34. dörtgen plak örnek çözümlerimmf2.ogu.edu.tr/atopcu/index_dosyalar/dersler...34. dörtgen...

34. Dörtgen plak örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 284

34. Dörtgen plak örnek çözümleri Örnek 34.1: Teorik çözümü Timoshenko1 tarafından verilen dört tarafından ankastre ve merkezinde P=100 kN tekil yükü olan kare plağın(şekil 34.1) çözümü 4 farklı model için SEM2015 programı ile yapılacak, sonuçlar teorik çözüm ile karşılaştırılacaktır.

Malzeme: � = 30 ∙ 10��

�, = 0.30

Plak kalınlığı: � = 0.10� Teorik çözüm:

Plak merkezinde çökme: Timoshenko plak merkezindeki çökmeyi = 0.3 için: �� = 0.0056��((��)

�� =

!.!��"#�

��

olarak vermektedir. Buna göre �� = 0.0056 ∙ 100 ∙ 4��(��!.%�)

%!∙�!&∙!.� = 0.00326� ≈ 3.26�� dir.

a noktasında moment: Timoshenko plağın a noktasında birim boya yayılı mesnet momentini Ma=My=0.1257P (üst lifte çekme) olarak vermektedir. Buna göre Ma=My=0.1257.100=12.57 kNm/m dir.

a noktasındaki gerilme: )* = )++ =,-

.-/ (mukavemet) genel bağıntısından hesaplanabilir. I atalet momenti 1xt plak

kesitinde hesaplanır: 01 =�∙!.�

��= 8.33 ∙ 10�3�4. z=+t/2=0.1/2=0.05 m dir (üst lif için). Buna göre

)* = )++ =��.35

6.%%∙�!780.05 = 7547

:;

<� olur. Bu gerilme değerini programın aynı noktada hesaplayacağı )++gerilmesi ile

doğrudan karşılaştırabiliriz. Programın çıktıları yukarıdaki 4 farklı model için aşağıda kısmen verilmiş, plak merkezindeki çökme ve a noktasındaki moment ve gerilme teorik çözüm ile karşılaştırılmıştır.

1 Timoshenko, S., Plak ve kabuklar teorisi(tercüme M. İnan v.d.), İTÜ yayını, 1964, sayfa 220

2x2=4 eleman ağı 4x4=16 eleman ağı 6x6=36 eleman ağı 8x8=64 eleman ağı

Plağın dörtte birinin hesap modelleri

Moment

Dört kenarı ankastre kare plağın dörtte

biri(perspektif görünüş)

2 m

2 m

Bu kenardaki noktalar

X etrafında dönemez

Bu kenarlardaki noktalar

çökmez ve dönmez


Y etrafında dönemez

t=0

.10

m

L=4 m

L=4 m

X

Y

Z

Şekil 34.1: Dört kenarı ankastre

kare plak(perspektif görünüş)

P=100 kN

Y

X

Z

P=25 kNa

Plak X ve Y eksenlerine göre simetrik olduğundan dörtte biri modellenecektir.



Moment

Gerilme

Çökme

Moment

Gerilme

Çökme

Çökme

Gerilme



Örnek 34.1 sonuçları karşılaştırma:

Örnek 34.2: Teorik çözümü Timoshenko1 tarafından verilen, dört tarafından ankastre ve p=6.25 kN/m2 üniform yayılı yükü etkisindeki kare plağın(şekil 34.2) çözümü 3 farklı model için SEM2015 programı ile yapılacaktır.

Malzeme: � = 30 ∙ 10��

�, = 0.30

Plak kalınlığı: � = 0.10� Yük: p=6.25 kN/m2 (tüm elemanlarda) Teorik çözüm:

Plak merkezinde çökme: Timoshenko plak merkezindeki çökmeyi, = 0.3 için,�= =!.!�%6>#?

�� olarak vermektedir. Buna

göre �= =!.!�%6∙�.�3∙4?

%!∙�!&∙!.� = 0.00074� ≈ 0.73�� dir.

.a noktasında moment: Timoshenko plağın a noktasında birim boya yayılı mesnet momentini, = 0.3 için, Ma=My=0.0513 pL2 (üst lifte çekme) olarak vermektedir. Buna göre Ma=My=0.0513.6.25.42=5.13 kN.m/m dir.

1 Timoshenko, S., Plak ve kabuklar teorisi(tercüme M. İnan v.d.), İTÜ yayını, 1964, sayfa 220

Model Plak merkezinde çökme @A

mm

Hata %

A noktasında moment My

kNm/m

Hata %

a noktasında gerilme BCC kN/m2

Hata %

2x2 4.29 32 11.01 12 7385 2 4x4 3.96 25 12.47 0 7827 4 6x6 3.87 19 12.78 2 7828 4 8x8 3.83 17 12.9 3 7831 4 Teorik 3.26 0 12.5 0 7547 0

Moment

Gerilme

Çökme

2 m

t=0

.10

m

L=4 m



a noktasındaki gerilme: )* = )++ =,-

.-/ (mukavemet) genel bağıntısından hesaplanabilir. Iy atalet momenti 1xt plak

kesitinde hesaplanır: 01 =�∙!.�

��= 8.33 ∙ 10�3�4. z=+t/2=0.1/2=0.05 m dir (üst lif için Buna göre )* = )++ =

,-

.-/ =

3.%%

6.%%∙�!780.05 = 3192.28

:;

<�olur. Bu gerilme değerini programın aynı noktada hesaplayacağı )++ gerilmesi ile doğrudan

karşılaştırabiliriz.

2x2=4 eleman ağı 4x4=16 eleman ağı 8x8=64 eleman ağı

Moment

Gerilme

Çökme

Moment

Gerilme

Çökme



Örnek 34.2 sonuçları karşılaştırma:

Örnek 34.3: Şekil 34.3 de görülen kare plak C30/37 betonu ile inşa edilecektir. Plağın merkezinde tabanı 2x2 m ve yüksekliği 1.80 m olan su deposu vardır. Plak kendi yükü pplak=16.40 kN/m2 dir. Plak ortasındaki çökme ve bazı elemanlardaki iç kuvvet ve gerilmeler 8x8 eleman ağı kullanarak hesaplanacaktır.

Malzeme: � = 32 ∙ 10��

�, = 0.20

Plak kalınlığı: � = 0.15� Yükler: pplak=16.40 kN/m2 (tüm elemanlarda) EFG>H = IJKℎJK = 10 ∙ 1.8 = 18.00MN/��(sadece deponun oturduğu elemanlarda)

Model @: Plak merkezinde çökme

mm

Hata %

A noktasında moment kNm/m

Hata %

a noktasında gerilme kN/m2

Hata %

2x2 0.96 32 5.09 1 3170.52 4 4x4 0.88 21 5.35 4 3240.83 2 8x8 0.85 16 5.41 5 3252.29 1 Teorik 0.73 0 5.13 0 3292.28 0

1 m

8x8=64 eleman ağı(plağın ¼ ü)

Deponun oturduğu elemanlar

2 m

t=0.1

5 m

L=4 m

Çökme

Gerilme

Moment



Örnek 34.4: Şekil 34.4 de görülen kare plak C30/37 betonu ile inşa edilecektir. Plağın merkezinde 2x2 m boşluk vardır. Plak yükü 23.8 kN/m2 dir. Eleman kuvvetleri ve yer değiştirmeleri hesaplanacak, sonuçlar kısmi olarak verilecektir.

1 m

L=4 m1 m

Malzeme:

� = 32 ∙ 10��

�, = 0.20 (tüm elemanlarda)

Plak kalınlığı: � = 0.001� (boşluktaki tüm elemanlarda) � = 0.15� (boşluk dışındaki tüm elemanlarda) Yükler: pplak=0 kN/m2 (boşluktaki tüm elemanlarda) pplak=23.8 kN/m2 (boşluk dışındaki tüm elemanlarda)

Boşluk

Boşluk



Boşluktaki elemanların modellenmesi: 1) Boşluk olan bölgede hiçbir eleman ve nokta tanımlanmaz. Bu gerçek modeldir. Ancak, düzenli numaralama

yapılamadığı için veri hazırlamak zorlaşır(Model a). 2) Düzenli numaralandırmayı bozmamak için boşluk bölgesinde de nokta ve elemanlar varmış gibi modelleme

yapılabilir. Boşluktaki elemanların yükü=0, plak kalınlığı t çok küçük(örneğin t=0.001 m) seçilir(Model b)1. Bu model sonuçların biraz farklı çıkmasına neden olur.

Her iki modelin kısmi sonuçları aşağıda verilmiştir. Karşılaştırılırsa hemen hemen aynı olduğu görülür.

1 Eleman kalınlığı t nin çok küçük seçilmesi elemanın çok esnek davranacağı anlamındadır. t nin aşırı küçük(örneğin t=0.00001 m seçilmesi teorik

olarak daha doğrudur, ancak bu nümerik soruna; yani süreklilik denklemlerinin tekil olmasına neden olabilir.

Model b eleman ağı(plağın ¼ ü)

1 m

1 m

Boşluktaki nokta ve elemanlar

1 m 1 m

Model a eleman ağı(plağın ¼ ü)

Boşluk

Model a nın kısmi sonuçları



Model a nın kısmi sonuçları

Model b nın kısmi sonuçları



Model b nın kısmi sonuçları



Örnek 34.5: Aşağıda görülen kare plak C30/37 betonu ile inşa edilecektir. Plak köşe noktasında 0.40x0.40 m kesitli kolonlara oturmaktadır. Plak kalınlığı 0.30 m, plak düzgün yayılı yükü 21.36 kN/m2 dir. Plak ortasındaki ve kenar ortasındaki çökme 10x10 eleman ağı kullanılarak hesaplanacaktır.

2 m

0.4

2 m

2 m

Malzeme: � = 32 ∙ 10��

�, = 0.20

Plak kalınlığı: � = 0.30� Yük: 21.36 kN/m2 (tüm elemanlarda) Mesnet koşulları: 1, 2, 3,…,11 noktaları X etrafında dönemez(Simetri) 1, 12, 34, 45, …, 111 noktaları Y etrafında dönemez(Simetri) 97, 98, 99, 108, 109, 110, 119, 120, 121 noktaları çökemez ve dönemez(rijit kolon varsayımı)

Kolon

Plak ortasında kuvvetler

Plak kenar ortasında kuvvetler

Kolon köşesinde kuvvetler

Plak ortasında çökme-dönme

Plak kenar ortasında çökme-dönme

10x10=100 eleman ağı(plağın ¼ ü)

Kolon



Örnek 34.6: Aşağıda görülen konsol plak C30/37 betonu ile inşa edilecektir.. Plak kalınlığı 0.17 m, plak düzgün yayılı yükü 16.81 kN/m2 dir. X=2, Y=0 noktasındaki �� çökmesi ve X=0, Y=0 noktasındaki P<GJQG� mesnet momenti aşağıda görülen eleman ağı kullanılarak hesaplanacaktır1. Plak X eksenine göre simetrik olduğundan yarısı modellenmiştir.

1 Analitik çözüme göre �� = 0.0025�, P<GJQG� = −34.33MN�/� dir. Bak:

http://www.amm.shu.edu.cn/CN/article/downloadArticleFile.do?attachType=PDF&id=12390

Malzeme: � = 32 ∙ 10��

�, = 0.20

Plak kalınlığı: � = 0.17� Yük: 16.81 kN/m2 (tüm elemanlarda) Mesnet koşulları: 1, 6, 16, 21 noktaları çekemez ve dönemez (ankastre) 2, 3, 4, 5 noktaları X etrafında dönemez (simetri)

2 m

2 m

��: Konsol ucunda çökme

P<GJQG�: Mesnet ortasında moment

4x4=16 eleman ağı(plağın yarısı)

2x0.25 2x0.75

4x0.5

=2 m

2 m



Örnek 34.7: Aşağıda düşey kesiti görülen betonarme su deposu C30/37 betonu ile inşa edilecektir. Düşey panellerin hepsi de dört tarafı ankastre plak olarak çalışır. Plaklar, şiddeti derinlikle artan ve plak düzlemine dik etkiyen üçken yayılı su basıncı etkisindedir. Bir plağın çözümü yapılacak, en büyük mesnet ve açıklık momentleri belirlenecektir. Plağın düşey doğrultuda simetri ekseni vardır, yarısı aşağıdaki gibi modellenebilir. Plak tabanındaki su basıncı IJKℎJK =10 ∙ 3.5 = 35.00MN/�� dir. Plak yükü düzgün yayılı olmak zorunda olduğundan her elemanın ortalama düzgün yayılı yükü hesaplanarak şekilde gösterilmiştir.

Malzeme: � = 32 ∙ 10��

�, = 0.20

Plak kalınlığı: � = 0.30� Yük: 32.5 kN/m2 (1, 2, 3, 4 nolu elemanlarda), 27.5 kN/m2 (5, 6, 7, 8 nolu elemanlarda),…, 2.5 kN/m2 (25, 26, 27, 28 nolu elemanlarda), 0.00 kN/m2 (29, 30, 31, 32 nolu elemanlarda) Mesnet koşulları: Şekil üzerinde gösterilmiştir

4 m

4 m 4 m

3.5 m 3.5 m

0.30 m 0.30 m

Betonarme su deposu düşey kesiti

su hsu

0.30 m 4 m

4 m

32.5 kN/m2

27.5

22.5

17.5

12.5

7.5

2.5

Düşey plağın yarısının 4x8 modeli

ve ortalama su basıncı

4x0.5=2 m

8x0

.5=

4 m


çökemez dönemez

X

Y

Bu k

enard

aki nokta

lar

çökem

ez v

e d

önem

ez


çökemez ve dönemez


Yetrafında dönemez(simetri)

Plağın alt kenarında X etrafında oluşan en büyük mesnet momenti



Plağın üst kenarında X etrafında oluşan en büyük mesnet momenti

Plağın sol ve sağ(simetri) kenarında Y etrafında oluşan en büyük mesnet momenti

En büyük mesnet ve açıklık momentleri(SEM

işaret kuralına göre)

X

Y

2 m

3.5 m

2 m

18.34 kNm/m

-7.03 kNm/m

-7.84

X ve Y etrafında oluşan en büyük açıklık momentleri

34. dörtgen plak örnek çözümlerimmf2.ogu.edu.tr/atopcu/index_dosyalar/dersler...34. dörtgen...

Documents