35. karma sistem örnek çözümleri -...

28
35. Karma sistem örnek çözümleri Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 297 35. Karma sistem örnek çözümleri SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem çözülebilir. Bunun dışında, örneğin, aynı sistemde plak, levha veya çerçeve eleman içeren karma sistem çözümü programda öngörülmemiştir. Örnek 35.1: Sağdaki sistemin 4 ve 5 nolu elemanları kesiti şekilde görülen boru, diğer elemanları NPI 500 profilidir. Verilen yükler için eleman kuvvetleri yer değiştirmeler hesaplanacaktır. Malzeme: = 2.1 ∙ 10 , = 0.30 (tüm elemanlarda) Kesit bilgileri: = 3.9584 ∙ 10 , = 2.184 ∙ 10 (boru elemanlarda) = 179 ∙ 10 , = 6.874 ∙ 10 (NPI 500 elemanlarda) Modelleme: Tüm elemanlar düzlem çerçeve eleman olarak tanımlanır. 7. elemanın sol ucuna 9. elemanın sağ ucuna, 4. ve 5. elemanların her iki ucuna moment mafsalı konur. Sınır koşulları: 1 ve 2 noktası X ve Y yönünde hareket edemez. 6 m 4

Upload: doanhanh

Post on 16-Feb-2019

229 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 297

35. Karma sistem örnek çözümleri SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem çözülebilir. Bunun dışında, örneğin, aynı sistemde plak, levha veya çerçeve eleman içeren karma sistem çözümü programda öngörülmemiştir.

Örnek 35.1: Sağdaki sistemin 4 ve 5 nolu elemanları kesiti şekilde görülen boru, diğer elemanları NPI 500 profilidir. Verilen yükler için eleman kuvvetleri yer değiştirmeler hesaplanacaktır.

Malzeme: � = 2.1 ∙ 10� �� , � = 0.30 (tüm elemanlarda)

Kesit bilgileri: � = 3.9584 ∙ 10����, �� = 2.184 ∙ 10����(boru elemanlarda) � = 179 ∙ 10����, �� = 6.874 ∙ 10����(NPI 500 elemanlarda)

Modelleme: Tüm elemanlar düzlem çerçeve eleman olarak tanımlanır. 7. elemanın sol ucuna 9. elemanın sağ ucuna, 4. ve 5. elemanların her iki ucuna moment mafsalı konur.

Sınır koşulları: 1 ve 2 noktası X ve Y yönünde hareket edemez.

6 m

4

Page 2: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 298

Örnek 35.2: Aşağıdaki sistemin1 1, 2, 3, 4, 5, 6 nolu kiriş elemanları NPI 500 profili, diğer kafes elemanları kesiti şekilde görülen borudur. Eleman kuvvetleri ve yer değiştirmeler bulunacaktır.

Malzeme: � = 2.1 ∙ 10� �� , � = 0.30 (tüm elemanlarda)

Kesit bilgileri: � = 3.9584 ∙ 10����, �� = 2.184 ∙ 10����(boru elemanlarda) � = 179 ∙ 10����, �� = 6.874 ∙ 10����(NPI 500 elemanlarda) Modelleme: Tüm elemanlar düzlem çerçeve eleman olarak tanımlanır. 3 nolu kiriş elemanın sağ ucuna, kafes ise elemanların her iki ucuna moment mafsalı konur. Sınır koşulları: 1 noktası X ve Y yönünde, 7 noktası Y yönünde yer değiştiremez. 8, 9, 10 ve 11 noktalarında kiriş eleman yoktur, sadece boru(kafes) elamanlar vardır. Tanım gereği kafes sistemlerin düğümlerinde dönme serbestlik derecesi yoktur. Bu nedenle bu düğümlerde Z etrafındaki dönmenin tutulması gerekir, aksi halde denklem sistemi tekil olur. V VV

1 Kiriş ve kafes elamanlardan oluşan bu tür sistemlere LANGER kirişi denir, genellikle köprü kirişlerinde kullanılır.

1 m

2

Page 3: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 299

Örnek 35.3: Aşağıda köprü kirişinin ara mesnetleri taban alanı 3∙6=18 m2 olan 5 adet dubaya oturmaktadır. Eleman kuvvetleri ve yer değiştirmeleri hesaplanacaktır1

Malzeme: � = 2.1 ∙ 10� �� , � = 0 (tüm elemanlarda)

Kesit bilgileri: � = 10���, �� = 3.36 ∙ 10����(1 ve 5 nolu elemanlarda) � = 10���, �� = 4.20 ∙ 10����(2 nolu elemanda) � = 10���, �� = 6.30 ∙ 10����(3 nolu elemanda) � = 10���, �� = 8.40 ∙ 10����(4 nolu elemanda) � = 10���, �� = 2.94 ∙ 10����(6 nolu elemanda) Modelleme: Dubalar düşey yönde batıp-çıkma hareketi yaparak elastik yay gibi davranırlar. Köprü kirişine mafsallı bağlandıklarından dönmeyi etkileyen yay etkisi yoktur. Bu nedenle köprü, aşağıdaki gibi, ara mesnetleri elastik eksenel yaylı sürekli kiriş olarak modellenebilir. k1 yay katsayısının(yay rijitliğinin) belirlenmesi: Yay katsayısı kN/m birimindedir. Yayın boyunu 1 m değiştirmek(uzatmak veya kısaltmak) için uygulanması gereken kuvvet anlamındadır. Bu temel kavrama göre, yatay kesiti F=3∙6=18 m2 olan dubanın, üzerindeki yük nedeniyle, = 1� batması halinde taşıracağı suyun hacmi ! = " = 18 ∙ 1 = 18��olur(Arşimend). Taşan suyun ağırlığı dubayı = 1� batıran yüktür: # = ! ∙ $%& = 18 ∙ 10 = 180'(. Dubayı 1 m batıran kuvvet 180 kN olduğundan yay katsayısı ') =

*+ =

)�,) = 180'(/� olur.

1 Bu örnek, Hirschfeld, K., Baustatik, Theorie und Beispiele, 1969, Sayfa 482 den alınmıştır.

Normal kuvvet etkisi olmadığı için kesit alanları büyük seçilmiştir.

') = #

') =#

Page 4: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 300

Reaksiyonlar

Kesme

Moment

Page 5: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 301

Örnek 35.4: Aşağıdaki asma köprü kirişinin eleman kuvvetleri ve yer değiştirmeleri hesaplanacaktır1

Malzeme: � = 2 ∙ 10� �� , � = 0 (tüm elemanlarda)

Kesit bilgileri: � = 10���, �� = 40�� (kolonlarda) � = 10���, �� = 7.5�� (kirişlerde) � = 395 ∙ 10����, �� = 10��,��(14 ve 21 nolu kablo elemanlarda) � = 225 ∙ 10����, �� = 10��,��(15 ve 20 nolu kablo elemanlarda) � = 390 ∙ 10����, �� = 10��,��(16 ve 19 nolu kablo elemanlarda) � = 650 ∙ 10����, �� = 10��,��(17 ve 18 nolu kablo elemanlarda) . = 0.01�, � = 10���, �� = 10�,��(22 ve 23 nolu fiktif elemanlarda)

Modelleme: Köprü kirişi 3 ve 8 noktalarında kolona kayıcı mesnet ile oturtulmuştur, kirişten kolona sadece eksenel kuvvet aktarılır, moment ve kesme aktarılmaz. Bu bağlantıyı modellemek için 22 ve 23 nolu fiktif elemanlar kullanılmıştır. 22 nolu fiktif eleman kirişin 3 noktasını soldaki kolonun 12 noktasına, 23 nolu fiktif eleman kirişin 8 noktasını sağdaki kolonun 15 noktasına bağlamaktadır. Fiktif elemanın boyu 0.01 m, iki ucu mafsallıdır(moment yok), kesit alanı A=104 m2

alınmıştır(şekil değiştirmeden eksenel kuvvet aktarması için).

Tüm elemanlar düzlem çerçeve olarak tanımlanır. Kablo ve fiktif elemanların iki ucuna mafsal konur, bunların atalet momentleri çok küçük seçilir(moment yok) Mesnet koşulları: 1 ve 10 noktaları Y yönünde yer değiştiremez. 11 ve 14 noktaları X, Y yönünde ve Z etrafında yer değiştiremez.

1 Bu örnek, Jenkins, W., M., Structural analysis using computers, Longman, 1990, Sayfa 326 dan alınmıştır.

Kolo

n

Kolo

n

50

m1

0

Page 6: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 302

Yorum: • 22 ve 23 nolu fiktif çubuklardaki normal kuvvet 4870.30(basınç) kN dur. Bu kuvvet kirişten kolona aktarılan normal

kuvvettir. • 14-21 nolu elemanlar kablo elemanlardır, sadece çekme kuvveti alabilirler. Ancak, 15 ve 20 nolu kablo elemanlarda

205.82 kN(basınç) kuvveti oluşmuştur. Bu, çözümün tam doğru olmadığı anlamındadır. Bu hata çözümün geometrik doğrusal yapılmasından kaynaklanmaktadır. Kablolu sistemlerin çözümünde geometrik doğrusal olmayan analiz yöntemleri kullanılması gerekir. Ancak, buradaki basit çözümün gerçek çözüme çok yakın olduğunu da belirtelim.

1

1

2

3

4 5 6 7

8

9

10

13 16

2 3 4 5 6 7 8 910

1113

14

1517

18

19 20

21

12

16

11 14

1

1

2

3

4 5 6 7

8

9

10

13 16

2 3 4 5 6 7 8 910

1113

14

15

17 18

19 20

21

12

16

11 14

11 2

3

4 5 6 7

8

910

13 16

2 3 4 5 6 7 8 910

1113

14

15

17 18

19 20

21

12

16

11 14

R1Y= -895.31R11Y=6895.31 kN R14Y=6895.31

R10Y= -895.31

R11X= -3523.68 kN

R11Z= 2114020.65 kNm

R14X= 3523.68R14Z= -2114020.65

Reaksiyonlar

Kesme

Moment

Page 7: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 303

Yaylarda: � = 10�,��('01%0203 = ∞5675�ı695), ';ö2=0 = 2.1 ∙ 10� ∙ 6.874 ∙ 10�� 2⁄ ≈ 72000'(�/@59 (yarı ankastre anlamında), yay boyu L=0.01 m (sadece geometriyi tanımlamak için gerekli, esneklik matrisinde kullanılmaz) alınacaktır. Yay eleman esneklik matrisi:

A =BCCD

)1EFGEHEI

0 00 0 00 0 )

1JöHKELMMN olur

Sınır koşulları: 1 ve 2 noktası X ve Y yönünde hareket edemez.

Örnek 35.5: Sağdaki çelik çerçevenin kolon ve kirişleri NPI500 profilidir. Düğüm noktaları cıvata(bulon) ile bağlanmıştır. Eleman kuvvetleri ve yer değiştirmeler hesaplanacaktır

Malzeme: � = 2.1 ∙ 10� �� , � = 0 (tüm elemanlarda)

Kesit bilgileri: � = 179 ∙ 10����, �� = 6.874 ∙ 10����(NPI 500)

Modelleme: Çelik yapılarda cıvatalı veya perçinli bağlantılar tam ankastre çalışmaz. Çünkü cıvata ve delik çapları 0.3~1�� civarında farklıdır. Cıvata sayısı ve düzeni de bağlantı noktasının rijitliğini değiştirir. Bu nedenle hesaplarda bağlantı noktasında rijitlik düşürülür. Rijitliğin ne kadar düşürüleceği teorik olarak bilinemez, mühendis tahmin eder. Uygulamada %25, %50 düşürmek yaygındır. Bu tür bağlantıya elastik veya kısmı bağlantı denir.

Örneğimizde, elastik bağlantıyı tanımlayabilmek için, 4 nolu kiriş kolonlara 3 ve 4 nolu elastik yay ile bağlanmıştır. Yaylar eksenel kuvvet, kesme ve moment aktaracaktır. Kirişin kolona(cıvatalı bağlantı nedeniyle) yarı ankastre bağlı olduğu varsayılarak yay sabitleri '01%0203 = ∞, ';ö2=0 = � �1PQPş 2⁄ alınacaktır.

5.0

m1

.0

Eksenel ve dönme yayı

Eksenel ve dönme yayı

Page 8: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 304

Örnek 35.6: sağda görülen, dörtgen ve üçgen elemanlarla modellenmiş, levhanın kalınlığı 20 cm, malzemesi C25/30 betonudur.

Malzeme: E=30.106 kN/m2 , �=0.2.

Mesnet koşulları: En sol noktalar yer değiştiremez. SEM2015 in sonuçları aşağıda verilmiştir.

100 kN

Page 9: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 305

Page 10: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 306

SEM2015 in sonuçları aşağıda verilmiştir1.

1 Bu rijitleştirme yöntemi otomobil ve uçak sanayinde kullanılır. Bu örnek Gallagher, R. H., Finite Element Analysis, Springer Verlag, 1976, Sayfa 57 den alınmıştır.

0.4

m

Örnek 35.7: Sağda görülen sistemde 4 nolu üçgen eleman 0.3 mm çelik levhadır. Levhayı rijitleştirmek için kenarlarına çelik çubuklar konmuştur. Çelik çubuklar levhaya 1, 2 ve 3 noktalarında bağlıdır, başka hiçbir nokta bağlı değildir.

Malzeme: E=1.108 kN/m2 , �=0.3 Levha kalınlığı: 0.3 mm 1 nolu çubuğun alanı: 0.7 cm2 2 nolu çubuğun alanı: 0.5 cm2 3 nolu çubuğun alanı: 0.75 cm2 Sistemdeki çubuklar kafes eleman olarak çalışır.

Kafes eleman kuvvetleri

Levha eleman kuvvetleri

Kafes eleman gerilmeleri

Levha eleman gerilmeleri

Page 11: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 307

Malzeme(çelik): E=2.1.108 kN/m2 , �=0.3 Malzeme(LC30/33 hafif beton): E=16000 kN/m2 , �=0.25 1…13 ve 19 nolu çelik elemanlar NPU50 kesit alanı: 0.00072 m2 14…18 nolu çelik elemanlar 2xNPU50 kesit alanı: 0.001424 m2 20..25 nolu elemanlar beton levha kalınlığı: 0.036 m Sistemdeki çubuklar kafes eleman, beton elemanlar levha olarak çalışır1. SEM2015 in sonuçları aşağıda verilmiştir.

1 Bu hayali bir örnektir, uygulaması yoktur. Sonlu elemanlar metodunun farklı malzeme içeren sistemi çözebileceğini göstermek için düzenlenmiştir.

Örnek 35.8: Sağda görülen sistemde düşey ve yatay (1..19 nolu) elemanlar çelik profildir. 20..25 nolu elemanlar LC30/33 hafif beton dikdörtgen levhadır.

Page 12: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 308

Page 13: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 309

Değişken kesitli ankastre kemer Kısa teorik bilgi: Ankastre kemerler vadinin iki yakasında zemin sağlam ise(kaya) köprü olarak inşa edilirler. Kemer ekseni çoğunlukla 20 parabol alınır. Kemer eksenini fonksiyonu: 20 parabol S = 5T� + VT + W. Sınır koşulları x=0 da y=0 olmalı -> c=0 olur. x=L/2 de y=f

olmalı -> 5.� + 2VXY�Z. x=L de y=0 olmalı -> 5.� + V. = 0. Bu bağıntılardan 5 = −4 ZX� ve V = 4\

] bulunur. Bunlar

S = 5T� + VT + W de yerine konulunca kemer eksenini denklemi S = �^X�(. − T)T olur.

Kesit atalet momentinin kemer ekseni boyunca nasıl değişeceğine yönelik farklı yaklaşımlar vardır: Bakınız1. Örnek 35.9: Sayısal Örnek: C40/50 betonu ile inşa edilecek olan, aşağıda geometrisi ve yükleri verilen, ankastre kemerin iç kuvvet diyagramları çizilecektir.

Modelleme: Simetriden dolayı yarısı dikkate alınacaktır. SEM2015 programında eğri eksenli ve değişken atalet momentli çerçeve eleman yoktur. Kemer, şekilde görülen, yatay uzunluğu 1.0 m olan, 10 parçaya(elemana) bölünmüştür. Noktalardaki h kesit yükseklikleri bilinmektedir. Kesit genişliği sabit, her noktada b=1.0 m dir. Noktaların y ordinatları S = �^

X�(. − T)T den hesaplanır

1 Çakıroğlu, A., Çetmeli, E., Yapı statiği I, İTÜ, 1966

nokta x Y h 1 0.0 0.0 0.8 2 1.0 0.57 0.75 3 2.0 1.08 0.72 4 3.0 1.53 0.68 5 4.0 1.92 0.64 6 5.0 2.25 0.60 7 6.0 2.52 0.56 8 7.0 2.73 0.52 9 8.0 2.88 0.48 10 9.0 297 0.44 11 10.0 3.0 0.40

f (o

k)

10 m

Y

X

30 kN20 kN/m

10 m

2

1

3

4

5

67

89 10

10x1 m=10 m

Y

X

1 m 0.4 m

11

Page 14: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 310

Elemanların kesit yükseklikleri düğümlerindekinin ortalaması alınacak, eleman kesit alanı ve atalet momenti bu ortalama yükseklik kullanılarak bulunacaktır. Örnek: 1 ve 2 noktaları arasındaki parçanın ortalama yüksekliği ℎ`Qab3b=b =,.�c,.d�

� = 0.775 dir. 10 parçanın(10 elemanın) bu yaklaşımla hesaplanmış ortalama yükseklikleri aşağıdaki tabloda

verilmiştir. Elemanları dikdörtgen kesitinin genişliği b=1.0 m, yüksekliği tablodan alınacaktır. Parça 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10 10-11

Eleman no 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hortalama 0.775 0.735 0.70 0.66 0.62 0.58 0.54 0.50 0.46 0.42

Tekil ve yayılı yükün modellenmesi: Tepedeki 30 kN tekil yükün, simetri nedeniyle, yarısı alınmıştır. Her elemanın yatay uzunluğu 1.0 m olduğundan 20 kN/m yükünden oluşan 20.1.0 =20 kN eşdeğer tekil yükün yarısı elemanın bir düğümüne diğer yarısı diğer düğümüne gider. Buna göre tepe noktasında 15+10=25 kN, mesnette 10 kN, 2, 3, …, 10 noktalarında 20 kN tekil yük olur. Mesnet koşulları:. 1 noktasında yatay, düşey yer değiştirme ve dönme olmaz. 11 noktası simetri nedeniyle yatay yer değiştiremez, dönemez fakat düşey yer değiştirebilir. SEM2015 programına tanıtılan model ve alınan diyagramlar aşağıdaki gibidir.

Sim

etr

ieks

eni

3 m

Moment

Normal kuvvet

Kesme

Page 15: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 311

Page 16: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 312

Örnek 35.10: C40/50 betonu ile inşa edilecek olan aşağıdaki ankastre kemerin büzülmeden oluşacak iç kuvvet diyagramları çizilecektir. Kemerin geometrik modeli bir önceki Örnek 33.9 daki gibidir. Burada sadece büzülme etkileri ele alınacaktır. Büzülme tüm beton liflerinin kısalmasına neden olur. Kısalma ortam koşullarına, kesitin büyüklüğüne ve betonun yaşına bağlı olarak değişir, kesin değerini bilmek mümkün değildir. Büzülme birim kısalması yaklaşık ef = −0.00025 alınabilir. Eksi işareti kısalma anlamındadır. Betonun genleşme katsayısı gf = 10�� 1 h,i dir. Ortam sıcaklığı ∆k kadar

değiştiğinde beton birim uzama/kısalması gf∆k olur. Bundan yararlanarak ef = −0.00025 büzülme kısalmasına karşılık gelen ∆k değerini bulabiliriz: gf∆k = ef ⟶10��∆k = −0.00025 ⟶∆k = −25h, bulunur. Bunun anlamı şudur. 25h, lik üniform sıcaklık düşmesi ef = −0.00025 kısalmasına neden olur. O halde, büzülmeden oluşacak iç kuvvetleri üniform sıcaklık düşmesi yükü kullanarak bulabiliriz. Beton ano-ano döküleceği için uygulamada genellikle ∆k = −10 ∽ −15h, alınır. Geometrisi verilen kemerde ∆k =−15h, alınarak SEM2015 ile hesaplanan iç kuvvetler ve diyagramları aşağıda verilmiştir.

3 m

Sim

etr

ieks

en

i

Page 17: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 313

Moment

Normal kuvvet

Kesme

Page 18: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 314

Bu sistem1 den alınmış; malzeme, kesit ve yükler değiştirilmiştir.

1 Arbabi, F. , Structural Analysis and Behaviour, McGraw Hill, 1991, Sayfa 398

Örnek 35.11: HE-M400 çelik profil ile yapılacak olan sağdaki mafsallı çerçevenin iç kuvvet diyagramları çizilecektir. Tepe noktasındaki moment mafsalı elemanlar üzerinde değil elemanların birleştiği noktadadır. Dolayısıyla sistemdeki elemanlara mafsal koyarak modellemek mümkün değildir. Ne yapılabilir?

Model a: Mafsalın yerine boyu çok kısa eksenel yay konur. Eksenel yayın iki ucunda moment mafsalı vardır. Yay rijitliği çok büyük alınır. Örneğin L=0.1 m, Keksenel:=1020

kN/m.

Model b: Mafsalın yerine boyu çok kısa ve iki ucu moment mafsallı rijit çerçeve eleman konur. Kesit alanı ve atalet momenti çok büyük alınır. Örneğin L=0.1 m, A=10 m2, Iz:=1020 m4.

Model c: Geometri ve yük simetriktir. Mafsal noktasına düşeyde kayıcı basit mesnet konur, sistemin yarısı çözülür. Bu model sadece

sistem simetrik ise kullanılabilir.

5 m

5 m

5 m

10 m

20 kN/m15 kN

1

12

2

3

Düşeyde

kayıcı basit

mesnetX

Y

Page 19: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 315

Her üç model de aynı sonucu verir. Çözüm ve iç kuvvet diyagramları aşağıda verilmiştir.

Normal Kesme

Moment

Model a çözümü

Page 20: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 316

Model b çözümü

Normal Kesme

Moment

Page 21: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 317

Model c çözümü

Normal Kesme

Moment

Page 22: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 318

Bu sistem1 den alınmış; malzeme, kesit, yükler, ölçüler ve birimler(İngiliz birimleri yerine SI) değiştirilmiştir. SEM2015 sonuçları ve iç kuvvet diyagramları aşağıdadır.

1 Arbabi, F. , Structural Analysis and Behaviour, McGraw Hill, 1991, Sayfa 398

4 m

1

Örnek 35.12: Sağdaki düzlem çerçeve IPE400 çelik profil ile yapılacaktır. Üstteki kiriş alttaki kirişe kayıcı basit mesnet ile oturtulmuştur. İç kuvvet diyagramları çizilecektir.

4 m

1

MODEL: Kayıcı basit mesnet üstteki kirişin serbestçe alttaki kiriş üzerinde sağa sola kaymasını sağlar. Üstteki kirişten alttaki kirişe sadece düşey kuvvet aktarır, kesme kuvveti ve moment aktarmaz. Bunu sağlamak için 4-6 noktaları arasına 6 nolu çerçeve eleman konur. Bu elemanın bir ucunda moment ve kesme mafsalı tanımlanır. Eksenel ve eğilme rijitliği büyük seçilir. Örneğin: kesit alanı A=10 m2, atalet momenti Iz:=1020 m4. A nın büyük olması 6 nolu çubuğun, boyu kısalmaksızın, üst kirişin 4 noktasındaki reaksiyonunun doğrudan 6 noktasına aktarılmasını sağlar. Mafsallar kesme ve moment aktarılmayı önler.

Page 23: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 319

Normal

Kesme

Moment

Page 24: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 320

Örnek 35.13: C40/50 betonu ile inşa edilecek olan aşağıdaki sürekli kirişin İç kuvvet diyagramları çizilecektir1. MODEL: Kiriş yüksekliği değişkendir. Bu tip, guseli denilen, kirişler büyük açıklıklı köprü ve sanayi yapılarında nadiren kullanılır. SEM2015 de guseli kiriş eleman yoktur. Çözüm için aşağıdaki basit model kullanılabilir. 1. açıklığın sol ve sağ ucundaki 2.4 m lik kısımda ortalama yükseklik alınmıştır.

1 Çakıroğlu, A., Çetmeli, E., Yapı statiği II, İTÜ, 1966, S. 123

0.6

3

1.0

6

0.5

1.0

6 Değ

işke

n

0.6

3

0.7

8

0.5

1.0

6 De

ğiş

ken

Page 25: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015

D

Örnek 35.14: Sağdaki halka kesitli betonarme endüstri bacası C30/37 betonu ile inÖn tasarım amacıyla bacanın konsol kirhesaplanacak ve diyagramları çizilecektir.

Bacanın D dış çapı ve t et kalınlığı yükseklikle de35.14.2 de gösterilmiştir.

TS498-1997 çizelge 5 e göre q rüzgâr etkisi(basınç veya emme) de yükseklikle değerleri de şekil 35.14.2 de gösterilmiş

TS498-1997 ye göre yükseklik/ortalama cephe geniTS498-1997 Sayfa 11, 1.dipnot). Bacanın yüksekliDortalama=(3.2+9.8)/2= 13 m dir. h/ Dortalama

TS498-1997 ye göre kule tipi yapılarda rüzgâr yükü w=(1.6 Sinveya halka kesitlerde aşağıdaki çizimin solunda gösterilen rüzgâr yükü daÇap çok büyük değilse veya ön tasarım amaçlı hesaplarda bu karmabasit model kullanılabilir.

Basınç Emme

w=(1.6 Sinα-0.4)q rüzgâr yükü dağılımı

Rüzgâr, yüksekliği h genişliği D olan ve esme yönüne dik duran alana çarpıyor Rüzgârın çarptığı bu dik alanda w=(1.6 Sinoluşur. Rüzgârın terk ettiği diğer tarafta w=0.4q emme kuvveti olukN/m2 yatay yük etkiyecektir.

35. Karma sistem örnek çözümleri

ehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/

D D

Kesme

Moment

Sonuçlar kaynakta verilenlerden biraz farklıdır. Daha yakın sonuç alınmak istenirse 1. aralıdaha fazla elemana bölünür.

halka kesitli betonarme endüstri bacası C30/37 betonu ile inşa edilecektir. Ön tasarım amacıyla bacanın konsol kirş olarak rüzgâr yükünden oluşan İç kuvvet

diyagramları çizilecektir.

ı yükseklikle değişkendir. Her 10 m de bir D ve t değerleri

rüzgâr etkisi(basınç veya emme) de yükseklikle değişmektedir. q ekil 35.14.2 de gösterilmiştir.

1997 ye göre yükseklik/ortalama cephe genişliği oranı en az 5 olan yapılar kule tipidir (Bak 1997 Sayfa 11, 1.dipnot). Bacanın yüksekliği h=100 m, ortalama geniş

ortalama=100/13≈8 olduğundan yapı kule tipidir.

ule tipi yapılarda rüzgâr yükü w=(1.6 Sinα-0.4)q dür. Bu bağıntı dairesel ıdaki çizimin solunda gösterilen rüzgâr yükü dağılımına neden olur.

ilse veya ön tasarım amaçlı hesaplarda bu karmaşık dağılım yerine aşağıdaki

Emme

w=(1.6 Sinα-0.4)q rüzgâr yükü basit modeli

i D olan ve esme yönüne dik duran alana çarpıyor varsayılır. 1.6 Sinα-0.4)q =(1.6 Sin 90-0.4)q =1.2q basınç kuvveti

er tarafta w=0.4q emme kuvveti oluşur. Bacaya toplam w=16q

Basınç Emme

Sayfa 321

t

0.4 0.49 m

0.13

0.1

Sonuçlar kaynakta verilenlerden biraz farklıdır. Daha yakın sonuç alınmak istenirse 1. aralığın sol ve sağ ucu daha fazla elemana bölünür.

a edilecektir. ç kuvvetleri

şekil

mektedir. q

i oranı en az 5 olan yapılar kule tipidir (Bak i h=100 m, ortalama genişliği

ıntı dairesel ılımına neden olur.

ş ğıdaki

varsayılır. 0.4)q =1.2q basınç kuvveti

ur. Bacaya toplam w=16q

Şekil 35.14.1: Sanayi bacası

Page 26: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 322

Dortalama

tortalama

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Dortalama=3.53tortalama=0.115

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Dortalama=4.15tortalama=0.145

Dortalama=4.84tortalama=0.17

Dortalama=5.5tortalama=0.2

Dortalama=6.17tortalama=0.235

Dortalama=6.83tortalama=0.265

Dortalama=7.49tortalama=0.295

Dortalama=8.15tortalama=0.325

Dortalama=8.81tortalama=0.335

Dortalama=9.47tortalama=0.385

XY

0.4 0.49 m

0.13

0.1

D

t

D=9.80t=0.4

D=9.14t=0.37

D=8.48t=0.34

D=7.82t=0.31

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

D=3.2 mt=0.10 m

D=3.86t=0.13

D=4.52t=0.16

D=5.16t=0.18

D=5.84t=0.22

D=6.5t=0.25

D=7.16t=0.28

1

2

3

4

5

6

7

9

10

Şekil 35.14.2: Sanayi bacası Şekil 35.14.3: Hesap modeli Bac

a 10

ele

man

a bö

lünm

üş, h

er e

lem

anın

Dor

tala

ma

dış

çapı

, tor

tala

ma

et k

alın

lığı ş

ekil

35.1

4.3

te g

öste

rilm

iştir

. H

er e

lem

ana

w=

16q

kN/m

2 yat

ay y

ükü

etki

yece

ktir.

Bu

yükü

n et

ki a

lanı

kes

itin

rüzg

âr y

önün

e di

k dü

şey

düzl

emde

ki iz

düşü

m a

lanı

alın

ır.

Bu

alan

=E

lem

an b

oyu . D

orta

lam

a dı

r. H

er

elem

anın

boy

u sa

bit=

10 m

dir.

Bir

elem

ana

etki

yen

rüzg

âr y

ükü

teki

l ola

rak

hesa

plan

ırsa

1.6

q . 10

. Dor

tala

ma

kN o

lurr

. Tek

il ku

vvet

yer

ine

çizg

isel

yük

hes

apla

mak

dah

a ge

rçek

çidi

r.

Bir

elem

anın

çiz

gise

l yük

ü 1.

6q . D

orta

lam

a kN

/m d

ir. H

er e

lam

anın

bun

a gö

re h

esap

lana

n çi

zgis

el y

ükü

şeki

l 35.

14.3

de

göst

erilm

iştir

.

1.6q . Dortalama

Page 27: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 323

Kesme Moment

Page 28: 35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu.trmmf2.ogu.edu.tr/atopcu./index_dosyalar/Dersler/SonluElemanlarMetodu...SEM2025 de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem

35. Karma sistem örnek çözümleri

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 324

Örnek 35.15: Sağdaki betonarme kiriş(beton: C30/37) x-y yatay düzleminde bir balkon kirişidir. A ve B noktasında rijit perdeye bağlıdır. A-B arası doğru parçası, B-C arası 2 m yarıçaplı ¼ çemberdir. Kiriş kesiti her yerde 30/60 cm dir. Kiriş üzerinde her yerde 40 kN/m düzgün yayılı düşey yük vardır. Kirşin iç kuvvetleri hesaplanacaktır. HESAP MODELİ: Eğrisel kısım 4 parçaya bölünmüş, doğru eksenli çubuk varsayılmıştır. Kiriş X-Y düzleminde olduğundan düzlem kaset olarak davranır. Bunun anlamı X ve Y yönünde yer değiştirme ve düşey Z ekseni etrafında dönme olmaz. Z doğrultusunda yer değiştirme, X ve Y etrafında dönme vardır. Kirşte burulma momenti oluşur.. Notaların koordinatları: 1, 2 ve 6 noktalarının koordinatları geometriden okunabilir. 3, 4, 5 noktalarının koordinatları 90/4=22.50 merkez açı yardımıyla hesaplanmıştır. Nokta X(m) Y(m) Z(m) 1 0 2 0 2 2 2 0 3 2.77 1.85 0 4 3.41 1.41 0 5 3.85 0.77 0 6 4 0 0

2 m

2 m

Hesaplanacak balkon kirişi

Hesap modeli