3.3.-la elecciÓn de la producciÓn eficiente la maximizaciòn del beneficio
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3.3.-LA ELECCIÓN DE LA PRODUCCIÓN EFICIENTE
La Maximizaciòn del Beneficio
Beneficio Econòmico
Una empresa emplea los factores j = 1…,m para producir los bienes i = 1,…n.
Los volùmenes de producción son y1,…,yn.
Los volúmenes de empleo de los factores son x1,…,xm.
Los precios de los bienes son p1,…,pn.
Los precios de los factores son w1,…,wm.
La empresa competitiva
La empresa competitiva toma los precios de todos los bienes p1,…,pn y los precios de todos los factores w1,…,wm como precios dados.
El beneficio económico generado por el plan de producción (x1,…,xm,y1,…,yn) es
p y p y w x w xn n m m1 1 1 1 .
Beneficio Econòmico
Los volúmenes de produccìón y de empleo de los factores, son flujos.
Por ejemplo, x1 debe ser el número de unidades de trabajo empleadas por hora.
Y y3 debe ser el número de carros producidos por hora.
En consecuencia, el beneficio tambièn es un flujo; por ejemplo, el número de dólares de beneficio obtenidos por hora.
Beneficio Econòmico
¿Cómo se valora una empresa?
Supongamos que el flujo de beneficios periódicos de una empresa es … y r es la tasa de interès.
Entonces el valor presente del beneficio es
2
210 )1(1 rr
VP
Beneficio Econòmico
La empresa competitiva busca maximizar su valor presente.
¿Cómo?
Beneficio Econòmico
Suponga que la empresa está en el corto plazo y entonces
Su función de producción de corto plazo es y f x x ( , ~ ).1 2
x x2 2~ .
Beneficio Econòmico
Suponga que la empresa está en el corto plazo y entonces
Su función de producción de corto plazo es
El costo fijo de la empresa esy la funciòn de beneficio es
y f x x ( , ~ ).1 2
py w x w x1 1 2 2~ .
x x2 2~ .
22~xwCF
Beneficio Econòmico
Rectas de Isobeneficio de corto plazo
Una recta de isobeneficio contiene todos los planes de producción que proporcionan el mismo nivel de beneficio.
La ecuación de la recta de isobeneficio es
py w x w x1 1 2 2~ .
Una recta de isobeneficio contiene todos los planes de producción que proporcionan el mismo nivel de beneficio.
La ecuación de la recta de isobeneficio es
Es decir
py w x w x1 1 2 2~ .
ywp
xw xp
11
2 2 ~.
Rectas de Isobeneficio de corto plazo
Las rectas de isobeneficio
ywp
xw xp
11
2 2 ~
La pendiente es wp1
Y el intercepto vertical es w x
p2 2~.
Beneficio
crecientey
x1
pw
pendiente 1
Rectas de Isobeneficio de corto plazo
Maximización del beneficio en el corto plazo
El problema de la empresa es encontrar el plan de producción que le permita alcanzar la recta de isobeneficio más alta posible, dadas las restriccciones de la empresa en sus planes de producción.
Pregunta: ¿Qué restricciones?
El problema de la empresa es encontrar el plan de producción que le permita alcanzar la recta de isobeneficio más alta posible, dadas las restriccciones de la empresa en sus planes de producción.
Pregunta: ¿Qué restricciones?
Respuesta: La función de producción
Maximización del beneficio en el corto plazo
x1
PlanesTecnicamenteineficientes
y La función de producción de cortoPlazo para x x2 2~ .
y f x x ( , ~ )1 2
Maximización del beneficio en el corto plazo
x1
Beneficio
creciente
pw
pendiente 1
y
y f x x ( , ~ )1 2
Maximización del beneficio en el corto plazo
x1
y
x1*
y*
Maximización del beneficio en el corto plazo
pw
pendiente 1
x1
yDados p, w1 y el plan de producciòn que maximiza el beneficio es
x1*
y*
x x2 2~ ,
( , ~ , ).* *x x y1 2
Maximización del beneficio en el corto plazo
pw
pendiente 1
x1
y
Y el máximo beneficio posible es
x x2 2~ ,
( , ~ , ).* *x x y1 2 .
x1*
y*
Maximización del beneficio en el corto plazoDados p, w1 y el plan de producciòn que maximiza el beneficio es
pw
pendiente 1
x1
y
En el plan de producción maximizador del beneficio en el corto plazo, la pendiente de la función de producción de corto plazo y la pendiente de la recta de isobeneficio más alta posible, son iguales.
x1*
y*
pw
pendiente 1
x1
y
),~,( *2
*1
11
yxxen
pw
PMg
x1*
y*
pw
pendiente 1
En el plan de producción maximizador del beneficio en el corto plazo, la pendiente de la función de producción de corto plazo y la pendiente de la recta de isobeneficio más alta posible, son iguales.
111
1 wPMgppw
PMg
1PMgp es el ingreso del producto marginal del factor 1, la tasa a la cual el ingreso se Incrementa cuando se incrementa el empleo del factor 1.
Si entonces el beneficio se incrementa con x1.
Si entonces el beneficio disminuye con h x1.
11 wPMgp
11 wPMgp
Maximización del beneficio en el corto plazo
Un Caso Pràctico (J. Fernàndez B)
q = k1/3 L1/2 ; p = 216; r = 32; w = 81
a) Si k = 8, determine L*, q* y п, (corto plazo) b) Si K y W son variables, determine K*, W*, q*, п
a) Si K = 8 q = 2 L ½ , condiciòn de 1º orde
P PmgL = w ; 216 * 2 (1/2) L -1/2 = 81 despejando L: 216L-1/2 = 81 216/81 = L1/2 L = 7.11
Caso Pràctico (continùa)
q = k1/3 L1/2 = 81/3 7.11/2 ; q = 5.3
П = pq – rK – wL = 216*5.3 – 32*8 – 81*7.1
П = 320 b) condiciòn de 1º orden: PmgL/pmgK =w/r
PmgL = (1/2)K1/3L-1/2 ; PmgK = (1/3)K-2/3L1/2
Aplicando condicion b)
(1/2)K1/3L-1/2 = 81 ; (3/2)K/L = 81/32
(1/3)K-2/3L1/2 32 K = (162/96)L
K = 1.69L
Caso Pràctico (continùa) Reemplazmos valor de K, en: P. PmgL = w: 216x(1/2)K1/3L-1/2 = 81
216x(1/2) (1.69L)1/3L-1/2 = 81
L = 16
A partir de L = 16 se determina K en:
K = 1.69L = 1.69*16; K = 27
q* = k1/3 L1/2 = 271/3 161/2 = 3*4 = 12 П = pq – rK – wL П = 216*12 – 32*27 - 81*16 = 432
Caso práctico (J Fernandez B) q = k1/3 L1/2 ; r = 32; w = 81; CT = 2700 Hallar q máx; L*, K*
Solución: TMST = Pmgl/PmgK = w/r
S.a. wL + rK = CT
81L + 32K = 2700; 81L + 32 (1.69L)=2700
L* = 20; K* = 33.75
q* = (33.75)1/3 + 201/2 = 14.45
Caso práctico (J Fernandez B) q = k1/3 L1/2 ; r = 32; w = 81; CT = 2700
Dado q = 14.45 Hallar el min CT Solución: TMST = Pmgl/PmgK = w/r
S.a: q =f(L,K) Si sabemos que K = 1.69 L,
reemplazamos en q = k1/3 L1/2
14.45 = (1.69L)1/3 L1/2 ; L = 20; Si K = 1.69 L; luego K = 33.75
CT = 81L + 32K; CT = 81*20 + 32*33.75 CT* = 2700
Un ejemplo: Cobb Douglas
Suponga que la función de producciónde corto plazo es y x x 1
1/321/3~ .
El producto marginal del factor 1 es
.~31 3/1
23/2
11
1 xxxy
PMg
La condición de maximización del beneficio es
.~)(3 1
3/12
3/2*111 wxx
pPMgpIPMg
px x w
3 12 3
21/3
1( ) ~* /
Resolviendo
para x1 da
( )~
.* /xw
px1
2 3 1
21/3
3
Es decir
( )~
* /xpx
w12 3 2
1/3
13
Entonces
xpx
wpw
x121/3
1
3 2
1
3 2
21/2
3 3*
/ /~~ .
xpw
x11
3 2
21/2
3*
/~
Es la demanda decorto plazo dela empresa por el factor 1
Cuando el nivel del factor 2 está fijado en unidades. ~x2
Y el nivel de producción en el corto plazo es
y x xpw
x* *( ) ~ ~ .
1
1/321/3
1
1/2
21/2
3
Estática Comparativa
¿Qué ocurre con el plan de producción que maximiza el beneficio económica de la empresa en el corto plazo, cuando el precio del bien cambia?
ywp
xw xp
11
2 2 ~La ecuación de la recta de isobeneficio es
Así un incremento en p provoca -- la reducción de la pendiente, y -- la reducción del intercepto vertical
Estática Comparativa
x1
y
y f x x ( , ~ )1 2
x1*
y*
Estática Comparativa
pw
pendiente 1
x1
y
y f x x ( , ~ )1 2
x1*
y*
Estática Comparativa
pw
pendiente 1
x1
y
y f x x ( , ~ )1 2
x1*
y*
Estática Comparativa
pw
pendiente 1
Un incremento en el precio del bien provoca
– Un incremento en el volúmen de producción (la pendiente de la curva de oferta es positiva), y
– Un incremento en el volúmen de empleo del factor variable (la curva de demanda de la empresa por el factor variable se desplaza hacia afuera).
Estática Comparativa
xpw
x11
3 2
21/2
3*
/~
El ejemplo Cobb-Douglas : Cuando
Entoncesy x x 11/3
21/3~
ypw
x* ~ .
3 1
1/2
21/2
Y la oferta de corto plazo es
Estática Comparativa
x1* Se incrementa cuando p se incrementa
Estática Comparativa
y* se incrementa cuando p se incrementa
Estática Comparativa
¿Qué ocurre con el plan de producción maximizador de beneficio de corto plazo de la empresa, cuando el precio del factor variable w1 cambia?
Estática Comparativa
ywp
xw xp
11
2 2 ~
Así un incremento en w1 provoca -- un incremento en la pendiente, y -- no hay cambios en el intercepto vertical.
Estática Comparativa
x1
y
y f x x ( , ~ )1 2
x1*
y*
Estática Comparativa
pw
pendiente 1
x1
y
y f x x ( , ~ )1 2
x1*
y*
Estática Comparativa
pw
pendiente 1
x1
y
y f x x ( , ~ )1 2
x1*
y*
Estática Comparativa
pw
pendiente 1
Un incremento en w1 provoca
– Una disminución en el volúmen de producción de la empresa (la curva de oferta de la empresa se desplaza hacia adentro), y
– Una disminución en el volumén de empleo del factor variable (la curva de demanda de la empresa por el factor variable tiene pendiente negativa)).
Estática Comparativa
xpw
x11
3 2
21/2
3*
/~
El ejemplo Cobb-Douglas : Cuando
y x x 11/3
21/3~
ypw
x* ~ .
3 1
1/2
21/2Y la función de oferta es
Estática Comparativa
x1* Disminuye cuando w1 se incrementa
Estática Comparativa
y* Disminuye cuando w1 se incrementa
Estática Comparativa
Maximización del beneficio en el largo plazo
Ahora vamos a permitir que la empresa varìe el empleo de todos los factores.
Como no hay factores fijos no hay costos fijos.
x1 y x2 son variables. Pensemos en la empresa como
decidiendo el plan de producción que maximiza el beneficio dado el valor de x2, y entonces variamos x2 para encontrar el nivel más alto posible del beneficio.
Maximización del beneficio en el largo plazo
ywp
xw xp
11
2 2
Así un incremento en x2 provoca -- ningún cambio en la pendiente, y -- un incremento en el intercepto vertical
Maximización del beneficio en el largo plazo
x1
y
y f x x ( , )1 2
Maximización del beneficio en el largo plazo
x1
y
y f x x ( , )1 22
y f x x ( , )1 2
y f x x ( , )1 23
Mayores niveles de empleo del factor 2Incrementan la productividad del factor 1.
Maximización del beneficio en el largo plazo
x1
y
y f x x ( , )1 22
y f x x ( , )1 2
y f x x ( , )1 23
El producto marginaldel factor 2 disminuye
Maximización del beneficio en el largo plazo
Mayores niveles de empleo del factor 2Incrementan la productividad del factor 1.
x1
y
y f x x ( , )1 22
y f x x ( , )1 2
y f x x ( , )1 23
Maximización del beneficio en el largo plazo
El producto marginaldel factor 2 disminuye
Mayores niveles de empleo del factor 2Incrementan la productividad del factor 1.
x1
y
y f x x ( , )1 22
y f x x ( , )1 2
y f x x ( , )1 23
y x*( )2
x x1 2*( )
x x1 22*( )
x x1 23*( )
y x*( )2 2y x*( )3 2
011 wPMgp para cada plan de producción de corto plazo.
Maximización del beneficio en el largo plazo
x1
y
y f x x ( , )1 22
y f x x ( , )1 2
y f x x ( , )1 23
El producto marginaldel factor 2 disminuye…
y x*( )2
x x1 2*( )
x x1 22*( )
x x1 23*( )
y x*( )2 2y x*( )3 2
011 wPMgp
Maximización del beneficio en el largo plazo
para cada plan de producción de corto plazo.
x1
y
y f x x ( , )1 22
y f x x ( , )1 2
y f x x ( , )1 23
y x*( )2
x x1 2*( )
x x1 22*( )
x x1 23*( )
y x*( )2 2y x*( )3 2
Maximización del beneficio en el largo plazo
El producto marginaldel factor 2 disminuye…
para cada plan de producción de corto plazo.
011 wPMgp
El beneficio se incrementará mientras el ingreso del producto marginal del factor 2 sea mayor a su precio
En consecuencia, el nivel de empleo maximizador del beneficio del factor 2 debe satisfacer la condición
p MP w 2 2 0.
p MP w 2 2 0.
Maximización del beneficio en el largo plazo
y es satisfecho en cualquier nivel de corto plazo, así ...
p MP w 1 1 0
p MP w 2 2 0.
p MP w 2 2 0.
Maximización del beneficio en el largo plazo
El nivel de empleo de los factores en el largo plazo que maximizan el beneficio cumplen
Es decir, el ingreso marginal es igual al costo marginal para todos los factores.
p MP w 2 2 0.p MP w 1 1 0
Maximización del beneficio en el largo plazo
xpw
x11
3 2
21/2
3*
/~
El ejemplo Cobb-Douglas example: Cuando
y x x 11/3
21/3~
ypw
x* ~ .
3 1
1/2
21/2
Maximización del beneficio en el largo plazo
py w x w x
ppw
x wpw
x w x
* *
/
~
~ ~ ~
1 1 2 2
1
1/2
21/2
11
3 2
21/2
2 23 3
Maximización del beneficio en el largo plazo
py w x w x
ppw
x wpw
x w x
ppw
x wpw
pw
w x
* *
/
~
~ ~ ~
~ ~
1 1 2 2
1
1/2
21/2
11
3 2
21/2
2 2
1
1/2
21/2
11 1
1/2
2 2
3 3
3 3 3
Maximización del beneficio en el largo plazo
py w x w x
ppw
x wpw
x w x
ppw
x wpw
pw
w x
p pw
x w x
* *
/
~
~ ~ ~
~ ~
~ ~
1 1 2 2
1
1/2
21/2
11
3 2
21/2
2 2
1
1/2
21/2
11 1
1/2
2 2
1
1/2
21/2
2 2
3 3
3 3 3
23 3
Maximización del beneficio en el largo plazo
py w x w x
ppw
x wpw
x w x
ppw
x wpw
pw
w x
p pw
x w x
pw
x
* *
/
~
~ ~ ~
~ ~
~ ~
~
1 1 2 2
1
1/2
21/2
11
3 2
21/2
2 2
1
1/2
21/2
11 1
1/2
2 2
1
1/2
21/2
2 2
3
1
1/2
2
3 3
3 3 3
23 3
427
1/22 2 w x~ .
Maximización del beneficio en el largo plazo
4
27
3
1
1/2
21/2
2 2pw
x w x~ ~ .
¿cuàl es el nivel de empleo del factor 2que maximiza el beneficio? Resolvemos
0124272
3
1
1/2
21/2
2
~
~x
pw
x w
Y obtenemos ~ .*x xp
w w2 2
3
1 2227
Maximización del beneficio en el largo plazo
¿y cuál es el nivel de empleo del factor 1que maximiza el beneficio? Sustituímos
xpw
x11
3 2
21/2
3*
/~
xp
w w2
3
1 2227
* en
Para obtener
Maximización del beneficio en el largo plazo
xpw
p
w w
p
w w1
1
3 2 3
1 22
1/2 3
12
23 27 27
*/
.
Maximización del beneficio en el largo plazo
¿Y cuál es el nivel de producción queMaximiza el beneficio? Sustituímos
xp
w w2
3
1 2227
* en
Para obtener
ypw
x* ~
3 1
1/2
21/2
Maximización del beneficio en el largo plazo
ypw
p
w w
pw w
* .
3 27 91
1/2 3
1 22
1/2 2
1 2
Maximización del beneficio en el largo plazo
Así, dados los precios p, w1 y w2, y la funciónde producción y x x 1
1/321/3
El plan de producción que maximizael beneficio es
( , , ) , , .* * *x x yp
w w
p
w w
pw w1 2
3
122
3
1 22
2
1 227 27 9
Maximización del beneficio en el largo plazo
Retornos a escala y maximización del beneficio
Si una empresa competitiva presenta retornos decrecientes a escala, entonces tiene sólo un plan de producción que maximiza el beneficio.
x
y
y f x ( )y*
x*
RetornosDecrecientes aescala
Retornos a escala y maximización del beneficio
Si una empresa competitiva presenta retornos crecientes a escala, entonces no tiene una plan de producción que maximiza el beneficio.
Retornos a escala y maximización del beneficio
x
y
y f x ( )
y”
x’
RetornosCrecientes aEscala
y’
x”
Beneficio
creciente
Retornos a escala y maximización del beneficio
En consecuencia, los retornos crecientes a escala son inconsistentes con las empresas en una industria competitiva.
Retornos a escala y maximización del beneficio
¿Y qué ocurre si la empresa competitiva presenta retornos constantes a escala?
Retornos a escala y maximización del beneficio
x
y
y f x ( )
y”
x’
RetornosConstantes aEscala
y’
x”
Beneficio
creciente
Retornos a escala y maximización del beneficio
Es decir, si para cualquier plan de producción la empresa obtiene un beneficio positivo, la empresa puede duplicar el empleo de los factores y producir el doble y obtener el doble de beneficio.
Retornos a escala y maximización del beneficio
En consecuencia, una empresa que presenta retornos constantes a escala, obteniendo beneficios económicos positivos es inconsistente con una industrisa competitiva.
Por lo tanto, los retornos constantes a escala requieren que las empresas obtengan un beneficio económico cero.
Retornos a escala y maximización del beneficio
x
y
y f x ( )
y”
x’
RetornosConstantes aEscala
y’
x”
= 0
Retornos a escala y maximización del beneficio