PAT 1 (เลข) สอบคร��งท�� 2/2552เฉลยอย�างไม�เป!นทางการ โดย ค&ณแนท ศศ*กานต, เล*ศล-าเนาช�ยท�มงานอาจารย,อ01ขอขอบพระค&ณมา ณ โอกาสน��http://teacherooh.com

ข�อ 1. จาก ≡→ qp ~ pq ~→จะได�วา )]([~)]([)]([~)]([ xPxxQxxQxxPx ∃→∀≡∃→∀

ตอบข�อ 2.

ข�อ 2.พ�จารณา ข�อ 4. ]9)[( 22 xyyyxyx +≥−∃∃

จะได�วา

011011

922

222

≥−≥−

+≥+−

yxxyx

xyyyxyx

ซ��งไมม�คา x และ y ท��อย�ในจ�านวนเต"มบวก และน�อยกวา 10 ท��ท�าให�สมการเป'นจร�ง

ตอบข�อ 4.

ข�อ 3.สมมต�ให�ผ��ต�องการศ�กษาตอ ค+อ A n(A)=725สมมต�ให�ผ��ต�องการท�างาน ค+อ B n(B)=160จากโจทย-จะได� n(AUB)=813

จะได�

72)()(160725813

)()()()(

=∩∩−+=

∩−+=∪

BAnBAn

BAnBnAnBAn

จ�านวนผ��ท��ต�องการศ�กษาตอ และท�างานด�วยม�จ�านวน 72 คนตอบข�อ 2.

21− 1 2

21 3

321

21− 1 2

ข�อ 4.พ�จารณาข�อ 4. พบวา A⊂1

A⊂2แต A⊄3ด.งน./น ข�อ 4. ผ�ด

ตอบข�อ 4.

ข�อ 5.พ�จารณาหา เซต A

)2,1[]21,( ∪−− ∞=A

พ�จารณาหา เซต B

)3,21(=B

จะได� BA ∩

)2,1[=∩ BAด.งน./น c=1 และ d=2 จะได�วา 6c-d = 6-2=4

ตอบข�อ 1.

ข�อ 6.0153415)3)(1( 2422 ≤−+−=≤−− xxxx

0124 24 ≤−−= xx

6− 6

-3 -2 2 3

-3 -2 2 3

0)2)(6( 22 ≤+−= xx

จะได� ]6,6[−=Aด.งน./น 6,6 =−= ba

24)66()( 22 =+=− abตอบข�อ 1.

ข�อ 7.

พ�จารณา )2)(3()3)(3)(2)(2(

)2)(3()9)(4(

653613 22

2

24

+++−+−=

++−−=

+++−

xxxxxx

xxxx

xxxx

จะได�

),3[]2,2()3,( ∞∪−∪−− ∞=S

),2( ∞∩S จะได�

),3[ ∞=

ด.งน./น a = 3 , b = -254922 =−=− ba

ตอบข�อ 3.

ข�อ 8.พ�จารณา 5))(( 2 −= xxgfพ�จารณา 2)5())(( −= xxfgจะได�วา 22 )5(5 −=− xx

-1 1

1

1-1

1

33010

25105 22

==

+−=−

xx

xxx

ซ��งจากโจทย-หมายถ�ง a = 3พ�จารณาหา )().())(( agafafg =

253)3( −=−=f9)3( =g

ด.งน./น 18)9)(2())(( −=−=afgตอบข�อ 2.

ข�อ 9.พ�จารณา )()( bafbaf −=+

1212 2222 +−++−=+++++ bababababababab 24 −=

5.0−=aด.งน./น 25.02 =a ซ��งอย�ในชวง (0,0.5)

ตอบข�อ 1.

ข�อ 10.จากโจทย-วาดกราฟได�ด.งร�ป

พ�จารณา กราฟอ�นเวอร-สได�ด.งร�ป

ด.งน./น ก.ถ�กต�องพ�จารณา จ3ดต.ดท��เก�ดจากกราฟท./งสองจะได� xx ±=2

xx =4

และ x อย�ในชวง [0,1]จะได� x = 0 และ x = 1

A

B CD

4 3

25

A

D Cx x

2.52

1.5

ด.งน./น ข.ถ�กต�องตอบข�อ 1.

ข�อ 11.

พ�จารณา°°

°°°°

°

°

°

°

10cos10sin10sin30cos10cos30sin)

10cos30cos

10sin30sin( −=−

°°

°°

10cos10sin)1030sin( −=

°°

°

10cos10sin220sin2=

°

°

20sin20sin2=

2=ตอบข�อ 3.

ข�อ 12.

เม+�อพ�จารณาร�ปจะพบวา เป'นร�ปสามเหล��ยมม3มฉาก และเป'นสามเหล��ยมคล�ายด.งน./น BC จ�งเป'นด�านหน��งของสามเหล��ยมม3มฉากด�วย ม�คาเทาก.บ 5 หนวย

ตอบข�อ 3.

ข�อ 13.

จาก 2

)arcsin()5arcsin( π=+ xx

Take sin : 1)sin(sin)5cos(sin)cos(sin)5sin(sin 1111 =+ −−−− xxxx1)5cos(sin)cos(sin 11 =+ −− xxxsx

xxx 1)cos(sin)cos(sin5 11 =+ −−

)5cos(sin51)5cos(sin 11 xx

x −− −= (1)

Take cos : 0)sin(sin)5sin(sin)cos(sin)5cos(sin 1111 =− −−−− xxxx

211 5)cos(sin)5cos(sin xxx =−−

)5cos(sin5)cos(sin 1

21

xxx −

− = (2)

น�า(1)แทนใน(2) จะได�)cos(sin51

5)cos(sin1

21

xx

xx−

−

−=

2121

5)(sincos5)cos(sin xxx

x =− −−

))(sinsin1(5)cos(sin 1221

xsxx

x −−

−+=

5)cos(sin 1

=−

xx

พ�จารณา)cos(sin)sin(sin)tan(arcsin 1

1

xxx −

−

=

)cos(sin 1 xx

−=

51=

ตอบข�อ 1.

ข�อ 14.พ�จารณาเส�นตรง 21,ll ซ��งส.มผ.สวงกลมท��จ3ด P และ Q อ�กท./งม�เส�นตรงท��ผานจ3ดศ�นย-กลาง จ3ด P และจ3ด Q จ�งท�าให�ทราบได�วา เส�นตรงท./งสองเส�นขนานก.นพ�จารณาหาเส�นตรง 2l ซ��งม�ระยะหางจาก เส�นตรง 2021 =l (2 เทาของร.ศม�วงกลม)

จะได�วา41|5|202

+−= c

|5|20 c−=15,25 −=c

เม+�อพ�จารณาจากร�ปจะพบวา c=-15ด.งน./น 0152:2 =−− yxlจะได� (15,0) อย�บนเส�นตรง 2l

ตอบข�อ 4.

ข�อ 15.พ�จารณา S จะได�กราฟด.งร�ป

1717−

p

q

พ�จารณา A จะได�กราฟด.งร�ป

พ�จารณา B จะได�กราฟด.งร�ป

เม+�อน�าท./งสามกราฟมารวมก.น พ�จารณาจ3ดท��อย�ใกล�ก.นมากท��ส3ดของ BSAS ∩∩ , ค+อจ3ดด.งร�ป

พ�จารณาหาจ3ด p จะได�วา1722 =+ yx (1)122 =− yx (2)

(1)+(2) : 182 2 =x3±=x

22±=yจะได�ท./งหมด 4 จ3ด ให�จ3ด p ค+อ )22,3(−พ�จารณาหาจ3ด q จะได�วา

1722 =+ yx (1)122 =− xy (2)

(1)+(2) : 182 2 =y

(1,0)(1,0)

(-1,0)

3±=y22±=x

จะได�ท./งหมด 4 จ3ด ให�จ3ด q ค+อ )3,22(−

ระยะทางระหวางจ3ด p และ q ค+อ 22 )322()223( −++−

9212882129 +−++−=

22434 −=

144234 −=423 −=

ตอบข�อ 1.

ข�อ 16.จาก xy 82 −=

xy )2(42 −=จะได�วา โฟก.ส (-2,0)พ�จารณาระยะทางระหวางเส�นตรง 2x + y =6 และจ3ดโฟก.ส จะได�

525

105

|64|12

|)6()0(1)2(2|22

==−−=+

−++−

ตอบข�อ 1.

ข�อ 17.จากโจทย-สามารถวาดร�ปวงร�ได�ค+อ

จากร�ปจะได�วา 1=c1=b

ด.งน./น 211 =+=a

จะได�สมการวงร� ค+อ 12

22 =+ yx

จ3ดท��อย�บนวงร� ค+อ

34,

31

ตอบข�อ 4.

ข�อ 18.1)49(log)4(log 22 +−=− xx

2log)49(log2log

)4(log22

2

2 +−=− xx

)49(2log)4(log 22

2 xx −=−xx 818)4( 2 −=−

xxx 818816 2 −=+−22 =x

2,2−=xซ��งค�าตอบท��ได�อย�ในชวง )2,2[−

ตอบข�อ 3.

ข�อ 19.จาก y=5xจะได�วา xy yx =

xx xx )5(5 =Take log )5log()log(5 xxxx =

)5log()log(5 xx =)log()5log()log(5 xx +=

)5log()log(4 =x54 =x

≈= 54

x 1.495ซ��งค�าตอบอย�ในชวง )2,1[

ตอบข�อ 2.

ข�อ 20.จากโจทย-จะได�วา

30loglog =ad

30loglog da =

50loglog =bd

50loglog db =

จาก 15log =dabc

15loglog =abcd

15logloglog

log =++ cbad

15log

50log

30log

log =++ cdd

d

dc

loglog

501

301

151 ++=

751

loglog =dc

dcd

clog75loglog ==

ตอบข�อ 1.

ข�อ 21.

ก�าหนดให�

=

dcba

A

จาก det(A)=4 จะได� 4=− bcadจาก A-3I เป'นเมทร�กซ-เอกล.ษณ- แสดงวา det ไมเทาก.บ 0 ด.งน./น

−

−=

−

=−

33

3003

3dcba

dcba

IA

0)3)(3()3det( =−−−=− bcdaIA0933 =−+−− bcdaad

1333 =+ da

พ�จารณา A+3I

+

+=

+

=+

33

3003

3dcba

dcba

IA

bcdaIA −++=+ )3)(3()3det(bcdaad −+++= 933

269134 =++=ตอบข�อ 4.

ข�อ 22.122 =−− zyx (1)

73 =+− zyx (2)5−=−+− zyx (3)

(2)+(3) : 22 =− y

1−=y(1)+(2) : 853 =− yxแทนคา y 1=xแทนคา x,y yxz 37 +−=

3=zด.งน./น

01)2(1321 =+−+=++zyx

ตอบข�อ 1.

ข�อ 23.จาก (1)

(2)

(1)x2 : (3)

(2)+(3) :

(2)-A :

พ�จารณาหา

det(AB) = -4จะได�

ตอบข�อ 4.

ข�อ 24.จากเวกเตอร-สองเวกเตอร-ต./งฉากก.นท�าให� u.v = 0

พ�จารณาหา

ตอบข�อ 4.

ข�อ 25.จ.ดร�ปสมการใหมจะได� ubavba )322()( −+=−

เน+�องจาก vuvu ≠.

จะได�วา 0=− ba (1)และ 0322 =−+ ba (2)(1)x2 : 022 =− ba (3)(2)+(3) : 034 =−a

43=a

ด.งน./น a อย�ในชวง )1,21[

ตอบข�อ 2.

ข�อ 26.จาก 014 =+zจะได�วา 14 −=z

12 −=ziz =2

iz =

พ�จารณา 22 11i

iz

z +=+

21i

i +=

iii 122 ++=

22 ==ii

ตอบข�อ 2.

ข�อ 27.

สมมต�ให� biaz +=1

dicz +=2

idbcazz )()(21 +++=+

3)()( 22 =+++= dbca9)()( 22 =+++= dbca

922 2222 =+++++= dbdbcaca))((. 21 dicbiazz −+=

iadbcbdac )()( −++= จะได�วา 3=+ bdac

4=− adbcพ�จารณา )()( 22222

22

1 dcbazz +++=+

จาก 922 2222 =+++++ dbdbcaca692222 −=+++ dcba

ด.งน./น 322

21 =+ zz

ตอบข�อ 1.

ข�อ 28.พ�จารณาหาจ3ดต.ดของท./งสองสมการ

x + 2y =40 (1)3x+2y = 60 (2)

(2)-(1) : 2x = 20x = 10y = 15

พ�จารณาหาคา P ส�งส3ด จาก P=5x+4yP = 50 + 60 =110

ตอบข�อ 3.

ข�อ 29.จากส�ตรล�าด.บเลขคณ�ต

จะได� d=5

พ�จารณา

พ�จารณา

ตอบข�อ 2.

ข�อ 30.จาก

ด.งน./น ซ��งเป'นจ�านวนเต"มบวก

จะได� k= 4 และ A = 8ตอบข�อ 4.

ข�อ 31.

จากโจทย-ต�องการ ∑∞

= 22

1n n

จะได�วา ∑∑∞

=

∞

=

−−

=2

22

2 111

nnA

nn

พ�จารณา ∑ ∑∞

=

∞

= +−=

−2 22 )1)(1(

11

1n n nnn

)1

11

1(21

2 2∑ ∑

∞

=

∞

= +−

−=

n n nn

...)51

41

31...

31

21

11(

21 −−−−+++=

43)

211(

21 =+=

ด.งน./น Ann

−=∑∞

= 431

22

ตอบข�อ 3.

ข�อ 32.

พ�จารณา cxxxxf +−+= 52

)(2

3

1)0( == cf

152

)(2

3 +−+= xxxxf

จากโจทย-ต�องการหา ∫−

1

1

)( dxxf

จะได�วา ∫−

+−+1

1

23 )15

2( dxxxx

11

234

|2

564

=−=+−+= x

xxxxx

)125

61

41(1

25

61

41 −−−−+−+=

372

62 =+=

ตอบข�อ 2.

ข�อ 33.)1)(()1()()1()( hfghfg ′+′=′+)1()1()1()1()1( hgfgf ′+′+′=

62)1)(2()2)(1(

=++=

ตอบข�อ 4.

ข�อ 34.พ�จารณาหาความช.นเส�นโค�งท�� x=1

xxy 12 3 −=

)21(6 2

32

−−−=′ xxy

213)

21(6)1( =−−=′y

จะได�ความช.นของเส�นตรง ค+อ 132−

พ�จารณาจ3ดท��อย�บนเส�นโค�ง เม+�อ x=1112)1( =−=y

จ3ดต.ดท��ได�ค+อ (1,1)

พ�จารณาหาเส�นตรง ท��ผานจ3ด(1,1) และม�ความช.นค+อ13

2−

c+−=13

21

1315=c

จะได�1315

132 +−= xy

01513215213

=−++−=

yxxy

ตอบข�อ 4.

ข�อ 35.กรณ� 1 ลงท�ายด�วยเลข 0 จะได� 5x4x3 = 60 ว�ธ�กรณ� 2 ลงท�ายด�วยเลข 2 จะได� 4x4x3 = 48 ว�ธ�กรณ� 3 ลงท�ายด�วยเลข 8 จะได� 4x4x3 = 48 ว�ธ�รวมท3กกรณ�ได� 60+48+48 = 156 ว�ธ�

ตอบข�อ 2.

ข�อ 36.จากโจทย- ต�องการหาจ�านวนเต"มท��ม�คาต./งแต 100 ถ�ง 999 ท��หารด�วย 2 ลงต.ว แตหารด�วย 3 ไมลงต.วน.�นค+อ จ�านวนเต"มท��หารด�วย 2 – ลงต.ว จ�านวนเต"มท��หารด�วย 6 ลงต.วพ�จารณาหาจ�านวนเต"มท��อย�ในชวงและ 2 หารลงต.ว

4504491

2)1(1009982,998,1001

==−

−+====

nn

ndaa n

พ�จารณาหาจ�านวนเต"มท��อย�ในชวง และ 6 หารลงต.ว

1501491

6)1(1029966,996,1021

==−

−+====

nn

ndaa n

ด.งน./น จ�านวนท��ได�ท./งหมดท��โจทย-ต�องการค+อ 450-150 = 300 ต.วตอบข�อ 3.

ข�อ 37.Sample space = 2863,13 =C

Event : กรณ� 1 สตรอเบอร�� ชอคโกแลต กาแฟ = 5x4x2 = 40 ว�ธ�กรณ� 2 สตรอเบอร�� ชอคโกแลต ม�นท- = 5x4x2 = 40 ว�ธ�กรณ� 3 สตรอเบอร�� กาแฟ ม�นท- = 5x2x2 = 20กรณ� 4 ชอคโกแลต กาแฟ ม�นท- = 4x2x2 = 16รวมท./งหมด 40+40+20+16 = 116

ด.งน./นความนาจะเป'นท��ได� ค+อ 14358

286116 =

ตอบข�อ 2.

ข�อ 38.Sample space 450)10)(45())(( 1,102,10 ==CC

Event : พ�จารณาจ3ดท��เล+อกจากเซต B พบวาจะท�าให�คาของสวนส�ง เป'น 1 คงท��เสมอ ด.งน./น ถ�าต�องการพ+/นท��สามเหล��ยม ท��ม�ขนาด 1 ตารางหนวย ต�องได�ระยะทางระหวางจ3ด 2 ค�ท��เล+อกจากเซต A ม�ระยะทางหางก.น 2 หนวยจะได�ค�จ3ดท��เป'นไปได�ค+อกรณ� 1 : (0,10)-(0,8) และเซต B ท./งหมด 10 จ3ด จะได� 10 ว�ธ�กรณ� 2 : (0,9)-(0,7) และเซต B ท./งหมด 10 จ3ด จะได� 10 ว�ธ�กรณ� 3 : (0,8)-(0,6) และเซต B ท./งหมด 10 จ3ด จะได� 10 ว�ธ�กรณ� 4 : (0,7)-(0,5) และเซต B ท./งหมด 10 จ3ด จะได� 10 ว�ธ�กรณ� 5 : (0,6)-(0,4) และเซต B ท./งหมด 10 จ3ด จะได� 10 ว�ธ�กรณ� 6 : (0,5)-(0,3) และเซต B ท./งหมด 10 จ3ด จะได� 10 ว�ธ�กรณ� 7 : (0,4)-(0,2) และเซต B ท./งหมด 10 จ3ด จะได� 10 ว�ธ�กรณ� 8 : (0,3)-(0,1) และเซต B ท./งหมด 10 จ3ด จะได� 10 ว�ธ�รวมท./งส�/น 80 ว�ธ�

ด.งน./นความนาจะเป'นท��ได� ค+อ 458

45080 =

ตอบข�อ 1.

ข�อ 39.Sample space 1532,18 =C

Event :กรณ� 1 : ถ3งเท�าส�ขาว 282,8 =C ว�ธ�กรณ� 2 : ถ3งเท�าส�ด�า 152,6 =C ว�ธ�กรณ� 3 : ถ3งเท�าส�น/�าเง�น 62,4 =C ว�ธ�รวมท./งส�/น 28 + 15 + 6 =49 ว�ธ�

ด.งน./นความนาจะเป'นท��ได� ค+อ 15349

ว�ธ�

ตอบข�อ 4.

ข�อ 40.

จาก 22

xNx

sd i −= ∑

จะได�วา 910

52

−= ∑ ix

1402 =∑ ix

ผลรวมพ+/นท��วงกลมท./ง 10 วง ค+อ ∑ = ππ 1402ix

ตอบข�อ 3.

ข�อ 41.จากโจทย-ทราบวา ม�น.กเร�ยนท./งส�/น 150 คนพ�จารณาข�อ 1. ม.ธยฐาน ต�องอย�ในชวงช./นท��4 ค+อ 150-159 ด.งน./นข�อ 1. ผ�ดพ�จารณาข�อ 2. ฐานน�ยม ต�องอย�ในชวงช./นท�� 4 ค+อ 150-159 ด.งน./น ข�อ 2. ผ�ดพ�จารณาข�อ 3. ควอร-ไทล-ท�� 3 อย�ในชวงช./นท�� 4

)50

704

3150

(5.1493

−×

+=Q

55.1503 =Q ด.งน./น ข�อ 3. ถ�กพ�จารณาข�อ 4. เปอร-เซนไทล-ท�� 20 อย�ในชวงช./นท�� 2

)20

10100

20150

(5.12920

−×

=P

5.13020 =P ด.งน./น ข�อ 4. ผ�ดตอบข�อ 3.

xz = 1.12

ข�อ 42.จากโจทย- ม�จ�านวนพน.กงานท��ได�เง�นเด+อนมากกวานายศอย�ประมาณ 30% หมายถ�ง ม�จ�านวนพน.กงานท��ได�เง�นเด+อนต��ากวานายยศอย�ประมาณ 70%แสดงวา นายยศ อย�ในต�าแหนง เดไซล-ท�� 7 ม�เง�นเด+อน 25,000 บาทพ�จารณาเง�นเด+อนนายเอก ค+อ 40,000-25,000 = 15,000 บาทจากตารางท�าให�ทราบวา นายเอกอย�ในต�าแหนงเดไซล-ท�� 3ค�ดเป'นเปอร-เซ"นต-ของจ�านวนพน.กงานท��ได�เง�นเด+อนน�อยกวานายเอกค+อ 30%

ตอบข�อ 2.

ข�อ 43.จากโจทย-บอกวา 13.14% ของข�อม�ลม�คามากกวา x แสดงวา 12.1=xz

เน+�องจาก x ม�คามากกวา y อย� 2% ของสวนเบ��ยงเบนมาตรฐาน น.�นค+อ sdxy 02.0−=

sdxx −=12.1 (1)

sdxyz y

−=

sdxsdxz y

−−= 02.0 (2)

น�า (1)แทนใน(2) จะได� 1.102.012.1 =−=yz

0.1314

0.3643

0.5

xz = 1.12

10.1=yz

ด.งน./นจ�านวนข�อม�ลท��ม�คาน�อยกวา y ม�คาเทาก.บ 86.43%ตอบ

ข�อ 3.

ข�อ 44.สมมต�ให�คา Z-score ของนายด�า ค+อ x และ Z-score –ของนายแดง ค+อ x

จะได�วาsd

xscorex black −= (1)

sdxscorex red −=− (2)

(1)+(2) ;sd

xscorescore redblack 20 −+=

เน+�องจาก sdscorescore redblack 4=+ จะได�

sdxsd 240 −=

xsd 24 =

จากส.มประส�ทธ�7ความแปรผ.น ค+อ xsd

ด.งน./น ส.มประส�ทธ�7ความแปรผ.น ค+อ 5.042 =

ตอบข�อ 1.

ข�อ 45.โจทย-ก�าหนดให�วา ∑ ∑ ==== 200,100,5.0,75.1 22 xxyxs yx

จะได� ∑ =×= 501005.0y

22

2 xnx

sx −= ∑

2

10020075.1 x−=

5.0

25.02

=

=

x

x

501005.0 =×=∑ x

จาก bxay += (1)Take sigma : ∑ ∑ ∑+= bxay

ba 5010050 +=ba += 21 (2)

(1)xX : 2bxaxxy +=Take sigma : ∑ ∑ ∑+= 2bxaxxy

ba 20050100 +=ba 42 += (3)

(3)x2 : ba 824 += (4)(4)-(2) : b73 =

73=b

น�าคา b แทนในสมการ (4) :2

7244 −

=a

72=a

จะได�ความส.มพ.นธ-เช�งฟ8งก-ช.นค+อ xy73

72 +=

พ�จารณาหาคา y เม+�อ x =4 จะได� 27

1272 =+=y

ตอบข�อ 4.

ข�อ 46.จากสมการพบวา จะเทาก.นตลอด ข�/นอย�ก.บ n เทาน./นด.งน./น ทดลองหาคา n ท��มากท��ส3ดท��ท�าให�สมการเป'นจร�งจะได� n = 3 น.�นค+อให�f(1)=3f(2)=2f(3)=1ซ��งท�าให� f(1)+f(2)+f(3) = f(1)f(2)f(3)=6ด.งน./น f(1)-f(n)=3-1 =2

ตอบข�อ 1.

ข�อ 47.

จาก 111

1

=++nn aa

จะได�วา 111

21

=+aa

12

111aa

−= (1)

11

12 −

=∴aaa

111

32

=+aa (2)

23

111aa

−=

น�า(1)แทนใน(2)จะได� 111131

=+−aa

31

11aa

= 31 aa =∴

111

43

=+aa

111142

=+−aa a

42

11aa

= 42 aa =∴

จากท./งหมดข�างต�นสามารถสร3ปได�วา

1

.......

1

12

8642

7531

−=

========

aaa

aaaaaaaa

จาก 250... 100321 =++++ aaaaจะได�วา 2505050 21 =+ aa

255

55

51

5

1

11121

1

11

21

±=

−=+−

=−

+

=+

a

aaaaaaa

aa

เม+�อ 5355,

255

21 ++=+= aa

เม+�อ 5355,

255

21 −−=−= aa

พ�จารณา |5.2| 2552 −a

เม+�อ 5355

25522 ++== aa

จะได� |25

5355||5.2| 2552 −

++=−a

25

854

|5353

)53(2535|

|)53(2

55155210|

==

−−

+−−=

+−−+=

เม+�อ 5355

25522 −−== aa

จะได� |25

5355||5.2| 2552 −

−−=−a

25

854

|5353

)53(2535|

|)53(2

55155210|

==

++

−+−=

−+−−=

ตอบข�อ 3.

ข�อ 48.A+B = C (1)B+C = 2A (2)

(1)-(2) ; A-C = C-2A3A = 2C

(1)+(2) ; A+2B = 2AA = 2B

จะได�3

22 CBA ==

พ�จารณาเง+�อนไข (1) พบวา B จะม�คามากท��ส3ด เม+�อ C = 100

ด.งน./น 3

22 CB =

32002 =B

33.333

100 ≈=B

B อย�ในชวง [0,40]ตอบข�อ 1.

ข�อ 49.จากโจทย-เม+�อพ�จารณาความเป'นไปได�ท��เก�ดข�/นม�ด.งน�/

ก ข ง ค จจ ข ง ค ก

พบวา นายข จะเข�าเส�นช.ย เป'นล�าด.บท�� 2 ในท3กกรณ�ท��เป'นไปได�ตามโจทย-ก�าหนดสวนข�อ 1. นาย ก เข�าเส�นช.ยเป'นล�าด.บท�� 1 น./น พบวา ไมได�เป'นจร�งในท3กกรณ�จ�งถ+อวาผ�ดสวนข�อ 4. นาย จ เข�าเส�นช.ยเป'นล�าด.บท�� 1 น./น พบวา ไมได�เป'นจร�งในท3กกรณ�จ�งถ+อวาผ�ด

ตอบข�อ 2.

ข�อ 50.จากโจทย-เม+�อพ�จารณาความเป'นไปได�ท��เก�ดข�/นม�ด.งน�/- ง ข ค - ได�คะแนน 6 คะแนน- ง ข ค - ได�คะแนน 6 คะแนน- ข - - - ได�คะแนน 8 คะแนน- ข - - - ได�คะแนน 8 คะแนน- ข - - - ได�คะแนน 8 คะแนน- ข - - - ได�คะแนน 8 คะแนนคะแนนรวมของนายข ค+อ 6+6+8+8+8+8 =44 คะแนน

ตอบข�อ 3.

ท�กคนคร�บ

การสอบน��น ได�ค�บคลานใกล�เข�ามาอย�างช�าๆ

แต�หลายคนย�งเตร�ยมต�วไม�พร�อม และหลายคนก#ย�งออกอาการหว�$นใจอย&� รวมไปถ)งค�ณพ�อค�ณแม�ของน�กเร�ยนหลายคนก#ย+$งอย&�ในภาวะสต+แตก

จะเตร�ยมต�วอย�างไร จะอ�านหน�งส�อเล�มไหนด� ท-าอย�างไรจ)งจะท-าคะแนนได�ด� จะเล�อกคณะอย�างไร ท��งหมดน��คงจะวนเว�ยนอย&�ในห�วของใครหลายคนเป/นแน�

ท��งข�อสอบท�$ว�ายาก ก#เล�นเอาหลายคนท�อแท� และหมดก-าล�งใจ

อาจารย0อ&1จ)งขอเช+ญท�กท�าน ให�อ�าน " หากเราต�องส&� เร�ยนไม�เก�งก#สอบเข�ามหาว+ทยาล�ยได�สบาย " เพ�$อ ท�$จะได�เตร�ยมต�วสอบอย�างถ&กว+ธ� เป5ดเผยท�กเคล#ดล�บโดยผ&�ท�$ผ�านการสอบมาแล�ว รวมส�ดยอดกลย�ทธ0ท�$จะท-าให�สอบได�คะแนนด�อย�างสบายๆและไม�เคร�ยด หน�งส�อเล�มน��น��นได�ร�บการออกแบบให�ร�บก�บการสอบ GAT PAT เร�ยบร�อยแล�ว

อยากร0?ว�าจะร�บมAอก�บ GAT PAT อย�างไรต?องอ�าน

อยากร0?ว*ธ�การเลAอกคณะแบบไม�ผ*ดหว�งต?องอ�าน

อยากร0?ว*ธ�ม��วอย�างม�หล�กการต?องอ�าน

อ�านแล?วจะสามารถประกาศให?โลกร0?ว�า เร�ยนไม�เก�ง กHสอบต*ดมหาล�ย (ชA�อด�ง) ได?นะจIะ

อ�านแล?วท&กคนจะได?แง�ค*ดด�ๆ ท��งเก��ยวก�บการสอบเข?าโดยตรง และ ม&มมองต�อช�ว*ต

ช�$อหน�งส�อ - หากเราต�องส&� เร�ยนไม�เก�งก#สอบเข�ามหาล�ยได�สบาย

เข�ยนโดย - ธ�ญกฤต คงจ�นทร0

ราคา - 139 บาท

ISBN - 9786169034605

เวลาไปถามหน�งส�อท�$ร�านให�ถามว�า "หากเราต?องส0?" ก#พอคร�บ หาเจอแน�นอน

อ�านก�อนสอบนะคร�บ ถ�าอ�านหล�งสอบเส�ยใจแย�เลย

อ�านแล�วจะได�ร&�ว�า เร�ยนไม�เก�งก#สอบเข�ามหาว+ทยาล�ย (ช�$อด�ง) ได�นะจMะ

อ�กเล�มท�$ขอแถม และอยากให�อ�านมากเช�นก�น (จร+งแล�วอยากให�ซ��อให�ค�ณพ�อค�ณแม�อ�าน จะได�เข�าขาก�น สอบก�นเป/นท�ม)

ค�อหน�งส�อ " เม�$อล&กสอบเข�ามหาว+ทยาล�ย ค-าแนะน-าไม�ให�พ�อแม�สต+แตก "

อ�านแล�วค�ณพ�อค�ณแม�จะได�เข�าใจล&กๆมากข)�น เข�าใจท��งการสอบของล&ก และเข�าใจท��งการเล�อกคณะของล&ก ท-าให�พ&ดจาภาษาเด�ยวก�น เวลาล&กสอบจะได�สอบได�อย�างสบายใจ

ช�$อหน�งส�อ - "เม�$อล&กสอบเข�ามหาว+ทยาล�ย ค-าแนะน-าไม�ให�พ�อแม�สต+แตก"

เข�ยนโดย - อาจารย0อ&1

ราคา - 159 บาท

เวลาไปถามหน�งส�อท�$ร�าน ให�ถามว�า "เมA�อล0กสอบเข?ามหาว*ทยาล�ย" ก#พอคร�บ หาเจอง�าย

ล&กๆอ�านเล�มแดง พ�อแม� อ�านเล�มฟQา ร�บรองว�าจะสอบด�วยความเบ+กบานและผ�านฉล�ยคร�บ

ขอให�ได�เร�ยนในส+$งท�$ฝTนไว�ท�กคนคร�บ

อาจารย0อ&1