3.3. derivadas de funciones trascendentes julio c. carrillo...
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Cálculo I
3.3. Derivadas de Funciones Trascendentes
Julio C. Carrillo E.
*
Índice
1. Introducción 1
2. Derivadas de funciones trigonométricas 1
3. Derivadas de funciones trigonométricas inversas 7
4. Derivadas de la función exponencial y logaritmo 11
5. Derivadas de funciones hiperbólicas 16
*Profesor Escuela de Matemáticas, UIS.
Cálculo I
1. Introducción
2. Derivadas de funciones trigonométricas
Recordemos que
lım
x!0
sen x
x
= 1, lım
x!0
cos x� 1
x
= 0.
Sea f (x) = sen x. De la definición de derivada,
f
0(x) = lım
h!0
f (x + h)� f (x)
h
= lım
h!0
sen(x + h)� sen x
h
= lım
h!0
sen x cosh + cosx senh� sen x
h
= lım
h!0
sen x(cosh� 1) + cosx senh
h
= lım
h!0
✓sen x
cosh� 1)
h
+ cosx
senh
h
◆
= senx lım
h!0
cosh� 1
h
+ cosx lım
h!0
senh
h
(reglas del límite)
= cosx.
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Cálculo I
Por lo tanto,
d
dx
sen x = cosx.
De igual modo se puede demostrar que
d
dx
cos x = � sen x.
Para derivar tan x =
sen x
cos x
se utiliza la regla del cociente:
d
dx
tan x =
cos x
d
dx
sen x� sen x
d
dx
cos x
cos
2x
=
cos x cos x� sen x (� sen x)
cos
2x
=
cos
2x + sen
2x
cos
2x
=
1
cos
2x
= sec
2x.
Entonces,
d
dx
tan x = sec
2x.
De igual modo,
d
dx
cot x = � csc
2x.
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Cálculo I
Lo mismo se hace para derivar sec x =
1
cos x
:
d
dx
sec x =
cos x
d
dx
(1)� 1 · d
dx
cos x
cos
2x
=
0� (� sen x)
cos
2x
=
sen x
cos
2x
=
1
cos x
sen x
cos x
= secx tan x.
Por lo tanto,
d
dx
sec x = secx tan x.
De igual modo se establece que
d
dx
csc x = � csc x cot x.
Teorema 1 (Derivadas de funciones trigonométricas). Las derivadas de las funciones trigonométricas
son
d
dx
sen x= cosx,
d
dx
cos x= � sen x,
d
dx
tan x= sec
2x,
d
dx
cot x= � csc
2x,
d
dx
sec x= secx tan x,
d
dx
csc x= � csc x cot x.
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Cálculo I
Ejemplo 1. Encontrar la derivada de las siguientes funciones.
1. y = x
2sen x.
2. y = sen
2x.
3. y =
cos x
2 + sec x
.
4. y = 5 sen x cos x + 4 cscx
5. P (t) =
sen t
3� 2 cos t
.
Ejemplo 2. Encontrar las segundas derivadas de las siguientes funciones.
1. y = secx.
2. y = x
3cos x.
Ejemplo 3. Resuelva los siguientes problemas.
1. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) = sen x en x =
4⇡
3
.
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Cálculo I
2. Suponga que la cantidad de dinero en banco está dada por la función
P (t) = 500 + 100 cos t� 150 sen t,
donde t es dado en años. Determine durante los 10 años que la cuenta estuvo abierta, en que periodos
la cantidad de dinero se estuvo incrementando.
La siguiente es la regla de la cadena para las funciones trigonométricas.
Teorema 2 (Derivadas de funciones trigonométricas). Si u = g(x) es derivable en x, entonces
d
dx
sen u= cosu
du
dx
,
d
dx
cos u= � sen
du
dx
,
d
dx
tanu= sec
2 du
dx
,
d
dx
cotu= � csc
2 du
dx
,
d
dx
secu= secu tan
du
dx
,
d
dx
cscu= � cscu cot
du
dx
.
Ejemplo 4. Derive las siguientes funciones.
1. y = cos 4x
3.
2. y = senx
2.
3. y = tan(6x
2+ 1).
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4. y = (9x
3+ 1)
3sen 5x.
5. y = cos
4(7x
3 � 1).
6. y = tan(sen x).
7. y = sen
⇣tan
p3x
2+ 4
⌘.
8. y =
1� cos(tan(x
2+ 1))
csc
2x
.
9. g(x) = 3 sec x
2 � 10 cot(x� 1).
10. f (t) = 3t
�4 � t
2tan(1�
pt).
11. y = 5 sen(x
2 � 1) cos(x
2+ 1) + 4 cscx
2.
Ejemplo 5. Encuentre dy/dx a partir de las las siguientes ecuaciones.
1. sen y
2= y cos 2x.
2. x
2tan y
4+ y
10sec x = 2x� 1.
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3. Derivadas de funciones trigonométricas inversas
Definición 1. Para la función inversa de seno se
tiene que
y = sen
�1x
si y sólo si
sen y = x, �1 x 1, �⇡/2 y ⇡/2.
Al derivar ambos miembros de esta ecuación con respecto a x y aplicar la regla de la cadena se tiene
d
dx
sen y =
d
dx
x =) cos y · y0 = 1 =) y
0=
1
cos y
=
1p1� sen
2y
=
1p1� x
2.
Por lo tanto,
d
dx
sen
�1x =
1p1� x
2, �1 < x < 1.
Definición 2. Para la función coseno inversa se tie-
ne que
y = cos
�1x
si y solo si
cos y = x, �1 x 1, 0 y ⇡.
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Cálculo I
También se puede establecer que
d
dx
cos
�1x =
�1p1� x
2, �1 < x < 1.
Definición 3. Para la función inversa de tangente
se tiene que
y = tan
�1x
si y sólo si
tan y = x, �1 < x < 1, �⇡/2 < y < ⇡/2.
Al derivar ambos miembros de esta ecuación con respecto a x y aplicar la regla de la cadena se tiene
d
dx
tan y =
d
dx
x =) sec
2y · y0 = 1 =) y
0=
1
sec
2y
=
1
1 + tan
2y
=
1
1 + x
2.
Por lo tanto,
d
dx
tan
�1x =
1
1 + x
2�1 < x < 1.
Definición 4. Para la función inversa de cotangente
se tiene que
y = cot
�1x
si y sólo si
cot y = x, �1 < x < 1, 0 < y < ⇡.
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Cálculo I
De igual modo,
d
dx
cot
�1x =
�1
1 + x
2�1 < x < 1.
Definición 5. Para la función inversa de secante se
tiene que
y = sec
�1x
si y sólo si
sec y = x, |x| > 1, 0 y < ⇡/2 o ⇡/2 < y ⇡.
Al derivar ambos miembros de esta ecuación con respecto a x y aplicar la regla de la cadena se tiene
d
dx
sec y =
d
dx
x=)sec y tan y · y0 = 1=)y
0=
1
sec y tan y
=
1
sec y
⇣±p
sec
2y � 1
⌘
= ± 1
x
px
2 � 1
, |x| > 1,
=
1
|x|px
2 � 1
Por lo tanto,
d
dx
sec
�1x =
1
|x|px
2 � 1
|x| > 1.
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Definición 6. Para la función inversa de cosecante
se tiene que
y = csc
�1x
si y sólo si
csc y = x, |x| > 1, �⇡/2 y < 0 o 0 < y ⇡/2.
De igual modo,
d
dx
csc
�1x =
�1
|x|px
2 � 1
|x| > 1.
Teorema 3 (Derivada de funciones trigonométricas inversas). Si u = g(x) es una función diferenciable,
entonces
d
dx
sen
�1u=
1p1� u
2
du
dx
,
d
dx
cos
�1u=
�1p1� u
2
du
dx
,
d
dx
tan
�1u=
1
1 + u
2
du
dx
,
d
dx
cot
�1u=
1
1 + u
2
du
dx
,
d
dx
sec
�1u=
1
|u|pu
2 � 1
du
dx
,
d
dx
csc
�1u=
�1
|u|pu
2 � 1
du
dx
,
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Cálculo I
Ejemplo 6. Calcule las siguientes derivadas.
a
4. Derivadas de la función exponencial y logaritmo
Sea f (x) = a
x
donde a > 0. Aplicando la definición de derivada,
f
0(x) = lım
h!0
f (x + h)� f (x)
h
= lım
h!0
a
x+h � a
x
h
= lım
h!0
a
x
a
h � a
x
h
= lım
h!0
a
x
(a
h � 1)
h
= a
x
lım
h!0
a
h � 1
h
= a
x
f
0(0),
pues el factor a
x
no depende de h y
f
0(0) = lım
h!0
f (h)� f (0)
h
= lım
h!0
a
h � 1
h
. (1)
Por lo tanto,
f
0(x) = f
0(0)a
x
. (2)
La siguiente tabla da algunos valores aproximados de f
0(0) para f (x) = a
x
con a = 2, 3.
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h 0,1 0,01 0,001 0,0001
2
h � 1
h
0,7171 0,6956 0,6934 0,6932
3
h � 1
h
1,1612 1,1047 1,0992 1,0987
Así,
d
dx
2
x
���x=0
⇡ 0,6932,
d
dx
3
x
���x=0
⇡ 1,0987.
Definición 7 (El número e). El número e (de Euler) es el número real tal que
lım
h!0
e
h � 1
h
= 1. (3)
De (1) a (3) se obtiene que la derivada de la función exponencial natural f (x) = e
x
es
d
dx
e
x
= e
x
.
Para encontrar la derivada de cualquier función exponencial f (x) = a
x
, a > 0, se aplica las propiedades
de la función exponencial, el teorema anterior y la regla de la cadena:
d
dx
a
x
=
d
dx
e
ln ax=
d
dx
e
x ln a= e
x ln a d
dx
(x ln a) = a
x
ln a.
Teorema 4 (Derivada de funciones exponenciales). Sea a > 0. Si u = g(x) es una función derivable,
entonces
d
dx
e
u
= e
u
du
dx
,
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y
d
dx
a
x
= a
x
ln a
du
dx
.
Para encontrar la derivada de la función logaritmo
f (x) = log
a
x =
ln x
ln a
, a > 0,
primero se encuentra la derivada de la función logaritmo natural, y = ln x. En efecto, Si y = ln x entonces
e
y
= x, y
d
dx
e
y
=
d
dx
1 =) e
y
y
0= 1 =) y
0=
1
e
y
=
1
x
.
Se tiene así el siguiente teorema.
Teorema 5 (Derivada de funciones logaritmo). Sea a > 0. Si u = g(x) es una función derivable, entonces
d
dx
ln u =
1
u
du
dx
,
y
d
dx
log
a
x =
1
u ln a
du
dx
.
Ejemplo 7. Encuentre las derivadas de cada una de las siguientes funciones.
1. y = e
�x
.
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2. y = e
1/x.
3. y = 8
3x2.
4. f (x) = x
3ln x.
5. r(u) = 4
u � 5 log9 u.
6. f (t) = 2e
t
+ 10t
2ln t.
7. y =
2e
x
3e
x
+ 1
.
8. f (x) = ln x
3.
9. f (x) = ln(cos x).
10. y = ln(2x
1/5 � 3).
11. y = ln
x
1/2(2x + 7)
4
(3x
2+ 1)
2.
12. y = ln(ln x).
Ejemplo 8. Encuentre las siguientes derivadas aplicando derivación logarítmica.
1. y = x
px
, x > 0.
2. y =
3px
4+ 6x
2(8x + 3)
5
(2x
2+ 7)
2/3.
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Cálculo I
Ejemplo 9. Encuentre dy/dx para cada uno de los siguientes casos.
1. e
2x�3y � x
2= ln xy
2.
2. 5e
3y2+ 8 ln(x + y
2) = 1.
Ejemplo 10. Resuelva los siguientes problemas.
1. Dado que la posición vertical de un objeto está dada como s(t) = te
t
, establezca si alguna vez el objeto
para de subir.
2. Encuentre los puntos sobre la gráfica de y = 3x
2e
�x
2donde la recta tangente es horizontal.
3. Encuentre el punto sobre la gráfica de f (x) = 2e
�x
donde la recta tangente es paralela a y = �4x� 2.
4. Encuentre la pendiente de la tangente a la gráfica de y = log10 x en x = 2.
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5. Derivadas de funciones hiperbólicas
Catenaria (catenariam), cadena colgante.
f (x) = k
e
cx
+ e
�cx
2
, c, k constantes.
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Cálculo I
Funciones hiperbólicas
senh x =
e
x � e
�x
2
cosh x =
e
x
+ e
�x
2
tanh x =
senh x
cosh x
=
e
x � e
�x
e
x
+ e
�x
coth x =
cosh x
senh x
=
e
x
+ e
�x
e
x � e
�x
, x 6= 0
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sech x =
1
cosh x
=
2
e
x
+ e
�x
csch x =
1
senh x
=
2
e
x � e
�x
, x 6= 0
Identidades hiperbólicas
1. Las identidades hiperbólicas básicas son,
senh(�x) = � senh x, cosh(�x) = cosh x, tanh(�x) = � tanh x,
cosh
2x� senh
2x = 1, 1� tanh
2x = sech
2x, coth
2x� 1 = csch
2x.
2. Las identidades hiperbólicas de la suma de ángulos son,
senh(x± y) = senh x cosh y ± cosh x senh y,
cosh(x± y) = cosh x cosh y ± senh x senh y.
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Cálculo I
En particular,
senh 2x = 2 senh x cosh x,
cosh 2x = cosh
2x + senh
2x,
senh
2x =
cosh 2x� 1
2
,
cosh
2x =
cosh 2x + 1
2
.
Derivada de funciones hiperbólicas
Se tiene que
d
dx
senh x =
d
dx
e
x � e
�x
2
=
e
x
+ e
�x
2
= coshx.
En general, se tienen las siguientes fórmulas para las derivadas de las funciones hiperbólicas.
Teorema 6 (Derivadas de funciones hiperbólicas). Sea u = g(x) una función derivable. Entonces,
d
dx
senhu= coshu
du
dx
,
d
dx
cosh u= senhu
du
dx
,
d
dx
tanhu= sech
2u
du
dx
,
d
dx
coth u= � csch
2u
du
dx
,
d
dx
sech u= � sech u tanhu
du
dx
,
d
dx
csch u= � csch u coth u
du
dx
.
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Cálculo I
Ejemplo 11. Encuentre dy/dx para cada caso.
a) y = senh
p2x + 1 b) y = coth(x
3 � 1) c) x
2sech
2y � xy = 10y
3.
Solución. a) Por la derivada de la función seno hiperbólico,
dy
dx
= cosh
p2x + 1
d
dx
p2x + 1 = cosh
p2x + 1
✓2
2
p2x + 1
◆=
cosh
p2x + 1p
2x + 1
.
Para b),
dy
dx
= � csch
2(x
3 � 1)
d
dx
(x
3 � 1) = �3x
2csch
2(x
3 � 1).
Para evaluar la derivada dy/dx en c) se utiliza la regla de la cadena:
2x sech
2y + x
2
✓2 sech y (� sech y tanh y)
dy
dx
◆�✓y + x
dy
dx
◆= 10
✓3y
2dy
dx
◆.
Despejando dy/dx,
2x sech
2y � 2x
2sech
2y tanh y
dy
dx
� y � x
dy
dx
= 30y
2dy
dx
2x sech
2y � y =
�30y
2+ 2x
2sech
2y tanh y + x
�dy
dx
dy
dx
=
2x sech
2y � y
30y
2+ 2x
2sech
2y tanh y + x
c�Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 20/25
Cálculo I
Funciones hiperbólicas inversas
y = senh
�1x y = cosh
�1x
y = tanh
�1x y = coth
�1x
c�Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 21/25
Cálculo I
y = sech
�1x y = csch
�1x
Funciones hiperbólicas inversas como logaritmos
y = senh
�1x =) x = senh y =
e
y � e
�y
2
=
e
2y � 1
2e
y
=) 2xe
y
= e
2y � 1
=) e
2y � 2xe
y � 1 = 0
=) e
y
=
2x±p4x
2+ 4
2
=) e
y
= x±px
2+ 1
=) e
y
= x +
px
2+ 1
c�Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 22/25
Cálculo I
Por lo tanto,
y = senh
�1x = ln
⇣x +
px
2+ 1
⌘.
De igual modo, y = tanh
�1x
y = tanh
�1x =) x = tanh y =
e
y � e
�y
e
y � e
�y
=
e
2y � 1
e
2y+ 1
=) x(e
2y+ 1) = e
2y � 1
=) 1 + x = e
2y(1� x)
=) e
2y=
1 + x
1� x
=) 2y = ln
1 + x
1� x
Por lo tanto,
y = tanh
�1x =
1
2
ln
1 + x
1� x
.
El siguiente teorema reúne todas estas representaciones de las funciones hiperbólicas inversas como loga-
ritmos.
c�Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 23/25
Cálculo I
Teorema 7 (Identidades logarítmicas de funciones hiperbólicas inversas).
senh
�1x= ln
⇣x +
px
2+ 1
⌘, cosh
�1x= ln
⇣x +
px
2 � 1
⌘, x � 1,
tanh
�1x=
1
2
ln
✓1 + x
1� x
◆, |x| < 1, coth
�1x=
1
2
ln
✓x + 1
x� 1
◆, |x| > 1,
sech
�1x= ln
1 +
p1� x
2
x
!, 0 < x 1, csch
�1x= ln
1
x
+
p1 + x
2
|x|
!, x 6= 0.
Derivada de funciones hiperbólicas inversas
Para encontrar la derivada de las funciones hiperbólicas inversas se puede recurrir a la regla de la cadena,
en forma similar a como ya se ha hecho, o derivar la representación logarítmica de esta funciones para
obtener sus derivada. Por ejemplo,
d
dx
senh
�1x =
d
dx
ln
⇣x +
px
2+ 1
⌘
=
1
x +
px
2+ 1
✓1 +
2x
2
px
2+ 1
◆
=
1
x +
px
2+ 1
x +
px
2+ 1p
x
2+ 1
=
1px
2+ 1
.
c�Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 24/25
Cálculo I
De igual modo,
y = senh
�1x =) senh y = x
=) d
dx
senh y =
d
dx
x
=) cosh y
dy
dx
= 1
=) dy
dx
=
1
cosh y
=
1psenh
2y + 1
=) dy
dx
=
1px
2+ 1
.
Teorema 8 (Derivadas de funciones hiperbólicas inversas). Sea u = g(x) una función derivable. Enton-
ces,
d
dx
senh
�1u=
1pu
2+ 1
du
dx
,
d
dx
cosh
�1u=
1pu
2 � 1
du
dx
, u > 1,
d
dx
tanh
�1u=
1
1� u
2
du
dx
, |u| < 1,
d
dx
coth
�1u=
1
1� u
2
du
dx
, |u| > 1,
d
dx
sech
�1u=
�1
u
p1� u
2
du
dx
, 0 < u < 1,
d
dx
csch
�1u=
�1
|u|p1 + u
2
du
dx
, u 6= 0.
Ejemplo 12. Calcular dy/dx en cada caso.
a) y = senh
�1(x
2 � 5) b) y = coth
�12x y = e
x
2sech
�1x.
c�Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 25/25