: A FAC da ltima classe tem que ser o valor totaldas observaes, pois o limite superior da ltima classetem que ser maior que o maior valor dos dados.

b.Freqncia Relativa (FREL)


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Classes F FAC FREL0,0 |-----

1,7 5 50,20

1,7 |-----3,4

6 110,24

3,4 |-----5,1

6 170,24

5,1 |-----6,8

1 180,04

6,8 |-----8,5 4 22 0,16

8,5 |----10,2

3 250,12

Total 25 1,00OBS

A soma da coluna de freqncias relativas sempre igual a 1, que corresponde a 100%; A coluna de freqncias relativas pode ser lida

como percentual.

c.Freqncia Relativa Acumulada (FREL AC)

Obedece ao mesmo princpio da freqncia acumuladanormal, s que ao invs de acumular-se a freqnciarelativa. Assim:


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ClassesFj FAC

FREL FRELAC

0,0 |-----1,7 5 5

0,20 0,20

1,7 |-----3,4

6 110,24 0,44

3,4 |-----5,1

6 170,24 0,68

5,1 |-----6,8

1 180,04 0,72

6,8 |-----8,5 4 22 0,16 0,88

8,5 |----10,2

3 250,12 1,00

Total 25 1,00


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Estatstica Grfica

A estatstica grfica consiste na utilizao de estruturasgeomtricas, cores, noes de proporo etc, para expor ainformao contida nos dados. A filosofia a mesma das tabelas:o mximo de informao no mnimo de espao.

1.Grficos para Representao de Freqncias

Dados Discretos:

Consiste em associar a cada valor ocorrido uma hastecuja a altura diretamente proporcional ao valor dafreqncia do valor em questo.

Exemplo: Num lanamento de um dado 20 vezespodemos ter o seguinte resultado:

ValoresObservados

FreqnciasObservadas

1 62 33 54 2

5 36 1Total 20


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Grfico para Freqncias Discretas

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

OBS

1.As informaes de freqncias sorepresentadas pelas hastes. Quanto maior afreqncia observada maior ser a hasteassociada;

2.As hastes no tm espessura, so linhasverticais;

3.No se ligam os pontos extremos superioresdas hastes;

4.Este grfico tambm pode ser utilizados pararepresentar freqncia acumulada, relativa erelativa acumulada. Nestes caso a mudanaacontece na escala do eixo y, ficando o eixo xinalterado.


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Para o nosso caso temos o seguinte grfico parafreqncia acumulada:

Gr fi de reqncia cumulada

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5 6

Dados Contnuos

1.Histogramas

Um dos mais famosos grficos e importantesgrficos em estatstica representa as freqncias,para dados contnuos, atravs de retngulosjustapostos cujas reas so proporcionais sfreqncias de classes.


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Histograma Freqncia Absoluta

0

1

2

3

4

5

6

0,85 2,55 4,25 5,95 7,65 9,35

OBS

1.Os retngulos tm rea proporcional freqncia;2.Os retngulos devem ser da mesma cor pois isso

indica que representamos a mesma realidade emcada classe;

3.No deve haver distncia entre as colunas dos

histogramas;4.Assim como na representao de dados discretos o

histograma tem tambm suas verses Acumulada,Relativa e Relativa Acumulada. O formato daverso relativa igual verso absoluta e a versoda relativa acumulada ao da acumulada, emambos os casos variando-se apenas o eixo y.


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Para o nosso caso

ClassesdeNotas

Fj FAC

0,0 |-----1,7

5 5

1,7 |-----

3,4

6 11

3,4 |-----5,1

6 17

5,1 |-----6,8

1 18

6,8 |-----8,5

4 22

8,5 |-----10,2 3 25Total 25

O histograma para a FAC


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Hi t rama da reqncia A s luta

Acumulada

0

5

10

15

20

25

2.Polgono de Freqncias

Uma outra forma de representao de dados opolgono de freqncias. Nesta representaoutiliza-se uma linha poligonal para representar avariao das freqncia das classes.


50/101


50

Exemplo: Voltemos mais uma vez ao nossoexemplo das notas

ClassesdeNotas

Fj PM

0,0 |-----1,7 5 0,85

1,7 |-----3,4

6 2,55

3,4 |-----5,1

6 4,25

5,1 |-----

6,8

1 5,95

6,8 |-----8,5

4 7,65

8,5 |-----10,2

3 9,35

Total 25

Para desenhar o polgono de freqncias

precisamos do ponto mdio das classes. A partirdestas marca-se a altura correspondente freqncia e depois une-se esses pontos por umalinha poligonal. Assim temos


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51

Polgono de FreqnciasFreqnciaAbsoluta

0

1

2

3

4

56

-0 85 0 85 2 55 4 25 5 95 7 65 9 35 11 1

OBS

O grfico consiste na ligao dos pontoscartesianos formados pelos pontos mdios dasclasses e as freqncias por linhas poligonais;

Os pontos inicial e final do grfico so pontosmdios das classes que existiriam antes da

primeira e depois da ltima classe real dosdados. Eles so introduzidos para manter aproporcionalidade na representao dosdados;

Este grfico tambm pode ser utilizado pararepresentar freqncias acumuladas. Nestecaso usam-se os pontos finais da classe comoreferncia, ao invs dos pontos mdios. Para onosso caso:


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52

Polgono de FreqnciasFreqnciasAcumuladas

0

5

10

15

20

25

0 1 7 3 4 5 1 6 8 8 5 10 2

O polgono de freqncias tambm pode serutilizado para representar a freqnciarelativa acumulada. O polgono parafreqncia relativa tem a mesma forma dogrfico de freqncia absoluta e o grfico defreqncia absoluta acumulada mesma formado polgono de freqncias acumuladas. Emambos os casos, apenas existe diferena naescala do eixo y.

2.Grficos para Representao de Dados Diversos

At agora vimos a representao grfica apenas para dadosde freqncia. Outros grficos so importantes pararepresentar outras classes de dados.


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53

a.Grficos Lineares

So usados principalmente para representar sries

temporais. Consiste em uma forma cartesiana simplesem que os pares ordenados (x,y) representam ainformao e so conectados por linhas poligonais.


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54

Exemplo: Um pesquisador est estudando a populaode um dado pas e obtm os seguintes dados:

Ano Populao(emmilhes)

1990 1001991 1081992 115

1993 1251994 137

O grfico linear para esses dados :

Grfico Linear

90

100

110

120

130

140

1990 1991 1992 1993 1994

OBS


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55

O grfico linear tem o mesmo comportamento dopolgono de freqncias mas serve pararepresentar dados que no so freqncias.

O grfico linear muito bom quando se queenfatizar tendncias;

Mais de uma srie pode ser representada nomesmo grfico. Para tanto deve-se observar:1.Compatibilidade dos eixos;2.A utilizao de cores ou padres para

enfatizar as linhas

3.A utilizao de legendas.


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56

Exemplo: Suponhamos uma empresa com aseguinte evoluo financeira

Ano Receita(x 1000)

Despesa(x 1000)

1998 100 801999 110 1002000 120 1202001 130 140

Grfico Linearpara DadosMultivariados

70

80

90

100

110

120

130

140

150

1998 1999 2000 2001

4.Um indicador de tendncia do grfico linear a inclinao dos seguimentos de reta que ocompe. A tendncia to maior quantomaior for a inclinao dos mesmos.

b.Grfico de Colunas ou Barras


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57

Os grficos de colunas ou barras so grficos que,assim como o histograma, representam a magnitudedos dados pela rea do retngulo.

Os retngulos tm um lado fixo e, portanto, amagnitude dos dados representada pela outradimenso.Quando os retngulos esto em posio vertical diz-seque temos grfico de colunas, caso em posiohorizontal diz-se que temos grficos de barras.Todas as observaes feitas para os grficos de colunas

valem para os grficos de barras, respeitada aorientao particular.Em geral os grficos de barra podem representarqualquer srie , mas so particularmente importantespara sries especficas.


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58

Grficos de colunas justapostas

So grficos em que a base do retngulorepresenta uma categoria (tipos, datas etc) e que aaltura do mesmo proporcional magnitude dosdados.

Exemplo: Em uma universidade foi feito umlevantamento sobre o nmero de alunos inscritos

por curso obtendo-se:

Curso Nalunos

Administrao 50Anlise deSistemas

30

Direito 70Pedagogia 20

Temos o seguinte grfico de colunas justapostaspara o nosso exemplo


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59

Grficode Colunas Justapostas

50

30

70

20

0

10

20

30

40

50

6070

80

Adminis tra o An lise de

Sistemas

Dir eito Pe dag og ia

OBS

oOs grficos de colunas justapostas podem vircom as colunas coladas ou com intervalosregulares entre elas;

oPode-se colorir o grfico colocando uma cor

em cada coluna ou ainda um padro depreenchimento para cada coluna. Neste casopode ser necessria uma legenda;

oTodo raciocnio anterior vlido para osgrficos de barras lembrando que nesse caso abase do retngulo est no eixo vertical, comoabaixo


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60

Grficode Barras Justapostas

50

30

70

20

0 20 40 60 80

A dminis tra o

A nlis e de

Sistemas

Direito

Pedagogia

c.Grficos de Colunas para Sries Multivariadas

Estes grficos so utilizados para representar dadosonde para cada objeto observado existe mais de umafonte de informao. Este grfico uma generalizaodo grfico de colunas justapostas e, portanto, segue o

mesmo tipo de regra de formao.

Exemplo: Suponha que o MEC fez um levantamento dedados sobre o nmero de alunos nos cursos deAdministrao, Direito, Pedagogia e Letras em quatrouniversidades de uma mesma cidade obtendo a seguintesrie:

CursoUniversidade

Administrao Direito Pedagogia Letras

A 100 150 70 50B 80 90 30 40C 90 80 20 20


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61

D 120 150 80 60

Uma representao grfica para esses dados a

seguinte

Grficos para Sries M ltivaria as

0

20

4060

80

100

120

140

160

Adm

i

i

i

i

dagog

i

a

Letras

Universidade A

Universidade B

Univ

ersidade C

Universidade D

OBS No grfico de sries multivariasdas uma noo

muito clara tem que ser a de classes distintas. Deveestar claro para o leitor onde comea e ondetermina a informao sobre cada classe. Isso seconsegue colocando um espao vazio separando-as.

Dentro da mesma classe as colunas podem vir

juntas ou separadas. Se vierem separadas adistncia entre elas deve ser visivelmente menorque o espao entre as classes, de modo que nohaja confuso na leitura da informao;


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62

As colunas devem seguir a mesma ordem em cadaclasse. Cada coluna deve apresentar uma cor e/oupadro de preenchimento diferente, constantes em

cada classe, e uma legenda deve ser associada aogrfico, de modo a facilitar a transmisso deinformaes.


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63

Medidas de Centralidade

As medidas de centralidade que vamos estudar so: Mdia Mediana Moda

1.Mdia1.1. Mdia Aritmtica

A mdia aritmtica definida, para dados no agrupados,ou seja que no vem organizados em uma tabela defreqncia como sendo:

n

x

Xj

j!

onde

n n de observaesxj valor das vrias observaes

Exemplo: Suponha os seguintes dados: 5, 6, 10, 8, 7, 6

A mdia para esse exemplo : 76

6781065!

.

Quando temos dados agrupados a mdia calculada comosendo:

n

Fx jj!

onde


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64

n n de observaes;xj valor das observaes (caso discreto) ou pontomdio das classes

(caso contnuo);Fj Freqncia absoluta das observaes (caso

discreto) ou das classes(caso contnuo).

Exemplo: Suponha a seguinte tabela de freqncias paradados discretos

Ocorrncias F 0 22 33 54 4

Neste caso a mdia calculada como:64,2

4532

44533220!

xxxx

Exemplo: Suponha a seguinte tabela de freqncias paradados contnuos

Classes Fj Pontomdio0 |----- 2 1 12 |----- 4 3 34 |----- 6 4 56 |----- 8 2 7


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65

Neste caso a mdia dada por

4,42431

27453311!

xxxx

1.2. Clculo Simplificado da Mdia Aritmtica

Quando os valores dos dados esto separados por um valorconstante (caso discreto) ou quando temos classes domesmo tamanho (caso contnuo) e os as ocorrncias (casodiscreto) ou os pontos mdios das classes (caso contnuos)so muito grandes para se usar o clculo tradicional podese usar o mtodo simplificado de clculo que consiste nosseguintes passos:

Calcula-se um novo ponto de referncia definido

como:h

xxu

j

j

0!

onde

xj valor das ocorrncias (caso discreto) ouponto mdio

(caso contnuo);

x0 valor constante escolhido arbitrariamenteentre as

ocorrncias (caso discreto) ou pontosmdios


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66

(caso contnuo). A idia escolh-lo omais

prximo possvel dos valores centrais;

h diferena entre duas ocorrnciasconsecutivas (caso

discreto) ou dois pontos mdiosconsecutivos (caso

contnuo). Calcula-se mdia para os novos valores de referncia

(uj) calculados;

Calcula-se a mdia procurada utilizando a seguinteexpresso:0xuhX !

Exemplo: Dada a tabela de freqncias abaixo calcule amdia

Classes Fj Pontomdio

uj

20 |----- 22

2 21 -1

22 |----- 24

5 23 0

24 |----- 26

4 25 1

26 |----- 28

1 27 2


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67

Para este exemplo temos: x0 = 23, h = 2Assim

4,0

10

21415021!

!

xxxxu

80,232324,0 !! xX

1.3. Mdia HarmnicaA mdia harmnica definida como

!

j

j

x

nMh

1.4. Mdia GeomtricaA mdia geomtrica definida como

njjxMh !

1.5. Relao entre as mdias

XMgMh ee


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68

2.Mediana (X~ )A mediana a medida estatstica que deixa 50% dos valores

abaixo de si e 50% acima. Temos dois processos para achar amediana: um para dados no agrupados e outro para dadosagrupados.

2.1. Mediana para dados desagrupados. Nmero mpar de valores

Quando tivermos dados no agrupados e o nmerode observaes for mpar seguimos o seguinteprocesso.

Ordenamos os dados em ordem crescente,Calculamos o termo de ordem

2

1

n ,

A mediana ser o valor colocado nessa posio.

Exemplo: 1, 5, 2, 3, 4, 7, 5, 8, 1

Ordenando os dados: 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 7, 8O termo que queremos tem ordem [(9+1)/2] = 5Logo 4~ !X

Nmero par de valores

Quando tivermos dados no agrupados e o nmerode observaes for par seguimos o seguinte processo:

Ordenamos os dados em ordem crescente


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69

Calculamos a ordem 2

n

A mediana ser a mdia entre o valor da ordem

acima indicada e oprximo.

Exemplo: 1, 3, 7, 5, 5, 4, 3, 2, 4,3

Ordenando:1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7Calculando a ordem (10/2) = 5

A mediana 5,3243

2

65~!

!

!X

2.2. Dados Agrupados

Quando tivermos dados agrupados discretos procedemosda mesma forma dos dados desagrupados, utilizandoentretanto recursos provindos da tabela de freqncias.

Exemplo: Suponha a seguinte tabela de freqncias

Ocorrncias Fj FAc0 2 22 3 53 5 104 4 14

Observe que o n de observaes par (14). Neste casocomo no caso anterior calcula-se o temo de ordem (n/2),que nesse caso 7 e o prximo 8. A diferena aqui quepara procurar os termos utilizamos a tabela de freqncias


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70

acumuladas utilizando a seguinte regra: a primeira vez quea freqncia acumulada dos dados for maior do que aordem procurada aquele o valor naquela ordem. Assim o

5 elemento 2 (Fac = 5) e o 6 3. Neste caso a medianaser 5,2

2

32~!

!X

Se tivermos dados contnuos utilizamos o seguinte processo Calculamos o termo de ordem (n/2) Definimos em que classe est a mediana; Calcula-se a mediana com a frmula

X

ACA

F

hFn

lX~

2~

!

ondel limite inferior da classe onde est a mediana ;n nmero de observaesFACA FAC da classe anterior

XF~ - FreqnciaAbsoluta da classe em que est a

medianah Amplitude de Classe

Exemplo: Considere a seguinte tabela de freqnciaspara dados contnuos

Classe F FAc0 |----- 2 2 22 |----- 4 3 54 |----- 6 5 106 |----- 8 4 14


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71

Clculo do termo de ordem (n/2) = 7OBS Se n/2 no for inteiro considera-se o

primeiro inteiro maior que o valor de n/2. Pela FAC sabemos que a mediana est na classe 4 |--

- 6.OBS Para encontra a classe em que est amediana basta achar a classe em que a FAC maiorou igual ao valor assumido para n/2.

Calculando agora a mediana

8,4

5

2574

~!

!X


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72

3.Moda

A moda , por definio, o valor mais freqente dos dados.Assim para dados no agrupados ou para tabelas defreqncia de dados discretos basta localizar o valor de maiorfreqncia, e este ser a moda.

Exemplo: Considere os seguintes dados

1,4,5,4,3,2,5,7,1,5,5Neste exemplo a moda Mo = 5.

Exemplo: Considere a seguinte tabela de freqncias paradados discretos

Ocorrncias F0 2

2 33 54 4

Neste caso basta observarmos qual a maior freqncia e amoda ser o valor que tem esta freqncia. Nosso exemplo a

maior freqncia 5 e o valor associado a ela 3 logo nossamoda Mo = 3.

Caso tenhamos dados contnuos o clculo da moda um poucomais complicado. Procedemos da seguinte forma:


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73

Definimos qual a classe que tem maior freqncia.Esta classe chamada classe modal;

Calculamos a moda com a frmula

21

1

((

(!

hlo

onde

l limite inferior da classe modal1( - Freqncia da classe modal menos

freqncia dada classe anterior;

2( - Freqncia da classe modal menosfreqncia da

da classe posterior;h Amplitude de Classe

Exemplo: Suponha a seguinte tabela de freqncias

Classes F 0 |----- 2 12 |----- 4 3

4 |----- 6 46 |----- 8 2

Localizar a classe de maior freqncia: Classe 4 |---- 6


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74

Calculando a moda

67,4

3

242

)24(34

344 !!

!Mo


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75

Medidas de Disperso

Suponha que estivssemos observando dois grupos de

alunos e anotando os resultados dos mesmos em uma dadaprova. Suponha ainda que os resultados fossem:

Grupo 1 - 5,0 ; 5,0 ; 5,0 ; 5,0 ; 5,0

Grupo 2 - 4,0 ; 5,0 ; 8,0 ; 7,0 ; 1,0.

Se calcularmos a mdia dos dois grupos vemos que ambosapresentam a mesma mdia aritmtica, 5,0, mas tambm vemosclaramente que o conjunto de dados provm de grupos cujosresultados so bem diferentes.

A diferena entre um grupo e outro se encontra num fatoque a mdia, assim como qualquer outra medida de posio nopode perceber: a variabilidade dos dados.

Para caracterizar essas diferenas os estatsticos criaram asmedidas de disperso, das quais vamos estudar:

Amplitude Total; Desvio mdio; Varincia; Desvio Padro; Coeficiente de Variao

1.Amplitude Total (AT)


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76

uma medida muito simples, sendo definida como adiferena entre o maior e o menor valor das observaes, ouseja

AT = mx - mn

Exemplo: Suponha que temos o seguinte conjunto de dados1; 2,5; 3; 1; 7; 2; 5. Para esse caso a amplitude total dadapor

AT = mx - mn

AT = 7 - 1 = 6

OBS - Essa medida tem aplicaes muito limitadas pois scapta o que acontece com os valores extremos, sendocompletamente insensvel aos valores intermedirios.

2.Desvio Mdio (DM)

Uma maneira muito interessante de perceber como os dadosesto dispersos perceber como esto variando em torno damdia. Uma forma de fazer isso com o desvio mdio.

O desvio mdio definido como a mdia dos valores

absolutos dos desvios em relao mdia aritmtica, ouseja:

n

FXxD

jj !


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77

onde

xj - a j-sima ocorrncia possvel (caso discreto) ou oponto mdio do j-simo intervalo (caso contnuo);

Fj - a freqncia absoluta da j-sima ocorrnciapossvel (caso discreto) ou da j-sima classe (casocontnuo);

X - a mdia aritmtica das observaes;

n - nmero de observaes;

Exemplo: Suponha que temos a seguinte tabela defreqcias

Classes

F

0 |----2

1

2 |----4

3

4 |----6

2

6 |----8

1

Para facilitar a aplicao da expresso do desvio mdio,vamos criar algumas colunas auxiliares na nossa tabela defreqncias, de modo que nossa nova tabela dada por:


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79

3.Varincia (S2)

Outra medida de disperso em torno da mdia a varinciaque definida como

! jj FXxn

S22

1

1

onde

xj - a j-sima possvel ocorrncia (caso discreto) ou oponto mdio da j-sima classe (caso contnuo);

Fj - Freqncia Absoluta da j-sima ocorrncia possvel(caso discreto) ou da j-sima classe (caso contnuo);

X - Mdia aritmtica da amostra;

n - Nmero de observaes da amostra.

OBS -

y fato de dividirmos por n-1 est relacionado ao fato de j

termos usado a amostra para calcular a mdiay Da forma como est definida a varincia se torna muitoinconveniente para ser calculada. Mas desenvolvendo suaexpresso chega-se a uma forma alternativa muito maisprtica


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80

-

!

n

xx

nS

jj

jj

2

22

1

1


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81

Exemplo: Retornemos ao exemplo anterior criando maisuma vez colunas auxiliares

Classes

F

x

xjF

xj2

xj2

F 0 |----- 2

1 1 1 1 1

2 |----- 4

3 3 9 9 27

4 |----- 6 2 5 10 25 50

6 |----- 8

1 7 7 49 49

Totais

7 27 127

Logo

837

27127

6

12

2,S !

-

!

Algumas propriedades da Varincia

(a) Varincia de dados constantes zero;(b) Suponha que temos um conjunto de dados tais que

a sua varincia dada por S2. Suponha que poralgum motivo os dados sejam multiplicados por uma


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82

constante c. Assim a varincia do conjunto de dadosmultiplicado pela constante dada por c2S2.

(c) Suponha que temos um conjunto de dados cuja

varincia seja S2. Suponha que por algum motivomultiplica-se os dados por uma constante "a" esoma-se ao resultado uma outra constante "b". Anova varincia dos dados, depois de feitas asoperaes ser a2S2.

Clculo simplificado da varincia.

Assim como no caso da mdia tambm no caso davarincia existe um processo simplificado de clculo. Comono caso da mdia tambm dividiremos em 3 etapas:

y Define-se a seguinte transformao nos dados

n

xxz

j

j

0

!


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83

onde

xj - observaes originais (no caso de dados

desagrupados ou agrupados discretos) ou ponto mdiodas classes (caso contnuo);

x0 - constante arbitrria escolhida convenientemente;

h - Distancia entre as observaes (caso discreto) ouamplitude de classe (caso contnuo)

Exemplo: Seja a seguinte tabela de freqncias

xj F

8 39 6

10 411 2Vamos assumir a seguinte transformao

1

10!

j

j

xz

Neste caso acrescentando uma coluna para os valorestransformados teramos

xj F

z

8 3 -2


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84

9 6 -1

10 4 0

11 2 1y O prximo passo consiste em calcular a varincia dos

dados transformados

-

!

!

n

FzFz

n

FZzn

S

jj

jj

jjz

2

2

22

1

1

1

1

Assim para o nosso exemplo acrescentamos as colunasauxiliares, em relao a z para o clculo da varincia:


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85

xj Fj zj zjF

zj2 zj

2

F 8 3 -2 -6 4 129 6 -1 -6 1 610 4 0 0 0 011 2 1 2 1 2Totais

15 -10

20

Logo

95015

10020

14

12.Sz !

-

!

y O terceiro passo consiste em calcular propriamente avarincia dos dados originais. Para tanto aplica-se apropriedade (c) da varincia pois observe-se que a

transformao utilizada pode ser escrita como sendo

0xhzx jj ! Sendo assim aplicando-se a propriedade (c) temos que

222

zShS ! Logo para o nosso caso temos

95095012 ,,xS !!

4.Desvio Padro (S)


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86

Pelo fato de a Varincia ser uma medida que utiliza oquadrado dos desvios em relao mdia, sentiu-se a

necessidade de uma medida que utilizasse a mesma unidadedos dados. Esta medida chamada desvio padro.

O desvio padro definido to somente como a raizquadrada positiva da varincia.

2SS!

5.Coeficiente de Variao (CV)

uma medida relativa de disperso. Utilizada para fazercomparao da disperso de duas sries distintas em tornode suas respectivas mdias. Define-se como

X

SCV !

Exemplo: Considere que tenhamos duas sries. A primeiracom mdia 4 e desvio padro 1.5 e outra com mdia 3 edesvio padro 1.3. Neste caso temos os seguintes CV's:

430331

37504

51

2

1

..CV

..

CV

!!

!!

logo conclui-se que a primeira srie tem uma dispersorelativa em torno da mdia maior que a segunda.Em geral CV maior ou igual a 50% considerado alto,sendo a mdia pouco representativa. Valores menores que


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87

50% implicam CV baixo e a mdia to maisrepresentativa quanto menor for o valor do CV.


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88

Medidas de Assimetria, Curtose e Complementos s Medidas deCentralidade

Uma questo importante quanto descrio dos dados saber onde est a maior concentrao de valores (por exemplo sea maior concentrao se d antes ou depois da mdia). Estaquesto respondida pelas medidas de assimetria.

Uma outra questo que podemos responder : como se d aconcentrao? Muito acentuada ou no ? Para essa pergunta

utiliza-se os coeficientes de Curtose.

1.Assimetria

Diz-se que uma distribuio simtrica se obedece seguintecondio

MoX~

X !! Graficamente


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89

Quando uma distribuio no simtrica diz-se que assimtrica. Neste caso temos duas possibilidades:

Assimetria Direita ou Positiva - Isso ocorre quando a maiorconcentrao dos dados est localizada abaixo da mdia, ouseja

XX~

Mo


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90

Graficamente

Assimetria Esquerda ou Negativa - isso ocorre quandotemos uma concentrao dos dados acima da mdia, ou seja

XX~

Mo ""

Graficamente


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91

Uma medida estatstica que caracteriza a assimetria ocoeficiente de Pearson que definido como

S

MoXAs

!

onde

X a mdia aritmtica;

Mo a moda

S o desvio padro

Para essa medida temos o seguinte comportamento

ireitaAssimetriaAsSe

EsquerdaAssimetriaAsSe

SimetriaAsSe

!

0

0

0

2.Curtose


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92

A curtose uma medida de "achatamento" da distribuio.Se uma distribuio pouco achatada dizemos que Leptocrtica. Quando a distribuio tem um certo grau de

achatamento dizemos que Mesocrtica. Quando muitoachatada diz-se que Platicrtica..

Graficamente podemos representar como

A medida estatstica que caracteriza a Curtose

)PP(

QQK

1090

13

2

!

Se

caLeptocrti.K

caPlaticrti.K

aMesocrtic.K

"

!

2630

2630

2630


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93

Nmeros ndices

Os nmeros ndices so medidas estatsticas usadas paracomparar grupos de variveis relacionadas entre si e para obterum quadro de mudanas significativas ao longo do tempo ou aolongo do espao.

1.Relativos de Preo, Quantidade e Valor

um ndice simples que compara preo, quantidade e/ouvalor em dois pontos distintos do tempo.

Relativo de Preo0

0p

pp tt, !

Relativo de Quantidade0

0

q

qq tt, !

Relativo de Valor00

0qp

qpv ttt, !

Onde

0p - Preo n poca-base;

tp - Preo na poca atual;0q - Quantidade na poca-base;

tq - Quantidade na poca atual;

0v - Valor na poca-base

tv - Valor na poca atual.


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94

Exemplo: Em 1999 uma empresa vendeu 500 unidade deum produto a um preo unitrio de $50,00. Em 2000 vendeu

800 unidade do mesmo produto ao preo unitrio $ 70,00.

%ou,p

pp

,14041

50

70

1999

20000099 !!!

%ou,q

qq

,16061

500

800

1999

20000099 !!!

%224ou,x

x

qp

qpv

,42

50050

80070

19991999

200020000099 !!!

ou seja, tivemos uma alta relativa de preos (40%), uma altarelativa de quantidade (60%) e uma alta relativa de valor(124%).

2.Nmeros-ndice Sintticos

Na prtica os problemas envolvendo ndices de preos somais complexos que a simples comparao dos relativos. Soresultantes da necessidade de comparao de vrias sries.Para se resolver este problema criou-se um conjunto de

ndices, cujos principais so:

a)ndice Agregativo Simples


95/101


95

De preos

!

i

i

t

pp

pI

0

De quantidade

!

i

i

t

q

q

qI

0

Onde

ip0 - o preo do produto i no ano base;i

tp - o preo do produto i no perodo atual;iq0 - a quantidade do produto i no ano base;itq - a quantidade do produto i no perodo

atual.

um ndice de fcil aplicao com as seguinteslimitaes:

Falta de ponderao dos ndices;

Falta de Homogeneidade dimensional dos diversositens.


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96

Exemplo: Suponha que para dois produtos quequeremos compara tenhamos os seguintes dados:

1999 2000Produto

PreoUnitrio

QuantidadeVend.

PreoUnitrio

QuantidadeVend

A 30 100 40 90B 40 150 45 200

Para esse caso temos

%ou,Ip 12121170

85

4030

4540!!

!

ou seja, por esse ndice tivemos um aumento de 21%

nos preos.

%,Iq 116161250

290

150100

90200!!!

!

ou seja, por esse ndice tivemos uma aumento de 16%nas quantidades.

b)ndices Mdios dos Relativos

Mdia Aritmtica


97/101


97

n

pP

i

t,

t,

!

0

0

nqQ

i

t,

t, !0

0

Mdia Geomtrica

n i

t,

G

t, pP ! 00

n i

t,t, qQ ! 00

Mdia Harmnica

!!

i

t,

i

,t

H

t,

p

n

p

nP

0

0

0 1

!!

it,

i

,t

H

t,

q

n

q

nQ

0

0

0 1

onde

i

t,p0 - o relativo de preo do produto i;i

t,q0 - o relativo de quantidade do produto i.

Exemplo: Voltando ao exemplo anterior temos:

2312

4045

3040

0099 .P , !

!


98/101


98

1212

150200

10090

0099 .Q , !

!

22140

4530

400099 .PG, !!

091150

200100

900099 .Q

G

,!!

221

4045

1

3040

1

20099 .P

H

,!

!

071

150200

1

10090

120099 .Q

H, !

!

c)ndices Ponderados

Devido a deficincia dos ndices simples, em especial no

critrio relativo a importncia de cada produto no ndice,criou-se uma seqncia de ndices ponderados, dos quais osmais importantes so:

(1) ndice de Laspeyres

Este ndice definido como a mdia ponderada dos

relativos, sendo que a ponderao feitautilizando-se os preos ou as quantidades dapoca-base. Assim temos o ndice de preos

!

ii

ii

t

t,qp

qpL

00

0

0


99/101


99

e o ndice de quantidade

!

ii

ii

tQ

t,pq

pqL

00

0

0

(2) ndice de Paasche

Este ndice absolutamente similar ao ndice dePaasche, com a diferena de que a ponderao feita utilizando-se a data atual. Assim o ndice depreos

!i

t

t

i

t

i

t

t,qp

qpP

0

0

enquanto o ndice de quantidade

!

i

t

t

i

t

i

tQ

t,pq

pqP

0

0

Voltando ao exemplo anterior calculemos os ndices de

Paasche e Laspeyres:

19411504010030

1504510040

19991999

19992000

0099 ,**

**

qp

qpL

ii

ii

,!

!!


100/101


100

1914015030100

402003090

19991999

19992000

0099 ,**

**

pq

pqL

ii

ii

Q

,!

!!

181200409030

200459040

20001999

20002000

0099 ,**

**

qp

qpP

it

ii

,!

!!

1714515040100

452004090

20001999

20002000

0099 ,***

**

pq

pqP

it

ii

Q

,!

!!

d)Mudana de Base

Na prtica a mudana de base de uma srie feitadividindo-se cada ndice da srie original pelo nmero-ndice correspondente nova poca bsica. Talprocedimento no 100% correto mas seu uso tem sidofreqnte e com bons resultados.

Exemplo. A tabela abaixo apresenta o ndice de produoindustrial de 1979 a 1987, sendo o ano base 1979. Obteruma nova srie de ndices, adotando 1983 como base:

Anos 197

9

198

0

198

1

198

2

198

3

198

4

198

5

198

6

198

7ndiceDeProduo

100 104 97 112 120 124 134 125 141


101/101


Industrial(1979=10

0)

Soluo: O novo ndice ser obtido dividindo-se cada umdos valores da srie por 120 e multiplicando por 100 para ficarem percentual

Anos 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987ndiceDeProduoIndustria

l(1979=100)

83 87 81 93 100 103 112 104 118

30577079-estatistica-concursos-esaf-1

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