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추상대수학 3 장 2013

원광대 수학과 채갑병 1

쉽게 말하면, 원소들에 붙여진 이름만 다르고 이들이 같은 구

조를 가지면 이 두 군을 동형(isomorphic)이라 한다. 유한군의

경우에, 이것은 하나의 군의 연산표가 다른 군의 연산표로부터

적당히 원들의 이름을 다시 붙여줌으로써 얻어질 수 있다.

이와 같이 다시 이름을 붙이는 방법은 전단사함수와 논리적으

로 같다. 그러므로 우리는 다음의 공식적인 정의를 갖는다.

3.4 동형사상추상대수학 3 장 2013


정의 3.4.1 와 는 각각 ⊙, ∗로 표시되는 군 연산을 갖는 군이라 하자. 적

당한 함수 →가 존재하여

( i) 는 단사,

(ii) 는 전사,

(iii) 모든 ∈에 대하여 ⊙ ∗를 만족하면

가 와 동형이라고 한다. 이때, 기호 ≅로 쓰고, 함수 를

동형사상(isomorphism)이라 한다. 조건 (iii)을 만족하지만 단사 또

는 전사일 필요가 없는 함수를 준동형사상(homorphism)이라 한

다.



동형사상의 정의는 대칭이다. →가 동형사상이면, 는 집합들

의 전단사함수이므로, 역함수 →가 존재하여 ∘ 이고

∘ 이다. 임의의 ∈에 대하여 ∗ ⊙임

을 보이면 가 역시 동형사상이다. 따라서 ≅ ⇔ ≅이

다.

가 덧셈군이고 가 곱셈군 일 때, 정의 3.4.1의 조건 (iii)

은 로 쓴다. 가 곱셈군이고 가 덧셈군 일

때, 조건 (iii)은 가 된다.



보기 3.4.1 의 단원들의 곱셈군 은 덧셈군 ×와

동형이다. 이를 증명하라.

[증명] → ×를 다음과 같이 정의한다:

, , , .

그러면 분명히 는 전단사이다. 임의의 ∈에 대하여

를 보여주는 것은 ×에 대한 연산표가

단순히 각 ∈를 ∈ ×로 바꾸어줌으로써 얻어질

수 있음을 보여주는 것과 논리적으로 같다. 이것이 성립함을 확

인하기 위하여 아래의 두 연산표를 사용하라:



×

⋅

따라서 ≅ × ■



보기 3.4.2 실수들의 덧셈군 은 양의 실수들의 곱셈군 와 동형임을 증

명하라.

[증명] →를 로 정의하자. 임의의

∈에 대하여 라 가정하자. 그러면

그래서 log log 그러므로 는 단사이다. 임의

로 ∈를 택하자. 그러면 log는 잘 정의되는 실수이고

log 그래서 는 전사이다. 더욱이,



그러므로 는 동형사상이다. 따라서 ≅ ■



(삭제)보기 3.4.3 모든 환들의 동형사상 →는 덧셈아벨군의 동형사상이다.

이를 증명하라.

[증명] →는 임의의 환들의 동형사상이라 하자.

그러면 는 덧셈군의 동형사상이다. 이 명제의 역은 거짓일 수

있다. 보기 3.4.4를 보라. ■

보기 3.4.3는 짝수 정수들의 덧셈군이라 하자. 는 정수와 군동형임을

보여라.



[증명] →는 로 정의되는 함수라 하자.

여러분은 쉽사리 가 전단사함수임을 확인할 수 있다. 더욱이,

임의의 ∈에 대하여,

따라서 는 덧셈군들의 동형사상이다. ■



보기 3.4.4 군 와 은 모두 위수 을 갖지만, 이들은 동형이 아니다. 실

로, (과 같은) 어떠한 아벨군도 (와 같은) 비아벨군과 동형

이 될 수 없다.

보기 3.4.5 동형사상 →는 군 의 자기동형사상

(automorphism)이라 한다. 의 자기동형사상을 만드는 한 가

지 방법이 있다. 는 의 고정된 원이고 →는

로 정의하자. 그러면, 임의의 ∈에 대하여,



그래서 는 준동형사상이다. 임의로 ∈를 택하고

라 하자. 그러면 분명히 ∈이고

그래서 는 전사이다. 마지막으로 임의의 ∈에 대하여

라 가정하자. 그러면 그래서, 정리

3.2.1에 의하여, 그러므로 는 단사이다. 따라서 는 동

형사상이다.

이와 같은 동형사상을 가 만드는 의 내부자기동형사상(the

inner automorphism of induced by ). ■



다음의 결과는 동형사상에 이르기까지 모든 순환군을 완전히

특성화한다.

정리 3.4.2 모든 무한 순환군은 와 동형이다. 위수 인 모든 유한 순환군은

과 동형이다.

증명 ⟨⟩는 임의의 무한순환군이고 함수 →를

로 정의한다. 그러면, 순환군의 정의에 의하여, 는 전

사이고 정리 3.3.5에 의하여, 는 단사다. 이제 임의로 ∈



를 택하자. 그러면

그래서 는 준동형사상이다. 그러므로 는 동형사상이다. 따라

서 ≅

이제 ⟨⟩이고 는 위수 을 갖는다고 하자. 그러면,

정리 3.3.5에 의하여,

⋯

한편, ⋯ 그래서 로 주어지는 함

수 →는 전단사함수다. 임의로 ∈을 택하고

라 하자. 그러면 ≡(mod)이고 ≤ ≤ 정



리 3.2.3에 의하여, ∈이 된다.

그래서

그러므로 는 동형사상이다. 따라서 ≅이다. ■



이 정리는 예로써, 의 (위수 인 군) 순환부분군 ⟨⟩은 덧

셈군 와 동형임을 우리에게 말해준다. 비슷하게, 영 아닌 실

수들의 곱셈군 ∗의 무한 순환부분군 ⟨⟩는 덧셈군 와 동

형이다.

함수 →의 상(image) 또는 치역(range),

∈ 적당한 ∈가 존재하여 이다는 의 부분집합임을 상기하라. 함수 는 에서 로의 전

사함수로 생각될 수 있다.



정리 3.4.3 와 는 각각 항등원 와 를 갖는 군이라 하자. →가

준동형사상이면,

(1) (2) 모든 ∈에 대하여 이다.

(3) ≤ . (4) 가 단사이면, ≅

증명

(1) 는 준동형사상이므로,

따라서, 정리 3.2.1에 의하여, 이다.



(2) 임의로 ∈를 택하자. 그러면

따라서, 정리 3.2.1에 의하여,

(3) (1)에 의하여, ∈ 그러면 ≠∅ ∈ 를

임의로 택하자. 그러면, 의 정의에 의하여,

적당한 ∈가 존재하여 와 이다.

그래서 이고 ∈이다.

그러므로 ∈ 이다. 더욱이 (2)에 의하여,

이고 ∈이다. 그래서 ∈ 이다.

따라서, 정리 3.3.2에 의하여, 는 의 부분군이다.



(4) 이 정리의 앞에서 주목한대로, 는 에서 로의 전사

함수로 생각될 수 있다. 는 단사이므로, → 는 동형

사상이다. 따라서 ≅ 이다. ■

군론은 치환과 치환들의 군에 대한 연구에서 시작한다. 군에

대한 추상적인 정의는 뒤에 왔고 치환들의 군의 개념보다 훨씬

더 일반적으로 나타날 수 있다. 사실상, 다음의 결과는 치환군

은(동형사상에 이르기까지) 유일한 군임을 말한다. 특히, 대칭군

≥ 의 부분군들은 (동형사상에 이르기까지) 모든 가능한

유한군들이다.



정리 3.4.4 케이레이 정리(Cayley’s Theorem)모든 군 는 치환군의 한 부분군과 동형이다.

집합 의 모든 치환들의 군 를 생각하자. 는 군 연

산으로 합성을 갖는 에서 서로의 모든 전단사 함수들로 이루

어짐을 상기하자. 이러한 함수들은 준동형사상들일 필요는 없

다.

이 정리를 증명하기 위하여, 우리는 와 동형이 되는 의

부분군을 구한다. 이렇게 하기 위하여, 군들의 단사 준동형사상

→를 만듦으로써, 정리 3.4.3에 의하여, 는 의

부분군 와 동형이다.



증명 임의로 ∈를 택하고 함수 →를 로

정의하다. 우리는 가 전단사함수임을 주장하고자 한다. 임의

로 ∈를 택하고 라 하자. 그러면

∈이고

그래서 는 전사다. 이제 임의의 ∈에 대하여

라 가정하자. 그러면 그래서, 정리 3.2.1에

이하여, 그러므로 는 단사다. 따라서 는 전단사다.

그래서 ∈ 이제 함수 → 를 로 정의한다. 임의로



∈를 택하자. 그러면 는 로 정의되

는 에서 로의 함수다. 한편, ∘ ∘ 는 다음과

같이 주어지는 에서 로의 함수다:

∘

그래서 ∘ 그러므로 는 군들의 준동형사상이

다. 마지막으로, 임의의 ∈에 대하여, 라 가정하

자. 그러면 모든 ∈에 대하여

이다. 특히, 일 때



이다. 그러므로 는 단사다. 따라서, 정리 3.4.3에 의하여,

≅ 이다. ■

따름 정리 3.4.5 위수 인 모든 유한군 는 대칭군 의 부분군과 동형이다.

증명 정리 3.4.4에 의하여, 의 부분군 가 존재하여

≅를 만족한다. 는 개 원의 집합이므로, 연습문제 18에

의하여, ≅이다. 그래서, 예제 3.4.7에 의하여 의 부분

군 가 존재하여 ≅이다. 따라서, 연습문제 7에 의하여

≅이다. ■



예제❙3.4.0 이라 하자. 와 동형인 대칭군 의 부분군을 찾아라.

[풀이] 이므로 는 의 한 부분군 와 동형이다. 정리

3.4.4의 증명을 따라가자. 는 위수가 3인

의 부분군이다. 먼저 함수 → 가 라고 정의하

자. 그러면



이다. 즉,

입력

이므로

이다. 따라서



→ 을 라 하면

이 되어 Im 가 되어

H Im 이다.

군 에서 치환들의 군으로의 준동형사상을 의 표현

(representation of )이라 하고 가 치환들의 군으로 표시된다



(To be represented by a group of permutation)고 말한다. 정

리 3.4.4의 증명에서 준동형사상 →를 의 왼쪽 정칙

표현(left regular represemtation of ) 이와 같은 표현들의 사

용에 의하여, 군론은 치환군들의 연구로 바뀔 수 있다. 이와 같

은 접근은 때때로 매우 편리하다. 왜냐면, 치환들은 쉽사리 눈

에 보이게 되는 구체적인 대상들이기 때문이다. 치환들의 계산

은 수월하다. 반면에 어떤 군에서는 계산이 언제나 수월하지는

않다. 어떤 상황에서 군 표현은 매우 효과적인 도구다.

한편, 치환에 의한 표현이 몇 가지 결점이 있다. 하나의 결점은,

주어진 군이 많은 방법으로 치환들의 군으로 표시될 수 있다



─ 정리 3.4.4의 준동형사상 →는 바로 이 가능성들 중

의 하나에 불과하다(다른 가능성에 대하여 3장의 연습문제 22

를 보라). 그리고 이러한 많은 표현들은 아주 효과가 없을 수

있다. 예로써, 따름정리 3.4.4에 따라서, 위수 인 모든 군은

의 부분군과 동형이지만, 는 위수 ≠을 갖

는다. 군에서 위수 인 부분군에 대한 유용한 정보를 결정하

기에는 크기가 아무래도 어려울 것 같다.

어떤 특별한 상황을 제외하고, 구체적인 치환 표현들 보다는

오히려(우리가 사용하여 왔던 것처럼) 추상적인 정의에 의하여

기본 군 이론에 대한 연구가 더 효과적일 것 같다. 추상적인



군들의 동형사상의 정의를 확인한다.

Tip

접근은 중요치 않은 특징들을 제거하고 기초를 이루는 구조에

집중하는 유리한 점이 있다. 긴 안목으로 보면, 추상적인 정의

는 보통 더 간단한 증명과 더 좋은 이해가 된다.

예제❙3.4.1 로 주어지는 함수 → 는 덧셈

군들의 동형사상인가?

[풀이] 임의로 ∈를 택하자. 그러면

그래서 는 준동형사상이다. 이제 임의로 ∈를 택하고



라 하자. 그

러면 ∈이고 그러므로 는 전사이다.

마지막으로 라 가정하자. 그러면 그래서 그러므로 는 단사이다. 따라서 는 동형사상이다.■

유제❙3.4.1 로 주어지는 함수 → 는 동형사상임을 보

여라.



기호 의 뜻을 확인한다.

Tip

예제❙3.4.2 군 의 원들을 열거하라.

[풀이]

∈이고

≠

따라서



ㆍ의 뜻을 확인한다.

ㆍ와 의 연산들을

Tip

유제❙3.4.2 각 군의 연산표를 만듦으로써 가 와 동형임을 보

여라.

예제❙3.4.3 는 덧셈군 와 동형임을 보여라.

[풀이] ∈

와 덧셈군 의 연산표는 각 아래와 같다.



ㆍ합성함수와 동형사상의 정의를 확인한다.

ㆍ두 함수가 전단사이면 합성함수 역시 전단사이다.

Tip

ㆍ 1 2 3 41 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1

+ 0 1 3 20 0 1 3 21 1 2 0 33 3 0 2 12 2 3 1 0

이제 함수 → 를 아래와 같이 정의한다.

그러면 는 전단사이고 준동형사상임을 알 수 있다.

따라서 ≅. ■

유제❙3.4.3 는 덧셈군 과 동형인가?



유제❙3.4.3 는 덧셈군 와 동형임을 보여라.

예제❙3.4.4 →와 →는 군들의 동형사상이라 하자. 합성함

수 ∘ →는 역시 동형사상임을 증명하라.

[풀이]와 가 동형사상이므로, 와 는 각각 전단사이다. 그

래서 ∘는 전단사이다. 이제 임의로 ∈를 택하자. 그

러면

∘

(∵ 는 준동형)



(∵ 는 준동형)

∘∘

따라서 ∘는 동형사상이다.■

유제❙3.4.4 은 ≅이고 ≅인 군들이라 하자.

×≅×임을 증명하라.

유제❙3.4.4 →는 군들의 동형사상이고 →는 들어가기 0.2

에서 정의된 것과 같은 의 역함수라 하자. 는 역시 군들의



동형사상임을 증명하라.

예제❙3.4.5 →는 군들의 전사준동형사상이고 는 아벨이면,

는 아벨임을 증명하라.

[풀이] 임의로 ∈를 택한다. 그러면 는 전사함수이므로,

′ ′∈가 존재하여 ′이고 ′이다. 그래서

′′ ′′ (∵ 는 준동형사상)


원광대 수학과 채갑병 36충 → 는 군들의 준동형사상필

∀∈ ∀∈ㆍ준동형사상의 정의를 확인한다.ㆍ수학적 귀납법을 확인한다

Tip

′′ (∵ 는 아벨군)

′′ (∵ 는 준동형사상)

따라서 는 아벨군이다. ■

유제❙3.4.5 ⟨⟩는 순환군이고 →는 자기동형사상이면

⟨⟩임을 보여라.

유제❙3.4.5 →는 군들의 준동형사상이고 는 의 부분군이라

하자. 집합 ∈ ∈는 의 부분군임을 증명하라.



예제❙3.4.6 →는 군들의 준동형사상이라 하자. 각 ∈와 각 정

수 에 대하여, 임을 증명하라.

[풀이]임의로 ∈에 대하여, 인 경우로

나누어 생각한다.

경우 1: 인 경우

경우 2: 인 경우

(i) 이면,

(ii) 일 때, 라 가정한다. 그러면



그러므로 모든 에 대하여 이다.

경우 3: 인 경우.

이라 하자. 그러면 이고

그래서



그러므로 모든 에 대하여 이다.

따라서 모든 ∈과 ∈에 대하여 이다.

■

유제❙3.4.6 →는 군들의 준동형사상이고 ∈이면,

임을 증명하라.

예제❙3.4.7 →는 군들의 동형사상이고 는 의 부분군이면,

는 부분군 ∈ 와 동형임을 증명하라.

[풀이]≤이므로, ≠∅ 그래서 ≠∅ 임의로 ∈를 택한다. 그러면 적당한 ′ ′∈가 존재하여



′이고 ′ 이다. 그래서

′′ ′′ (∵ 는 준동형사상)

≤이므로, ′′∈ 그러므로 ∈≤이므로, ′∈ 그래서

′ ′ (∵ 는 준동형사상)

그러므로 ∈ 따라서 ≤이다.



ㆍ아벨군과 동형사상의 정의를 확인한다.ㆍ유제 3.2.2를 확인한다.

Tip

이제 → 를 다음과 같이 정의한다. 모든 ∈ 에

대하여 이다. 가 동형사상이므로, 가 동형사상임

을 쉽게 증명할 수 있다. 따라서 ≅ ■

유제❙3.4.7 (a) 는 군 의 부분군이고 ∈라 하자.

{ ∈ }는 와 동형인 의 부분군임을 증명하라.

(b) 가 유한하면, 임을 증명하라.

예제❙3.4.8 군 가 아벨이다 ⇔ 로 주어지는



함수 →는 군들의 준동형사상이다. 이를 증명하라. 이

경우에, 는 동형사상임을 보여라.

[풀이](⇒) : 가 아벨이라 가정하고 임의로 ∈를 택한

다. 그러면

(∵ 가 아벨)

그러므로 는 준동형사상이다. 더욱이, 유제 3.2.2에 의하

여 는 전단사이다. 따라서 는 동형사상이다.



(a) 충

①② 는 곱셈군∈는 고정③ ∗ ∀ ∈

필 는 군(b) 충 → 는 로

주어지는 함수필 는 동형사상

Tip

(⇐) : 는 준동형사상이라 가정하고 임의로 ∈를 택한다.

그러면 ∈이고

따라서 는 아벨이다. ■

유제❙3.4.8 와 는 둘 다 순환군 의 생성원, 즉 ⟨⟩이고

⟨⟩라 가정한다. 로 주어지는 함수 의 자기동

형사상임을 증명하라.



예제❙3.4.9 는 곱셈군, 는 의 고정된 원이고 는 ∗ 로 정의되

는 새로운 연산 ∗를 갖춘 집합 라 하자.

(a) 는 군임을 증명하라.

(b) 로 주어지는 함수 →는 동형사상임을

증명하라.

[풀이](a) ∗의 정의에 의하여, 는 ∗에 관하여 닫힌다. 임

의로 ∈를 택한다. 그러면

∗∗ ∗ (∵ ∗의 정의)

(∵ ∗의 정의)



∗

∗∗

∈는 ∗에 관한 의 항등원이다.

임의로 ∈를 택한다. 그러면

∗

이고

∗



임의의 ∈에 대하여, ∈는 의 역원이

다.

∗

이고

∗

이다. 따라서 ∗는 군이다.

(b) 임의로 ∈를 택한다. 그러면



∗

그래서 는 준동형사상이다.

임의의 ∈에 대하여 라 가정하자.

그러면 그래서 그러므로 는 단사이다.

이제 임의의 ∈에 대하여, 라 하자. 그러면 ∈이고 이다.

그러므로 는 전사이다. 따라서 는 동형사상이다. ■



유제❙3.4.9 는 곱셈군이고 는 ∗ 로 정의되는 새로운 연산

∗를 갖춘 집합 라 하자.

(a) 는 군임을 증명하라.

(b) ≅임을 증명하라.

[도움말 : 따름정리 3.2.1이 도움이 될 수 있다 . ]



덧셈표시법 곱셈표시법

우리가 이데알에 대한 합동의 정의를 덧셈으로부터 곱셈표시법

으로 바꾸면, 우리는 다음의 정의를 얻는다.

3.5 합동과 정규부분군추상대수학 3 장 2013


정의 3.5.1

는 군 의 부분군이고 ∈라 하자. ∈이면 가 를 법으로

와 합동이다( is congruent to modulo )라고 한다.

이 경우에, 기호 ≡ mod 로 쓴다.

보기 3.5.1 는 의 부분군이라 하자. 그러면

≡ mod 임을 보여라.

[증명] 보기 3.1.9의 에 있는 의 곱셈표에 의하여, 이고

∘ ∘ ∈ 따라서 ≡ mod . ■



정리 3.5.2 는 군 의 부분군이라 하자. 그러면 를 법으로 하는 합동관계는

(1) 반사율: 모든 ∈에 대하여 ≡ mod ; (2) 대칭율: ≡ mod 이면, ≡ mod ; (3) 추이율: ≡ mod 이고 ≡ mod 이면,

≡ mod .[증명] (1) ∈ 이므로 ≡ mod 이다.

(2) ≡ mod 이면 ∈이고 는 부분군이므로

∈이므로 ≡ mod 이다.



(3) ≡ mod 이고 ≡ mod 이면 ∈이고

∈이다. 는 부분군이므로 ∈이므로

≡ mod 이다.

가 군 의 부분군이고 ∈이면, 를 법으로 의 합동류(the

congruence)는 를 법으로 와 합동인 의 모든 원들의 집

합, 즉 합동류(congruence class of a moduleo )는

∈ ≡ mod ∈ ∈ ∈ ∈



를 오른쪽에 곱하면 명제 는 와 논리적으로 같

다. 그러므로 를 법으로 의 합동류는 집합

∈ ∈ ∈ 이다. 따라서 를 법으로 의 합동류는 로 나타낸다. 집합 를

에서 의 오른쪽 나머지류(right coset of )라 한다. 에서 의 모든 오

른쪽 나머지류들의 집합, 즉 를 법으로 하는 모든 합동류들의 집합

을 로 나타낸다. 군 에서 연산이 덧셈일 때, 오른쪽 나머지류

는 덧셈으로 로 쓰게 된다.

는 군 의 부분군이고 ∈라 하자. ∈이면 가 를 법으로



와 합동이다( is congruent to modulo )라고 정의하고 기호

≡ mod 로 쓸수 도 있다. 이 경우 를 법으로 와 합동인

의 모든 원들의 집합, 즉 합동류(congruence class of a moduleo

)는

∈ ≡ mod ∈ ∈ ∈ ∈

를 왼쪽에 곱하면 명제 는 와 논리적으로 같다.

그러므로 를 법으로 의 합동류는 집합

∈ ∈ ∈



이다. 따라서 를 법으로 의 합동류는 로 나타낼 수 있다. 집합

를 에서 의 왼쪽 나머지류(left coset of )라 한다.

가 아벨군이면,

모든 ∈에 대하여 이다.

가 비아벨군일 때, 오른쪽 나머지류 가 왼쪽 나머지류

와 같지 않을 수 있다.

보기 3.5.2 는 의 부분군이다. 오른쪽 나머지류 와 왼쪽

나머지류 를 구하라.



[증명] 보기 3.1.9에 있는 의 연산표에 의하여,

∘ ∘

이고

∘ ∘ .

따라서 ≠ ■

정리 3.5.3 는 군 의 부분군이고 ∈라 하자. 그러면

≡ mod ⇔ .



[증명] ⇒ ∈이라 하면 합동류의 정의에 의해 ≡ mod 이다. 또한 ≡ mod 이므로 추이

율에 의해 ≡ mod 이다. 즉, ∈ 이다. 그러므로 ⊆ 이다. ⊇ 도 비슷하게 보일 수 있

다.

⇐ 이라 하자. ≡mod 이므로 ∈ 이다. 즉, ≡mod 이다.

따름정리 3.5.3 는 군 의 부분군이라 하자. 의 두 오른쪽 나머지류는 서로소이

거나 일치한다.

[증명] 임의의 원소 ∈ 에 대하여 ∩≠∅라 하자. 적당한 원소 가 존재하여 ∈이고 ∈이다.



따라서 ≡mod 이고 ≡ mod 이 되어 대칭율과 추이율에 의해 ≡ mod 이다. 정리

3.5.3에 의해 이다.

군 의 부분군 에 대하여,

≡ mod 이고 ≡ mod 이면, ≡ mod .가 아벨군이면 이 명제는 참이다. 그러나 비아벨군에 대하여

이 명제는 거짓일 수 있다.

보기 3.5.3 는 의 부분군이다. 그러면, 보기 3.1.9에 있는

의 연산표에 의하여,



∘ ∘ ∈

그래서 ≡ mod 비슷하게, ≡ mod 그러나

∘≢∘ mod 임을 확인할 수 있다. ■



보기 3.5.4 는 의 부분군이라 하자. 그러면

∘ ∘ ∘ ∘

이고

∘ ∘ ∘ ∘

더욱이, 비슷한 계산에 의하여, 모든 ∈에 대하여

임을 알 수 있다. ■



모든 ∈에 대하여 성질 를 갖는 부분군 에 대하

여 우리가 바라는 합동에 관한 사실들을 증명하는 것이 가능할

지도 모른다. 조건 가 모든 ∈에 대하여 를

의미하는 것은 아니다. 조건 는 ∈이면 역시

집합 의 원소가 된다. 따라서 어떤 ∈에 대하여

∈임을 말하는 것이다. 보기 3.5.4에서, 예컨대, ∘

∘이고 ∈. 그래서 조건 는 원들의 교

환성보다 더 약하지만, 교환성에 관련된다.



정의 3.5.4 군 의 부분군 이 모든 ∈에 대하여 을 만족하면

정규부분군(normal subgroup)이라 한다. 이때, 기호 ◁로 나

타낸다.

보기 3.5.5 보기 3.5.4는 의 부분군 가 정규부분군임을 보여준다. 그러

나 는 의 정규부분군이 아니다. 왜냐면, ≠

이기 때문이다. ■



보기 3.5.6 아벨군 의 모든 부분군 은 정규부분군임을 보여라.

[증명] 임의의 ∈와 ∈에 대하여, 그래

서 모든 ∈에 대하여 . 따라서 ◁ . ■

정리 3.5.5 은 군 의 정규부분군 이라 하자. ≡ mod 이고

≡ mod 이면 ≡ mod .증명 ≡mod 이고 ≡mod 이라 가정하자. 그러면,

합동의 정의에 의하여, ∈이 존재하여

이고 을 만족한다.



그래서 따름정리 3.2.2에 의하여,

그런데 ∈이고 은 정규부분군이므로, 그래서

적당한 ∈이 존재하여 이다.

그러므로

∈

따라서 ≡mod. ■



정리 3.5.6 군 의 부분군 에 대한 다음의 조건들은 논리적으로 같다:

(1) ◁ .

(2) 모든 ∈ 집합 ∈은 의 부분집

합이다. 즉, ⊆ 이다.

(3) 모든 ∈,

명제 은 각 ∈에 대하여 임을 의미하지

않고, 이 명제는 모두 어떤 ∈에 대하여 임을 의

미함에 주목하라.



[정리 3.5.6의 증명] (1)⇒ (2): ◁라 가정하고 임의의 ∈에 대하여

∈를 택하자. 그러면 적당한 ∈이 존재하여

이다. ∈ 임에 주목하라. 가정에 의하여,

그러면 ∈ 그래서 적당한 ∈이 존재하여

그러므로

∈따라서 ⊂



(2)⇒ (3) : 조건 (2)가 성립한다고 가정하고 임의로 ∈를 택하

자. 그러면

⊂ .

이므로, 모든 ∈에 대하여

⊂ (3.5.1)

여기서

∈ 임의의 ∈에 대하여, 식 (3.5.1)에 의하여, 임의로 ∈에 대하



여 ∈ ⊂이다. 따라서 적당한 ∈이 존재하여

이다. 즉, 이다. 그러므로

∈ 즉, ⊂

따라서 (2)에 의하여,

(3)⇒ (1): 조건 (3)이 성립한다고 가정하고 임의의 ∈에 대하

여 ∈를 택하자. 그러면 적당한 ∈이 존재하여 이

다. 가정에 의하여,

∈



그래서 적당한 ∈이 존재하여 이다. 그러므로

∈ 따라서 ⊂ 가정에 의하여, 다음이 성립함에 주목하라:

여기서

∈ (3.5.2)

이제 임의로 ∈를 택하자. 그러면 적당한 ∈이 존재하여

이다. (3.5.2)에 의하여, ∈ 그래서 적당



충

①② ≤∈③ → 는 로주어지는 함수

필 는 전단사이다.ㆍ전단사함수와 오른쪽 나머지류 의 정의를 확인한다.

Tip

한 ∈이 존재하여 이다.

그러므로 ∈ 즉, ⊂ 그래서

따라서 ◁ . ■

예제❙3.5.1 는 군 의 부분군이고

∈라 하자. 로

주어지는 함수 →

는 전단사함수임을 증명하

라.


원광대 수학과 채갑병 71ㆍ정의 3.5.4를 확인한다.

Tip

[풀이]임의의 ∈에 대하여, 라 가정하자. 그러

면 . ∈이고 는 군이므로, 우소거법칙에 의해

이다 그러므로 는 단사이다.

이제 임의로 ∈를 택하자. 그러면, 의 정의에 의하여, 적

당한 ∈ 이 존재하여 이다. 그래서 그러므

로 는 전사이다. 따라서 는 전단사이다. ■

유제❙3.5.1 가 유한하면, 의 임의의 두 오른쪽 나머지류들은 같은 원

의 개수, 를 갖는다. 이를 보여라.



예제❙3.5.2 모든 왼쪽과 오른쪽 나머지류들을 열거함으로써

는 의 정규부분군임을 증명하라.

[풀이]

라 하자. 그러면 의 오른쪽 나머지류: ,



∘

∘

∘

,

,



의 왼쪽 나머지류: ,

,

,



위의 결과로부터 모든 오른쪽과 왼쪽 나머지류는 같다.

따라서 ◁ ■

유제❙3.5.2

는 의 부분군이지만 정규부분군이 아님

을 증명하라.

예제❙3.5.3 군 의 중심 는 정규부분군임을 증명하라.

[풀이] 임의로 ∈와 ∈를 택한다. 그러면 적당한



∈이 존재하여 이다.

∈이므로, 그래서

그러므로 ∈ 즉 모든 ∈에 대하여

⊂ 이다. 따라서, 정리 3.5.6에 의하여, ◁

이다. ■

유제❙3.5.3-1 와 는 군이라 하자. ⌗ ∈는 ×의

정규부분군임을 증명하라.



ㆍ보기 3.4.6과 정리 3.5.6을 확인한다.

Tip

유제❙3.5.3-2 는 의 정규부분군임을 증명하라.

예제❙3.5.4 군 의 부분군 이 고유하다(characteristic) iff 의

모든 자기동형사상 에 대하여 ⊂ 모

든 고유한 부분군은 정규적임을 증명하라.(이 역은 거짓이지

만, 증명하기가 더 어렵다.)

[풀이] 임의의 ∈에 대하여, → 는 다음과 같이 정의되는

내부자기동형사상이라 하자: 모든 ∈에 대하여

이다. 은 의 고유한 부분군이므로, ⊂



는 준동형사상Tip

그래서 ⊂ 따라서, 정리 3.5.6에 의하여, ◁ ■

유제❙3.5.4 은 군 의 부분군이라 하자. 이 정규부분군일 필요충분조

건은 의 모든 내부자기동형사상 에 대하여 . 이를

증명하라.

유제❙3.5.4 임의의 군 에 대하여 중식 는 고유한 부분군임을 증명

하라.

예제❙3.5.5 →는 군들의 준동형사상이고



∈ 라 하자. 는 의 정규부분군임을

증명하라.

[풀이] 는 준동형사상이므로, ∈ 그래서 ≠∅

임의로 ∈를 택하자. 그러면, 는 준동형사상이므로,

(∵ 의 정의)

이고



그래서 ∈이고 ∈. 그러므로 ≤

이제 임의의 ∈와 ∈를 택한다. 그러면 적당한

∈가 존재하여 이다.

그래서

(∵는 준동형사상)

(∵의 정의)

(∵는 준동형사상)



그러므로 ∈ 즉 ⊂ 따라서 ◁.■

유제❙3.5.5 →는 군들의 전사준동형사상이고 은 의 정규부분

군이면, ◁임을 증명하라.

예제❙3.5.6 와 이 군 의 정규부분군이면, ∩은 의 정규부분군

임을 증명하라.

[풀이]≤이고 ≤이므로, ∩≤ 임의로 ∈와

∈∩를 택한다. 그러면 적당한 ∈∩이 존재하



여 이다. ◁이고 ◁이므로,

∈∩ 그러므로

∩⊂∩

따라서 ∩◁ ■

유제❙3.5.6 과 는 군 의 부분군이라 하자. ◁이면, ∩◁임

을 증명하라.

예제❙3.5.7 (a) 과 는 군 의 부분군이라 하자. ◁이면



(a) 충 ①② ◁≤

필 ∈ ∈ ≤

(b) 충 ①② ◁◁

필 ◁ㆍ정의 3.5.4와 정리 3.5.6을 확인한다.

Tip ∈ ∈는 의 부분군임

을 증명하라.

(b) 과 가 모두 의 정

규부분군이면, ◁임을 증명하라.

[풀이](a) 임의로 ∈를 택한다. 그러면 ′∈과

′∈가 존재하여 이고 ′′를 만족한다.

그래서 ′′ ′′ ◁이고 ∈이므로, ′∈ 그러면 적당한

″∈이 존재하여 ′ ″이다.



그래서 ″′ ″′. ≤이고 ≤이

므로, ″∈이고 ′∈ 그러므로 ∈ 한편

◁이고 ∈이므로, ∈ 이므로

적당한 ∈이 존재하여 이다.

그래서 ∈이므로 따라서 ≤

(b) 임의로 ∈와 ∈를 택한다.

그러면 ∈과 ∈가 존재하여 이다. 그래서



◁이고 ◁이므로, ∈이고 ∈ 그러므로 ∈ 따라서 ◁. ■

유제❙3.5.7 와 이 ∩ ⟨⟩인 군 의 정규부분군이면, 모든

∈ ∈에 대하여 이다. 이를 증명하라.

유제❙3.5.7 와 는 ∩ ⟨⟩이고 인 군 의 정규부분군

이라 하자(3장의 연습문제 18을 보라). × ≅임을 증명



ㆍ

≠

∈ㆍ준동형사상의 정의를 확인한다.

Tip

하라. [도움말: × →를 로 할 것.]

예제❙3.5.8

로 주어지는 함수

→∗은 곱셈군들의 준동

형사상임을 증명하라.

[풀이]분명히 은 행렬곱에 대하여 군이다. 임의로

∈

∈ 을 택한다.

그러면



이고

그래서



이고

⋅

⋅

따라서 는 준동형사상이다. ■



정규부분군의 정의와 부분군을 법으로 하는 합동의 정의를 확인한다.

Tip

유제❙3.5.8 은 의 정규부분군임을 증명하라.

예제❙3.5.9 군 의 부분군 이 정규적이라 하자. 그러면

≡ mod ⇔ . 이를 증명하라.

[풀이] (⇒) : ≡ mod 이라 가정하자.

그러면

∈ 즉 적당한 ∈이 존재하여 , 즉

이다. 임의로 ∈를 택하자. 그러면 적당한 ′∈이 존



재하여 ′이다. 그래서 ′ ◁이므로,

∈ 그러므로 적당한 ″∈이 존재하여 ″이다.

즉 ′ ″′ ″′ ″′∈이므로, ∈ 즉 ⊂

비슷하게 ⊂ 임을 보일 수 있다. 따라서

(⇐) : 이라 가정하자. 그러면 적당한 ′∈이 존재

하여 ′이고 ′∈이다. ◁이므로

이고 따라서 적당한 ″가 존재하여 ′ ″



이다. 그래서 ″∈이므로 ≡ mod ■

유제❙3.5.9 군 의 부분군 이 정규적이라 하자. 그러면 모든 ∈에 대하여 ∈ ⇔ ∈이다. 이를 증명하라.

유제❙3.5.9 군 의 순환부분군 ⟨⟩가 정규적일 필요충분조건은 모든

∈에 대하여 적당한 ∈가 존재하여 를 만족

하는 것이다. 이를 증명하라.

예제❙3.5.10 는 군 의 부분군이고 ∈라 하자. 가 를 법으로 와 왼쪽 합동이다(



is left congruent to modulo ) iff ∈ 이때, 기호

∼로 쓴다.

(a) 정리 3.5.2가 ≡ 대신에 ∼과 함께 성립함을 증명하라.

(b) 의 왼쪽 합동류는 ∼인 모든 ∈들의 집합으로 정의

된다. 이 집합은 왼쪽 나머지류 임을 보여라.

(c) ∼ ⇔ 이를 증명하라. [도움말: 정리 3.5.3을 보

라.]

(d) 왼쪽 나머지류에 대하여 따름정리 3.5.3을 증명하라.

[풀이] (a) (1) ~은 반사한다. 즉 ∼ ∀∈



임의의 ∈ ≤이므로, ∈ 그러므로

∼

(2) ~은 대칭이다. 즉 ∼ ⇒∼

임의의 ∈에 대하여, ∼라 가정한다. 그러면

∈ ≤이므로, ∈ 그러므로

∼

(3) ~은 이동한다. 즉 ∼이고 ∼ ⇒ ∼

임의의 ∈에 대하여, ∼이고 ∼라 가정한다.

그러면 ∈이고 ∈ ≤이므로,



∈ 그러므로 ∼

(b) ∈ ∼는 의 왼쪽 합동류라 하자. 그러면

∈ ∈ ∈ 적당한 ∈이 존재하여

b∈G 적당한 k∈K이존재하여 b ak ∈

따라서 의 왼쪽 합동류

(c) 는 ~에 의한 의 합동류라 하자. 그러면



∼ ⇔ ⇔ (∵ (b)의 결과)

(d) 임의의 ∈에 대하여, ∩ ∅ 또는

∩≠∅라 가정한다. 그러면 ∃∈∩ 그래서

∈이고 ∈ 즉 ∼이고 ∼. 임의로 ∈를 택

하자. 그러면 ∼. ~의 대칭성과 이동성에 의하여, ∼

그래서 ∈ 그러므로 ⊂ 비슷하게, ⊂임을

쉽게 보여줄 수 있다. 따라서 ■

유제❙3.5.10 는 군 의 부분군이고 ∼는 예제 3.5.10에서와 같다고 하



자. 는 정규적일 필요충분조건은 가 다음의 조건을 만족하

는 것이다 : [ ≡ mod 은 ∼이기 위한 필요충분조

건].



이 군 의 정규부분군이라 하자. 에서 의 모든 오른쪽 나

머지류(을 법으로 하는 합동류)들의 집합을 으로 표시하

게 된다, 즉, ∈. 우리는 첫째 목표는 이

군이 되도록 위에서 연산을 정의하는 것이다.

(의 합동류인)나머지류 와

(의 합동류인)나머지류 의 곱은

(의 합동류인)나머지류 이다.

3.6 몫군(Quotient Groups)



기호로, 이 정의는

로 나타낸다.

정리 3.6.1 은 군 의 정규부분군이라 하자. 에서 이고

이면,

증명 이고 라 가정하자. 그러면, 정리 3.5.3

에 의하여,



≡mod 이고 ≡mod 그래서, 정리 3.5.5에 의하여, ≡mod 따라서, 정리

3.5.3에 의하여, ■

정리 3.6.2 이 군 의 정규부분군이면, 은 로 정의되는

연산에 대하여 군이다. 가 아벨군이면, 역시 아벨군이다.

증명 정리 3.6.1에 의하여, 에서 연산은 잘 정의된다. 임의

로 ∈을 택하자. 그러면,

이고



그래서 나머지류 는 의 항등원이다. 더욱이,

이고

그러므로 나머지류 는 의 역이다. 에서 결합성질

은 에서 결합성질의 결과다:

따라서 은 군이다. 마지막 명제의 증명은 독자의 몫으로

남겨둔다(연습문제 9). ■



군 을 에 의한 의 몫군(the quotient group) 또는 인수군(the

factor group)이라 한다.

보기 3.6.1 보기 3.5.4에서, 우리는 은 의 정규부분

군임을 알았다. 보기 3.1.9에 있는 에 대한 연산표는

∘ ∘ ∘ ∘

∘ ∘ ∘ ∘

임을 보여준다. 의 모든 원은 또는 의 원이고 의 임



의의 두 나머지류는 서로소이거나 일치(따름정리 3.5.3)하므로,

의 모든 나머지류는

또는 와 같아야만 한다. 다른 말로 하면,

∘ ∘이고 ∘ 이므로,

몫군 에 대한 연산표는 다음과 같다:

.



이 덧셈군 와 동형임을 보이는 것은 쉽다(

를 에 그리고 를 에 대응시키고 두 연산표들을 비교

하라).

■

보기 3.6.2 유제 3.5.3-2에서, 우리는 가 의 정규부분군임을

알았다. 에 대한 연산표를 사용하여, 우리는 이 다음의

4개의 나머지류들로 이루어짐을 찾아낸다:

,



, .

우리는 각 나머지류를 표시하는 한 가지 방법을 선택하여

의 원들을 와 로 열거할 것이다. 우리

가 에서 곱들을 계산할 때, 우리는 이 4개의 나머지류들

에 의하여 답들을 나타낸다. 예컨대, ∘ ∈이므로,

∘ . 그런데 . 그러므로,

아래의 연산표에서, 우리는 로 쓴다. 여러분

은 빠뜨린 성분들을 채워야만 한다.



.

완성된 표에 의하여 이 항등원이 아닌 모든 원이 위수 를

갖는 아벨군임을 알 수 있다. 표들을 비교함으로써 이

×와 동형임을 증명하라. ■



보기 3.6.3 덧셈에서 정수들의 군 는 유리수들의 아벨군 의 정규부분군

이다. 그래서 몫군 는 덧셈의 아벨군이다.

∈이면, 를 법으로 하는 합동의 정의와 정리

3.5.3에 의하여,

⇔ ∈그러므로 이면, 와 는 의 다른 원

이다.( 이므로, ∉). 과 사이에 무한히 많

은 유리수들이 존재하므로, 는 무한군이다. 그럼에도 불구

하고, 의 모든 원은 유한위수를 갖는다. ■



정리 3.6.3 은 군 의 정규부분군이라 하자. 이 아벨군일 필요충분조건

은 모든 ∈에 대하여 ∈이 성립하는 것이다.

증명 이 아벨군이면 정의에 의해 모든 ∈에 대하여

이 성립하는 것이다. 그런데, 정리 3.5.3에 의하여,

⇔ ∈ 따름정리 3.2.1에 의하여,

따라서 이 아벨일 필요충분조건은 모든 ∈에 대하여

∈이다. ■



군 의 중심(center) 는 부분집합

∈ 모든 ∈에대하여

임을 상기하라. 예제 3.5.3에 의하여, 는 의 정규부분군이다.

정리 3.6.4 는 군이고 몫군 가 순환군이면, 는 아벨이다.

증명 표시법의 편리상, 를 로 나타낸다. 가정에 의하여,

는 순환하므로, 생성원 ∈ 가 존재하여

⟨⟩이다. 그러면, 에서 임의의 나머지류는 어떤



정수 에 대하여, 꼴 이다. 이제, ∈를 임의

로 택하자. ∈이고 어떤 에 대하여 이므로,

적당한 ∈이 존재하여 이라 할 수 있다. 비슷하게,

적당한 ∈와 정수 가 존재하여 라 할 수 있다. 한

편, 이다.

더욱이, 과 는 중심의 정의에 의하여 의 모든 원과 교환

한다. 그래서

따라서 는 아벨이다. ■



예제❙3.6.1

은 의 정규부분군임을

증명하라. ≅임을 보여라.

[풀이] 예제 3.5.2에 의하여, ◁ 그러면

여기서

또는

이고

또는

이다.

더욱이, 정리 3.6.2에 의하여, 는 군이고 의 연산표는



아래와 같다.

ㆍ

+ 0 10 0 11 1 0

함수 →를 다음과 같이 정의한다.

그러면 는 준동형사상이다. 따라서 ≅ ■

유제❙3.6.1 ≅임을 보여라. 여기서 은 부분군 이다.



ㆍ정규분분군에 대한 몫군과 동형의 정의를 확인한다.

ㆍ정리 3.6.2를 확인한다.

Tip

유제❙3.6.1 ≅임을 보여라. 여기서 은 부분군 이다.

예제❙3.6.2 ≅임을 보여라. 여기서 은 순환부

분군 ⟨⟩이다.

[풀이] ⟨⟩ ≤이므로,



그래서

⟨⟩함수 →을 다음과 같이 정의한다.

∀∈그러면 분명히 는 동형사상이다. 따라서 ≅ ■



충 ≤∗

필 ∗≅ㆍ정리 3.6.2를 확인한다.

Tip

유제❙3.6.2 ×이고 은 가 만드는 순환부분군이라 하자.

≅임을 보여라.

유제❙3.6.2 ×이고 은 순환부분군 ⟨ ⟩이라 하자. 동형

사상에 이르기까지 몫군 을 설명하라.

예제❙3.6.3 ∗는 실수들의 곱셈군이고 은 부분

군 이라 하자. ∗은 양의

실수들의 곱셈군 와 동형임을 증



명하라.

[풀이]분명히 ◁∗ 그러면, ∗는 아벨군이므로, ∗은

아벨군이다. 함수 ∗ → 를 다음과 같이 정의한다.

모든 ∈∗에 대하여 .

임의로 ∈∗를 택한다. 그러면

(∵ 몫군 ∗에서 연산의 정의)

(∵ 의 정의)

(∵ 의 정의)



그래서 는 준동형사상이다.

임의의 ∈∗에 대하여, 라 가정하자. 그러

면 즉 ± 그래서 그러므로 는 단사

이다. 가 전사임은 분명하다. 따라서 ∗ ≅■

유제❙3.6.3 몫군 ∗을 설명하라. 여기서 ∗와 는 위의 예제와

같다.

유제❙3.6.3 는 덧셈군 ×라 하자.

(a) 는 의 부분군임을 보여라.



(b) 몫군 을 설명하라.

예제❙3.6.4 의 모든 원은 유한위수를 가짐을 증명하라.

[풀이] ∈ 덧셈군 의 항등원은 이다. 임의로 ∈를 택한다. 그러면 적당한 ∈이 존재하여

≠ 이고

이다.

그래서



ㆍ정리 3.3.7과 정리 3.6.3을 확인한다.ㆍ정리 3.5.6을 확인한다.

Tip

(는 에서 이데알이다.)

그러므로 따라서 증명이 완료된다. ■

유제❙3.6.4 군 에서 유한위수의 원들의 집합은 부분군 임을 증

명하라.

예제❙3.6.5 를 군이라 하고 를 다음과 같은 원소를 갖

는 집합이라 하자.

∈



집합 로부터 생성된 부분군 ′을 의 교환자군이라 한다.

다음을 증명하라.

(a) ′는 의 정규부분군이다.

(b) ′는 아벨군이다.

[풀이] (a) 정리 3.3.7에 의하여, ⊂⟨⟩ ′ 임의의 ∈와 ∈에 대하여 라 하면

∈

임의로 ∈와 ∈ ′를 택한다. 그러면 ∈ ′이 존재하여



이다. ⟨⟩ ′이므로 … ∈ 또는

∈이다. 따라서 … 이다.

(1)에 의하여 모든 에 대하여 ∈와 ∈인(왜?) 에 대하여

∈이므로

…

… ∈ ′그러므로 ′⊂ ′ 따라서, 정리 3.5.6에 의하여, ′◁.

(b) 정리 3.6.3에 의하여, ′은 아벨이다.■



유제❙3.6.5 은 군 의 정규부분군이고 ′은 3장의 연습문제 29에서

정의된 교환자군이라 하자. ∩ ′ ⟨⟩이면, 다음 각각이

성립함을 증명하라.

(a) ⊆ 여기서 는 의 중심이다.

(b) 는 의 중심이다.

3.4동형사상 - wkurg.wonkwang.ac.kr/teaching/1.algebra/algebra-chapter03... · 2020-02-25 ·...

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