345])4.2 angular acceleration kinematics of machinery (각가셏도 는 나...

기구메커니즘기구메커니즘Kinematics of MachineryKinematics of Machinery

181013181013

Ch4. AccelerationCh4. Acceleration

1

속도의 변화량 :

평균가속도 :

순간가속도 (가속도) :

PPP VVV −′=∆

tP ∆∆ /V

2

2

0lim

dt

d

dt

d

t

PPP

tP

RVVA ==

=

→ ∆

∆

∆

4.1 Definition of Acceleration

Kinematics of MachineryKinematics of Machinery

가속도는 관측자의 운동, 즉 관측자의 좌표계 운동에 따름

절대 가속도(absolute acc.) :PP AA or1/

22

경로 AB 를 따라 움직이는 점 P 의속도 : tP s û&=V

:경로를 따르는 점 P 의 순간 속도

: P 의 법선속도, 접선속도 ( )

φ는 P 점에서의 경로의 곡률순간중심인 C 와 에 의해결정되는 접촉평면상에 있는 어떤

s&tn û,û tbn ûûû ×=

미분 : ttP ss ûû &&

&& +=A


tn û,û


(곡률 반지름 : )

결정되는 접촉평면상에 있는 어떤축에 대한 의 경사각을 의미

n

ntt

d

dû

û)2/sin(2lim

ûlim

û

00=

∆

∆=

∆

∆=

→∆→∆ φ

φ

φφ φφ

n

t

t s

dt

ds

ds

d

d

d

dt

dss û

ûû

2

ρφ

φ&&& ==∴ ρ

ρφ 1=

ds

d

t

P

n

P

tn

P ss

AA

A

+=

+= ûû2

&&&

ρ

tû

33

� 가속도: 시간에 대한 속도의변화율• 크기와 방향을 가지는 벡터량

• 선가속도 (linear acceleration)

• 각가속도 (angular acceleration)

RV dd==

2

� 선가속도



kjia

RVa

zyx RRR

dt

d

dt

d

&&&&&& ++=

==2

kjiω

α zyxdt

dααα ++==

� 각가속도

44

1. 한 점의 위치 벡터가 다음 식으로 정의될 때, t=2sec에서 점의가속도를 구하시오. 여기서 R은 인치 단위이고, t는 초단위이다.

jiR 103

43

+

−=

tt

( )( )iR

iR

tt

tt

2)(

4)( 2

−=

−=&&

&

( ) ( )2in/sec4)2(2)2( iiR −=−=&&

2. 다음 식을 따라 이동하는 점이 t=3sec일때의 가속도를 구하시오.



2. 다음 식을 따라 이동하는 점이 t=3sec일때의 가속도를 구하시오. 단위는 미터와 초이다.

jiR36

332 ttt +

−=

( ) jiR

jiR

ttt

tt

tt

22)(

22)( 2

2

+−=

+

−=

&&

&

( ) ( )2m/sec61)3(232)3( jijiR +−=+−=&&

55

각가속도는 강체 운동에 대해서 정의.

어떤 순간에 강체가 각속도 를 갖고, 잠시 후 각속도 를 갖는 경우ω ω′각속도 변화량 : ωωω −′=∆

(주의: 각속도 와 는 서로 다른 크기와 방향을 가질 수 있음)

각가속도 : 강체의 각속도 변화의 시간율로 정의

ω ω′

α

ωωω

α &==

=d∆

lim

4.2 Angular Acceleration


(각가속도 는 나 와 전혀 다른 방향을 가질 수 있음)

ωα &==

=→ dt

d

tt ∆∆ 0lim

각가속도 벡터 를 전체 강체의 절대 회전에 적용

강체의 좌표계 번호 : 로 표시.

ω ω′α

α

1/22 ,αα

66

PQQP VVV +=점 P 의 속도 :

)( PQPQ RωV ×=PQQP RωVV ×+=

점 P 의 가속도 :

×+×+= &&&

4.3 Acceleration Difference b/w Pts of a Rigid body


PQPQQP RωRωVV ×+×+= &&&&

),,,( αωRωRAVAV =×=== &&&& PQPQQPPP

PQPQQP RαRωωAA ×+××+= )(

77


점 P 의 위치를위치차 식으로 표시

이동좌표계

PQQP RRR +=

복소 극좌표 형식 : θjPQQP eR+= RR

점 P 의 속도(미분) : θjPQQP ejωω+= VV

점 P 의 가속도 : θθ αω jPQj

PQQP eRjeR +−=2

AA


접선 성분 :

법선(구심) 성분 :

PQ

t

PQ RA α=

PQ

PQ

PQ

n

PQR

VRA

2

2 ==ω

PQPQ

PQ

t

PQ

RV

αRA

ω=

=

t

PQ

n

PQQ

PQQP

AAA

AAA

++=

+=

88


접선 가속도 성분의 크기 :

PQ

t

PQ RαA ×=

θsinPQPQ αR=×Rα (원의 반지름)

PQ

t

PQ RαA ×=


)( PQn

PQ RωωA ××=

)( PQn

PQ RωωA ××=

법선 가속도 성분의 크기 :

φφω

sinsin)(

2

2

PQ

PQ

PQPQR

VR ==×× Rωω

(원의 반지름)

PQPQ RωV ×=

99

예제 4.1

4절 링크 기구에서, 점 A 와 B 의 가속도와링크 3과 4의 각가속도를 구하여라.크랭크는 일정한 각가속도 200 rad/s ccw를 갖는다.

가속도 해석을 하기 전에 속도 해석

속도 다각형점 A 의 속도 : ft/s100)ft12)(rad/s200( === RV ω

예제 4.1

18in

8in

6in12in


속도 다각형점 A 의 속도 :

링크 3과 4의 각속도:

ft/s100)ft12)(rad/s200(22

=== AOA RV ω

ft/s129andft/s128 B == VVBA

ccwrad/s3.85f12/18

ft/s1283 ===

tR

V

BA

BAω

ccwrad/s129f12/12

ft/s129

4

4

4 ===tR

V

BO

BOω

1010

가속도차 공식:

√√ ?√ √√ 0 √√ ?√

알 수 있는 값들:

BAAB AAA +=

t

BA

n

BA

t

AO

n

AO

t

BO

n

BO AAAAAA +++=+ 2244

022 2== AO

t

AO RαA

AAO

n

AO tR AA ====222

2 ft/s00020)f12/6()rad/s200(22 ω

222

ft/s92310)ft12/18(

)ft/s129(=== BAnBA

R

VA 2

22

ft/s64116)ft12/12(

)ft/s129(4 === BOnBA

R

VA

예제 4.1


가속도 다각형으로 계산

ft/s92310)ft12/18(===

BA

BAR

A ft/s64116)ft12/12(

4

===BO

BAR

A

222 ft/s60020,ft/s1550,ft/s600114

=== Bt

BA

t

BO AAA

각속도: cwrad/s0331ft12/18

ft/s1550 22

3 ===BA

t

BA

R

Aα

cwrad/s60011ft12/12

ft/s60011 22

4

4

4 ===BO

t

BO

R

Aα

가속도 다각형

1111

예제 4.2

예제 4.1을 직접 해석방법을 이용하여 풀어라.

위치벡터:

ftˆ35355.0ˆ35355.0

135ft12

62

ji

R

+−=

°∠

=AO

4.22ft12

18R °∠

=BA

예제 4.2

18in

8in

6in12in


ftˆ57161.0ˆ3868.1

12

ji +=

ftˆ92978.0ˆ36813.0

4.68ft12

122

ji

R

+=

°∠

=AO

속도 해석 결과

rad/sˆ39.129

,rad/sˆ253.84rad/s,ˆ200

4

32

kω

kωkω

=

==

속도해석(결과만):

1212

알고 있는 값들:

과 와

2

22 ft/sˆ14214ˆ14214)(

22jiRωωAA −=××== AOA

n

AO

ˆˆˆ kji

예제 4.2

2

33 ft/sˆ0584ˆ8449)( jiRωωA −−=××= BA

n

BA

2

44 ft/sˆ56715ˆ1636)(

44jiRωωA −−=××= BO

n

BO

α α

가속도차 공식:

√√ ?√ √√ 0 √√ ?√

BAAB AAA +=

t

BA

n

BA

t

AO

n

AO

t

BO

n

BO AAAAAA +++=+ 2244


과 와연관된 값: 23333 ft/sˆ36813.0ˆ57161.0

092978.036813.0

00

ˆˆˆ

ji

kji

RαA ααα +−==×= BAt

BA

가속도차 공식에 대입하면

3α 4α

2

4444 ft/sˆ36813.0ˆ92978.0

092978.036813.0

00

ˆˆˆ

44ji

kji

RαA ααα +−==×= BOt

BO

4611092978.057161.0 43 =− αα

633286813.038681.1 43 −=+− αα 24

2

3

rad/sˆ05012

rad/sˆ1300

kα

kα

−=

−=

1313

� 고정점에 대한 강체의 운동: 벡터법

( )RωωRαaRωRωV

RωRV

××+×=

×+×=

×==&&&

&

� 평면 운동


평면가속도 - 벡터복소수법


방향접선경로의:Direction

:Magnitude

on,acceleratitangential:

Rat α=

×• 가속도접선Rα

( )

방향향한회전중심을:Direction

:Magnitude

가속도법선 on,acceleratinormal: 2

2

R

VRan ==

××•

ω

Rωω

� 평면 운동

1414

� 고정점에 대한 강체의 운동: 복소해석법

nt

jj

j

j

eReRj

eRj

eR

aa

a

V

R

+=

−=

=

=

θθ

θ

θ

ωα

ω

2

� 평면 운동

평면가속도 - 벡터복소수법



발생의해변화에 크기속도의

90, Direction

Magnitude

:onacceleratiTangential

회전수직에 ccw

R

o

t

R

a

=

=

•

α

발생의해방향변화에속도벡터의

,Direction

Magnitude

:on acceleratiNormal

22

방향회전중심반대방향과R

a

=

==

•

R

vR

n

ω

� 평면 운동

1515

길이가 2in인 링크상의 점 B가 O점을 중심으로 회전한다. O점은 고정점이고링크는 평면운동을 한다. 그림에 주어진 순간, q는 45o이고, 이 때의각가속도는 750 rad/sec2, 방향은 반시계방향(counterclockwise)이다. 각속도는 100 rad/sec이고 시계방향(clockwise). 이 순간 B점의 가속도를구하시오

( )n ininradRa sec/2000)2(sec)/100(:Magnitude

:onacceleratinormal

222

=+

===

××•

ω

Rωω

예제


ooo

t ininradRa

1359045:Direction

sec/1500)2)(sec/750(:Magnitude

:on acceleratial tangenti

22

=+

===

×•

α

Rα

ooo 22518045:Direction =+

( ) ( ) ( ) ( )oooo

n

B

t

BB

n

B

t

BB

inaaa

1.1881.539045:Direction

sec/250020001500:Magnitude

Bpoint ofon accelerati total

22222

=++

=+=+=

+=

•

aaa

1616

� 도해적 가속도 해석을위해 필요한 정보

)

,수직 에R (:

,: 2

결정방향따라에

반지름회전방향

크기

t

nt

nt

RARA

A

AAA

α

ωα ==

+=

도해적 가속도 해석

4.4 Acceleration Polygon


) (

)

방향반지름회전

결정방향따라에n

A

α

� 위치해석, 속도해석 후입력 각가속도가 주어진경우

2432432 ,,,,,,: αωωωθθθ주어진값

� 가속도다각형으로 해석

1717

,,,,,,,,,,: 24324324321 αωωωθθθrrrr주어진값

( ) ( ) ( )tBAnBAtAnAtBnBBAAB

AAAAAA

AAA

+++=+

+=

tA nAnA

4.4 Acceleration Polygon도해적 가속도 해석 – 예 1


?,

,,,,,,,,,,:

43

24324324321

αα

αωωωθθθ

→

rrrr주어진값

( ) ( ) ( )nPAtPAnAtAnPtPPAAP

AAAAAA

AAA

+++=+

+=

433344 ,,,

070sin20sin45sin45sin:

070cos20cos45cos45cos:

αααα →==→→

−−=−−+−

−=+−−−

rArAAA

AAAAAy

AAAAAx

t

BA

t

B

t

BA

t

B

n

B

t

BA

n

BA

t

A

n

A

t

B

t

BA

n

BA

t

A

n

A

방향

방향

t

AAn

AA

n

BA

t

BA

t

BAA

n

BAA

t

BA ofdirection t

BAA ofdirection

1818

도해적 가속도 해석 – 예 2

,,,,,,: 2323232 αωωθθrr주어진값

( ) ( ) ( )tBAnBAtAnAtBnB AAAAAA +++=+φ



BAAB AAA +=

?,

,,,,,,:

3

2323232

α

αωωθθ

Bslider

rr

AA =→

주어진값

333

22

22

,,,

0sinsincossin:

sincossincos:

αα

φφθθ

φφθθ

t

B

t

BA

t

B

t

BA

t

B

t

BA

n

BA

t

A

n

A

t

B

t

BA

n

BA

t

A

n

A

ArAAAA

AAAAy

AAAAAx

→=→→

=++−−

−=+−+−

방향

방향

1919

가속도 사상의 성질


2

1tan180ωα

δ −−°=


가속도 사상의 성질

1. 각각의 강체의 가속도 사상은 가속도 다각형에서 링크의 형상 척도를 재형성한다.

2. 각 링크의 꼭지점을 나타내는 문자들은 가속도 다각형과 같으며, 이 문자들은 가속도

사상 주위를 같은 방법으로 진행하고, 링크 자신들도 같은 방향으로 진행한다.

3. 가속도 다각형의 점 OA 는 절대 가속도가 0 인 모든 점들의 사상이다. 이것은 고정된

링크의 가속도 사상이다.

4. 어떤 링크상의 임의의 점의 절대 가속도는 O4 로부터 다각형 안에 있는 점의

사상까지의 선으로 나타낸다.

5. P 와 Q 두 점 사이의 가속도차는, 가속도 사상점 P 로부터 가속도 사상점 Q 까지의

선으로 나타낸다.

2020

예제 4.3

그림의 4절 링크 기구는 예제 3.1에서 그에 대한속도 해석을 수행하였다. 속도 다각형은 그림3.7(b)에 나와 있다. 링크의 각속도가 900 rev/min =94.2 rad/s ccw 로 일정하다고 가정하고, 링크3과 4의 각가속도와 점 E 와 F 의 절대 가속도를구하라.

링크 2의 각가속도가 0 �

예제 4.3

0=tBAA


링크 2의 각가속도가 0 �

가속도다각형

222

2 ft/s9582)ft12/4()rad/s2.94( ==== BAn

BAB RωAA

점 OA 와 가속도 척도를 결정하고, 가속도 사상점 B 를결정하기 위하여 를 그린다(벡터 의 반대방향).

BA BAR

0=BAA

점 C 의 점 B 를 연결하기 위하여 가속도차 공식을 사용

√√ √√ ?√ √√ ?√t

CD

n

CD

t

CB

n

CBBC AAAAAA +=++=

2121

예제 3.1에서 VVVVCBCBCBCB = 38.4 ft/s= 38.4 ft/s= 38.4 ft/s= 38.4 ft/s ,,,, VVVVCCCC ====VVVVCDCDCDCD = 45.5 ft/s= 45.5 ft/s= 45.5 ft/s= 45.5 ft/s

예제 4.3

222

ft/s983)f12/18(

)ft/s4.38(===

tR

V

CB

CBn

CBA

222

ft/s2582ft12/11

)ft/s5.45(===

CD

CDn

CDR

VA

t

CD

n

CD

t

CB

n

CBBC AAAAAA +=++=√√ √√ ?√ √√ ?√


이 법선성분들은 점 B 와 D 에서 시작하는 가속도다각형에 추가(점선). 방향을 아는 2개의 접선성분 와 의 추가.이 경로의 교차점을 가속도 사상점 C 로 표시.

t

CBAt

CDA

ccwrad/s113f12/18

ft/s170 22

3 ===tR

A

CB

t

CBα

cwrad/s8221f12/11

ft/s1670 22

4 ===tR

A

CD

t

CDα

2222

점 E 의 가속도를 구하는 방법

점 B 와 C 의 가속도차 공식

를 사용하여 링크 3에 대한 가속도 사상삼각형 BCE 를 구성.

t

BC

n

BCC

t

EB

n

EBBE AAAAAAA ++=++=

CBA

2ft/s5802=A

예제 4.3


같은 방법으로,

2ft/s5802=EA

2ft/s9601=FA

2323

이동좌표계 :

각변화율(회전속도) :

절대좌표계에서 는 이동좌표계 2가

t

P udt

dsˆ

2/3=V

ρφ

s∆∆ =

ρρφ 231 PV

dt

ds

dt

d==

bPb uV

udt

dˆˆ

23

ρφ

φ ==&

tû

4.5 Apparent Acceleration of a Pt in a Moving Coord. Systbn uuu ˆ,ˆ,ˆ


절대좌표계에서 는 이동좌표계 2가회전할 때 와 각속도 에 의해 구속

tûφ& ω

nPttbPt

tttt

uV

uuuV

u

uuudt

ud

ˆˆˆˆˆ

ˆˆˆ)(ˆ

2/2/ 33

ρρ

φφ

+×=×+×=

×+×=×+=

ωω

ωω &&

tPnnbPn

nnnn

uV

uuuV

u

uuudt

ud

ˆˆˆˆˆ

ˆˆˆ)(ˆ

2/2/ 33

ρρ

φφ

−×=×+×=

×+×=×+=

ωω

ωω &&

2424

tnP

P

tnPttt

P

udt

sdu

V

dt

ds

udt

sdu

V

dt

dsu

dt

dsu

dt

sd

dt

ud

dt

ds

dt

d

ˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

2

22/

2/

2

22/

2

22/

3

3

32

++×=

++×=+=

ρ

ρ

Vω

ωV

상대가속도항은 이동좌표계에 고정된 관측자에 의하여 관측된 성분만을 포함�But 위 공식은 절대좌표계에서 도출, 이동 관측자에 의하여 관측되지 않은

A

4.5 Apparent Acceleration of a Pt in a Moving Coord. Sys


�But 위 공식은 절대좌표계에서 도출, 이동 관측자에 의하여 관측되지 않은회전효과 가 포함 � 이면 도출

법선성분(normal component) :

ω 0=ω 2/3PA

t

P

n

PP 2/2/2/ 333AAA +=

nPn

P uV

ˆ

2

2/

2/3

2 ρ=A

접선성분(tangent component) :

tt

P udt

sdˆ

2

2

2/2=A

2525

위치 공식

미분하면

미분하면

n

CP uρ ˆ23 −= RR

2/

2/

32

3

23

)ˆ(

ˆ)ˆ(

P

n

C

tPn

CP

uρ

uV

uρ

VωV

ωVV

+×−=

+×−=ρ

ρ

3)ˆ(

)ˆ(2/P

nn

duρduρ

VωαAA +×−×−=



미분하면

44 344 2143421444444 3444444 21

2/3

3

3

2

2

3

23

ˆˆ2))ˆ(()ˆ(

)ˆ()ˆ(

2

22

2/

2/

2/

P

P

tnP

Coriolis

P

nn

C

Pn

CP

udt

sdu

Vuρuρ

dtdt

uρduρ

AA

VωωωαA

ωαAA

++×+−××+−×+=

+×−×−=

ρ

2/3232 P

c

PP VωA ×=가속도의 코리올리 성분

이동좌표계 2에 고정된 이동 관측자에 의해서 관측되지는않지만 과 의 차이의 일부분

2PA

3PA

상대 가속도 공식(apparent-acceleration eq.)

t

P

n

P

c

PPPP 2/2/ 332323AAAAA +++=

2626

특성1. 상대 가속도 공식은 다른 링크들 상의 2 개의 일치점들의 가속도를 연관시켜

주기 때문에 이 절의 목적에 적합.

2. 상대 가속도 공식에는 새로 정의된 세 가지 성분 중 한가지 성분만 미지수

코리올리 성분과 법선성분은 속도 정보로부터 계산

접선성분 는 대부분, 을 모르기 때문에 크기가 미지수

3. P3 이 좌표계 2 상에서 움직이는 경로를 인지하는 능력에 따른다는 것을

t

P 2/3A

22 / dtsd

4.5 Apparent Acceleration of a Pt in a Moving Coord. Syst

P

n

P

c

PPPP 2/2/ 332323AAAAA +++=


3. P3 이 좌표계 2 상에서 움직이는 경로를 인지하는 능력에 따른다는 것을

인식하는 것이 중요. 이 경로는 법선성분과 접선성분의 축에 대한 기초이고

또한 ρ의 절점에도 필요하다.

링크 2상의 P3 에 의해서 표시되는 경로는, 링크 3상의 P2 에 의해서 표시되는 경로와 반드시 같지 않다.

t

P

n

P

c

PPPP 3/3/ 223232AAAAA +++=

가속도 는 를 이용 cf) 는 를 이용한다.c PP 32Ac

PP 23A 2ω 3ω

2727

� A점에서 관찰한 운동: 상대가속도

가속도다각형

( )

2

22

2

22

2

22

2

,

ωα

ωα

ωα

ωθθ

θ

θ

RARA

eReRj

eRj

eR

n

PA

t

PA

n

PA

t

PA

PA

jj

PA

j

PA

j

PA

==

+=

−=

−=

=

=

AA

R

A

V

R



가속도다각형

( )( ) ( ) ( )nPAtPAnAtAnPtP

n

PA

t

PAAP

PAAP

AAAAAA

AAAA

AAA

+++=+

++=

+=

22 , ωα RARA PAPA ==

� O점에서 관찰한 운동: 절대가속도

� 상대가속도 :APPA AAA −=

2828

블록 3이 링크 2상에서 일정한 속도 30 m/s로밖으로 미끄러지는 동안 링크 2는 일정한 각속도 50 rad/s ccw 로 회전한다. 이 블록의 A 점에 대한 절대가속도를 구하라.

일치점 A2 의절대 가속도

t

OA

n

OAOA AAAA 222222 ++=

예제 4.4


절대 가속도 2222 m/s2501)m5.0()rad/s50(2222 === OA

n

OA RωA

점 A3은 링크 2의 축을 따라서 이동� 상대 가속도 공식

(가속도 사상점 A2 를 결정)

t

A

n

A

c

AAAA 2/2/ 332323AAAAA +++=

2

2/2 m/s0003)m/s30)(rad/s50(22 223 === Ac

AA VωA

0)m/s30( 2

2

2/

2/2

3=

∞==

ρAn

A

VA 02

2

2/3==

dt

sdtAA

2m/s25033=∴ AA

2929

역슬라이더-크랭크 기구의 4절 링크 기구는 예제 3.1에서 그에대한 속도 해석을 수행하였다. 속도 다각형은 그림 3.7(b)에 나와있다. 링크의 각속도가 900 rev/min =94.2 rad/s ccw 로일정하다고 가정하고, 링크 3과 4의 각가속도와 점 E 와 F 의절대 가속도를 구하라.

속도 해석결과 ft/s7.6,ft/s0.10ft/s,0.12 4/ === BABA VVV

예제 4.5


속도 해석결과

t

AO

n

AOOA AAAA 222 ++=가속도 계산

ft/s7.6,ft/s0.10ft/s,0.12 4/33 === BABA VVVcwrad/s67.743 ==ωω

222

2 ft/s0.216)ft12/8()rad/s18(22 === AOn

AO RωA

가속도차 공식?? √√ √√ ?√

t

AB

n

ABAB 333AAAA ++=

222

ft/s9.76)ft12/6.15(

)ft/s0.10(3

3===

BA

ABn

ABR

VA

3030

에 대한 두 번째 공식(링크 4에 위치한 관측자의 관점)

상대 가속도 공식

예제 4.5

2

4/4 ft/s103)ft/s7.6)(rad/s67.7(22 343 === Bc

BB VA ω

3BA

t

B

n

B

c

BBBB 4/4/ 334343AAAAA +++=

0)ft/s5.6( 2

2

4/

4/3

3=

∞==

ρBn

B

VA

222 ft/s145,ft/s17,ft/s103 === tt AAA다각형으로부터


링크 3과 4의 각가속도

222

4/ ft/s145,ft/s17,ft/s103 333 === Bt

AB

t

B AAA

ccwrad/s1.13ft12/6.15

ft/s17 22

343 ====

BA

t

AB

R

Aαα

n

B 4/3A

이 예제에서 링크 4상의 B3의 경로와 링크 3상의 B4의 경로는 모두 가시화할 수 있고, 어느것이든 접근방법을 결정하는 데 사용할 수 있음.But, B4가 지면에 고정(링크 1)되어 있어도 링크 1의 점 B3의 경로는 알 수 없다.� 항은 직접 계산할 수 없다.

3131

예제 4.6

역슬라이더-크랭크 기구의 속도 해석은예제 3.3에서 실시하였다. 만일 링크 2가일정한 속도로 구동된다고 할 때 링크 4의각가속도를 결정하여라.

속도해석 결과(예제 3.3)ft/s48.5,ft/s17.7ft/s,9 4/22 === AADA VVV

예제 4.6

dimension in inches


cwrad/s55.7,rad/s36 432 === ωωω

가속도 해석t

AE

n

AEEA AAAA ++=2222

2 ft/s324)ft12/3()rad/s36( === AEn

AE RωA

t

A

n

A

c

AAAA 4/4/ 224242AAAAA +++=

점 A2 는 링크 4에 있는 관측자에게 직선경로를 따라 이동√√ ?√ √√ ?√

ft/s7.82)ft/s48.5)(rad/s55.7(22 4/4 242 === Ac

AA VA ω )(04/2 ∞== ρQn

AA

3232

예제 4.6

0 √√ o√ t

DA

n

DADA 444AAAA ++=

가속도 다각형

ft/s6.53ft12/5.11

ft/s)17.7( 22

4

4

4===

DA

DAn

DAR

VA

n

A

t

DA

n

DA

t

A

c

AAA 4/4/ 2442422AAAAAA ++=−−


cwrad/s292ft12/5.11

ft/s9.279 22

4

4

4 ===DA

t

DA

R

Aα

코리올리 성분을 포함하고 있는 가속도 문제를 풀 때, 벡터들을 빼주는 것이 필요하며, 이를중의하여 검토하여야 한다. 를 포함하는 반대편 공식은 사용될 수 없다.왜냐하면 와 가 추가적인(제3의) 미지수가 되기 때문이다.

2/4AA

n

A 2/4Aρ

2442422

3333

상대 각가속도 (Apparent angular acceratlation): 2 개의 강체가 서로 다른 각가속도로 회전할 때, 그들 사이의 벡터차.

2/323232/3 or αααααα +=−=

4.6 Apparent Angular Acceleration

Kinematics of MachineryKinematics of Machinery 3434

예제 4.7

그림과 같은 위치에서 요동하는 링크 3인 평면 종동절과 직접 접촉하는 링크 2인원형캠의 각속도가 이고, 각가속도 이다. 이 순간의 종동절 링크 3의 각가속도를 구하라. (AB=3in)

cwrad/s102 =ω ccwrad/s252

2 =α

tncAAAAA +++=

예제 4.7

t

AB

n

ABAB 222AAAA ++=

222

2 in/s300)in3()rad/s10(22 === ABn

AB RA ω22

2 in/s75)in3)(rad/s25(22 === ABt

AB RA α


속도 다각형

t

C

n

C

c

CCCC 3/3/ 223232AAAAA +++=

가속도 다각형

점 C2가 링크 3상에 그리는 경로의곡률반지름을 알 수 없음 � ?nC 3/2A

�경로의 곡률을 알고 있는 다른한 쌍의 일치점 B를 이용

3535

예제 4.7

가상의 (확장된) 링크 3에서 점 B2 가 그리는 경로를 고려�경로는 표면으로부터 일정 거리에 위치하고 직선임.

t

B

n

B

c

BBBB 3/3/ 223232AAAAA +++=

0)in/s50( 2

2

3/

3/2

2=

∞==

ρBn

B

VA

2

3/3 in/s0001)in/s50)(rad/s10(22 22 === Bc

AB VA ω

(B3 은 B2 와 일치하는 점이나, 링크 3에 고정)

)in/s50( 2/2 =CBVQ


B2의 가속도 : t

DB

n

DBDB 333AAAA ++=

t

DB

n

DB

t

B

c

BBB 332322 3/AAAAA +=−−

√√ √√ ?√ √√ ?√

222

/in350in58.3

)/in4.35(

3

3

3s

s

R

VA

DB

DBn

DB ===

사상점 B3 을 구하면, 사상점 C3 은 모두 링크 3상에 있는 가속도 사상 ΔDB3C3 를구성함으로써 쉽게 계산.

링크 3의 각가속도 cwrad/s262in58.3

in/s938 22

3

3

3 ===DB

t

DB

R

Aα

3636

원판의 중심점의 가속도 가 주어지면 � 극점 OA 를 선택하고 속도 다각형을 표시CA

tnc +++=

4.7 Direct Contact and Rolling Contact


t

P

n

P

c

PPPP 2/2/ 332323AAAAA +++=상대 가속도식 :

(구름 접촉 속도 조건 )

: 항상 구름 접촉점에서 평면에 대해 수직방향.

02/3 =PV0and02

2

2/

2/2/3

3323===×=

ρPn

PP

c

PP

VAVωA

접선성분이라고 하는 데 혼동할 수 있으므로, 를 새로운 위첨자를 사용하여 구름 접촉 가속도 로 정의rP 2/2A

r

PPPP 2323AAA +=상대 가속도식 :

r

P 2/2A

t

P 2/2A

3737

예제 4.7

그림과 같이 원형 롤러 4가 미끄럼 없이 요동 종동절 3위에 구름접촉하고 있다.링크 2의 각속도가 이고, 각가속도 이다. 이 순간의 롤러와 종동절 링크 3의 각가속도를 구하라. (AB=3in)

속도 다각형

cwrad/s102 =ω ccwrad/s252

2 =α

r

C

t

DC

n

DC

t

BC

n

BC

t

AB

n

ABC

3/33333

444422224

AAA

AAAAA

++=

+++=

예제 4.8

√√ √√ √√ ?√

√√ ?√ ?√

미지수가 3개 �계산 불가 � C3 와 B 점 이용


t

BC

n

BCBC 444444AAAA ++=

가속도 다각형

미지수가 3개 �계산 불가 � C3 와 B 점 이용

222

/in146in50.1

)/in8.14(43

44s

s

R

VA

CB

BCn

BC ===

구름접촉식: rCCC 3/434AAA +=

연립하면

cwrad/s262 23 =α

ccwrad/s271in50.1

in/s406 22

444 ===

CB

t

BC

R

Aα

3838

두 점의 위치 일치하는 경우 일치하지 않는 경우동일한 강체에 자명한 경우: 가속도차:있는 경우

2단계 사용

QP AA =t

PQ

n

PQQP AAAA ++=)( PQ

n

PQ RωωA ××=

PQ

t

PQ RαA ×=

동일한 강체에 상대 가속도: 일반적인 경우:있는 경우2 t

jP

n

jP

c

PPPP // AAAAA +++=

4.8 Systematic Strategy for Acceleration Analysis


구름 접촉 가속도

2단계 사용

(경로 는 기지값)jPjPPPPP iijiji //

AAAAA +++=

jPj

c

PP iji /2 VωA ×=

jiP /

njPn

jPi

i

Vû

2

/

/ ρ−=A

tt

jPdt

sdi

û2

2

/ =A

( 은 접촉점에서 표면에 법선)

r

jPPP iji /AAA +=

r

jPiA /

3939

슬라이더의 가속도

+−

++−=

φθ

θαφθ

φθ

θωcos2

2sinsin

cos4

2sin

cos

2coscos

33

232

l

rr

l

r

l

rrx&&

2

r

4.9 Analytic Methods

φθ coscos lrx +=

−+−=

θ

θθω

222 sin2

sinsin

rl

rrx&슬라이더의 속도

슬라이더의 변위 φθ sinsin lr =


이 작은 경우 (근사표현)

2

sin1cos where

−= θφl

r

l

r1cos ≈φ

+−

+−= θθαθθω 2sin2

sin2coscos2

l

rr

l

rrx&&

4040

위치해석: 복소 표현 004)

2(

13232 =−−+

−j

jjj

ererererπ

θθ

0coscos 43322 =−+ rrr θθ0sinsin 13322 =++ rrr θθ

2321 ,,,given For θrrr

4.10 Complex Algebra Methods04132 =−−+ rrrr루프 폐쇄 방정식

스칼라 표현


2321 ,,,given For θrrr

+= −

3

2211

3

sinsin

r

rr θθ

004332232 =−+ jjj erejrejr &θθ ωω

33224 coscos θθ rrr +=

속도 해석:

2

33

223

cos

cosω

θθ

ωr

r−=

3332224 sinsin ωθωθ rrr −−=&

4141

33

2

333222

2

2223

cos

sincossin

θωθαθωθ

αr

rrr +−−=

가속도 해석:

4.10 Complex Algebra Methods


입력 각속도가 일정한 경우

333

2

333222

2

2224 sincossincos αθωθαθωθ rrrrr −−−−=&&

)0( 2 =α

33

2

333

2

2223

cos

sinsin

θωθωθ

αr

rr +−=

2

333333

2

2224 cossincos ωθαθωθ rrrr −−−−=&&

4242


04321 =−++ rrrr루프 폐쇄 방정식:

04321 4321 =−++θθθθ jjjj

erererer


0432 443322 =−+θθθ θθθ jjj ejrejrejr &&&속도해석:

0coscoscos 444433222 =−+ θωθωθω rrr

0sinsinsin 444433222 =−+ θωθθθω rrr

실수항과 허수항으로 분리

( )

에 대해 풀면2

344

32242

343

4223

)(sin

)(sin,

)(sin

)(sinω

θθθθ

ωωθθθθ

ω−−

=−−

=r

r

r

r

443322 ,, θωθωθω &&& ===

2ω

4343


루프 폐쇄 방정식:

0432 443322 =−+θθθ θθθ jjj ejrejrejr &&&

04321 4321 =−++θθθθ jjjj

erererer

속도해석:

가속도해석:

0)()()( 4433222

4444

2

3333

2

2222 =−−−+−θθθθθθ ωαωαωα jjjjjj erjererjererjer

0cossincossincossin 42

444443

2

333332

2

22222 =++−−−− θωθαθωθαθωθα rrrrrr

0sincossincossincos222 =+−−+− θωθαθωθαθωθα rrrrrr


)sin(

)(cos)(cos,

)sin(

)(cos)(cos

344

2

33

2

4434

2

23224

343

2

44

2

3433

2

24223 θθ

ωωθθωθθα

θθωωθθωθθ

α−

−−+−=

−−−+−

=r

rrr

r

rrr

입력 각속도가 일정한 경우 )0( 2 =α

0sincossincossincos 42

444443

2

333332

2

22222 =+−−+− θωθαθωθαθωθα rrrrrr

4444

점 S의 가속도

)]sin()[cos(

)]cos()sin([

)]cos()sin([

)]sin()[cos(

2222

2

2

22222

)(2

2

)(

2

222222

)(

2222

)(

2222

22

22

δθδθω

δθδθα

ωα

δθδθωω

δθδθ

δθδθ

δθ

δθ

+++−

+++−=

−=

+++−==

+++==

++

+

+

js

js

esejs

jsjse

jsse

jj

S

j

S

j

S

A

V

R

링크 장치상의 임의 점의 가속도



점 U의 가속도

)]sin()[cos(

)]cos()sin([

)]cos()sin([

)]sin()[cos(

4444

2

4

44444

)(2

4

)(

4

444444

)(

4444

)(

4444

44

44

δθδθω

δθδθα

ωα

δθδθωω

δθδθ

δθδθ

δθ

δθ

+++−

+++−=

−=

+++−==

+++==

++

+

+

ju

ju

eueju

jujue

juue

jj

U

j

U

j

U

A

V

R

4545

점 P의 가속도

jj

PA

PAAP

j

PA

PAAP

j

PA

jp

epejp

jpjpe

jppe

A

VVV

V

RRR

R

+++−=

−=

+=

+++−==

+=

+++==

++

+

+

)]cos()sin([

)]cos()sin([

)]sin()[cos(

33333

)(2

3

)(

3

333333

)(

3333

)(

3333

33

33

δθδθα

ωα

δθδθωω

δθδθ

δθδθ

δθ

δθ



PAAP

jp

jp

AAA +=

+++−

+++−=

)]sin()[cos(

)]cos()sin([

3333

2

3

33333

δθδθω

δθδθα

위치와 속도가 정의되어 있다면 임의의 링크위의 어떠한 점에도적용 가능

4646

발생때변할따라시간에거리가사이의점다른한점과물체상의회전하는 •

코리올리가속도


sliptrans ppp

jj

p

j

p

epjep

pe

VVV

V

R

+=

+=

=

22

2

2

θθ

θ

ω &

발생

슬라이더하는미끄럼운동을따라서링크를회전하는

발생때변할따라시간에거리가사이의점다른한점과물체상의회전하는

onacceleratiCoriolis

→

→

•

slipcoriolisnormalgentail ppppp

jjjj

p

jjjjj

p

epjepepjep

epjepjepejpjep

AAAAA

A

A

+++=

++−=

++++=

tan

2222

22222

2

2

22

22

22

22

2

)()(

θθθθ

θθθθθ

ωωα

ωωωα

&&&

&&&&

수직벡터에방향

크기


2 2

p

jje

p

R→=

=θ

ω&

4747

코리올리 가속도 - 예



나타남관찰할때회전좌표계에서는

않음나타나지절대좌표계에서는

•

•

함휘게동쪽으로

움직일때북쪽으로남쪽에서경로태풍의

회전방향시계남반구

회전방향반시계북반구

태풍

:

: -

: -

•

•

4848

코리올리 가속도 – 전이 슬라이더-크랭크벡터루프식: 01432 =−−− RRRR

속도해석:

jjjjj

jjjj

ejcecjebjejbebj

ebjebejaeaj

=+−++−

+−+44333

3322

0)()(

)()(

4

2

4

2

33

2

3

2

32

2

2

2

θθθθθ

θθθθ

αωωαω

ωαω&

&&&

가속도해석:

01432 =−−− θθθθ jjjj decebeae

04332 432 =−−−θθθθ ωωω jjjj ejcejbebeja &



normalgential

slipcoriolisnormalgential

normalgential

BBB

ABABABABAB

AAA

BAAB

ABBA

BABA

jj

jjjjjj

ecjec

ebjebebjebeajea

ejcecjebjejbebj

AAA

AAAAA

AAA

AAA

AA

AAA

+=

+++=

+=

+=

−=

=−−

=−−

++−−−

=+−++−

tan

tan

tan

44

333322

,

0

0)(

)2()(

0)()(

2

44

3

2

33

2

22

44333

여기서

θθ

θθθθθθ

ωα

ωωαωα

αωωαω&&&

4949

33

33

tan

44

tan

22

tan

3

2

33

2

44

2

22

2

,

θθ

θθ

θθ

θθ

ω

ωα

ωα

ωα

j

AB

j

AB

j

AB

j

AB

j

B

j

B

j

A

j

A

ebjeb

ebjeb

ecjec

eajea

slipcoriolis

normalgential

normalgential

normalgential

&&& ==

−==

−==

−==

AA

AA

AA

AA

여기서

•구속조건



4343

43

,

,

ααωω

γθθ

==

+=

미분하면대해시간에양변을

Euler 변환:

0)sin(cos)sin(cos

)sin(cos)sin(cos2

)sin(cos)sin(cos

)sin(cos)sin(cos

44

2

4444

33333

33

2

3333

22

2

2222

=+++−

+−+−

+++−

+−+

θθωθθα

θθθθω

θθωθθα

θθωθθα

jcjjc

jbjjb

jbjjb

jajja

&&&

0)sin(cos)cossin(

)sin(cos)cossin(2

)sin(cos)cossin(

)sin(cos)cossin(

44

2

4444

33333

33

2

3333

22

2

2222

=+++−−

+−+−−

+++−−

+−+−

θθωθθα

θθθθω

θθωθθα

θθωθθα

jcjc

jbjb

jbjb

jaja

&&&

5050

0cossincossin2

cossincossin

4

2

444333

3

2

3342

2

222

=++−+

++−−

θωθαθθω

θωθαθωθα

ccbb

bbaa

&&&

실수부:

허수부:

0sincossincos2

sincossincos

4

2

444333

3

2

3342

2

222

=+−−−

+−−

θωθαθθω

θωθαθωθα

ccbb

bbaa

&&&

)cos(

2)sin()]sin()cos([

43

334

2

423

2

22324 θθ

ωθθωθθωθθαα

−+−−+−+−

=cb

bca &



)cos(

)]cos(2[)sin(2

)]sin()sin([)]cos()cos([

43

34

222

4344

243222423

2

2

θθθθωθθω

θθθθαθθθθω

++

−++−−+

−−−+−+−

=cb

bccbcb

cbacba

b&

&&

)sin(cos)cossin(

)sin(cos)cossin(2

)sin(cos)cossin(

)sin(cos)cossin(

44

2

4444

33333

33

2

3333

22

2

2222

tan

tan

tan

θθωθθα

θθθθω

θθωθθα

θθωθθα

jcjc

jbjb

jbjb

jaja

normalgential

slipcoriolisnormalgential

normalgential

BBB

ABABABABBA

AAA

+++−−=+=

+−+−−

+++−−=+++=

+−+−=+=

AAA

AAAAA

AAA

&&&

5151

미분

가정:

평면운동 기구에서 모든 각속도는 방향

0443322 =×−×+× rωrωrω

0 known, 22 =αω

0)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ( 444333222 =×−×+× rkrkrk ωrωrr ωk̂

4.11 The Chase Solutions

04321 =−++ rrrr루프 폐쇄 방정식:


를 내적

444333222

4r̂ )0ˆ)ˆˆ(( 4444 =⋅× rrkωrQ0ˆ)ˆˆ(ˆ)ˆˆ( 43334222 =⋅×+⋅× rrkrrk ωrr ω

433

42223

ˆ)ˆˆ(

ˆ)ˆˆ(

rrk

rrk

⋅×

⋅×−=

r

rω

ω

334

32224

ˆ)ˆˆ(

ˆ)ˆˆ(

rrk

rrk

⋅×

⋅×=

r

rω

ω

를 내적3̂r

5252

가속도 관계 (입력 각가속도 )

미분

평면운동이므로

02 =α0)()()( 4444433333222 =×−××−×+××+×× rrωωrrωωrωω αα

0)ˆˆ(ˆ)ˆˆ(ˆˆ 44442

443333

2

332

2

22 =×−+×+−− rkrrkrr αωαωω rrrrr

)ˆˆ,0ˆ)ˆˆ(( 233332

333333 ωα rωrr =⋅=⋅× rrrrkQ0ˆ)ˆˆ(ˆˆˆˆ 344334

2

44

2

3332

2

22 =⋅×−⋅+−⋅− rrkrrrr αωωω rrrr

4.11 The Chase Solutions

를 내적3̂r


)ˆˆ,0ˆ)ˆˆ(( 3333333333 ωα rωrr =⋅=⋅× rrrrkQ

344

34

2

44

2

3332

2

224

ˆ)ˆˆ(

ˆˆˆˆ

rrk

rrrr

⋅×−

⋅−+⋅=

r

rrr ωωωα

433

2

4443

2

3342

2

223

ˆ)ˆˆ(

ˆˆˆˆ

rrk

rrrr

⋅×−

−⋅+⋅=

r

rrr ωωωα

를 내적4r̂

5353

4.12 The Method of Kinematic Coefficients

04321 =−++ rrrr스칼라 표현

입력 위치변수인 에 관하여 미분

0coscoscoscos 44332211 =−++ θθθθ rrrr0sinsinsinsin 44332211 =−++ θθθθ rrrr

2θ

루프 폐쇄 방정식:4 bar linkage mechanism

sinsinsin θθθθθ rrr =′+′− 43 and where θθθθ dd =′=′


22444

2'

444333

2'

333 cossincossincos θθθθθθθθθ rrrrr =′′++′′−−

22444

2'

444333

2'

333 sincossincossin θθθθθθθθθ rrrrr =′′−+′′+−2

2

4

2

42

2

3

2

3 and θθ

θθθ

θd

d

d

d=′′=′′

22444333 sinsinsin θθθθθ rrr =′+′−

22444331 coscoscos θθθθθ rrr −=′−′ 24

4

2

33 and where θ

θθ

θθ

θd

d

d

d=′=′

1111차차차차 운동계수운동계수운동계수운동계수

입력 위치변수인 에 관하여 다시 미분2θ

2222차차차차 운동계수운동계수운동계수운동계수

)(sin

)(sinand

)(sin

)(sin

434

3224

433

4223 θθ

θθθ

θθθθ

θ−−−

=′−−−

=′r

r

r

r링크 3과 4의1차 운동계수

5454

링크 3과 4의 sincosand

sincos 32314241 θθθθθ

θ−−

=′′−−

=′′BBBB


=

−+

−+=

′′

′′

−

−

2

1

2'

444

2'

33322

2'

444

2'

33322

4

3

4433

4433:

sinsinsin

coscoscos

coscos

sinsin

B

B

rrr

rrr

rr

rr

θθθθθθθθθθ

θθ

θθθθ

(행렬식 (i) 인 경우,

(ii) 의 경우43 θθ =

)sin( 4343 θθ −= rr∆ °±= 18043 θθ� ∆=0)


링크 3과 4의각가속도

링크 3과 4의2차 운동계수 )sin(

sincosand

)sin(

sincos

434

32314

433

42413 θθ

θθθ

θθθθ

θ−

−−=′′

−−−

=′′r

BB

r

BB

24

2

24423

2

233 and αθωθααθωθα ′+′′=′+′′=

5555

상관각도 의 변수 상관크기 의 변수

(운동계수 부호 는 (운동계수 부호 는

입력과 무관함) 입력과 무관함)

입력 ψθψθα &&& jjj ′+′′=2

jθ

jθ ′jr

jr ′′

iθψ 각=

ψ

θθ

d

d jj =′

ψψ &&&&& jji rrr ′+′′=2

ψd

drr

j

j =′2θ

θd j=′′

2rd

(무차원)

(무차원)

(무차원)



입력ψθψθα &&& jjj ′+′′=

2

ψ

θθ

d

d jj =′

ψψ &&&&& jjj rrr ′+′′=2

ψd

drr

j

j =′ir크기=ψ

(1/길이)

(길이)

(무차원)

(1/길이)

2ψ

θθ

d

d jj =′′

2

2

ψd

rdr

j

j =′′

2

2

ψ

θθ

d

d jj =′′ 2

2

ψd

rdr

j

j =′′

(무차원) (무차원)

5656

링크 3과 4의 2차 운동계수

rad/rad5625.04 +=′θrad/rad2718.03 +=′θ

예제 4.9

크랭크 2에 의해 반시계방향으로 ω2 = 900 rev/min ccw 의 일정한 각속도로구동된다. 커플러 링크 및 출력 링크의 각가속도와 점 E 및 F의절대가속도를 구하라.



링크 3과 4의 각가속도


cwrad/s8021andccwrad/s116 242

3 == αα

2

4 rad/rad2030.0−=′′θ

2

3 rad/rad0131.0+=′′θ

피벗 A에 대한 점 E의 위치

°=′′′′= − 80.21)01/4(tan where 1φ

EBE rrr += 2)(coscos 322 φθθ −+= EBE rrx

)(sinsin 322 φθθ −+= EBE rry5757

22 in/rad8310.3andin/rad7206.1 −=′′+=′′ EE yx

33

2'

3322 )sin()cos(cos θφθθφθθ ′′−−−−−=′′ EBEBE rrrx

33

2'

3322 )cos()sin(sin θφθθφθθ ′′−−−−−=′′ EBEBE rrry

예제 4.8

점 E의 1차 운동계수

점 E의 속도:

in/rad4191.3)(sinsin 3322 −=′−−−=′ θφθθ EBE rrx

in/rad9269.0)(coscos 3322 =′−+=′ θφθθ EBE rry

ft/sˆ28.7ˆ84.26)ˆˆ( 2 jijiV +−=′+′= ωEEE yx

점 E의 2차 운동계수


in/rad8310.3andin/rad7206.1 −=′′+=′′ EE yx

2

2

2

22

2

2

ft/sˆ24.4482ˆ32.892

ˆ)(ˆ)(

ji

jiA

−=

′+′′+′+′′= αωαω EEEEE yyxx점 E 의 가속도:

)ft/s6062( 2=EA

점 F 의 1차, 2차 운동계수22 in/rad8310.3andin/rad7206.1 −=′′+=′′ EE yx

2

2

2

22

2

2

ft/sˆ8871ˆ433

ˆ)(ˆ)(

ji

jiA

−−=

′+′′+′+′′= αωαω FFFFF yyxx점 F 의 가속도

in/rad9926.0andin/rad1419.3 +=′−=′ EE yx

)ft/s9361( 2=FA5858

예제 4.9

풀이루프폐쇄방정식미분

4333222 cossinsin θθθθθ =′−′− rr4333122 sincoscos θθθθθ =′+′ rr

1차 운동계수 rad/m77.19−=′θ rad/m436.5and =′θ

예제 4.10

편심 슬라이더-크랭크 기구가 슬라이더 4에의해 현재 상태에서 왼쪽으로로 구동되고 있다. 링크 2와 3의 각가속도와점 D의 순간가속도를 각각 구하라.

m/s10=CV


링크2와 3의2차 운동계수:

0sincossincos 3332'

333222

2'

222 =′′−−′′−− θθθθθθθθ rrrr0cossincossin 333

2'

333222

2'

222 =′′+−′′+− θθθθθθθθ rrrr

=′′=′′

2

4

3

2

32

4

2

2

2 anddr

d

dr

d θθ

θθ

1차 운동계수 rad/m77.192 −=′θ rad/m436.5and 3 =′θ

2

3

2

2 rad/m73.162andrad/m25.246 +=′′−=′′ θθ

43

2

43342

2

422 , rrrr &&&&&& θθαθθα ′+′′=′+′′=링크 3과 4의각가속도:

다시 미분

(입력속도 대입) ccwrad/s273.16,cwrad/s625.242

3

2

2 +=−= ααm/s104 −=r&5959

점 D 의 2차 운동계수

예제 4.9

22 m/m3.12andm/m52.6 −=′′+=′′ DD yx

θµθθµθθθθθ ′′−−−−′′−−=′′ )sin()cos(sincos 32'

33222

2'

222 DBDBD rrrrx

θµθθµθθθθθ ′′−+−−′′+−=′′ )cos()sin(cossin 32'

33222

2'

222 DBDBD rrrry

피벗 A에 대한 점 D의 위치 DBD rrr += 2)(coscos 322 βθθ −+= DBD rrx)(sinsin 322 βθθ −+= DBD rry

°−== − 01.31)80/50(tan where 1β

2번 미분


jiA ˆ)(ˆ)( 42

44

2

4 ryryrxrx DDDDD &&&&&& ′+′′+′+′′=

2m/sˆ2311ˆ652 jiA −=D

점 D 의 가속도:

점 D 의 1차 운동계수(예제 3.7) m/m4071.0andm/m121.1 −=′+=′ DD yx

(점 D 의 가속도 크기 )2m/s3911=DA

4)ˆˆ( ryx DDD &jiV ′+′=점 D 의 속도:

6060

접촉점 I 점 부근에서 두 순간중심 궤적의 곡률과 일치하는 원으로서의 순간중심을 고려.

정지 순간중심 궤적에 대해

이동 순간중심 궤적의 각속도가 이면,

점 C 의 순간속도 :

ω

CIC RV ω=

공액점이 A’ 인 A 의 속도 :AIA RV ω=

운동이 진행됨에 따라 2 개의 순간중심

4.14 The Euler-Savary Equation


점 A의 궤적의 곡률중심인 점 A’ 를 구하는 작도 � Hartman 작도

•순간중심 속도 v 의 성분 u 는 에 평행하고 에 수직.

•선분 AP 의 속도 와 u 의 끝점을 연결하는 선이 만나는 점이 공액점 A’ 의 위치

� A 궤적의 곡률반지름

운동이 진행됨에 따라 2 개의 순간중심

궤적의 접점인 순간중심 I 의 위치는

양 순간중심 궤적을 따라 속도 v 로 이동

C

CC

CI VR

Rv

′

′=

AV

AV

AIR

AA ′=Rρ6161

속도 u 의 크기

(ψ 는 선 에 대한 순간중심 궤적 접선으로부터 각도)

로 나누고, 역수를 취하면

φsinvu =

AIR

A

AA

AI VR

Ru

′

′=

ωψωAA

APAP

CC

CPCP

R

RR

R

RRu

′

′

′

′ == sin

ψω sinRR CCAA ωψ == ′′ sin

앞의식에서


vRRRR CPCPAAAPψ ==

′′

sin

PCCPCCPAAPAA ′′′′′ −=−= RRRRRR and

−=

−

′′ PCCPPAAP RRRR

11sin

11ψ

[ 오일러-세베리 공식 (Euler-Savary equation) ]

두 순간중심 궤적 와 의 곡률반지름을 알면, 순간중심 I 에 상대적인 2개의공액점 A 와 A’ 의 위치를 결정

CIR ICR ′

6262

CPR PCR ′위의 오일러-세베리 공식의 형태에서는 순간중심 와 의 순간중심 궤적의곡률반지름을 알아야 하는 단점

점I 를 고려(이 점은 순간중심 궤적법선상에 위치)

ICCIJI RRR ′−=

111

점 J 의 경로에 대한 곡률반지름은무한대이며, J 의 궤적은 J 에 변곡점


무한대이며, J 의 궤적은 J 에 변곡점� 점 J 를 변곡 극점 (inflection pole)

주어진 순간에 무한대의 곡률반지름을 갖는다른 점 JA가 존재하는가? ∞='AAR

ψsinJIIJ RR A =지름이 인 변곡원(inflection circle)오일러-세베리 공식

JAR

PIPAAP ARRR

111−=

′ AAI

APAA

R

RR

2

== ′ρ

6363

예제 4.10

슬라이더-크랭크 링크 기구의 커플러운동에 대한 변곡원을 찾아내고, 커플러점C 의 경로의 순간 곡률반지름을 구하라.

풀이)

in2,in64.2 −== ′AAAI RR

in48.300.2

64.2 22−=

−== AIAJ

R

RR

A

예제 4.12


00.2−′AARA

in28.6=JIR

in75.1,in1.3 −== CICI RR선 를 작도CIR

in49.575.1

1.3 22−=

−=== ′

CCJ

CICC

R

RRρ

6464

하트만 작도법 : 움직이는 점에 대한 공액점과 곡률반지름을 찾아내는 방법.고정 순간중심 궤적과 이동 중간중심 궤적의 곡률에 대한 정보 필요.

보빌리어 작도법 : 순간중심 궤적 곡률에 대한 정보 없이주어진 점의 변곡원과 공액을 얻는 도식적 방법.

보빌리어 작도법

점 I 를 통과하는 직선 밖의 두 점 선택 (A, B)오일러-세베리 공식으로 공액점을 구함 (A’, B’)

선 AB 와 A’B’ 의 교차점 : Q

4.14 The Bobilier Constructions


보빌리어 정리(Bobillier’s theorem)

선 AB 와 AB 의 교차점 : Q점 I 와 Q 를 통과하는 직선 : 동일 직선축

동일 직선축과 동일 직선축을 정의하기 위하여사용된 2개의 선 사이에는 특별한 관계가 있다;

이 관계를 보빌리어 정리라고 표현.

동일 직선축으로부터 처음 직선까지의 각은 두번째직선으로 부터 순간중심 궤적까지의 각과 같다.

6565

두 쌍의 공액점이 주어질 경우, 변곡원을 구하기 위하여보빌리어 정리를 이용하는 법


(a) 속도의 순간중심인 I, 교차점 Q 결정 →동일 직선축 선 IQ 작도.(b) 선 A’B’ 에 평행하고 점 I 을 통과하는 직선을 작도� 선 AB 와 직선의 교점 : W

W 를 통과하는 동일 직선축에 평행한 선을 작도. 교점 JA , JB : 우리가 찾는 점.(c) 세 점 JA , JB , I 를 통과하는 원을 작도

[JA 에서 AI 에 수직인 선과 JB 에서 BI 에 수직인 선의 교점 J (변곡점)을 찾음] � 변곡원과 순간중심 궤적 법선 N , 순간중심 궤적 접선 T 작도

6666

1. 점 C 를 순간중심 I 와 연결하고변곡원과 교차하는 점 JC 를 위치2. 동일 직선축은 선 JCJ 에 평행하고, I 를통과하는 선.3. Q 는 J 와 C 를 통과하는 선이 동일직선축과 교차하는 점에 위치.

변곡원이 주어질 때 다른 임의의 점 C 의 공액점을 구하기 위하여보빌리어의 정리를 이용하는 방법.


직선축과 교차하는 점에 위치.4. Q 와 무한대에 있는 I’ ’를 통과하는 선은C 에 대한 공액점 C ‘에서 선 IC 와 교차.� 공액점 C ‘ 결정

6767

예제 4.11

보빌리어의 정리를 이용하여 4절 링크 기구의 점 C 의 커플러 곡선에 대한곡률중심을 구하라.

예제 4.13


가속도의 순간중심 / 가속도의 극점 : 2 개의 강체에서 절대가속도가 일치하는 한쌍의 순간적인 위치 (속도의 순간중심과 일치하지 않음)

각속도 , 각가속도 를 알고 있는, 이동 평면상의 점 A의 가속도 AA

ω α

가속도차 방정식 :

0

2

2

AAA

AAA

ΓΓ

ΓΓΓ

×−=→

=×+−=

RαRA

RαRAA

ω

ω

4.15 The Instant Center of Acceleration


가 에 대하여 수직� 각각 의 수직성분과 수평 성분

)ˆˆ(ˆ2 AAAA

AAA

αRR ΓΓΓΓ

ΓΓ

×−=

×−=→

RkR

RαRA

ω

ω

AΓR̂ AΓ×Rk ˆˆ AA

2

1tanωα

γ −=224cos

ωγ

αωAA

A

AAR =

+=Γ

AΓR 의 크기와 방향

6969

순간적으로 고려되는 점 P 의궤적에 대한 곡률반지름

점 P 의 가속도에 대한 법선성분

점 P 의 궤적에 대한 단위법선 벡터

n

P

P

A

V 2=ρ

nû⋅−= Pn

PA A

ji ˆˆû n

′′−

+

′′

−=P

P

P

P

r

x

r

y

( ) ( )jiA ˆˆ 22 ψψψψ &&&&&& PPPPP yyxx ′+′′+′+′′= ′′′−′′′

4.17 Radius of Curvature of a Pt Trajectory using Kinematic Coefficients

점 P 의 가속도


� 대입하면 2ψ&

′

′′′−′′′=

P

PPPPn

Pr

xyyxA

곡률반지름PPPP

P

xyyx

r

′′′−′′′=

3'

ρ

점의 궤적의 곡률중심 좌표 :

′′

+=

′′

−=P

PPC

P

PPC

r

xyy

r

yxx ρρ and

점 P 의 속도ψ&PP rV ′=

7070

� 가속도에 대한 인간의 내성� 인간은 속도에는 둔감하고 가속도에는 아주 민감

� 속도 센서 : 눈

� 세반고리관 : 가속도계

� 가속도가 인간에게 미치는 영향

1. 뇌에 피의 공급이 부족하게 되면 일시적 환각 또는 의식 상실 (블랙 아웃)

2. 반대로 지나치면 적시현상 발생

3. 오래 지속되면 사망

가속도 및 저크 (Jerk)

참고


3. 오래 지속되면 사망

� 인간의 가속도에 대한 내성

1. 군대나 NASA에서 연구

2. 결과 그림 참고

designcam

forcechangingrapidly

onacceleratichangingrapidly

dt

daJjerklinear

dt

dαφjerkangular

미분량가속도의

ShockPulse,Jerk,

o

o

o

o

o

→

=

=

•

7171

가속도가 인간에게 미치는 영향

참고


참고


345])4.2 angular acceleration kinematics of machinery (각가셏도 는 나...

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