3.3 poissonova enaČba - laboratory of...
TRANSCRIPT
58
3.3 POISSONOVA ENAČBA
3.3.1 SPLOŠNO
*
Gaussov zakon o električnem pretoku:
integralna oblika:
diferencialna oblika:
d deD S V
eD (3.3.1)
, ,x y z
Zveza med E in :
E (3.3.2)
Iz enačb (3.3.1), (3.3.2) in 0D E sledi:
0 0 ,eD E
oziroma:
2
0
e
, (3.3.3)
kjer smo upoštevali:
2 2 2
2
2 2 2x y z
(3.3.4)
Enačbo (3.3.3) imenujemo Poissonova enačba.
3.3.2 1-D PRIMER
x
x x + dx
dx
S S
D
59
d d ,Gaussov zakon
dx,
e
e
D S V
D x dx S D x S S
d dx ,eD
d,
dxe
D
0
d
dxe
E
. (3.3.5)
V enačbo (3.3.5) vstavimo zvezo:
d
dE
x
(3.3.6)
in dobimo Poissonovo enačbo v eni dimenziji:
0
d d,
d d
e
x x
(3.3.7)
oziroma:
2
2
0
e xd
dx
. (3.3.8)
3.3.3 PRIMER:
Reševanje Poissonove enačbe v območju s konstantno volumsko gostoto naboja
konst.e
Rešujemo enačbo (3.3.8) v območju od x = 0 do x = l, kjer :e
2
2
0
ed
dx
, kjer smo upoštevali konst.e (3.3.9)
Enačbo (3.3.8) integriramo in dobimo:
0
d
d
e xE x B
x
(3.3.10a)
60
Integracija enačbe (3.3.10a) pa da:
2
0
02
e xx Bx
, (3.3.10b)
kjer sta B in 0 konstanti.
o Kakšna je vrednost konstante B?
Zaradi simetrije je sila na točkasti naboj pri 2
lx enaka nič, torej je 0
2
lE x
:
0
02 2
e llE x B
0
.2
e lB
(3.3.11)
Torej:
2
0
0 02 2
e ex l xx
, (3.3.12)
0 02
e ex lE x
. (3.3.13)
o maksimum funkcije x je pri d
0d
Ex
, to je pri
2
lx kot smo že prej
predpostavili (enačba (3.3.11)).
o če izberemo 0 0 :
o če bi hoteli poznati x in E x še za x < 0 in x > l , bi morali rešiti Poissonovo enačbo
še v teh dveh območjih, kjer je 0 . Pri tem bi morali upoštevati še ustrezne robne
pogoje za E in pri x = 0 in x = l.
x
x E x
x = 0 x = l
61
3.4 ELEKTRIČNA DVOJNA PLAST
V ravnini x = 0 si zamislimo neskončno razsežno ravno ploščo, ki je na površini enakomerno
nabita. Površinska gostota naboja plošče je negativna 0 . Ta plošča je v stiku z
elektrolitsko raztopino, v kateri so pozitivni in negativni ioni. V okviru modela
predpostavimo, da so ioni točkasti nosilci naboja.
Ker je površina plošče negativno nabita, privlači pozitivne ione in odbija negativne. Zato je v
bližini plošče več pozitivnih ionov kot negativnih. Prostorninska gostota naboja v raztopini se
spreminja v smeri, ki je pravokotna na ravnino x = 0.
0 ,i i
i
x e n x (3.4.1)
kjer je i valenca ionov i-te vrste, 0e osnovni naboj in in (x) številska gostota ionov i-te vrste.
V našem primeru imamo v raztopini samo dve vrsti enovalentnih ionov (i = +,-), za katere
velja:
1, 1. (3.4.2)
Slika 3.4.1. Električna dvojna plast (elektrolitska raztopina v stiku z negativno nabito ploščo).
Predpostavimo, da je celotni naboj v raztopini na enoto površine enak nič:
0
0 .x dx
(3.4.3)
Prebitek pozitivnega naboja v raztopini (t.j. prebitek pozitivnih ionov) uravnovesi negativni
naboj na površini plošče.
Na lego ionov v raztopini vpliva elektrostatično polje, katerega potencial označimo s .x
Daleč od plošče ne deluje na posamezen ion v raztopini v povprečju nobena sila, torej je tam
električni potencial konstanten. Dogovorimo se, da je
0 .x (3.4.4)
x
+_
__________
_
________
++
++
++
+++
+++ +
+ +
_+
++
+
+
+
+
_
+
+
++
+ +
+
+__ _
__
_
_
+ +
++
+++
_
+
+ ++
+ ++_
+
++_
+
+
++ +
++
++
++
++
++
+
__
__
_
_
ravnina x = 0
0
62
Predpostavimo, da je sistem v termodinamskem ravnovesju, tako da za ione v raztopini velja
Boltzmannova porazdelitev:
0
exp ,e x
n x nkT
(3.4.5)
0
exp ,e x
n x nkT
(3.4.6)
kjer je k Boltzmannova konstanta in T absolutna temperatura.
Predpostavimo, da je daleč stran od negativno nabite plošče elektrolitska raztopina električno
nevtralna. V našem primeru mora biti zaradi (3.4.2) in (3.4.4) zato izpolnjeno
.n n n (3.4.7)
Da določimo krajevno odvisnost električnega potenciala x zapišemo Poissonovo enačbo.
V našem primeru imamo ravno geometrijo, zato velja:
.
d
d
0
2
2
x
x
(3.4.8)
kjer je dielektričnost raztopine, 0 pa influenčna konstanta.
Ko upoštevamo (3.4.8), (3.4.1), (3.4.5) in (3.4.6) dobimo
2
0 0
2
0
2dsh .
d
n e e
x kT
(3.4.9)
Če je potencialna energija xe 0 veliko manjša od termične kT, lahko desno stran enačbe
(3.4.9) razvijemo v vrsto. Pri tem upoštevamo samo prvi člen v razvoju. Enačba (3.4.9) preide
v
2
2
2
d,
dx
(3.4.10)
kjer je 2
2 0
0
2ne
k T
. Rešitev enačbe (3.4.10), ki ustreza robnemu pogoju (3.4.4) je:
,exp0 xx
kjer je 0 vrednost električnega potenciala v ravnini x = 0.
63
Električno dvojno plast sestavljata torej negativni naboj v ravnini x = 0 in pozitivna plast
naboja ionov, ki se razširja v raztopino. Na razdalji
1, ki ji pravimo efektivna debelina
električne dvojne plasti, pade električni potencial za faktor e.
Slika 3.4.2. Številska gostota ionov v odvisnosti od x.
Tabela: Odvisnost 1
od n pri T = 298 K.
*
A
n mol
N l
101
10 m
0.5 4.30
0.2 6.80
0.1 9.62
0.05 13.6
0.02 21.5
0.01 30.4
0.005 43.0
0.002 68.0
0.001 96.2
* NA je Avogadrovo število
Robni pogoj:
Gaussov zakon o električnem pretoku 0E za 0x 0 0
d
d xx
x
n(x)
n
n
64
3.5 ENERGIJA ELEKTRIČNEGA POLJA*
Vsota dvodelčnih energij za sistem nabojev :
i
i
i
i
i
j ij
j
ji ij
ji
e eer
e
r
eeW
2
1
42
1
42
1
00
i
j ij
j
r
e
04 električni potencial na mestu naboja ie
Če vpeljemo volumsko gostoto naboja: V
e
d
d lahko zapišemo
energijo električnega polja v obliki:
VrrWe d2
1 (3.5.1)
Ob upoštevanju Poissonove enačbe:
0
2
iz enačbe (3.5.1) sledi:
VWe d2
20 (3.5.2)
Ob upoštevanju Greenovega teorema:
2
2 romaoz, i (3.5.3)
iz enačbe (3.5.2) sledi:
VVWe d2
d2
00
(3.5.4)
Poglejmo si sedaj prvi člen v enačbi (3.5.4), ki ga ob upoštevanju Gauss-ovega teorema
zapišemo v obliki:
d d
V A
V n A (3.5.5)
kjer je AnA dd
. Desno stran enačbe (3.5.5) lahko zapišemo tudi kot
65
,dd An
AnAA
torej
VAn
WVA
e d2
d2
200
(3.5.6)
Če je naboj lokaliziran je .0 r
Če izberemo poljubno površino za integracijo v prvem členu v enačbi (3.5.6) pri zelo velikih
r
, kjer je ,0 velja
,0d2
0
A
nA
(3.5.7)
r
Torej preide enačba (3.5.6) v:
.d2
1d
2
1 2
0 VEDVWV
e
(3.5.8)
66
3.6 SILA NA DIELEKTRIK
= dielektrična konstanta
o Ko “vstavimo” dielektrik med plošči izoliranega kondenzatorja (do globine x) se
naboj na ploščah ne spremeni, torej velja:
0000 Ud
SUCe konstanta za vse x,
kjer d
SC 00 kapaciteta pri x = 0 in 0U napetost med ploščama pri x = 0.
o Pri 0x sistem obravnavamo kot dva vzporedno vezana kondenzatorja
0
2
1
2
1
00
2
0
2
0
2
xWxW
d
xla
d
ax
UC
C
exW
o Sila na dielektrik sila med nabojem na ploščah in dipoli v dielektriku
22 00 2
d 11
d 2 d 1
W x alF U
x x l
a
d kondenzator
x
l
67
3.7 SILA NA TOČKASTI NABOJ V BLIŽINI MEJE DVEH
DIELEKTRIKOV
q = točkast naboj
r
dcos
MODEL:
Predpostaviš, da tudi na desni strani 1 , razliko v ih pa upoštevaš s površinskim
nabojem desnega področja ( p )
Vrednosti polja na stični ploskvi:
1 2
0 1 0 1
1
4 2
pq dE
r r
(v sredstvu 1) (3.7.1)
1 2
q
r
d
1 2
1
q
r
d
1
1E
2E
p
++
++
+
+
++
+
68
2 2
0 1 0 1
1
4 2
pq dE
r r
(v sredstvu 2) (3.7.2)
Robni pogoj (sledi iz Gaussov-ega zakona o električnem pretoku):
0dd 2211 AEAE (3.7.3)
Iz enačbe (3.7.3) sledi:
02211 EE (3.7.4)
V enačbo (3.7.4) vstavimo vrednosti 1E in 2E iz enačb (3.7.1) in (3.7.2), ter iz nastale
enačbe izračunamo velikost .p Potem pa izračunamo še Ep:
1 2
2
0 1 1 2 0 1
1.
2 4
p
p
q dE
r r
(3.7.5)
Enačbo (3.7.5) lahko zapišemo v obliki:
,1
4
'2
10 r
d
r
qE p
(3.7.6)
kjer je
.'21
21 qq
(3.7.7)
Prispevek k električnemu polju na levi strani meje zaradi 21 izgleda torej kot električno
polje točkastega naboja q' na desni strani meje:
12
d A
69
Tako lahko zapišemo silo med nabojem q na levi strani v mediju 1 in nabojem
qq21
21'
na desni strani v mediju 1 na razdalji 2d v obliki:
.
44
1
2
1
4
'2
2
21
21
10
2
10 d
q
d
qqF
(3.7.8)
Zaključek: sila na točkasti naboj q v mediju 1 je:
.44
12
2
21
21
10 d
qF
1. če 021 F (odbojna sila stran od mejne ploskve)
2. če 021 F (privlačna sila proti mejni ploskve)
70
3.8 INFLUENCA
Opomba: površina prevodnika postane ekvipotencialna ploskev
o Neposredna meritev gostote električnega polja
Izmerimo influenciran naboj (e) na ploščah, ki jih razmaknemo:
Nabojema +e in –e pravimo influencirana (ali inducirana) naboja.
Potem izračunamo gostoto električnega polja e
DS
.
kovinska krogla
+
+
++
+
+
++++
--
-
--
--
--
-
PRVOTNO
ELEKTRIČNO
POLJE
ELEKTRIČNO
POLJE NABOJA
NA POVRŠINIPREVODNIKA
CELOTNO POLJE JE
VSOTA OBEH POLJ
71
4. Snov v magnetnem polju
4.1 NAVOR NA TOKOVNO ZANKO
4.1.1 ZANKA V OBLIKI PRAVOKOTNIKA
Tloris:
B
o Navor BlIFFrM
,
Stranski pogled:
B
gostota magnetnega polja
BbIF
BbIF
2
1
72
sinsin22
sin2
sin2
sin2
2121 BbaIBbIa
FFaa
Fa
FM
Sab (površina tokovne zanke)
sinBSIM
če SIpm
( mp
magnetni dipolni moment tokovne zanke)
BpM m
4.1.2 POLJUBNA OBLIKA ZANKE (posplošitev):
Po pikčastih črtah gre tok enkrat gor, drugič dol, tako, da je vsota nič.
Zato velja: sin sinmM I S B p B v splošnem za poljubno obliko zanke.
o Več zank druga na drugi:
SINpm
, N število zank (na primer v ploščati tuljavi)
4.1.3 PODOBNOST med magnetnim poljem paličastega permanentnega magneta in
magnetnim poljem tokovne zanke
permanentni magnet tokovna zanka
sliki: Serway, 1992
mpI
mp
73
o smer :mp
slika: Serway, 1992
4.1.4 NIHANJE MAGNETNICE V ZEMELJSKEM MAGNETNEM
POLJU
Silnice zemeljskega magnetnega polja (Serway, 1992)
mp
smer magnetnega momenta
smer električnega toka
tokovna
zanka
geografski
ekvator
južni magnetni
pol
severni geografski
pol
severni magnetni pol
južni geografski pol
74
Enačba vrtenja:
JM (4.1.1)
J = vztrajnostni moment
sinBpM m navor
2
2
d
d
t
kotni pospešek
torej:
.d
dsin
2
2
tJBpm
Če so odmiki majhni :1 sin :
2
2
d
d
tJBpm
, oziroma
2
2
d
d
tJ
Bpm
. (4.1.2)
Rešitev enačbe (4.1.2) je:
t
t0
0
2sin , .
2sin
2
d
d
0
2
0
02
2
t
ttt (4.1.3)
Izraza (4.1.3) vstavimo v enačbo (4.1.2) in dobimo:
N
S
B
mp
75
,2
2
0 J
Bp
t
m
(4.1.4)
torej:
Bp
Jt
m
20
nihajni čas magnetne igle
(4.1.5)
4.1.5 ENERGIJA MAGNETNICE V ZUNANJEM MAGNETNEM POLJU
,coscosdsind 12
2
1
2
1
mmmm WBpBpBpMA
kjer
BpBpW mmm
cos
BpW mm :0 (energijski minimum) :
BpW mm : (energijski maximum):
mp B
mp B
stabilni zasuk magnetne igle
labilni zasuk mW
Bpm
Bpm
2
2
76
4.2 KLASIČNI MODEL DIAMAGNETIZMA
4.2.1 MODEL
o snov damo v magnetno polje gostote 0B
o na »inducirano« gibanje elektrona v atomu (v skladu z Lenzovim pravilom) gledamo
kot na majhno tokovno zanko
o 2rA (površina zanke)
o vrtilna količina: vrme
o
v našem primeru: vrme
o em masa elektrona
o v
hitrost elektrona
o 0e osnovni naboj
0
0
0 , tt
eI obhodni čas elektrona
o Vektorja mp
in
kažeta v nasprotno smer (glejte sliko):
e
mm
ep
2
0
o Kroženje elektrona v magnetnem polju
Newtonov zakon: 00
2
Bver
vmam ere ; ar radialni pospešek
0
2
000 BrevrmBrevm ee
e
mm
er
r
veAIp
r
ve
r
ve
t
eI
22
22
020
00
0
0
r
I 0B
0e
v
mp
77
torej: H222
0
22
0
0
2
0
00 eee
mm
reBre
m
e
m
ep
o Magnetizacija
kjer je V
Nn število atomov na enoto volumna.
o Če ima en atom Z elektronov in je 2r povprečna vrednost kvadratov polmerov
tirov vseh elektronov, velja:
.2
0
22
0H
m
ZrenM
e
Od tod pa sledi izraz za
susceptibilnost : em
reZn
2
22
0
0
, torej .0
o Primer:
če je: n = 1029
m-3
Z = 10
2202 10 mr
sledi: 510
o Zaključek:
Inducirani magnetni moment atoma mp
kaže v nasprotni smeri kot zunanje
magnetno polje 0B
.
DIAMAGNETIZEM je lastnost vseh snovi, vendar so inducirani magnetni
momenti mp opazni samo v snoveh, ki imajo »trajni« magnetni dipolni
moment enak nič, t.j. v snoveh, ki niso paramagnetne ali feromagnetne.
4.2.2. DODATEK:
Izpeljava zveze ,00 MpnB mm
kjer je mpnM , za posebni primer 1-D kristala:
l dolžina 1-D kristala
S površina tokovne zanke v enem atomu
N število atomov (število tokovnih zank) v 1-D kristalu
H2
0
22
0 e
mm
renpnM
,
78
Iz Amperovega zakona INsBm 0d
izračunamo magnetno polje v kristalu l
INBm 0 .
Torej:
,00000 MpnpV
NIS
Sl
N
l
INB mmm
kjer smo definirali magnetizacijo M kot:
mM n p
magnetni moment atoma SIpm , lSV volumen kristala
V
Nn (volumska gostota atomov)
Zaključek:
0 0m mB n p M
tokovna zanka v atomu
l
SI mp
79
4.3 KLASIČNI MODEL PARAMAGNETIZMA*
Če damo paramagnetno snov v zunanje magnetno polje gostote B0, se zaradi orientacije mag.
dipolnih momentov atomov (molekul) v smeri zunanjega magnetnega polja celotno magnetno
polje (B) poveča:
B = B0 + Bm , (4.3.1)
kjer je Bm prispevek snovi.
Vzrok: energija atoma z magnetnim momentom mp , ki je zasukan za kot glede na smer
magnetnega polja 0B :
0 0 cosm m mW p B p B (4.3.2)
je najmanjša, če je mag. moment p
m usmerjen v smeri magnetnega polja. Takrat je namreč kot
0 , energija Wm pa je zato najmanjša možna. Zaradi termične energije atomov (molekul)
seveda pri končnih temperaturah povprečna vrednost kota ni nič.
Magnetno polje Bm je sorazmerno povprečni vrednosti komponente magnetnega momenta
enega atoma (molekule) v smeri zunanjega magnetnega polja:
0 ,m m zB n p , (4.3.3)
kjer je n = N/V število atomov na enoto volumna snovi. Definirajmo magnetizacijo M kot:
,m zM n p . (4.3.4)
Enačba (4.3.3) tako preide v:
0mB M . (4.3.5)
Za paramagnetne snovi je magnetizacija M sorazmerna jakosti magnetnega polja, kar bomo v
nadaljevanju tudi dokazali. Sorazmernostni koeficient χ uvedemo kot susceptibilnost
(M = χH). Upoštevamo še B0 = µ0H in dobimo (glejte enačbo ( 4.3.1)):
0B
mp, cosm z mp p
80
B = µ0H + µ0 χ H = µ0 µ H, (4.3.6)
kjer smo definirali µ = 1+ χ kot permeabilnost in upoštevali Bm = µ0χ H.
V nadaljevanju poiščemo izraz za susceptibilnost χ paramagnetne snovi. Najprej upoštevamo,
da je , cosm z mp p (glejte še sliko), kjer je kot med vektorjem pm
in komponento vektorja
pm
v smeri magnetnega polja (pm,z) (t.j. kot med vektorjem B0 in vektorjem pm
). Enačbo
(4.3.4) lahko tako zapišemo v obliki:
cosmM n p . (4.3.7)
Sedaj poiščemo povprečno vrednost kosinusa kota cos , ki ni enak ena zaradi
termičnih fluktuacij. Pri tem upoštevamo, da je energija atoma z magnetnim momentom pm,
ki je zasukan za kot glede na smer magnetnega polja B0 enaka:
0 0 cosm m mW p B p B (4.3.8)
Izračunajmo povprečno vrednost kosinusa kota , to je cos :
cos dcos
d
m
m
W
W
e
e
, (4.3.9)
kjer je faktor mWe
verjetnost (Boltzmannov faktor), da je atom (molekula) v stanju z
zasukom (glejte še sliko). Pomen ostalih simbolov in konstant pa je naslednji; β = 1/kT, k
je Boltzmannova konstanta, T pa absolutna temperatura.
Izraz 2d d sin d dS r označuje infinitezimalni element prostorskega kota v sferičnih
koordinatah:
2
0 0
2
0 0
cos sin d d
cos
sin d d
m
m
W
W
e
e
, (4.3.10)
Ker energija Wm ni odvisna od kota lahko v zgornji enačbi izvedemo integral po -ju.
Tako dobimo:
0
0
2 cos sin d
cos
2 sin d
m
m
W
W
e
e
. (4.3.11)
V nadaljevanju uvedemo novo spremenljivko coss ter oznako 0 0 :m mx p B kT p B
81
1
1
1
1
d1
cos coth ,
d
xs
xs
se s
x L xx
e s
(4.3.12)
kjer je L(x) Langevinova funkcija. Funkcijo cothx razvijemo v vrsto
0 x in zadržimo samo prva dva člena:
31
coth ..... ,3 45
x xx
x (4.3.13)
torej
01 1 1cos coth
3 3 3
mp Bx xx
x x x kT (4.3.14)
in
2 2
0 0cos .3 3
m mm
n p B n pM n p H H
kT kT
(4.3.15)
Končno smo tako dobili aproksimativni izraz za susceptibilnost paramagnetne snovi v obliki:
2
0 .3
mn p
kT
(4.3.16)
Vidimo, da je v našem približku susceptibilnost χ obratno sorazmerna z absolutno
temperaturo T.
82
4.4 FEROMAGNETIZEM
Spontana magnetizacija znotraj domen (tudi brez zunanjega magnetnega polja)
M
TCT
TC Curiejeva temperatura
Curie-jeva temperatura za nekaj
feromagnetnih snovi
snov KCT
železo 1043
kobalt 1394
nikelj 631
gadolinij 317
2 3Fe O 893
Če je CTT feromagnetne snovi izgubijo spontano magnetizacijo in postanejo paramagneti.
Za CTT za feromagnete velja Curie – Weissov zakon:
CTT
C
susceptibilnost
povprečna susceptibilnost feromagneta
TCT
FEROMAGNETNE
LASTNOSTI
PARAMAGNETNE
LASTNOSTI
CTT
C
83
Nemagnetno stanje snovi
Domene so usmerjene naključno
Ureditev domen v zunanjem magnetnem
polju 0B
, ni konstanta.
povprečna permeabilnost
sliki: Serway, 1992
Isingov model feromagnetizma
Isingov model, ki se uporablja predvsem za opis feromagnetizma, se imenuje po fiziku Ernstu
Isingu, ki se je rodil v Nemčiji leta 1900 in umrl v ZDA leta 1998. Isingov model je osnova
nekaterih statistično-mehanskih teoretičnih modelov, ki se uporabljajo za opis
feromagnetizma. Med feromagnete uvrščamo železo, kobalt, nikelj, magnetit (Fe3O4) in
druge.
Na kratko ponovimo kar smo se naučili v prejšnjem poglavju. K celotnemu magnetnemu
polju v snovi Btot prispeva zunanje magnetno polje (B) in magnetno polje atomov (molekul) v
snovi (Bm): Btot = B + Bm. Magnetno polje v snovi Bm je sorazmerno magnetizaciji:
0mB M , ki je definirana kot mM n p , kjer je mp povprečna vrednost komponentne
magnetnega dipolnega momenta molekule v smeri magnetnega polja, n = N/V število
molekul na enoto volumna in μ0 indukcijska konstanta. Magnetizacija je sorazmerna jakosti
magnetnega polja H: M H , kjer je susceptibilnost:
0 0 0 0 01tot mB B B B H H H H H , (4.4.1)
kjer je 1 permeabilnost.
V nadaljevanju obravnavamo 2-dimenzionalni Isingov model feromagnetizma v okviru
mrežnega modela, ki je shematsko prikazan na sliki 1. Prosto energijo F modelnega sistema,
ki je prikazan na sliki 1, zapišemo v obliki:
F = E − T S , (4.4.2)
kjer je E notranja energija energija sistema, ki zajema povprečno energijo lastnih in
medsebojnih interakcijskih energij vseh molekul v sistemu, S je entropija sistema, T pa
DOMENA
atomov1010 2119
00 B
0B
84
absolutna temperatura merjena v stopinjah Kelvina. Najprej bomo izračunali entropijo sistema
(S), ki nastopa v enačbi (4.4.2). V našem primeru 2-dimenzionalnega Isingovega modela
feromagnetizma obravnavamo N molekul v 2-dimenzionalni mreži z N mesti. Posamezna
molekula je lahko v dveh stanjih glede na usmeritev njenega magnetnega dipolnega momenta,
ki lahko kaže samo gor (+) (v smeri magnetnega polja) ali dol (−) (glejte še sliko 1).
Izračunajmo konfiguracijsko entropijo sistema. Število možnih prostorskih razporeditev za
prvo molekulo, ki jo postavimo v prazno 2-dimenzionalno mrežo z N mesti je N, za drugo
molekulo (N − 1), za tretjo molekulo (N − 2) in tako naprej. Vseh možnih razporeditev je tako
N(N−1)(N−2) . . 3 2 1 = N!. Pri tem smo upoštevali, da so vse molekule med seboj
razločljive. V resnici pa molekul, ki imajo magnetni dipolni momemnt obrnjen navzgor
(označimo njihovo število z N+) med seboj ne moremo razločevati. Prav tako ne moremo
razločevati med molekulami, ki imajo magnetne dipolne momente.
Slika 1: Prikaz magnetnih dipolnih momentov molekul v Isingovem modelu, ki so razporejeni
v kvadratno 2-dimenzionalno mrežo in imajo lahko samo dve orientaciji (↑ in ↓) .
Obrnjene navzdol (označimo njihovo število z N−). Tako, da celotno število možnih
razporeditev N molekul na N mrežnih mest ni N! pač pa W:
!
! !
NW
N N
. (4.4.3)
Za sistem, ki je v termičnem ravnovesju zapišemo konfguracijsko entropijo v
2-dimenzionalnem Isingovem mrežnem modelu kot (glejte še učbenik Mehanika in
termodinamika ) :
!
ln ln ln ! ln ! ln !! !
NS k W k k N N N
N N
, (4.4.4)
kjer predpostavimo samo dve možni orientaciji magnetnih dipolnih momemntov (↑ in ↓)
posamezne molekule v sistemu. Pri računanju konfiguracijske entropije (S) privzamemo, da je
verjetnost za orientacijo posameznega spina neodvisna od orientacij sosednjih spinov.
Za velike N-je uporabimo Stirling-ovo aproksimacijo: lnN! ≈ N lnN − N, ter tako iz enačbe
(4.4.4) dobimo sledeče:
85
ln 1 ln 1 ln 1
ln ln ln
ln ln ln ln ,
S k N N N N N N
k N N N N N N N
k N N N N N N N N
(4.4.5)
oziroma:
ln ln ln ln ln lnN N N NN N
S k N N kN kN c c c cN N N N N N
, (4.4.6)
kjer je N
cN
verjetnost, da je magnetni dipolni moment molekule obrnjen navzgor,
Nc
N
pa verjetnost, da je obrnjen navzdol. Od tod sledi:
1c c , (4.4.7)
kjer smo upoštevali N N N .
V nadaljevanju izpeljemo izraz za energijo sistema, ki jo sestavlja vsota lastnih energij
magnetnih dipolnih momentov molekul (2. člen) ter njihove medsebojne interakcijske
energije (1. člen) :
,
ik i k m i
i k i
E J p B , (4.4.8)
kjer je pm velikost magnetnega dipolnega momenta ene molekule, B gostota magetnega polja,
Jik moč interakcijske energije (t.j. moč sklopitve) med i-tim in k-tim sosednjim magnetnim
dipolom (pri čemer upoštevamo samo najbližje sosede), spremenljivka i določa orientacijo
posameznega magnetnega dipola (↑ pomeni usmeritev v smeri magnetnega polja (
), ↓ pa
usmeritev v nasprotni smeri (
)). Poljubno orientacijo magnetnih dipolnih momentov
atomov (molekul) smo torej tako kot že prej pri izpeljavi entropije sistema nadomestili z
dvema orientacijama (↑ in ↓, glejte sliko 1). Pravimo, da obravnavamo orientacijo
magnetnega dipolnega momenta molekule v okviru 2-stanjskega modela.
V prvem členu v enačbi (4.4.8), to je v izrazu za interakcijsko energijo magnetnih dipolnih
momentov molekul v sistemu upoštevamo le interakcijske energije najbližjih sosedov, kjer
upoštevamo Jik = J. Tako lahko prvi člen v enačbi (4.4.8) zapišemo v obliki:
,
i k
i k
J . (4.4.9)
Energijo sklopitve magnetnih dipolnih momentov ,
i k
i k
J zapišemo v dveh korakih.
Najprej izračunamo povprečno energijo magnetnih dipolov, ki so usmerjeni navzgor (↑):
86
sosedJ N c z , (4.4.10)
kjer je Nc+ povprečno število magnetnih dipolov v sistemu, ki so usmerjeni navzgor (↑), N
število vseh magnetnih dipolov v sistemu, sosed pa povprečna vrednost najbližjih sosedov,
ki jih je z:
sosed c c . (4.4.11)
Kombinacija enačb (4.4.10) in (4.4.11) nam da:
sosedJ N c z J N c c c z , (4.4.12)
kjer smo upoštevali 1 . Podobno izračunamo še povprečno energijo magnetnih dipolov v
sistemu, ki so usmerjeni navzdol (↓):
sosed 1J N c z J N c c c z J N c c c z , (4.4.13)
kjer smo upoštevali 1 . Povprečno interakcijsko energijo vseh magnetnih dipolov v
sistemu dobimo tako, da seštejemo enačbi (4.4.12) in (4.4.13) (↑ in ↓):
,
12
2i k
i k
J z N J c c c c c c , (4.4.14)
kjer je faktor 1/2 dodan zato, ker smo vse interakcije šteli dvakrat (pri ↑ in ↓). Število
najbližnjih sosedov (z) okoli izbranega atoma je v našem primeru 2-dimenzionalne mreže
enako 4 (glejte sliko 1), v 1-dimenzionalnem modelu je z = 2, v 3-dimenzionalnem mrežnem
modelu pa je z = 6. Drugi člen iz enačbe (4.4.8), to je m i
i
p B , ki opisuje energijo
magnetnih dipolov v povprečnem magnetnem polju B izrazimo kot:
m i m
i
p B p B N c c . (4.4.15)
Celotno povprečno energijo sistema E (glejte enačbe (4.4.8), (4.4.14) in (4.4.15)) lahko tako
zapišemo v obliki:
2 212
2mE z N J c c c c p BN c c
. (4.4.16)
Vpeljemo novo spremenljivko x = c+ − c− in upoštevamo enačbo (4.4.7), od koder sledi:
1
12
c x , (4.4.17)
1
12
c x . (4.4.18)
87
Ob upoštevanju izrazov (4.4.17) in (4.4.18) lahko zapišemo izraz za energijo E (en.(4.4.16)) v
obliki:
21
2mE N z Jx p Bx
,
(4.4.19)
izraz za entropijo sistema S (en.(4.4.6)) pa kot:
1 1
1 ln 1 1 ln 1 ln 22 2
S kN x x x x
. (4.4.20)
Prosto energijo sistema F = E − TS ima sedaj obliko:
211 ln 1 1 ln 1
2 2 2m
kT kTF N z J x p Bx x x x x
, (4.4.21)
kjer smo izpustili člen −kTN ln2, ki ni odvisen od x. V nadaljevanju poiščemo minimum
proste energije sistema F tako, da odvajamo enačbo (4.4.21) po spremenljivki x :
1 11ln 1 ln 1
2 1 2 1
1ln 0.
2 1
m
m
x xF kT kTz Jx p B x x
N x x x
xkTz Jx p B
x
(4.4.22)
Uvedemo oznako:
1 1ln
1 1
x xe
x x
, (4.4.23)
od koder sledi:
1tanh
1 2
ex
e
. (4.4.24)
Izraz za e iz enačbe (4.4.23) vstavimo v enačbo (4.4.22), upoštevamo ln ( )e , in
dobimo:
2
mp B z J x
kT
. (4.4.25)
Izraz za / 2 iz enačbe (4.4.25) nato vstavimo v desno stran enačbe (4.4.24) in končno
dobimo :
88
tanhmp B z J x
xkT
. (4.4.26)
V okviru obravnavanega 2-dimenzionalnega Isingovega modela lahko magnetizacijo sistema
M zapišemo v obliki:
m m mM n p p n c c p n x , (4.4.27)
kjer je n = N/V volumska gostota molekul.
V nadaljevanju se lotimo reševanja enačbe (4.4.26) za več posebnih primerov.
1. V sistemu ni zunanjega magnetnega polja (B = 0). Enačba (4.4.26) se v tem primeru
transformira v obliko:
tanhz Jx
xkT
(4.4.28)
Vpeljemo novo spremenljivko z J
y xk T
in enačbo (4.4.28) zapišemo v obliki:
tanh ( )k T
y yz J
. (4.4.29)
Slika 2: K reševanju enačbe (4.4.29).
Rešitev enačbe (4.4.29) je pri vrednosti y, kjer se funkciji kT
yzJ
in tanh (y) sekata (glejte še
sliko 2). Premica kT
yzJ
mora imeti naklonski koeficient kT
zJ manjši od 1, da se funkciji
kTy
zJ
in tanh (y) sekata. Mejna vrednost 1ckT
zJ , ustreza temperaturi
c
zJT
k , (4.4.30)
ki ji pravimo kritična temperatura.
89
Pri temperaturah pod Tc obstaja v sistemu spontana magnetizacija mM p n x , ki ustreza
neničelni rešitvi enačbe (4.4.28) (t.j. 0x ). Nad kritično temperaturo se spontana
magnetizacija poruši, enačba (4.4.28) takrat nima rešitve za 0x . Slika 3 shematsko
prikazuje spontano magnetizacijo kot funkcijo temperature T.
M
TCT
Slika 3: Temperaturna odvisnost spontane magnetizacije M za B = 0.
Tabela za enačbo (4.4.37) pa navaja kot primer vrednosti kritične temperature TC (Curiejeve
temperature) za nekatere feromagnetne materiale.
2. Vrnimo se k splošni enačbi (4.4.26) za primer 0B in vprašajmo se, kaj se dogaja z
magnetizacijo pri visokih temperaturah, ki so nad kritično temperaturo TC.
Pri visokih temperaturah (T > TC) je argument v enačbi (4.4.26) majhen. Tako uporabimo
samo prvi člen razvoja funkcije tanh(x) ≈ x v vrsto in enačbo (4.4.26) zapišemo v obliki:
1m mp B z J x p BzJx x
kT kT kT
. (4.4.31)
V enačbi (4.4.31) upoštevamo še zvezo C
z JT
k in jo prepišemo v obliko:
1
1
m
C m
c
p B
T p B kTx xTT kT
T
. (4.4.32)
V enačbo za magnetizacijo (4.4.27) : m
NM p x
V vstavimo enačbo (4.4.32) in dobimo:
2
1
mm
m mc c
N pp B BN N V kkTM p x p
TV V T T
T
. (4.4.33)
Ob upoštevanju zveze 0B H iz enačbe (4.4.33) sledi :
90
2
0
,
m
c
pN
V kM HT T
(4.4.34)
oziroma:
M H , (4.4.35)
kjer je magnetna susceptibilnost:
c
C
T T
, (4.4.36)
konstanta C pa je enaka:
2
0 mpNC
V k
. (4.4.37)
Tabela : Kritične temperature Tc nekaterih feromagnetnih materialov :
snov Tc/[K]
Co 1400
Fe 1043
Ni 631
91
4.5 ENERGIJA MAGNETNEGA POLJA+
(primer dolge tuljave z gostim navitjem)
Dolga tuljava:
Amperov zakon
INlH , l dolžina tuljave, I tok skozi tuljavo, N število ovojev.
HB
l
INHB
0
00
Med naraščanjem električnega toka skozi tuljavo, mora generator opravljati delo:
222dd
d
dd
222
začkon
I
I
I
I
L
IL
IL
ILIILtI
t
ILtIUA
kon
zač
kon
zač
Prejeto delo ni odvisno od tega kako narašča tok po tuljavi, ampak samo od začetnega in
končnega toka. Zato definiramo magnetno energijo tuljave:
VHBVHl
INlS
I
l
l
l
SNI
l
SNILWm
2
1
2
1
2
1
222
2
0
2
0
22
0
22
0
2
,
kjer je V = S l
Torej je gostota energije magnetnega polja mw (predpostavili smo, da je magnetno polje
samo znotraj tuljave):
0
22
02
1
2
1
2
1
BHBHwm