§3.5  函数的极值与最大值 最小值

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第 3 章. §3.5  函数的极值与最大值 最小值. 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪. 定义. 函数的极大值与极小值统称为极值 , 使函数取得极值的点称为极值点. 函数极值的判定法. 注意 :. 由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点. 1) 函数的极值是函数的 局部性质. 2) 对常见函数 , 极值可能出现在 驻点或导数 不存在的点. 3) 函数的最值是函数的 全局性质. 为极大点. 为极小点. 不是极值点. (1). “ 左 正 右 负 ” ,. (2). - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: §3.5   函数的极值与最大值                         最小值

§3.5  函数的极值与最大值 最小值

燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪

第 3 章

Page 2: §3.5   函数的极值与最大值                         最小值

.)()(

,)()(,,

,

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,),()(

0

00

0

0

00

0

0

的一个极小值是函数就称均成立外除了点任何点

对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点的一个极大值是函数

就称均成立外除了点任何点

对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点内的一个点

是内有定义在区间设函数

xfxf

xfxfxx

x

xfxf

xfxfxx

x

ba

xbaxf

定义

函数的极大值与极小值统称为极值 , 使函数取得极值的点称为极值点 .

Page 3: §3.5   函数的极值与最大值                         最小值

注意 :

3x1x 4x2x 5x xa bo

y

41 , xx 为极大点52 , xx 为极小点

3x 不是极值点

1) 函数的极值是函数的局部性质 .

3) 函数的最值是函数的全局性质 .

2) 对常见函数 , 极值可能出现在驻点或导数 不存在的点 .

函数极值的判定法

由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点 .

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定理 1 ( 取得极值的充分条件 )

,)( 0的某邻域内连续在设函数 xxf 且在空心邻域

内有导数 , ,0时由小到大通过当 xx

(1) )(xf “左正右负” , ;)( 0取极小值在则 xxf(2) )(xf “左负右正” ,

.)( 0取极大值在则 xxf

( 证明略 )

例如 , 2 , ( , )y x x

3 , ( , )y x x 而

容易验证 x=0

是的极小

值点 .

x=0 不是 的极值点 .

Page 5: §3.5   函数的极值与最大值                         最小值

例 3 求函数 32

)1()( xxxf 的极值 .

解 1) 求导数23( )f x x

13

2( 1)

3x x

3

25 53

x

x

2) 求极值可疑点令 ,0)( xf 得 1

2;

5x 令 ,)( xf 得 02 x

3) 列表判别

x

)(xf )(xf

0520

0 33.0

)0,( ),0(52 ),(

52

0x 是极大值点,极大值为 0)0( f

是极小值点, 极小值为5

2x 33.0)(52 f

Page 6: §3.5   函数的极值与最大值                         最小值

定理 2( 第二充分条件 )

证 )1(x

xfxxfxf

x

)()(lim)( 00

00 ,0

异号,与故 xxfxxf )()( 00

时,当 0x )()( 00 xfxxf 有 ,0

时,当 0x )()( 00 xfxxf 有 ,0

所以,函数)(xf在0x处取得极大值

设)(xf在0x处具有二阶导数,且 0)(0

' xf , 0)(0'' xf ,那末

(1)当 0)(0'' xf 时, 函数)(xf在0x处取得极大值;

(2)当 0)(0'' xf 时, 函数)(xf在0x处取得极小值.

)()( 00 xfxxf 有

)()( 00 xfxxf 有时,当 0x

)()( 00 xfxxf 有

)()( 00 xfxxf 有

时,当 0x

时,当 0x

)()( 00 xfxxf 有

)()( 00 xfxxf 有

异号,与故 xxfxxf )()( 00

时,当 0x

时,当 0x

)()( 00 xfxxf 有

)()( 00 xfxxf 有

xxfxxf

xfx

)()(lim)( 00

00

异号,与故 xxfxxf )()( 00

时,当 0x

时,当 0x

)()( 00 xfxxf 有

)()( 00 xfxxf 有

Page 7: §3.5   函数的极值与最大值                         最小值

思考与练习

]1,0[ 上 ,0)( xf 则 ,)1(,)0( ff )0()1( ff

或 )1()0( ff 的大小顺序是 ( )

)0()1()0()1()( ffffA

)0()0()1()1()( ffffB

)0()1()0()1()( ffffC

)0()1()0()1()( ffffD

提示 : 利用 )(xf 单调增加 ,

)10()()0()1( fff

B

设在

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则其最值只能在极值点或端点处达到 .

求函数最值的方法 :(1) 求 在 内的极值可疑点)(xf ),( ba

mxxx ,,, 21

(2) 最大值 maxM ,)( 1xf ,)( 2xf ,)(, mxf ,)(af )(bf

最小值 minm ,)( 1xf ,)( 2xf ,)(, mxf ,)(af )(bf

若函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续,

利用导数求函数的最值是导数的又一重要应用 .

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特别 :

• ●当 在 内只有一个极值可疑点时 ,

)(xf ],[ ba

• ●当 在 上单调时 ,

)(xf ],[ ba 最值必在端点处达到 .

此点取极大 值 , 则也是最大 值 .

( 小)

• ● 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的

可疑点是否为最大 值点或最小值点 .

( 小)

若在

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最大利润问题

某制造商制造并出售球形瓶装的某种酒 .

瓶子的制造成本是 20.8 r

1) 瓶子半径多大时,能使每瓶酒获利最大?

半径,单位是厘米 .

(分),

2) 瓶子半径多大时,每瓶酒的获利最小?

商人可获利 0.2 分,

6 厘米,问

其中 r是瓶子的

假设每售出 1立方厘米的酒,

他能制作的瓶子最大半径为

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解 瓶子半径为 r,每瓶酒能获利为 23 8.02.0

3

4)( rrrp 23 8.0

3

8.0rr

2

3

38.0 r

r 60 r

0)2(8.0)( 2 rrrp

当 0<r<2 时, 0)( rp ; 2<r<6 时, 0)( rp

由 得 r=2.

故 r=2 是的一个极小值点,所以也是最小值点;

r=6 时, p(r) 可达到最大值 .

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但 p(2)<0 ,说明半径小于或等于 2 厘米的瓶装

酒,酒所获得的利润抵不上瓶子的成本 .

又由 p(3)=0 知,当瓶子的半径达 3cm 时,酒的

盈利与瓶子的成本恰好一样 .

制造商的盈利越多 .

而又要获得同等的盈利时,

装酒定价要高些 .

般比大包装的都要贵些。

瓶子的半径越大,

因而当商人要求售出同量酒

对半径小于 3cm 的瓶

所以,市场上小包装的货物一