327960930 teorema-pi-bukingan

Tabla 5.1. Dimensiones de las cantidades en la Mecánica de Fluidos.

Cantidad Símbolo

Dimensiones

MLTΘ FLTΘ

Longitud L L LÁrea A L2 L2

Volumen t L3 L3

Velocidad V LT–1 LT–1

Aceleración dV/dt LT–2 LT–2

Velocidad del sonido a LT–1 LT–1

Flujo volumétrico, caudal Q L3T–1 L3T–1

Flujo másico m· MT–1 FTL–1

Presión, esfuerzo p, σ, τ ML–1T–2 FL–2

Velocidad de deformación ε· T–1 T–1

Ángulo θ Ninguna NingunaVelocidad angular ω, Ω T–1 T–1

Viscosidad µ ML–1T–1 FTL–2

Viscosidad cinemática ν L2T–1 L2T–1

Tensión superficial ϒ MT–2 FL–1

Fuerza F MLT–2 F Momento par M ML2T–2 FL Potencia

P ML2T–3 FLT–1

Trabajo, energía W, E ML2T–2 FLDensidad ρ ML–3 FT2L–4

Temperatura T Θ ΘCalor específico c , c L2T–2Θ–1 L2T–2Θ–1

p vPeso específico ρg ML–2T–2 FL–3

Conductividad térmica k MLT–3Θ–1 FT–1Θ–1

Coeficiente de expansión β Θ–1 Θ–1

EJEMPLO 5.2

Obtenga de nuevo la Ecuación (5.2) a partir de la Ecuación (5.1) utilizando el teorema pi.

Solución

Paso 1. Escribimos la función y contamos las variables:

F = f(L, U, ρ, µ) hay cinco variables (n = 5)

Paso 2. Las dimensiones de cada variable, de la Tabla 5.1, son

F L U ρ µ

MLT–2 L LT–1 ML–3 ML–1T–1

Paso 3. Determinamos j. Ninguna variable contiene la dimensión Θ, de modo que j es menor o igual que 3 (MLT). Inspeccionamos la lista y vemos que L, U y ρ no pueden formar ningún grupo adimensional, porque sólo ρ contiene la masa y sólo U contiene el tiempo. Por tanto, j es igual a 3, y n – j = 5 – 3 = 2 = k. El teorema pi garantiza que hay exactamente dos grupos adimensionales independientes en este problema.

Paso 4. Seleccionamos j variables. El grupo L, U, ρ que encontramos en el paso 3 parece adecuado.

Paso 5. Combinamos L, U, ρ, sucesivamente, con cada una de las variables adicionales para encontrar los dos grupos adimensionales.

W

µ¤ ¦

2 MECÁNICA DE FLUIDOS

Primero añadimos la fuerza para determinar Π1. Se puede elegir cualquier exponente para esta variable adicional y así situarla en el numerador o denominador elevada a cualquier potencia. Puesto que F es la variable depen- diente, la situamos en el numerador elevada a la primera potencia:

a b c a –1 b –3 c –2 0 0 0

Agrupando exponentes:

Π1

= L U ρ F = (L) (LT ) (ML ) (MLT ) = M L T

Longitud: a + b – 3c + 1 = 0Masa: c + 1 = 0Tiempo: – b – 2 = 0

Podemos resolver el sistema para dar

a = – 2 b = – 2 c = – 1

Por tanto <2 <2 <1 F1 F Resp.

= L U l F = = ClU 2 L2

Éste es exactamente el mismo grupo adimensional que aparece en la Ecuación (5.2). Variando el exponente de F, po- dríamos haber obtenido otros grupos equivalentes tales como ULρ1/2/F1/2.

Finalmente, añadiremos la viscosidad a U, L y ρ para determinar Π2. Se puede elegir la potencia que se quiera para la viscosidad. Siguiendo la costumbre, elegiremos la potencia –1 para situarla en el denominador:

a b c –1 a –1 b –3 c –1 –1 –1 0 0 0


Π2

= L U ρ µ = (L) (LT ) (ML ) (ML T ) = M L T

Longitud: a + b –3c + 1 = 0Masa: c – 1 = 0Tiempo: – b + 1 = 0

de donde obtenemos

Por tanto

a = b = c = 1

W = L1U1l1µ –1 = lUL

= Re2 µResp.

Paso 6. Ya hemos terminado; éste es el segundo y último grupo adimensional. El teorema pi garantiza que la rela- ción funcional debe ser de la forma

F £ lUL ¥= g Resp.

lU 2 L2 ² ´

que coincide exactamente con la Ecuación (5.2).

EJEMPLO 5.3

La potencia P requerida para accionar una bomba centrífuga es función del caudal Q, el diámetro del rotor D, la velocidad de giro Ω y la densidad ρ y viscosidad µ del fluido:

P = f(Q, D, V, ρ, µ)

Reescriba esto como una relación adimensional. Consejo: Use V, ρ y D como variables dimensionalmente independientes.

3

f

Solución

Paso 1. Contamos las variables. Hay seis (no olvide la del lado izquierdo de la ecuación, P).

Paso 2. En el sistema FLTΘ, las dimensiones de cada variable, tomadas de la Tabla 5.1, son:

P Q D Ω ρ µ

FLT–1 L3T–1 L T–1 FT2L–4 FTL–2

Paso 3. Determinamos j. Afortunadamente, nos han recomendado usar (Ω, ρ, D) para adimensionalizar, luego probablemente j = 3, el número de dimensiones (FLT). Comprobemos que estas tres variables no forman un grupo adimensional:

ΩaρbDc = (T–1)a(FT2L–4)b(L)c = F 0L0T0 sólo si a = 0, b = 0, c = 0

En efecto, j = 3. Demostrarlo no fue tan inmediato como con el grupo (L, U, ρ) del Ejemplo 5.2, pero es así. Ahora sabemos, del teorema, que añadiendo una variable más obtendremos de hecho un grupo adimensional.

Paso 4a. Combinando (Ω, ρ, D) con la potencia P se obtiene el primer grupo adimensional:

a b c –1 a 2 –4 b c –1 0 0 0


Π1

= Ω ρ D P = (T ) (FT L ) (L) (FLT ) = F L T

Fuerza: b + 1 = 0Longitud: –4b + c + 1 = 0Tiempo: –a + 2b – 1 = 0

Resolviendo este sistema obtenemos a = –3, b = –1 y c = –5. Este primer grupo adimensional, la variable depen- diente adimensional, se denomina coeficiente de potencia de la bomba, CP:

W 1<3 <1 <5 P1 = l D P = = CPl13 D5

Paso 4b. Combinando (Ω, ρ, D) con el caudal Q se obtiene el segundo grupo adimensional:

a b c –1 a 2 –4 b c 3 –1 0 0 0Π2

= Ω ρ D Q = (T ) (FT L ) (L) (L T ) = F L T

Después de agrupar los exponentes, ahora resulta a = –1, b = 0 y c = –3. Este segundo grupo adimensional se denomina coeficiente de flujo de la bomba, CQ:

W 1<1 0 <3 Q1 = l D Q = = CQ1D3

Paso 4c. Combinando (Ω, ρ, D) con la viscosidad µ se obtiene el tercer y último grupo adimensional:

a b c –1 a 2 –4 b c –2 0 0 0Π3

= Ω ρ D µ = (T ) (FT L ) (L) (FTL ) = F L T

En esta ocasión, a = –1, b = –1 y c = –2; o Π = µ/(ρΩD2), una especie de número de Reynolds.

Paso 5. La relación original entre las seis variables se ha reducido así a una relación entre tres grupos adimensionales:

P £ Q µ ¥² , ´ Resp.

l13 D5 = ¤ 1D3 l1D2 ¦

Comentario. Estos tres grupos adimensionales son los coeficientes utilizados habitualmente para correlacionar la potencia de las bombas, como veremos en el Capítulo 11.

c

<1

o


EJEMPLO 5.4

A bajas velocidades (flujo laminar), el caudal Q a través de un tubo de pequeño diámetro es sólo función del radio del tubo R, la viscosidad del fluido µ, y la caída de presión por unidad de longitud dp/dx. Utilizando el teorema pi, halle una relación adimensional que refleje estas dependencias.

Solución

Escribimos la relación y contamos las variables:

Q = f £ R, µ, dp ¥

hay cuatro variables (n = 4)¤ dx ¦

Consultando la Tabla 5.1 podemos hacer una lista de las dimensiones de estas variables usando el sistema MLT:

Q R µ dp/dx

L3T–1 L ML–1T–1 ML–2T–2

Hay tres dimensiones primarias (M, L, T), luego j ) 3. Por ensayo y error determinamos que R, µ y dp/dx no pueden formar un grupo adimensional. Entonces j = 3, y n – j = 4 – 3 = 1. Sólo hay un grupo adimensional, que obtenemos combinando Q en un producto de potencias con las otras tres variables:

a b £ dp ¥ 1 a <1 <1 b <2 <2 c 3 <1


W1 = R µ ¤ dx ¦

Q

= M 0 L0T 0

= ( L) ( ML T

) ( ML T ) ( L T )

Masa: b + c = 0Longitud: a – b – 2c + 3 = 0Tiempo: – b – 2c – 1 = 0

Resolviendo de forma simultánea, obtenemos a = –4, b = 1 y c = –1. Entonces

W1 = R <4 µ1 £ dp ¥

Q¤ dx ¦

QµW1 = 4 = cte Resp. (a)

R (dp / dx)

Como sólo hay un grupo adimensional, éste debe ser igual a una constante. Esto es todo lo que nos puede propo r- cionar el análisis dimensional. La teoría del flujo laminar de la Sección 4.11 muestra que el valor de esta constante es –//8.

EJEMPLO 5.5

Supongamos que la deflexión δ de la punta de una viga en voladizo es función de la carga aplicada en la punta P, la longitud de la viga L, el momento de inercia de la sección I, y el módulo de elasticidad del material E; esto es, δ = f(P, L, I, E). Reescriba esta función en forma adimensional y discuta su complejidad y el valor peculiar de j.

Solución

Enumeremos las variables y sus dimensiones:

δ P L I E

L MLT–2 L L4 ML–1T–2

1

2

fP

3

o

Hay cinco variables (n = 5) y tres dimensiones primarias (M, L, T), luego j ) 3. Pero hagamos lo que hagamos, no podemos encontrar ninguna combinación de tres variables que no pueda formar un grupo adimensional. Esto se debe a que M y T sólo aparecen en P y E y en ambos casos lo hacen de la misma forma, MT–2. Así, nos hallamos ante un caso especial donde j = 2, que es menor que el número de dimensiones (M, L, T). Para comprender mejor lo que ocurre en este caso particular, debemos rehacer el problema usando el sistema de dimensiones (F, L, T). En este caso se observa que las variables sólo contienen las dimensiones F y L, luego j = 2.

Con j = 2, elegimos L y E como dos variables que no pueden formar un grupo adimensional y vamos añadien- do el resto de las variables para formar los tres grupos adimensionales buscados:

a b 1 a –1 –2 b 4 0 0 0Π1

= L E I = (L) (ML T ) (L ) = M L T

de donde, tras agrupar los exponentes, se obtiene que a = –4, b = 0, o Π = I/L4. A continuación,

a b 1 a –1 –2 b –2 0 0 0Π2

= L E P = (L) (ML T ) (MLT ) = M L T

de donde se obtiene a = –2, b = –1, o Π = P/(EL2), y

a b 1 a –1 –2 b 0 0 0Π3

= L E δ = (L) (ML T ) (L) = M L T

de donde a = –1, b = 0, o Π3 = δ/L. La forma apropiada de la función adimensional es Π3 = f(Π2, Π1), o

b £ =

I ¥ Resp. (1)L ¤ EL2 , L4 ¦

Ésta es una función complicada que relaciona tres variables, pero el análisis dimensional no nos puede llevar más lejos.Comentarios. Podemos «mejorar» la Ecuación (1) utilizando ciertos razonamientos físicos, como pone de manifiesto Langhaar [4, pág. 91]. Para pequeñas deflexiones elásticas, δ es proporcional a la carga P e inversamente proporcional al momento de inercia I. Dado que P e I aparecen por separado en la Ecuación (1), esto significa que Π3 debe ser proporcional a Π2 e inversamente proporcional a Π1. Así, en estas condiciones,

b = (cte) P L4

2L EL I

PL3

b = (cte)EI

(2)

El análisis dimensional por sí solo no es capaz de predecir esto. La teoría de la resistencia de materiales predice que el valor de la constante es 1.

5.4. ADIMENSIONALIZACIÓN DE LAS ECUACIONES BÁSICASPodríamos utilizar el teorema pi de la sección anterior para analizar un problema tras otro, determinando los parámetros adimensionales que gobiernan cada caso. Algunos libros de texto sobre análisis dimensional hacen esto [por ejemplo, 5]. Una técnica alternativa y muy eficaz consiste en utilizar directamente las ecuaciones básicas del movimiento dadas en el Capítulo 4. Aunque en general estas ecuaciones no pueden re- solverse, revelan los parámetros adimensionales básicos, por ejemplo, el número de Reynolds, con su forma y posición correcta en las ecuaciones, dando pistas de cuándo son despreciables los términos donde aparecen. Las condiciones de contorno e iniciales también deben ser adimensionalizadas.

Apliquemos brevemente esta técnica a las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento (Navier- Stokes) para un fluido incompresible con viscosidad constante:

Continuidad: 0 · V = 0 (5.21a)

Cantidad de movimiento: l dV

= lg < 0p + µ 0 2

V

dt


(5.21b)


2

2

2

d

cálculos aislados mediante ordenador, no existe ninguna teoría que permita determinar la resistencia de un cilindro o una esfera salvo en el caso de movimientos lentos, Re < 1.

El número de Reynolds para ambos casos está basado en el diámetro de los cuerpos, de ahí la nota- ción Re

d. Sin embargo, los coeficientes de resistencia se definen de forma diferente:

¨ resistenciacilindro

C« 2 lU Ld (5.26)

1 2D = © resistencia«

ª« 1 lU 2 1 /d 2esfera

2 4

Ambos tienen un factor 1 como tributo tradicional a Bernoulli y Euler, pues en la ecuación de Bernoulli tam- bién aparece el término 1 ρU2, y ambos están basados en el área proyectada; esto es, el área que se ve cuando se mira hacia el cuerpo desde aguas arriba. La definición corriente de C

D es pues

CD =resistencia

1 lU 2 (área frontal)(5.27)

Sin embargo, se deben comprobar cuidadosamente las definiciones de CD, Re, etc., antes de utilizar los da-

tos de la literatura. Los perfiles aerodinámicos, por ejemplo, utilizan la superficie de la forma en planta.La Figura 5.3a corresponde a cilindros largos y lisos. Si se incluyen la rugosidad y longitud del cilindro

como variables del análisis dimensional, obtenemos una función más complicada con tres parámetros:

C = f £ Re , ¡

, L ¥

(5.28)D ¤ d d d ¦

Para describir adecuadamente esta función se requerirían más de 1000 experimentos o simulaciones CFD. Sin embargo, es costumbre explorar los efectos de la longitud y rugosidad por separado para establecer ten- dencias.

La tabla que se añade a la Figura 5.3a muestra el efecto de la longitud del cilindro en el caso de paredes lisas. Cuando la longitud decrece, la resistencia decrece más del 50 por 100. Esto se debe a que la sobre- presión cae en los extremos, ya que allí la corriente puede rodearlos en lugar de deflectarse hacia un lado y otro del cuerpo.

La Figura 5.3b muestra el efecto de la rugosidad en un cilindro infinito. La caída brusca de la resisten-cia ocurre a Re

d más bajos, cuando la rugosidad aumenta a causa de que la capa límite se hace antes tur-

bulenta. La rugosidad produce el mismo efecto en la resistencia de una esfera, un hecho que se explota en deportes como el golf, donde los hoyuelos de las pelotas les proporcionan una menor resistencia en su movimiento a Re 5 105.

La Figura 5.3 corresponde a un análisis experimental típico, con ayuda del análisis dimensional, de un problema de Mecánica de Fluidos. Cuando el tiempo, el dinero y la demanda lo permitan, la relación tri-paramétrica (5.28) podría ampliarse con más experimentos.

EJEMPLO 5.6

La elevación capilar h de un líquido en un tubo varía con el diámetro d del tubo, la gravedad g, la densidad del fluido ρ, la tensión superficial ϒ y el ángulo de contacto θ. (a) Determinar la expresión adimensional de esta relación. (b) Si h = 3 cm en un experimento dado, ¿cuánto valdrá h en un caso similar si el diámetro y la tensión superficial son la mitad, la densidad es el doble y el ángulo de contacto es el mismo?

Solución

Apartado (a)

Paso 1. Escribimos la función y contamos las variables

h =f(d, g, ρ, ϒ, θ) n = 6 variables

²

real

Paso 2. De la lista de dimensiones FLT de la Tabla 5.2, tenemos:

h d g ρ ϒ θ

L L LT–2 FT2L–4 FL–1 Ninguna

Paso 3. Determinamos j. Hay varios grupos de tres variables dimensionalmente independientes: ϒ, ρ, y g o ρ, g y d. Por tanto, j = 3, y esperamos que haya n – j = 6 – 3 = 3 grupos adimensionales. Uno de éstos es obviamente θ, que ya es adimensional:

Π3 = θ Resp. (a)

Si hubiéramos seguido los pasos 4 y 5, hubiéramos obtenido igualmente Π3 = θ.

Paso 4. Seleccionamos ρ, g, d como las j variables dimensionalmente independientes.

Paso 5. Añadimos de modo secuencial una variable adicional para obtener los grupos adimensionales:

a b c 2 –4 a –2 b c 0 0 0Añadiendo h: Π1

= ρ g d h = (FT L

Resolviendo el sistema, se obtiene

) (LT ) (L) (L) = F L T

a = b = 0 c = –1

Por tanto

W = l 0 g0 d <1h = h

1 d

Resp. (a)

Finalmente, añadiendo ϒ y eligiendo su exponente igual a 1

a b c 2 –4 a –2 b c –1 0 0 0

Obtenemos

Π2

= ρ g d ϒ = (FT L ) (LT ) (L) (FL ) = F L T

Por tanto

a = b = –1 c = –2

W2 = l<1g<1d<2 ¯ =

¯lgd 2 Resp. (a)

Paso 6. La relación adimensional completa para este problema es entonces

h = F

£ ¯ ¥2 ,e ´ Resp. (a) (1)

d ¤ lgd ¦

Esto es todo lo que nos puede proporcionar el análisis dimensional. Sin embargo, la teoría establece que h es proporcional a ϒ. Dado que ϒ aparece sólo en el segundo parámetro, podemos sacarlo fuera:

£ h ¥ ¯ F

hlgdF¤ d ¦

= lgd 2 1 (e ) o

¯ = 1 (e )

En el Ejemplo 1.9 se mostró de forma teórica que F1(θ) = 4 cos θ.

Apartado (b)

Se nos da h1 en unas ciertas condiciones d1, ϒ1, ρ1 y θ1. Si h1 = 3 cm, ¿cuánto vale h2 para d2 = d1, ϒ2 = ϒ1, ρ2 = 2ρ1 yθ2 = θ1? Sabemos que la relación funcional dada por la Ecuación (1) debe ser válida también en las condiciones 2:

2 2

²

dd

²

2

d


h2 = F£ ¯2 ¥

2 e2 ´d2 ¤ l2 gd2 ¦

Pero

¯2 1 ¯ ¯

l gd 2 = 2 1

2l1g( 1 d )= 1

l gd 22 1 1 1

Por tanto,

h2 = F £ ¯2 ¥ h1

2 , e1 ´ =d2 ¤ l1gd1 ¦ d1

Hemos dado unas condiciones 2 que son semejantes a las condiciones 1, por tanto se cumple la ley de escala:

1

h h 2 2 1Resp. (a)2 = 1

1

= (3 cm)d1

= 1, 5 cm

Si los grupos adimensionales no fuesen exactamente iguales en ambas condiciones, para poder determinar h2 ne- cesitaríamos más información acerca de la relación funcional F.

5.5. LA MODELIZACIÓN Y SUS DIFICULTADESHasta ahora nos hemos dedicado a estudiar la homogeneidad dimensional y el teorema pi para, usando productos de potencias, llevar una relación físicamente homogénea a su forma adimensional. Aunque esta trans- formación sea matemáticamente correcta, hay ciertas dificultades ingenieriles previas que necesitan ser dis- cutidas.

En primer lugar, hemos dado más o menos por cierto que es posible especificar todas las variables que intervienen en el proceso. Realmente, la selección de las variables que influyen en el mismo necesita gran juicio y experiencia. El ingeniero debe decidir, por ejemplo, cuándo puede despreciarse la viscosidad.¿Son importantes los efectos de la temperatura? ¿Es importante la tensión superficial? ¿Qué pasa con la rugosidad? Cada grupo adimensional que se retiene aumenta el precio y el esfuerzo necesario. El juicio co- rrecto sobre qué variables deben retenerse en cada caso es consecuencia de la práctica y madurez; este libro proporcionará parte de la experiencia necesaria.

Una vez que se han seleccionado las variables y realizado el análisis dimensional, el investigador debe buscar la semejanza entre el modelo ensayado y el prototipo a diseñar. Con suficientes ensayos, los da-tos obtenidos del modelo proporcionarán la función adimensional buscada:

Π1

= f(Π2, Π

3, ... Π

k) (5.29)

Con la Ecuación (5.29) disponible en tablas, gráficas o en forma analítica, estamos en posición de asegurarla semejanza completa entre modelo y prototipo. Una definición formal podría ser la siguiente:

Las condiciones del flujo para un modelo de ensayo son completamente semejantes a las del prototipo si coinciden los valores de todos los parámetros adimensionales correspondientes en el modelo y el prototipo.

Esto se obtiene matemáticamente de la Ecuación (5.29). Si Π2m

= Π2p

, Π3m

= Π3p

, etc., la Ecuación (5.49) garantiza que el valor buscado de Π

1m es igual a Π

1p. Pero esto es más fácil de decir que de hacer,

como veremos ahora. Hay libros enteros dedicados al ensayo de modelos [30-32].Por ser difícil de conseguir la semejanza completa, la literatura ingenieril habla de tipos particulares de

semejanza, siendo las más comunes la geométrica, cinemática, dinámica y térmica. Consideremos cada una por separado.

D¤ ¦

µ

D, cm L, m Q, m3/h Ap, Pa g, kg/m3 µ, kg/(m · s) V, m/s*

1,0 5,0 0,3 4.680 680† 2,92 × 10–4† 1,061,0 7,0 0,6 22.300 680† 2,92 × 10–4† 2,121,0 9,0 1,0 70.800 680† 2,92 × 10–4† 3,542,0 4,0 1,0 2.080 998‡ 0,0010‡ 0,882,0 6,0 2,0 10.500 998‡ 0,0010‡ 1,772,0 8,0 3,1 30.400 998‡ 0,0010‡ 2,743,0 3,0 0,5 540 13.550§ 1,56 × 10–3§ 0,203,0 4,0 1,0 2.480 13.550§ 1,56 × 10–3§ 0,393,0 5,0 1,7 9.600 13.550§ 1,56 × 10–3§ 0,67

* V = Q/A, A = πD2/4.† Gasolina.‡ Agua.§ Mercurio.

(c) Supongamos que además sabemos que 6p es proporcional a L (lo que es una buena aproximación para tubos largos con entradas redondeadas). Utilice esta información para simplificar y mejorar el resultado del teorema pi. Re- presente los datos adimensionales de esta forma y comente los resultados.

Solución

Hay seis variables que involucran tres dimensiones primarias MLT. Por tanto esperamos j = 6 – 3 = 3 grupos adimensionales. Estamos en lo cierto, pues podemos encontrar tres variables que no pueden formar un grupo adimensional, por ejemplo, (ρ, V, L). Seleccionamos cuidadosamente tres (j) variables dimensionalmente independientes, que no incluyan 6p o V, que son las que queremos representar una frente a la otra. Tomamos (ρ, µ, D), y el teorema pi nos garantiza que existirán tres grupos adimensionales independientes formados por productos de potencias:

a b c d e f g h iW1 = l µ D 6p2

W2 = l µ D V W3 = l µ D L

lD 6po W =lVD

W = W = L

1 µ 2 2 µ 3 D

Hemos omitido el álgebra que conduce a los valores (a, b, c, d, e, f, g, h, i) cuando se igualan todos los exponentes a cero M0, L0, T0. Así pues, la relación adimensional deseada es

lD2 6p £ lVD L ¥= f Resp. (a)

µ 2 ² µ , ´

Si representamos Π1 frente a Π2 con Π3 como parámetro, habrá nueve puntos experimentales. Por ejemplo, la primera fila de la tabla de datos conduce a

lD2 6p

µ 2

(680)(0, 01)2 (4680)=

(2, 92 × 10–4 )2 = 3, 73 × 109

lVD (680)(1, 06)(0, 01)= = 24.700 L

= 500µ 2, 92 × 10–4 D

Los nueve puntos experimentales se han representado con círculos abiertos en la Figura 5.10. En cada punto se indica el valor de L/D correspondiente, observándose un efecto significativo de la longitud del tubo. De hecho, si co- nectáramos los únicos dos puntos con el mismo valor de L/D (= 200), podríamos ver que 6p aumenta linealmente con L, como se indica en la última parte del problema. Como L aparece sólo en el grupo adimensional Π3 = L/D, la función Π1 = f(Π2, Π3) debe reducirse a Π1 = (L/D) f(Π2), o simplemente a una función entre dos parámetros adimensionales:

lD36p £ lVD ¥= f Resp. (b)

Lµ 2

² ´ flujo en un tubo largo¤ ¦

D

2

Π

D


9001011

LD

= 200

500 300

100

700400

133

2001010 Π1

109

108

Π1107

3

10 610 4 ReD

0,155 Re 1,75

105

Figura 5.10. Dos representaciones de los datos del Ejemplo 5.7: Los círculos abiertos representan ρD2 6p/µ2

frente a ReD, con L/D como parámetro; cuando se sabe que 6p es proporcional a L, la representación (círculossólidos) de ρD3 6p/(Lµ2) frente a Re colapsa en una única curva correspondiente a una ley potencial.

Modificamos ahora los puntos experimentales de la Figura 5.10 dividiéndolos por su valor L/D. Por ejemplo, para la primera fila de la tabla de datos, ρD36p/(Lµ2) = (3,73 × 109)/500 = 7,46 × 106. Estos nuevos datos se han representado con círculos sólidos en la Figura 5.10, donde se observa que existe prácticamente una correlación lineal entre ellos, dada por la ley potencial:

lD3 p £ lVD ¥1,75

Resp. (c)6

5 0,155² ´Lµ 2 ¤ µ ¦

Todos los flujos de fluidos newtonianos en tubos deben verificar esta correlación. Este ejemplo es una variante del primer resultado completamente satisfactorio del análisis dimensional, relativo a la fricción en el flujo en conductos, llevado a cabo por Paul Blasius, estudiante de Prandtl, que publicó una figura parecida en 1911. En este rango de nú- meros de Reynolds (correspondiente a flujos turbulentos), la caída de presión aumenta aproximadamente como V1,75.

EJEMPLO 5.8

Los datos de esferas lisas de la Figura 5.3a representan la resistencia adimensional frente a la viscosidad adimensional, pues se seleccionaron (ρ, V, d) como variables dimensionalmente independientes. (a) Represente estos datos para mostrar el efecto de la velocidad adimensional en la resistencia. (b) Utilice la nueva figura para predecir la velocidad límite (aceleración cero) de una bola de acero de 1 cm de diámetro (S = 7.86) que cae en agua a 20 °C.

Solución

• Consideraciones. La Figura 5.3a es válida para cualquier esfera lisa en dicho rango de números de Reynolds.• Procedimiento (a). Formamos grupos adimensionales partiendo de la función F = f(d, V, ρ, µ) que permitan re-

presentar F en función de V. La respuesta ya se dio en la Ecuación (5.16), pero revisemos los pasos. Las variables de escala adecuadas son (ρ, µ, d), que no forman un grupo adimensional. Por tanto j = 3, y esperamos n – j = 5 –3 = 2 grupos adimensionales. Omitiendo el álgebra, estos grupos son los siguientes:

a b c lF a b c lVdW1 = l µ d F = 2µW2 = l µ d V =

µResp. (a)

Podríamos representar los datos de la Figura 5.3a de esta nueva forma, observando que Π1 ≡ (//8)(CD)(Re) . Esta representación se muestra en la Figura 5.11. La resistencia aumenta rápidamente con la velocidad hasta la tran-

m

ρ F

µ 2

= π

CD

Re2

8

3

d

1011

1010

109

108

107

106

10 5

10 4

103

102

10

Transición:

10,1 1 10 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6

ρVdRe = µ

Figura 5.11. Representación de los datos de resistencia de esferas de la Figura 5.3a que muestra la fuerza adimensional en función de la velocidad adimensional.

sición, donde hay una ligera reducción, después de la cual alcanza valores aún más altos. Si conocemos la fuerza podemos predecir la velocidad a partir de la figura, y viceversa.

• Valores de las propiedades para el apartado (b). ρagua = 998 kg/m µagua = 0,001 kg/(m · s)3ρ

acero = 7,86 ρ

agua = 7844 kg/m

• Solución del apartado (b). A la velocidad límite la resistencia es igual al peso neto de la bola en el agua:

F = W = (l < l )g /

d 3 = (7840 < 998)(9,81)£ / ¥ (0, 01)3 = 0, 9351 Nneto acero agua 6 ¤ 6 ¦

Por tanto, conocemos la ordenada en la Figura 5.11:

Bola de acero: lF (998 kg/m3 )(0, 0351 N)= 5 3, 5 × 107

µ 2 [0, 001 kg/(m u s)]2

Ampliando la Figura 5.11 alrededor de ρF/µ2 5 3,5 × 107 se observa que Re la velocidad límite de caída terminal es entonces

5 2 × 104. Una estimación burda de

lVd 5 20.000 o V 5

20.000[0, 001 kg/(m u s)] 5 2, 0 Resp. (b)

µ (998 kg/m3 )(0, 01 m) s

• Comentarios. Se podría obtener una precisión mayor expandiendo la escala de la Figura 5.11 en la región de in- terés. Sin embargo, existe una incertidumbre considerable en los datos publicados de resistencia para esferas, de modo que probablemente el error en la velocidad de caída predicha es de al menos el ±10 por 100.


Obsérvese que hemos obtenido la respuesta directamente de la Figura 5.11. También podríamos haber usado la Figura 5.3a, pero entonces tendríamos que haber iterado entre la ordenada y la abscisa para obtener el resultado final, pues V aparece en las dos variables representadas.

ResumenEn los Capítulos 3 y 4 se han presentado los métodos integral y diferencial de análisis de los flujos. En este capítulo se ha introducido el tercer y último método: la experimentación, apoyada por la técnica del análi- sis dimensional. Los ensayos y experimentos se usan tanto para confirmar las teorías existentes como para obtener resultados ingenieriles de gran utilidad cuando no se dispone de una teoría apropiada.

El capítulo comienza con la discusión de varias relaciones físicas familiares y de cómo pueden escribirse en forma adimensional por satisfacer el principio de homogeneidad dimensional. A continuación se presenta el teorema pi, una técnica general que permite encontrar de forma sistemática un conjunto de parámetros adimensionales partiendo de la lista de variables que gobiernan un determinado proceso físico. Alternati- vamente, se puede aplicar directamente el análisis dimensional a las ecuaciones de la Mecánica de Fluidos para obtener los parámetros fundamentales que gobiernan los flujos: el número de Reynolds, el número de Froude, el número de Prandtl, el número de Mach, etc.

Se ha mostrado que el ensayo de modelos en aire y agua suele presentar dificultades en el escalado, lo que obliga a adoptar soluciones de compromiso. Muchos ensayos de modelos no llegan a alcanzar realmente la semejanza dinámica.

El capítulo termina indicando que las figuras y representaciones adimensionales clásicas pueden ma-nipularse de forma que proporcionen directamente la solución a ciertos problemas que de otra forma re- querirían complicados y laboriosos procesos iterativos.

Problemas

La mayoría de los problemas propuestos aquí son bastante sen- cillos. Los más difíciles, o de final abierto, se indican con un as- terisco. Para resolver los problemas señalados con un icono EES (por ejemplo, el Problema P5.61) se recomienda el uso del Re- solvedor de Ecuaciones de Ingeniería (EES, Engineering Equa- tion Solver), mientras que los problemas señalados con un dis- quete pueden requerir el uso de un ordenador. Los problemas estándar de final de capítulo P5.1 a P5.91 (ordenados por temas en la lista de abajo) están seguidos por los problemas concep- tuales C5.1 a C5.10, los problemas del examen de fundamentos de ingeniería (FE, Fundamentals of Engineering) FE1.1 a FE1.10, los problemas extensos PE1.1 a PE1.8, y los proyectos de diseño D5.1 y D5.2.

Distribución de los problemas

Sección Tema Problemas

5.1 Introducción P5.1-P5.95.2 El principio de homogeneidad dimensional P5.10-P5.175.3 El teorema de pi P5.18-P5.415.4 Adimensionalización de las ecuaciones

básicas P5.42-P5.475.4 Datos relativos a esferas y cilindros P5.48-P5.495.5 Escalado de datos de modelos P5.60-P5.745.5 Ensayos con efectos del número de Mach

y de Fraude P5.75-P5.845.5 Reescalado imaginativo de los datos P5.85-P5.91

P5.1 En el flujo axial a través de un tubo circular, el núme- ro de Reynolds de transición a la turbulencia basado en el diámetro y la velocidad media es aproximadamente2300 [véase Ecuación (6.2)]. Si d = 5 cm y el fluido esqueroseno a 20 °C, halle el caudal en m3/h para el cual se produce la transición.

P5.2 En el flujo alrededor de un cuerpo plano delgado, como un perfil aerodinámico, la transición a la turbulencia ocurre alrededor de Re = 106, con el número de Reynolds basado en la distancia x desde el borde de ataque del ala. ¿Si un avión vuela a 450 mi/h a una altura estándar de 8 km y sufre transición al 12 por 100 de la cuerda, cuánto mide la cuerda (longitud desde el borde de ataque al borde de salida del ala)?

P5.3 Un avión tiene una cuerda de L = 1,2 m y vuela a Mach 0,7 en la atmósfera estándar. Si su número de Reynolds, basado en la longitud de la cuerda, es 7 ×106, ¿a qué altura está volando?

P5.4 Una esfera de 8 cm de diámetro se ensaya en agua a20 °C a una velocidad de 2 m/s, obteniéndose una resistencia de 5 N. ¿Cuál será la velocidad y la fuerza de resistencia que experimentará un globo meteorológico de 1,5 m de diámetro amarrado a nivel del mar en la atmósfera estándar bajo condiciones dinámicamente semejantes?

P5.5 Un automóvil tiene una longitud y un área caracterís- ticas de 8 ft y 60 ft2, respectivamente. Cuando se en-