1. PR-VESTIBULAR LIVRO DO PROFESSOR MATEMTICA Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br

2. 2006-2009 IESDE Brasil S.A. proibida a reproduo, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorizao por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. Produo Projeto e Desenvolvimento Pedaggico Disciplinas Autores Lngua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales Mrcio F. Santiago Calixto Rita de Ftima Bezerra Literatura Fbio Dvila Danton Pedro dos Santos Matemtica Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba Costa Fsica Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. Saquette Qumica Edson Costa P. da Cruz Fernanda Barbosa Biologia Fernando Pimentel Hlio Apostolo Rogrio Fernandes Histria Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogrio de Sousa Gonalves Vanessa Silva Geografia Duarte A. R. Vieira Enilson F. Venncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer I229 IESDE Brasil S.A. / Pr-vestibular / IESDE Brasil S.A. Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor] 660 p. ISBN: 978-85-387-0571-0 1. Pr-vestibular. 2. Educao. 3. Estudo e Ensino. I. Ttulo. CDD 370.71 Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 3. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 4. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 5. 1 EM_V_MAT_015 Probabilidade A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do mesmo gnero a um certo nmero de casos igualmente possveis, ou seja, tais que es- tejamos igualmente inseguros sobre sua existncia, e em determinar o nmero de casos favorveis ao acontecimento cuja probabilidade buscada. A razo deste nmero para o de todos os casos possveis a medida dessa probabilidade, a qual , portanto, uma frao cujo numerador o nmero de casos favorveis e cujo denominador o nmero de todos os casos possveis. Pierre Simon Laplace Ensaio filosfico sobre as Probabilidades Uma das aplicaes mais importantes dos resul- tados anteriores na teoria das probabilidades. Diremos que um experimento determinstico quando repetido em condies semelhantes con- duzindo a resultados essencialmente idnticos. Os experimentos que, repetidos sob as mesmas condi- es, produzem resultados geralmente diferentes sero chamados experimentos aleatrios. Fenmenos aleatrios acontecem constantemente em nossa vida diria. So frequentes perguntas tais como: Chover amanh? Qual ser a temperatura mxima no prxi- mo domingo? Qual ser o nmero de ganhadores da Loteria Esportiva? Quantos habitantes ter o Brasil no ano 2 020? A teoria das probabilidades o ramo da Ma- temtica que cria, desenvolve e em geral pesquisa modelos que podem ser utilizados para estudar ex- perimentos ou fenmenos aleatrios. O modelo matemtico utilizado para estudar um fenmeno aleatrio particular varia em sua com- plexidade matemtica, dependendo do fenmeno estudado. Mas todos esses modelos tm ingredientes bsicos comuns. O que vamos fazer agora estudar uma srie de fenmenos aleatrios relativamente simples e interessantes, e fixar uma srie de ideias e noes que so totalmente gerais. Probabilidade de Laplace A definio de probabilidade como quociente do nmero de casos favorveis sobre o nme- ro de casos possveis foi a primeira definio formal de probabilidade, e apareceu pela primeira vez em forma clara na obra Lber de Ludo Aleae, de Jernimo Cardano (1 501-1 576). A probabilidade introduzida nesta seo tem, como veremos, vrias propriedades. Consideremos o seguinte experimento aleatrio: jogue um dado e observe o nmero mostrado na face de cima. A primeira tarefa consiste em descrever todos os possveis resultados do experimento e calcular o seu nmero. De outra forma: explicitar qual o conjunto de possveis resultados do experimento e calcular o nmero de elementos contidos nele. Este conjunto chamado espao amostral. fcil descrev-lo em nosso exemplo: 6)(#6},...,2,{1, == Os elementos do espao amostral so chamados eventos elementares. Os subconjuntos do espao amostral sero chamados eventos. Por exemplo, o subconjunto A={2, 4, 6} o evento que acontece se o nmero mostrado na face de cima par. Passamos agora segunda etapa: a de calcu- lar a probabilidade de um evento A. Consideremos o caso do evento A={2, 4, 6} de nosso exemplo. claro intuitivamente que se repetimos o experimento um grande nmero de vezes obteremos um nmero par em aproximadamente a metade dos casos; ou seja o evento A vai ocorrer mais ou menos a metade das vezes. O que est por trs dessa intuio o seguinte: os eventos elementares so todos igualmen-a) te provveis. o nmero de elementos de A (#(A) = 3) b) justamente a metade dos elementos de (#( ) =6). Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 6. 2 EM_V_MAT_015 Estas consideraes motivam a definio de probabilidade de um evento como A, da seguinte forma Probabilidade de A= #(A) #( ) = 3 6 = 1 2 Laplace referia-se aos elementos de A (ou eventos elementares que compem A como os casos favorveis. Os elementos do espao eram chamados casos possveis. Defina ento Probabilidade = nmero de casos favoravis nmero de casos possveis Vamos ento resumir as consideraes feitas at agora, que permitem a utilizao desta definio de probabilidade. Suponha que os experimentos aleatrios tm as seguintes caractersticas: h um nmero finito (digamos n) de eventosa) elementares (casos possveis). A unio de todos os eventos elementares o espao amostral ; os eventos elementares so igualmenteb) provveis; todo evento A uma unio de m eventosc) elementares onde m n. Definimos ento: Probabilidade de A = P(A) = nmero de casos favorveis nmero de casos possveis Consequncias imediatas desta definio so as seguintes propriedades: Para todo evento A, 01) P(A) 1. P(2) ) = 1. P(3) ) = 0 (porque #() = 0). Se A4) B = , ento P(A5) B) = P(A) + P(B). Probabilidade condicional Em muitas situaes prticas, o fenmeno alea- trio com o qual trabalhamos pode ser separado em etapas. A informao que ocorreu em uma determi- nada etapa pode influenciar nas probabilidades de ocorrncia das etapas sucessivas. Neste caso, dizemos que ganhamos informaes e podemos recalcular as probabilidades de interes- se. Essas probabilidades recalculadas recebem o nome de probabilidade condicional, cuja definio apresentamos a seguir. Dados dois eventos A e B, a probabilidade con- dicional de A dado que ocorreu B representada por P (A B) e dada por P (A B)=P (A B) P(B) , P(B)>0 Exemplo:`` Considere a seguinte situao hipottica. Uma grande regio de 100km contm um aqufero (reservatrio de gua) subterrneo com a gua igual a 2km, cuja localizao desconhecida (ver figura a seguir). A fim de determinar a posio de aqufero, perfuraes so feitas ao acaso. Vamos representar por H o evento de encon- trar a gua. Temos P ( H) = 0,02, obtida pelo quociente da rea do aqufero pela rea total, onde usamos que o espao amostral = {regio de 100km}. = Regio (100km2 ) H2 0 Suponha agora que, aps um ano de pesquisas, uma rea de cerca de 20km j foi amplamente perfurada sem encontrar gua e pode ser descartada para novos furos. Representamos essa informao por I. Qual seria agora a probabilidade de um furo, feito ao acaso, atingir o aqufero? Vamos representar por P (HI) a probabilidade desejada. Com a mesma argumentao utilizada acima, a nova regio de procura ter rea de 80km e, portanto, P (HI) = 0,025. Isto , como espervamos, a probabili- dade de obter gua aumentou devido informao rece- bida. Vamos refazer este clculo utilizando a frmula de probabilidade condicional. Para tal, seja B a nova regio de procura correspondendo rea total inicial menos a parte que foi descartada para as novas tentativas. Temos que P (B) = 0,8. O evento H B representa a ocorrncia de, sem nenhuma informao auxiliar, que encontremos gua num furo feito na regio B. Pelas suposies iniciais, H B = H e ento, P (H B) = P (H) = 0,02. P (H B) = P (H B) P(B) =0,02 0,8 = 0,025 A figura a seguir apresenta o efeito da informao I no espao amostral. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 7. 3 EM_V_MAT_015 = Regio (100km2 ) H2 0 H2 0 = Nova Regio (80km2 ) O espao amostral perdeu 20km, que a rea descar- tada para novos furos. Da definio de probabilidade condicional, deduzimos a regra do produto de probabilidades, uma relao bastante til que apresentada na figura. Sejam A e B eventos de . Ento, P (A B)=P(A B) P (B), com P(B)>0 Um conceito muito importante em probabilidade o da independncia de eventos, que ser utilizado repetidamente ao longo de todo o texto. Independncia de eventos Dois eventos A e B so independentes se a informao da ocorrncia ou no de B no altera a probabilidade da ocorrncia de A. Isto : P (A B) = P (A) > 0, ou ainda a seguinte forma equivalente: P (A B) = P (A) P (B) No difcil verificar que se A independente de B, ento B independente de A. O uso da expres- so acima permite ainda verificar que o evento vazio independente de qualquer evento. As demonstraes so deixadas a cargo do leitor. muito comum, primeira vista, confundir eventos independentes e eventos disjuntos. O pr- ximo exemplo ajuda a esclarecer essa questo. Exemplo:`` Uma empresa produz peas em duas mquinas I e II, que podem apresentar desajustes com probabili- dade 0,05 e 0,10, respectivamente. No incio do dia de operao um teste realizado e caso a mquina esteja fora de ajuste, ela ficar sem operar nesse dia passando por reviso tcnica. Para cumprir o nvel mnimo de produo, pelo menos uma das mquinas deve operar. Voc diria que a empresa corre risco de no cumprir com suas metas de produo? Seja Oi o evento da mquina i estar operando, i = 1 ou 2. Pelas informaes disponveis temos P (O1 ) = 0,95 e P (O2 ) = 0,90. Na figura apresentamos um diagrama conhecido como rvore de probabilidades, que consiste em apresentar os eventos e as probabilidades condicionais associadas s realizaes. Cada um dos caminhos da rvore indica uma possvel ocorrncia. No preenchimento dos valores de probabilidades na rvore, observe que assumimos a independncia entre O1 e O2 , pois acreditamos que a eventual falta de ajuste em uma mquina no interfere no compor- tamento da outra. Note que, no caso da independn- cia, o segundo ramo da rvore no afetada pela ocorrncia dos eventos que aparecem no primeiro ramo. Portanto, pela definio de independncia, segue que P(O2 O1 ) = P(O2 ) = 0,90. Para facilitar a notao, vamos escrever O1 O2 para o evento O1 O2 . Sua probabilidade da ocorrncia dada pelo produto dos ramos que levam nesse evento. Isso correspondendo aplicao da regra do produto de probabilidades: P(O1 O2 ) = P(O2 O1 ) P(O1 ). rvore de probabilidade 0,95 O1 c0,05 O1 O20,90 0,10 0,90 0,10 O2 c O2 O2 c A tabela a seguir resume as ocorrncias e suas respectivas probabilidades. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 8. 4 EM_V_MAT_015 Eventos Probabilidade O1 O2 0,95 x 0,90 = 0,855 O1 Oc 2 0,95 x 0,10 = 0,095 Oc 1 O2 0,05 x 0,90 = 0,045 Oc 1 Oc 2 0,05 x 0,10 = 0,005 Para obter o nvel mnimo de produo diria, precisamos ter pelo menos uma mquina operando. Isso corresponde ocorrncia do evento O1 O2 O1 Oc 2 Oc 1O2 . Temos P(O1 O2 O1 Oc 2 Oc 1O2 )= P(O1 O2 ) + P(O1 Oc 2)+P(Oc 1O2 ) pois as trs realizaes so disjuntas. Por exem- plo, no possvel as duas mquinas estarem operan- do (evento O1 O2 ) e ao mesmo tempo s a mquina I operar (evento O1 Oc 2). Dessa forma, conclumos que a probabilidade de manter o nvel mnimo de produo 0,995. Portanto, a empresa tem alta probabilidade de cumprir com suas metas de produo. No exemplo anterior, os eventos representados pelas interseces O1 O2 , O1 Oc 2 , Oc 1 O2 e Oc 1 Oc 2 formam novos eventos que tm a propriedade de serem mu- tuamente exclusivos, e cuja unio completa todas as possveis combinaes. Distribuio binominal Uma quantidade X, associada a cada possvel resultado do espao amostral, denominada de varivel aleatria discreta se assume os valores num conjunto enumervel, com certa probabilidade. Por outro lado, ser denominada varivel aleatria contnua se seu conjunto de valores qualquer in- tervalo dos nmeros reais, o que seria um conjunto no-enumervel. Na construo de um certo prdio, as fundaes devem atingir 15 metros de profundidade e, para cada cinco metros de estacas colocadas, o operador anota se houve alterao no ritmo de perfurao previamente estabelecido. Essa alterao resultado de mudanas para mais ou para menos, na resistncia do subsolo. Nos dois casos, medidas corretivas sero necessrias, encarecendo o custo da obra. Com base em avaliaes geolgicas, admite-se que a probabilidade de ocorrn- cia de alteraes de 0,1 para cada cinco metros. O custo bsico inicial de 100UPCs (unidade padro de construo) e ser acrescido de 50k, com k represen- tando o nmero de alteraes observadas. Como se comporta a varivel custo das obras de fundao? Assumimos que as alteraes ocorrem inde- pendentemente entre cada um dos trs intervalos de cinco metros e representamos por A a ocorrncia de alterao em cada intervalo, sendo Ac seu comple- mentar. A figura a seguir apresenta as trs etapas com os possveis resultados da perfurao. Cada etapa tem duas possibilidades que, quando combinadas com as outras duas etapas, originam oito possveis eventos. Por exemplo, o evento AAc A representa que na primeira e na terceira etapas aconteceram altera- es, enquanto que na segunda nada se alterou. Como temos trs etapas, com dois possibilidades em cada uma, temos no total 23 = 8 eventos. O espao amostral consiste na unio de todos os caminhos que levam de um ponto a outro da rvore de probabilidades. 0,1 0,9 0,1 0,9 Ac A Ac Ac Ac Ac Ac AcA A A A A A0,1 0,9 0,1 0,9 0,1 0,9 0,1 0,9 0,1 0,9 Sendo C a varivel aleatria custo da obra, obtemos a seguinte tabela: Eventos Probabilidade C (em UPCs) AAA 0,13 250 AAAc 0,12 x 0,9 200 AAc A 0,12 x 0,9 200 AAc Ac 0,1 x 0,92 150 Ac AA 0,12 x 0,9 200 Ac AAc 0,1 x 0,92 150 Ac Ac A 0,1 x 0,92 150 Ac Ac Ac 0,93 100 Note que associamos a cada evento do espao amostral um valor para a varivel aleatria C. Os distintos possveis valores so c1 = 100, c2 = 150, c3 = 200 e c4 = 250. Alm disso, podemos ter um mesmo valor da varivel associado a mais de um elemento do espao amostral, por exemplo, P(C=c2 )=P(C=150)=P(AAc Ac Ac AAc Ac Ac A). Tendo em vista que os eventos so disjuntos, a probabilidade da unio fica sendo simplesmente a soma das probabilidades de cada evento. Ento, P (C = 150) = P (AAc Ac ) + P (Ac AAc ) + P (Ac Ac A) = 3 x 0,1 x 0,92 = 0,243. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 9. 5 EM_V_MAT_015 As probabilidades para os outros valores de C podem ser obtidas de modo anlogo, resultando na seguinte funo de probabilidades: C 100 150 200 250 pI 0,729 0,243 0,027 0,001 Dessa forma, o comportamento da varivel de interesse pode ser estudado atravs da associao de cada custo com sua probabilidade de ocorrncia. Essa informao pode auxiliar na previso de gastos e na elaborao de oramentos. Consideremos agora um experimento com ape- nas dois resultados possveis, que chamaremos de sucesso e fracasso. Exemplos`` Jogamos uma moeda no-viciada e atribumos su-a) cesso = cara, e fracasso = coroa. Jogamos um dado no-viciado e atribumos sucessob) = o resultado 5 ou 6 e fracasso = o resultado 1,2,3 ou 4. De uma urna que contm seis bolas brancas e qua-c) tro bolas pretas, sacamos uma bola e atribumos sucesso = a bola preta, e fracasso = a bola branca. Chamamos de p, a probabilidade de sucesso e q = 1 p, a probabilidade de fracasso. Nos nossos exemplos os valores de p so 1 2 , 2 6 e 4 10 , respec- tivamente. Suponhamos agora que faamos repeties (provas) do nosso experimento, realizando-o um nmero fixo: n vezes. Assim, por exemplo, no caso n = 3 jogamos a moeda trs vezes, jogamos o dado trs vezes, saca- mos sucessivamente trs bolas da urna. Suponhamos ainda que a probabilidade p de sucesso mantenha-se constante ao longo das provas. Isso, no exemplo a, significa que a probabilidade de obter cara em qualquer dos lanamentos 1/2. Suponhamos finalmente que as provas sejam independentes, isto , que o conhecimento dos resul- tados de algumas provas no altere as probabilidades dos resultados das demais. Isso, no exemplo c, signi- fica que as bolas so sacadas com reposio. O problema que queremos resolver o seguin- te: qual a probabilidade de obtermos k sucessos nessas n provas? A probabilidade de nessas n provas obtermos k sucessos e, em uma ordem predeterminada, por exemplo, os sucessos nas k primeiras provas e os fracassos nas demais: SS ... S FF ... F k vezes n - k vezes ppp ... p . (1 p)...(1 p) = pk (1 p)n k , k fatores n - k fatores pois as provas so independentes. claro que, em outra ordem, a probabilidade seria a mesma, pois apenas a ordem dos fatores se alteraria. A probabilidade de obtermos k sucessos e n k fracassos em qualquer ordem pk (1 p)nk mul- tiplicado pelo nmero de ordem possveis que n k (para escolher uma ordem basta escolher em quais das n provas ocorrero os k sucessos). Acabamos de provar o Teorema binominal: a probabilidade de ocorrerem exatamente k sucessos em uma sequncia de n provas independentes, na qual a probabilidade de sucesso em cada prova p, igual a: n k pk (1 p)nk Trs moedas so jogadas simultaneamente. Qual a1. probabilidade de obter duas caras? Qual a probabili- dade de obter pelo menos duas coroas? Soluo:`` Vamos indicar com H, cara, e com T, coroa. O espao amostral ento = {(H H H), (H H T), (H T H), (H T T), (T H H), (T H T), (T T H), (T T T)} Donde: #( ) = casos possveis = 8. Se A indica o evento obter duas caras temos que A = {(H H T), (H T H), (T H H)} Assim #(A) e, portanto: . 8 3 )(# (A)# P(A) = = Se B denota o evento obter pelo menos duas caras temos B = {(H H T), (H T H), (T H H), (H H H)}. Resulta que 2 1 8 4 P(B)e4(B)# === Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 10. 6 EM_V_MAT_015 Dois dados so jogados simultaneamente. Calcular a2. probabilidade de que a soma dos nmeros mostrados nas faces de cima seja 7. Soluo:`` O espao amostral consiste de todos os pares (i, j) onde i e j so inteiros positivos compreendidos entre 1 e 6. A figura descreve o espao amostral completamente. Nmero do segundo dado 1 2 3 4 5 6 Nmerodo primeidodado 1 (1, 2) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) 5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) 6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) O nmero de eventos elementares (casos possveis) igual a #( ) = 36. Seja A o conjunto dos pares (i, j) tais que i + h = 7. Esses pares esto destacados na figura. Temos que #(A) = 6 e, portanto, 6 1 36 6 )(# (A)# P(A) == = Na maior parte dos problemas concretos o espao amos- tral no descrito com tanto cuidado. Este um costume generalizado (e s vezes perigoso). Nos exemplos no descreveremos precisamente o espao amostral, mas ao leitor aconselhado em todos os casos a defini-los com preciso. Para a Copa do Mundo, 24 pases so divididos em3. seis grupos, com quatro pases cada um. Supondo que a escolha do grupo de cada pas feita ao acaso, calcular a probabilidade de dois times A e B carem no grupo 1?. (Na realidade a escolha no feita de forma completamente aleatria). Soluo:`` Vamos tomar como espao amostral o conjunto de todas as permutaes de 24 elementos; ou seja o nmero de casos possveis 24! Consideremos o diagrama da figura a seguir, que 1 2 3 4 5 6 representa os 24 times divididos em seis grupos. Quan- tas permutaes existem tais que A e B pertencem ao primeiro grupo? A pode ser colocado em quatro lugares; restam para B trs lugares e os times restantes podem ser dispostos em 22! formas diferentes. Portanto, o nmero de permutaes com A e B no primeiro grupo 4 x 3 x 22! A probabilidade de um casal ter um filho do sexo4. masculino 0,25. Ento, a probabilidade do casal ter dois filhos de sexos diferentes : 1 16 a) 3 8 b) 9 16 c) 3 16 d) 3 4 e) Soluo:`` B Para cada filho desses pais temos quatro pos- sibilidades : H M M M (uma possibilidade de meninos e trs de meninas) Para dois filhos temos o seguinte espao amos- tral: (H,H) ; (H,M); (H,M); (H,M) (M,H) ; (M,M); (M,M);(M,M) (M,H) ; (M,M); (M,M);(M,M) (M,H) ; (M,M); (M,M);(M,M) Temos ento seis casos de dois filhos de sexos diferentes em 16 possibilidades: Logo a probabilidade : 6 16 = 3 8 A probabilidade procurada , portanto: 0.13. 23 3 24! 22!.3.4.6 = Um grupo de pessoas est classificado da seguinte forma:5. fala ingls fala alemo fala francs homens mulheres 92 101 35 33 47 52 Escolhe-se uma pessoa ao acaso. Sabendo-se que esta pessoa fala francs, qual a probabilidade de que seja homem? Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 11. 7 EM_V_MAT_015 Soluo:`` Seja A o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala francs e B se a pessoa escolhida homem. Temos P(A) = 47 + 52 360 = 99 360 P(A B) = 47 360 portanto P(B/A) = P(A B) P(A) = 47 / 360 99 / 360 = 47 99 Note-se que: P (B/A)=47 99 = 47 47+52 = (A B). (A) 6. Numa prova h sete perguntas do tipo verdadeiro falso. Calcular a probabilidade de acertarmos todas as sete se: escolhermos aleatoriamente as sete respostas;a) escolhermos aleatoriamente as respostas, mas sa-b) bendo que h mais respostas verdadeiro do que falso. Soluo:`` H 27 = 128 possibilidades e portanto P [acertar os sete testes] = 1 128 Seja A o conjunto de todos os pontos com mais respostas V do que F. Temos que (A)= 7 4 + 7 5 + 7 6 + 7 7 = 35+21+7+1=64, e portanto a probabilidade buscada igual a 1/64. Consideremos dois dados, um deles equilibrado:7. (P ( 1 ) = (P ( 2 ) = ... = (P ( 6 ) = 1/6 e outro viciado com: (P ( 1 ) = 1/2 e (P ( 2 ) = ... = (P ( 6 ) = 1/10. Escolhe-se um dos dados ao acaso e se efetuam dois lanamentos, obtendo-se dois uns. Qual a probabili- dade condicional de que o dado escolhido tenha sido o viciado? Soluo:`` 1/2 Viciado Equilibrado 1/2 1 2 1 2 1 4 x = 1 6 1 6 x = 1 36 Dois uns Dois uns Temos: P [observar dois uns] = 1 2 1 4 . = 1 36 1 2 + . 5 36 , P [dado viciado e dois uns] = 1 2 1 4 . = 1 8 . A probabilidade buscada ento igual a: 5/36 1/8 = 9 10 = 90% Um exame de laboratrio tem eficincia de 95%8. para detectar uma doena, quando essa doena existe de fato. Entretanto o teste aponta um resultado falso positivo para 1% das pessoas sadias testadas. Se 0,5% da populao tem a doena, qual a probabilidade de uma pessoa ter a doena, dado que o seu exame foi positivo? Soluo:`` P(doente positivo) = P(doente e positivo) P(positivo) = = P(doente) . P (positivo doente) P.(doente). P (positivo doente) + P (sadio). P (positivo sadio) = 0,005 . 0,95 0,005 . 0,95 + 0,995 . 0,01 = 95 294 0,3231 Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 12. 8 EM_V_MAT_015 Jogamos uma moeda no-viciada 10 vezes. Qual a9. probabilidade de obtermos exatamente cinco caras? Soluo:`` Estipulando sucesso = cara, temos p = 1/2 em cada prova e as provas so independentes. Queremos achar a probabilidade de k = 5 sucessos em n = 10 provas. Pelo teorema binominal, a resposta : 10 5 1 2 5 1 1 2 5 = 252 1 024 = 63 256 O escore em um teste de proficincia na Lngua Inglesa10. varia de 0 a 700 pontos, com mais pontos indicando um melhor desempenho. Informaes coletadas durante vrios anos permitem estabelecer o seguinte modelo para o desempenho no teste: Pontos (0, 200) (200, 300) (300, 400) (400, 500) (500, 600) (600, 700) pi 0,06 0,15 0,16 0,25 0,28 0,10 Vrias universidades americanas exigem um escore mnimo de 600 pontos para aceitar candidatos de pases de lngua no-inglesa. De um grande grupo de estudantes brasileiros que prestaram o ltimo exame, escolhemos ao acaso 20 deles. Qual seria a probabilidade de, no mximo, trs atenderem ao requisito mnimo mencionado? Soluo:`` Vamos admitir que a tabela acima representa o escore dos estudantes que esto prestando esse ltimo exame. Essa uma suposio razovel tendo em vista que a ta- bela foi feita a partir de conjunto muito grande de dados. Isso quer dizer que um aluno selecionado ao acaso apre- sentar um dos vrios escores de acordo com as proba- bilidades apresentadas na tabela. Por exemplo, a chance de apresentar menos de 200 pontos 0,06. Admitimos ainda que os estudantes brasileiros tm comportamento similar aos demais, e portanto, a tabela tambm pode ser usada para representar esse desempenho. Pelo critrio das universidades, o estudante classifica- do como apto se seu escore de 600 pontos ou mais, caso contrrio, ser considerado no-apto. Dessa forma, para cada indivduo, teremos a classificao de apto ou no, feita de modo independente e com as seguintes probabilidades: P(apto) = 0,10 e P(no-apto) 0,90 Definindo uma nova varivel X como o nmero de estudantes aptos dentre os 20. A probabilidade de no mximo trs serem aptos calculada pela funo de distribuio no ponto 3, ou seja: F(3) = P(X 3). Dessa forma, temos: P(X 3) = k = 0 3 20 k 0,1k 0,920 k = 20 0 0,10 0,920 + 20 1 0,11 0,919 + 20 2 0,12 0,918 + 20 3 0,13 0,917 = 0,122 + 0,270 + 0,285 + 0,190 = 0,867. Esse valor reflete as altas probabilidades atribudas aos escores menores de 600, conforme o modelo de desem- penho no teste. Um aluno marca ao acaso as respostas em um teste mltipla11. escolhacomdezquestesecincoalternativasporquesto.Qual aprobabilidadedeleacertarexatamentequatroquestes? Soluo:`` Estipulando sucesso = acerto, temos p = 1/5 em cada prova, e as provas so independentes. A probabilidade pk dele acertar k questes a proba- bilidade dele obter k sucessos em n = 10 provas. Pelo teorema binominal, pk = 10 k 1 5 k 1 1 5 10 k = 10 k 410k 510 A probabilidade dele acertar exatamente k = 4 questes : p4 = 10 4 46 510 = 172032 1953125 0,088. E a probabilidade dele acertar pelo menos 4 questes : 1 P0 P1 P2 P3 = 1 10 0 410 510 10 1 49 510 10 2 48 510 10 3 47 510 = 1180409 9765625 0,121. Suponha que uma caracterstica (como a cor dos12. olhos, por exemplo) depende de um par de genes. Representemos por A um gen dominante e por a um gen recessivo. Assim um indivduo com genes AA dominante puro, um com genes aa um recessivo puro, e um com genes Aa um hbrido. Dominan- tes puros e hbridos so semelhantes em relao caracterstica. Filhos recebem um gen do pai e um da me. Suponha que pai e me sejam hbridos e tenham quatro filhos. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 13. 9 EM_V_MAT_015 (VUNESP) Aps uma partida de futebol, em que as1. equipes jogaram com as camisas numeradas de 1 a 11 e no houve substituies, procede-se ao sorteio de dois jogadores de cada equipe para exame antidoping. Os jogadores da primeira equipe so representados por 11 bolas numeradas de 1 a 11 de uma urna A e os da segunda, da mesma maneira, por bolas de uma urna B. Sorteia-se primeiro, ao acaso e simultaneamente, uma bola de cada urna. Depois, para o segundo sorteio, o processo deve ser repetido com as 10 bolas restantes de cada urna. Se na primeira extrao foram sorteados dois jogadores de nmeros iguais, a probabilidade de que acontea o mesmo na segunda extrao de: 0,09a) 0,1b) 0,12c) 0,2d) 0,25e) (FUVEST)2. Uma urna contm trs bolas pretas e cinco bolasa) brancas. Quantas bolas azuis devem ser coloca- das nessa urna de modo que, retirando-se uma bola ao acaso, a probabilidade de ela ser azul seja igual a 2/3? Considere agora uma outra urna que contm umab) bola preta, quatro bolas brancas e x bolas azuis. Uma bola retirada ao acaso dessa urna, a sua cor observada e a bola devolvida urna. Em segui- da, retira-se novamente, ao acaso, uma bola dessa urna. Para valores de x a probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor vale 1/2? (UNICAMP) Um dado jogado trs vezes, uma aps3. a outra. Pergunta-se: Quantos so os resultados possveis em que os trsa) nmeros obtidos so diferentes? Qual a probabilidade da soma dos resultados serb) maior ou igual a 16? (CESGRANRIO) Uma urna contm quatro bolas4. brancas e cinco bolas pretas. Duas bolas, escolhidas ao acaso, so sacadas dessa urna, sucessivamente e sem reposio. A probabilidade de que ambas sejam brancas vale: 1 6 a) 2 9 b) 4 9 c) 16 81 d) 20 81 e) Uma caixa contm 20 peas em boas condies e 155. em ms condies. Uma amostra de 10 peas extrada. Calcular a probabilidade de que ao menos uma pea na amostra seja defeituosa. (Pquer com dados) Cinco dados so jogados simulta-6. neamente e os resultados so classificados em: Aa) 1 = todos diferentes; Ab) 2 = um par; Ac) 3 = dois pares; Ad) 4 = trs iguais; Ae) 5 = full (trs iguais e dois iguais); Af) 6 = quatro iguais (pquer); Ag) 7 = cinco iguais; Ah) 8 = uma sequncia (nmeros consecutivos) Calcule a probabilidade de cada caso ocorrer. Uma cidade tem 30 000 habitantes e trs jornais A,7. B e C. Uma pesquisa de opinio revela que: 12 000 leem A; 8 000 leem B; 7 000 leem A e B; 6 000 leem C; 4 500 leem A e C; 1 000 leem B e C; 500 leem A, B e C. Qual a probabilidade de que um habitante leia: pelo menos um jornal;a) s um jornal.b) Qual a probabilidade do primeiro filho ser uma) recessivo puro? Qual a probabilidade de exatamente um dosb) quatro filhos ser um recessivo puro? Soluo:`` Se os pais so Aa, a probabilidade de o primeiro filho ser aa 1 2 . 1 2 . 1 4 = 25% Pelo teorema binomial, C1 4 = 1 4 1 1 1 4 = 27 64 0,4219 = 42,19% Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 14. 10 EM_V_MAT_015 (UFRJ) Os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 so escritos em cinco8. cartes diferentes. Estes cartes so escolhidos (sem reposio) aleatoriamente e os algarismos que vo aparecendo so escritos da esquerda para a direita, formando um nmero de cinco algarismos. Calcular a probabilidade de que o nmero escritoa) seja par. Se a escolha fosse com reposio qual seria a pro-b) babilidade? Colocam-se aleatoriamente b bolas em b urnas. Calcu-9. lar a probabilidade de que exatamente uma urna seja deixada desocupada. (Fuvest) Considere o experimento que consiste no lan-10. amento de um dado perfeito (todas as seis faces tm probabilidades iguais). Com relao a esse experimento considere os seguintes eventos: O resultado do lanamento par.I. O resultado do lanamento estritamente maiorII. que 4. O resultado mltiplo de 3.III. I e II so eventos independentes?a) II e III so eventos independentes?b) (Fuvest) So efetuados lanamentos sucessivos e inde-11. pendentes de uma moeda perfeita (as probabilidades de cara e coroa so iguais) at que aparea cara pela segunda vez. Qual a probabilidade de que a segunda cara apa-a) rea no oitavo lanamento? Sabendo-se que a segunda cara apareceu no oitavob) lanamento qual a probabilidade condicional de que a primeira cara tenha aparecido no terceiro? (Cesgranrio) Uma urna contm quatro bolas brancas e12. cinco bolas pretas. Duas bolas, escolhidas ao acaso, so sacadas dessa urna, sucessivamente e sem reposio. A probabilidade de que ambas sejam brancas vale: 1 6 a) 2 9 b) 4 9 c) 16 81 d) 20 81 e) (FEI) Em uma pesquisa realizada em uma faculdade13. foram feitas duas perguntas aos alunos. 120 responde- ram sim a ambas; 300 responderam sim primeira; 250 responderam sim segunda e 200 responderam no a ambas. Se um aluno for escolhido ao acaso, qual a probabilidade de ele ter respondido no primeira pergunta? 1 7 a) 1 2 b) 3 8 c) 11 21 d) 4 25 e) Para ter acesso a um determinado programa de compu-14. tador o usurio deve digitar uma senha composta por quatro letras distintas. Supondo que o usurio saiba quais so essas quatro letras mas no saiba a ordem correta em que devem ser digitadas, qual a probabilida- de desse usurio conseguir acesso ao programa numa nica tentativa? 1 4 a) 1 12 b) 1 16 c) 1 24 d) 1 256 e) (Mackenzie) Uma pessoa A concorre com voc neste15. Concurso Vestibular com 40% de chance de ser apro- vada. A probabilidade de que pelo menos um de vocs dois seja aprovado 64%. Ento, relativamente pessoa A, a probabilidade de voc ser aprovado : (sabendo que os eventos so independentes) a mesma.a) o dobro.b) o triplo.c) a metade.d) um quarto.e) Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 15. 11 EM_V_MAT_015 (Unirio) As probabilidades de trs jogadores marcarem16. um gol cobrando um pnalti so, respectivamente, 1/2, 2/5 e 5/6. Se cada um bater um nico pnalti, a proba- bilidade de todos errarem igual a: 3 %a) 5 %b) 17 %c) 20 %d) 25 %e) (UFRJ) Duzentas bolas pretas e duzentas bolas brancas17. so distribudas em duas urnas, de modo que cada uma delas contenha cem bolas pretas e cem brancas. Uma pessoa retira ao acaso uma bola de cada urna. Determine a probabilidade de que as duas bolas retiradas sejam de cores distintas. Sacam-se, com reposio, quatro bolas de uma urna que18. contm sete bolas brancas e trs bolas pretas. Qual a probabilidade de serem sacadas duas bolas de cada cor? Qual seria a resposta no caso sem reposio? Lana-se um dado no viciado at a obteno do ter-19. ceiro 6. Seja X o nmero do lanamento em que isso ocorre. Calcule: P (X = 10);a) P (X > 10);b) P (X < 10).c) Dois adversrios A e B disputam uma srie de 10 par-20. tidas. A probabilidade de A ganhar uma partida 0,6, e no h empates. Qual a probabilidade de A ganhar a srie? Dois adversrios A e B disputam uma srie de partidas.21. O primeiro que obtiver 12 vitrias ganha a srie. No momento o resultado 6 x 4 a favor de A. Qual a probabilidade de A ganhar a srie sabendo que em cada partida as probabilidades de A e B vencerem so respectivamente 0,4 e 0,6? Em uma fbrica de parafusos, a probabilidade de um22. parafuso ser perfeito de 96%. Se retirarmos da pro- duo, aleatoriamente, trs parafusos, a probabilidade de todos eles serem defeituosos igual a: 5a) -2 5b) -3 5c) -4 5d) -5 5e) -6 (FGV) Uma fatia de po com manteiga pode cair no cho23. de duas maneiras apenas: com a manteiga para cima (evento A) com a manteiga para baixo (evento B) Uma possvel distribuio de probabilidade para esses eventos : P(A) = P(B) = 3/7a) P(A) = 0 e P(B) = 5/7b) P(A) = - 0,3 e P(B) = 1,3c) P(A) = 0,4 e P(B) = 0,6d) P(A) = 6/7 e P(B) = 0e) (UFPR) Uma loja tem um lote de 10 aparelhos de rdio/24. CD e sabe-se que nesse lote existem dois aparelhos com defeito, perceptvel somente aps uso continuado. Um consumidor compra dois aparelhos do lote, escolhidos aleatoriamente. Ento, correto afirmar. A probabilidade de o consumidor comprar somente()( aparelhos sem defeito 28/45. A probabilidade de o consumidor comprar pelo me-()( nos um aparelho defeituoso 0,70. A probabilidade de o consumidor comprar os dois()( aparelhos defeituosos 1/45. A probabilidade de o primeiro aparelho escolhido()( ser defeituoso 0,20. A probabilidade de o segundo aparelho escolhido()( ser defeituoso, sendo que o primeiro j foi esco- lhido, 10/45. Num curso de Ingls, a distribuio das idades dos25. alunos dada pelo grfico seguinte: Idade de alunos Nmerodealunos 0 1 2 3 4 5 16 17 18 19 20 21 Com base nos dados do grfico, determine: o nmero total de alunos do curso e o nmero dea) alunos com no mnimo 19 anos. escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidadeb) de sua idade ser no mnimo 19 anos ou ser exata- mente 16 anos. Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 16. 12 EM_V_MAT_015 Dez pessoas so separadas em dois grupos de cinco1. pessoas cada um. Qual a probabilidade de que duas pessoas determinadas A e B faam parte do mesmo grupo? (UNIRIO) Considerando-se um hexgono regular e2. tomando-se ao acaso uma de suas diagonais, a probabi- lidade de que ela passe pelo centro do hexgono de: 1 9 a) 1 6 b) 1 3 c) 2 9 d) 2 3 e) (PUC-SP) Os 36 ces existentes em um canil so apenas3. de trs raas: poodle, dlmata e boxer. Sabe-se que o total de ces das raas poodle e dlmata excede o nmero de ces da raa boxer em seis unidades, en- quanto que o total de ces das raas dlmata e boxer o dobro do nmero dos de raa poodle. Nessas con- dies, escolhendo-se, ao acaso, um co desse canil, a probabilidade de ele ser da raa poodle : 1 4 a) 1 3 b) 1 5 c) 1 2 d) e) 2 3 No jogo da Loto so sorteadas cinco dezenas distintas4. entre as dezenas 01 02 - ... 99 00. O apostador escolhe 6, 7, 8, 9 ou 10 dezenas e premiado se so sorteadas 3 (terno), 4 (quadra) ou 5 (quina) das dezenas escolhidas. Determine a probabilidade de um apostador que escolheu 10 dezenas fazer: um terno;a) uma quadra;b) a quina.c) (UNICAMP)5. De quantas maneiras possvel distribuir 20 bolasa) iguais entre trs crianas de modo que cada uma delas receba, pelo menos, cinco bolas? Supondo que essa distribuio seja aleatria, qualb) a probabilidade de uma delas receber exatamente nove bolas? H oito carros estacionados em 12 vagas em fila.6. Qual a probabilidade das vagas vazias serema) consecutivas? Qual a probabilidade de no haver duas vagasb) vazias consecutivas? Escolhem-se ao acaso duas peas de um domin. Qual 7. a probabilidade delas possurem um nmero comum? (FUVEST ) Um tabuleiro tem quatro linhas e quatro8. colunas. O objetivo de um jogo levar uma pea da casa inferior esquerda(casa (1, 1)) para a casa superior direita (casa (4, 4)), sendo que esta pea deve mover- se, de cada vez, para a casa imediatamente acima ou imediatamente direita. Se apenas uma destas casas existir, a pea ir mover-se necessariamente para ela. Por exemplo, dois caminhos possveis para completar o trajeto so (1, 1)(1, 2)(2, 2)(2, 3)(3, 3)(3, 4)(4, 4) e (1, 1)(2, 1)(2, 2)(3, 2)(4, 2)(4, 3)(4, 4). Por quantos caminhos distintos pode-se completara) esse trajeto? Suponha que o caminho a ser percorrido seja esco-b) lhido da seguinte forma: sempre que houver duas opes de movimento, lana-se uma moeda no- viciada; se der cara, a pea move-se para a casa direita e se der coroa, ela se move para a casa acima. Desta forma, cada caminho contado no item a) ter uma certa probabilidade de ser percorrido. Des- creva os caminhos que tm maior probabilidade de serem percorridos e calcule essa probabilidade. Em um grupo de 10 pessoas, quatro so sorteadas9. para ganhar um prmio. Qual a probabilidade de uma particular pessoa ser sorteada? Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 17. 13 EM_V_MAT_015 H C4 10 modos de selecionar os premiados. Premiando a particular pessoa, h modos de selecionar os outros premiados. Qual a probabilidade de uma permutao dos nmeros10. (1, 2, ..., 10) ter exatamente cinco elementos no seu lugar primitivo? (UERJ) Protticos e dentistas dizem que a procura11. por dentes postios no aumentou. At declinou um pouquinho. No Brasil, segundo a Associao Brasileira de Odontologia (ABO), h 1,4 milho de pessoas sem nenhum dente na boca, e 80% delas j usam dentadura. Assunto encerrado. (Adaptado de VEJA, out. 1997.) Considere que a populao brasileira seja de 160 mi- lhes de habitantes. Escolhendo, ao acaso, um desses habitantes, a probabilidade de que ele no possua nenhum dente na boca e use dentadura, de acordo com a ABO, de: 0,28%a) 0,56%b) 0,70%c) 0,80%d) Nos cartes da Sena, as dezenas so apresentadas em12. um quadro com cinco linhas e 10 colunas. Determine a probabilidade das seis dezenas sorteadas: pertencerem mesma linha;a) pertencerem a apenas duas linhas, cinco numa li-b) nha e uma na outra; idem, quatro numa linha e duas na outra;c) idem, trs numa linha e trs na outra;d) pertencerem a apenas trs linhas, duas em cada;e) pertencerem a linhas diferentes.f) Dois armrios guardam as bolas de voleibol e bas-13. quete. O armrio 1 tem trs bolas de voleibol e uma de basquete, enquanto o armrio 2 tem trs bolas de voleibol e duas de basquete. Escolhendo-se ao acaso um armrio e, em seguida, uma de suas bolas, calcule a probabilidade dela ser: de voleibol, sabendo-se que o armrio 1 foi esco-a) lhido. de basquete, sabendo-se que o armrio 2 foi es-b) colhido. de basquete.c) Um jogador deve enfrentar, em um torneio, dois outros14. A e B. Os resultados dos jogos so independentes e as probabilidades dele ganhar de A e de B so 1/3 e 2/3 respectivamente. O jogador vencer o torneio se ganhar dois jogos consecutivos, de um srie de 3. Que srie de jogos mais favorvel para o jogador: ABA ou BAB? Duas mquinas A e B produzem 3 000 peas em um15. dia. A mquina A produz 1 000 peas, das quais 3% so defeituosas. A mquina B produz as restantes 2 000, das quais 1% so defeituosas. Da produo total de um dia uma pea escolhida ao acaso e, examinando-a, constata-se que defeituosa. Qual a probabilidade de que a pea tenha sido produzida pela mquina A? Trs urnas I, II e III contm respectivamente uma bola16. branca e duas pretas, duas brancas e uma preta e trs brancas e duas pretas. Uma urna escolhida ao acaso e dela retirada uma bola, que branca. Qual a proba- bilidade condicional de que a urna escolhida foi a II? Um estudante resolve um teste com questes do tipo17. verdadeiro-falso. Ele sabe dar soluo correta para 40% das questes. Quando ele responde uma questo cuja soluo conhece, d a resposta correta, e nos outros casos decide na cara ou coroa. Se uma questo foi res- pondida corretamente, qual a probabilidade de que ele sabia a resposta? Sejam A e B dois eventos independentes tais que18. P(A) = 1/4 e P(AB) = 1/3. Calcule P(B). Uma moeda equilibrada jogada duas vezes. Sejam A19. e B os eventos: A: cara na primeira jogada. B: cara na segunda jogada. Verifique que A e B so independentes. Joguei um dado duas vezes. Calcule a probabilidade20. condicional de obter 3 na primeira jogada, sabendo que a soma dos resultados foi 7. A probabilidade de fechamento de cada rel do circuito21. apresentado na figura abaixo igual a p, 0 < p < 1. Se todos os rels funcionam independentemente, qual a probabilidade de que haja corrente circulando entre os terminais A e B? Um prisioneiro possui 50 bolas brancas, 50 bolas pretas22. e duas urnas iguais. O prisioneiro deve colocar do modo que preferir as bolas nas duas urnas (nenhuma das urnas pode ficar vazia). As urnas sero embaralhadas e o prisioneiro dever, de olhos fechados, escolher uma Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 18. 14 EM_V_MAT_015 urna e, nesta urna, uma bola. Se a bola for branca ele ser libertado e, caso contrrio, condenado. Como deve proceder o prisioneiro para maximizar a probabilidade de ser libertado? (Unifesp) Tomam-se 20 bolas idnticas (a menos da cor),23. sendo 10 azuis e 10 brancas. Acondicionam-se as azuis numa urna A e as brancas numa urna B. Transportam- se 5 bolas da urna B para a urna A e, em seguida, transportam-se 5 bolas da urna A para a urna B. Seja p a probabilidade de se retirar ao acaso uma bola branca da urna A e q a probabilidade de se retirar ao acaso uma bola azul da urna B. Ento: p = qa) p = 2/10 e q = 3/10b) p = 3/10 e q = 2/10c) p = 1/10 e q = 4/10d) p = 4/10 e q = 1/10e) (Unirio) A Organizao Mundial da Sade OMS 24. pesquisou e concluiu que um casal sadio, em que os dois no sejam parentes consanguneos (parentes em primeiro grau), ao gerar uma criana, pode apresentar o seguinte quadro probabilstico em relao a problemas congnitos: sexo masculino tem 2% de risco e sexo feminino, 3%. A probabilidade de um casal gerar um menino com doena congnita ou uma menina sadia , em %, expressa por: 0,485a) 2,5b) 49,5c) 97,5d) 99e) (UERJ) Uma prova composta por seis questes com25. quatro alternativas de resposta cada uma, das quais apenas uma delas correta. Cada resposta correta corresponde a trs pontos ganhos; cada erro ou questo no respondida, a 1 ponto perdido. Calcule a probabilidade de um aluno que tenha respondido aleatoriamente a todas as questes obter um total de pontos exatamente igual a 10. Lana-se repetidamente um par de dados no ten-26. denciosos. Qual a probabilidade de obtermos duas somas iguais a sete antes de obtermos trs somas iguais a trs? Uma moeda tem probabilidade 0,4 de dar cara. Lanan-27. do-a 12 vezes qual o mais provvel valor do nmero de caras obtidas? Para cada uma das 30 questes de uma prova objetiva28. so apresentadas cinco alternativas de respostas, das quais somente uma correta. Considere as afirmaes relativas prova: Existem no mximo 150 maneiras diferentes de res-I. ponder prova. Respondendo aleatoriamente, a probabilidade deII. errar todas as questes (0,8)30 . Respondendo aleatoriamente, a probabilidadeIII. de exatamente 8 questes estarem corretas 30! 8! (22)! (0,2)8 . (0,8)22 Analisando as afirmaes, conclumos que: apenas III verdadeira.a) apenas I e II so verdadeiras.b) apenas I e III so verdadeiras.c) apenas II e III so verdadeiras.d) I, II e III so verdadeiras.e) Joga-se uma moeda no-viciada. Qual a probabilidade29. de serem obtidas cinco caras antes de trs coroas? (FGV) Um lote com 20 peas contm duas defeituosas.30. Sorteando-se trs peas desse lote, sem reposio, a probabilidade de que todas sejam no defeituosas : 68 95 a) 70 95 b) 72 95 c) 74 95 d) 76 95 e) Uma certa doena pode ser curada atravs de procedi-31. mento cirrgico em 80% dos casos. Dentre os que tm essa doena, sorteamos 15 pacientes que sero subme- tidos cirurgia. Fazendo alguma suposio adicional que julgar necessria, responda qual a probabilidade de: todos serem curados?a) pelo menos dois no serem curados?b) ao menos 10 ficarem livres da doena?c) Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 19. 15 EM_V_MAT_015 Suposio: os indivduos submetidos cirurgia so (ou no) curados independentemente uns dos outros com probabilidade de cura constante e igual a 0,80. Assim D: nmero de curados dentre os 15 pacientes binominal (n = 15, p = 0,8). Um matemtico sai de casa todos os dias com duas32. caixas de fsforos, cada uma com n palitos. Toda vez que ele quer acender um cigarro, ele pega (ao acaso) uma das caixas e retira da um palito. O matemtico meio distrado, de modo que quando retira o ltimo palito de uma caixa, no percebe que a caixa fica vazia, Como ele fuma muito, em certa hora, pega uma caixa e constata que ela est vazia. Qual a probabilidade de, nesse momento, a outra caixa conter exatamente k 0 ( )k n palitos? Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 20. 16 EM_V_MAT_015 B1. 2. Devem ser colocadas na urna 16 bolas azuis.a) x = 1 ou x = 9b) 3. 120 resultados.a) 5/108b) A4. 5. 1 0,001 0,999 ou 99,9% 6. 9,3%a) 0,463b) 0,231c) 0,154d) 0,039e) 0,0039f) 0,00077g) 0,031h) 7. 7 15 a) b) 1 12 8. 2 5 a) 2 5 b) b 1 . (b 1)! 2 bb2 9. 10. I e II so independentes.a) II e III no so independentes.b) Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 21. 17 EM_V_MAT_015 11. 7/256a) 1/7b) A12. D13. D14. A15. B16. 50%17. C C C 7 2 3 2 10 4 .18. sem reposio 0,26 com reposio 19. C9 2 2 9 2 7 8 1 6 1 1 6 1 6 5 6 0 0465 = . . ,a) C10 2 2 10 2 1 6 1 1 6 0 2907 . ,b) 1 10 10 0 66 = > P x P x( ) ( ) ,c) Ck k k k 10 10 6 10 0 6 1 0 6 0 6331, ( , ) , = 20. 21. 0,43 A deve obter seis vitrias antes que B obtenha oito vitrias. Para que isso acontea, necessrio e suficiente que A obtenha pelo menos seis vitrias nas prximas treze partidas. E22. D23. V, F, V, V, F24. 25. 20 alunos e 8 alunos.a) 60 %b) 4 9 1. C2. B3. 4. A resposta a) (que aproximadamente igual a ). A resposta b) (que aproximadamente igual a ). A resposta c) 5. 21 maneiras.a) 2/7b) 6. 1/55a) 14/55b) 7. 8. 20a) Os caminhos que passam pelo centro tm maiorb) probabilidade. 9. 10. C11. 12. a) b) c) d) e) Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 22. 18 EM_V_MAT_015 13. 0,75a) 0,4b) 0,325c) A probabilidade do jogador vencer se escolher a primeira14. srie ABA (ganha de A, ganha de B ou perde para A, ganha de B e ganha de A) 10 27 , enquanto que para BAB 8 27 . 3 5 15. 5 12 16. 4 7 17. 1 9 18. P(A) = P(B) = 1/2, pois em cada lanamento h dois19. resultados possveis que so igualmente provveis (cara e coroa) e, em cada lanamento h apenas um resul- tado favorvel (cara). P(AB) = 1/4, pois, para os dois lanamentos, h quatro resultados possveis que so igualmente provveis (cara-cara, cara-coroa, coroa-cara e coroa-coroa) e apenas um favorvel (cara-cara). Como P(AB) = P(A). P(B) os eventos A e B so independentes. 1 6 20. p.(2p p21. 2 )2 Uma urna recebe uma bola branca e a outra as ou-22. tras 99. A23. C24. 135/4 09625. 9492,0 256 243 4 1 4 3 .C k4k k 4 4 2k = = 26. 527. D28. p29. 5 + p6 + p7 = 223,0 128 29 2 7 7 2 6 7 2 5 7 777 = + + A30. 31. P (D = 15) = 0,035=(0,8)a) 15 . P (pelo menos dois no serem curados) = P (nob) mximo 13 curados) = P (D 15) = 0,833. P (Dc) 10) = 0,939. 2n - k n 1 2 2n - k 32. EM_V_MAT_015.indd 18 25/2/2009 14:58:32 Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 23. 19 EM_V_MAT_015 EM_V_MAT_015.indd 19 25/2/2009 14:58:33 Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br 24. 20 EM_V_MAT_015 EM_V_MAT_015.indd 20 25/2/2009 14:58:33 Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br