3 Lista de Exerccios 1)Um oscilador harmnico no amortecido possui massa m = 15 kg e rigidez k = 600 kN/m. Determinar a amplitude da resposta a uma fora harmnica de amplitude F0= 30 N e freqncia: (a) = 50 rad/s; Resp. 53,33x 10-6 (b) =190 rad/s; Resp. 512,8x 10-6(c) = 500 rad/s;Resp. -9,524x 10-6

2)Um oscilador harmnico no amortecido possui massa m = 0,3 kg e rigidez k = 1 kN/m. Determinar a magnitude da fora atuante que produz uma vibrao com amplitude 0,5 mm e freqncia 377 rad/s. Resp. Fo = -20,82N

3)Uma massa m est suspensa por uma mola de rigidez 4 kN/m e submetida a uma fora harmnica com amplitude de 100 N e frequncia de 5 Hz. Observa-se que a amplitude do movimento forado da massa 20 mm. Determinar o valor da massa m. Resp. m=9,119kg

4)Em um sistema massa-mola aplicada uma fora harmnica F(t) = F0 cost em um ponto da mola localizado a uma distncia de 25% de seu comprimento, como mostra a Fig. 3.1, medida a partir da extremidade fixa. Assumindo que no h amortecimento, determinar a resposta de regime permanente da massa m. Resp. x(t) =(F0/4(k-m))cost

5) Um oscilador harmnico no amortecido possui massa m = 6 kg e rigidez desconhecida. Executou-se um teste com uma fora harmnica de amplitude F0 = 1 kN e freqncia = 250 rad/s e a amplitude de vibrao medida foi 2,5 mm. Determinar a rigidez da mola. Resp. k= 775,00KN/m

6)Um oscilador harmnico no amortecido sofre a atuao de uma fora de magnitude F0 = 30 N. Quando a freqncia com que a fora aplicada = 350 rad/s, a amplitude de vibrao 0,2 mm e quando a freqncia muda para = 500 rad/s a amplitude se torna 1,2 mm. Determinar a massa e a rigidez do sistema. Resp. Situao 1: n 500rad/s k=270,1KN/m e m=0,9804kg , n=524,9rad/s ; Situao 2: 350 n 500rad/s k=318,1KN/m e m=1,373kg , n=481,4rad/s ; Situao 3: n 350rad/s k=--270,1KN/m e m=-0,9804kg , Soluo impossvel.

7)Um compressor de refrigerao, mostrado na Fig. 3.2, est montado sobre quatro molas de rigidez k = 20 kN/m cada, possuindo uma massa m = 55 kg. As molas possuem um amortecimento desprezvel. Devido ao projeto do compressor, existe uma fora harmnica vertical de 12 N oscilando na freqncia de operao de 1750 rpm. Determinar a amplitude da vibrao vertical do compressor.Resp. X= -6,791x 10-6m .

8)Para medir uma fora harmnica causada por um desbalanceamento em um compressor de ar de pisto de massa m = 80 kg, como ilustra a Fig. 3.3, um engenheiro o montou sobre uma plataforma de massa M = 50 kg, que pode oscilar horizontalmente sem atrito, por meio de um suporte elstico com rigidez na direo horizontal k = 3500 N/m. A amplitude de vibrao medida na freqncia de operao foi 0,0005 m. Calcular a magnitude da fora de desbalanceamento horizontal, desconsiderando o amortecimento. Resp.F0 = 940,9N9)Um motor eltrico de massa m = 22 kg, mostrado na Fig. 3.4, est localizado no centro de uma viga de ao de seo transversal retangular, com b = 0,2 m e t = 10 mm, bi-apoiada, de comprimento L = 1 m. A magnitude da fora harmnica vertical (causada por desbalanceamento) 55 N quando a freqncia de rotao do motor 58 Hz. Determinar a amplitude da vibrao resultante, desprezando o amortecimento. (E = 210 GPa). Resp. X= - 19,97 x 10-6m

10)O ncleo mvel do rel eletromagntico mostrado na Fig. 3.5 possui massa m = 12 gr. Ele est apoiado na extremidade inferior na mola de rigidez k = 3000 N/m e na extremidade superior, na posio de contato fechado, lminas elsticas que proporcionam o contato eltrico possuem rigidez total de 1200 N/m, na direo do movimento do ncleo. Uma fora harmnica causada pelo campo eltrico, de magnitude 1,3 N atua ao longo do eixo do ncleo na freqncia sncrona de 60 Hz. Determinar a amplitude de vibrao do ncleo, desprezando o amortecimento. Resp.X=0,5211m

11)Um sistema massa-mola submetido a uma fora harmnica cuja frequncia est prxima frequncia natural do sistema. Se a frequncia com que a fora aplicada 39,8 Hz e a frequncia natural 40,0 Hz, determinar o perodo de batimento. Resp. T=2,5s.

12)Um oscilador harmnico possui massa m = 15 kg, constante de amortecimento c = 1200 N.s/m, e rigidez 600000 N/m. Determinar a amplitude da resposta a uma fora harmnica de magnitude F0 = 30 N e freqncia: (a) = 50 rad/s; Resp. X=53,03x10-6m(b) =190 rad/s; Resp. X=127,5x10-6m(c) =500 rad/s Resp. X=9,356x10-6m

13)Um oscilador harmnico possui massa m = 0,3 kg, coeficiente de amortecimento c = 21 N.s/m e rigidez k = 1000 N/m. Determinar a magnitude da fora harmnica atuante com uma freqncia = 377 rad/s que resulta em uma amplitude de vibrao de 0,5 mm. Resp.F0=21,19N

14)Um oscilador harmnico amortecido com fator de amortecimento = 0,2 sofre a ao de uma fora harmnica de amplitude F0 = 30 N. Quando a freqncia com que a fora atua = 350 rad/s a amplitude de vibrao 0,2 mm e quando a freqncia = 500 rad/s a amplitude torna-se 0,12 mm. Determinar a massa e a rigidez do oscilador. Resp. k=349,2KN/m e m=2,122kg.

15)Um sistema massa-mola-amortecedor est submetido a uma fora harmnica. Achou-se uma amplitude na ressonncia de 20 mm e de 10 mm em uma frequncia 0,75 vezes a frequncia de ressonncia. Determinar o fator de amortecimento do sistema. Resp.=0,1180

16) Resolver o Problema 3.7 assumindo que o sistema possui amortecimento e que foi medido um decremento logartmico de 0,05. Resp.X=6,791x10-6m.

17)Resolver o Problema 3.10 assumindo que o sistema est criticamente amortecido. Resp.X=0,2201mm.

18)Em um sistema vibratrio, m = 10 kg, k = 2,5 kN/m, e c = 45 N.s/m. Sobre a massa, atua uma fora harmnica de amplitude 180 N e frequncia 3,5 Hz. Se o deslocamento inicial e a velocidade inicial da massa so 15 mm e 5 m/seg, determinar a expresso que representa o movimento da massa. Resp. X=70,95mm , =--0,4007 rad ; X0 =0,3547m , =--1,428rad.

19)Observou-se que a amplitude de pico de um sistema de um grau de liberdade, sob excitao harmnica 0,5 cm. Se a frequncia natural do sistema 5 Hz, e a deflexo esttica da massa sob a ao da fora mxima 0,25 cm, (a) estimar o fator de amortecimento do sistema, e Resp. =0,2588(b) determinar as frequncias correspondentes amplitude de meia potncia. Resp. f1 =7,004Hz e f2=1,657Hz.

20)No sistema mostrado na Fig. 3.6, x o deslocamento da massa m e y o deslocamento do ponto Q (extremidade da mola de rigidez k1). Quando o ponto Q est submetido a um movimento harmnico y(t) = Y cost, determinar: (a) a equao do movimento da massa m, (b) o deslocamento de regime permanente da mesma e, (c) a magnitude da fora transmitida ao suporte em P,

21)No sistema mostrado na Fig. 3.7, x o deslocamento da massa m e y o deslocamento do ponto Q (extremidade do amortecedor de constante c1). Quando o ponto Q est submetido a um movimento harmnico y(t) = Y cost, determinar: (a) a equao do movimento da massa m, (b) o deslocamento de regime permanente da mesma e, (c) a magnitude da fora transmitida ao suporte em P,

22)No sistema mostrado na Fig. 3.8, x o deslocamento da massa m e y o deslocamento do ponto Q (extremidade do da mola de rigidez k1 e do amortecedor de constante c1). Quando o ponto Q est submetido a um movimento harmnico y(t) = Y cost, determinar: (a) a equao do movimento da massa m, (b) o deslocamento de regime permanente da mesma e, (c) a magnitude da fora transmitida ao suporte em P,

23) Modelou-se um automvel como um sistema de um grau de liberdade vibrando na direo vertical. Este veculo trafega em uma estrada cuja elevao varia senoidalmente. A distncia entre pico e vale 0,1 m e a distncia ao longo da estrada entre dois picos 35 m. Se a frequncia natural do automvel 1 Hz e o fator de amortecimento dos absorvedores de choque 0,15, determinar a amplitude de vibrao do automvel quando est com uma velocidade de 60 km/h. Resp. X=0,06423m

24)Um oscilador harmnico possui massa m = 2 kg e rigidez k = 4500 N/m. O suporte vibra na freqncia de 50 Hz com amplitude 0,5 mm. Determinar a amplitude da vibrao resultante no amortecida. Resp. X=11,66 x 10-6m.

25)Um oscilador harmnico possui massa m = 15 kg, rigidez k = 6 x 107 N/m e fator de amortecimento = 0,05. O suporte vibra na freqncia de 200 Hz com amplitude de 1 mm. Determinar (a) a amplitude da vibrao resultante; Resp.X=1,647 mm(b) A amplitude da fora transmitida. Resp.F=39,01 kN

26)Um automvel de massa m = 1000 kg trafega com uma velocidade de 80 km/h em uma superfcie irregular com perfil senoidal de amplitude 60 mm e distncia entre picos 0,3 m. Se a freqncia natural do carro 0,8 Hz, com amortecimento crtico, determinar: (a) a amplitude de vibrao vertical; Resp.X=1,296 x 10-3 m(b) a fora transmitida para o veculo. Resp.F=280,7 KN

27)Um compressor de ar, pesando 4500 N e operando a 1500 rpm, montado sobre um isolador. Existem disponveis para utilizao duas molas helicoidais, uma de rigidez igual a 80 kN/cm e a outra de rigidez igual a 25 kN/cm, e um absorvedor de choque com fator de amortecimento igual a 0,15. Selecionar o melhor sistema de isolamento para o compressor.

28)Um sistema torsional consiste de um disco com momento de inrcia de massa J0 = 10 kg.m2, um amortecedor torsional de constante c = 300 N.m.s/rad, e um eixo de ao de dimetro igual a 4 cm e comprimento de 1 m (fixo em uma extremidade e contendo o disco na outra extremidade), com G = 85 GPa. Observou-se uma amplitude de regime permanente de 2o quando um torque de magnitude 1000 N.m foi aplicado no disco. Determinar: (a) a frequncia com que o torque foi aplicado; Resp. =65,06 rad/s(b) o mximo torque transmitido ao suporte. Resp. T=1,010 x 103 KN.m

29) Um eixo de ao vazado (E = 210 GPa), de comprimento 2,5 m, dimetro externo 10 cm e dimetro interno 9 cm, contm um rotor de turbina que pesa 2200 N, no centro de seu comprimento e est apoiado em mancais de rolamento nas suas extremidades. A folga entre o rotor e o estator 1,25 cm. O rotor tem uma excentricidade equivalente a um peso de 2 N situado em um raio de 5 cm. Foi instalado um sistema que interrompe a rotao do rotor sempre que o mesmo estiver na iminncia de tocar o estator. Se o rotor operar na ressonncia, quanto tempo levar para que o sistema de proteo seja ativado? Assumir que as condies iniciais so nulas.

30)Um eixo possui uma rigidez no seu centro k = 1,2106 N/m possuindo neste ponto um disco de massa m = 200 kg. O eixo gira a 3600 rpm, possui fator de amortecimento = 0,05, e uma massa desbalanceada me = 50 gr com uma excentricidade e = 0,20 m. Determinar a amplitude de vibrao. Resp.X=52,19 x 10-6m

31)Quando um exaustor de massa 380 kg est apoiado em molas com amortecimento desprezvel, a deflexo esttica resultante 45 mm. Se o exaustor tem um desbalanceamento rotativo de 0,15 kg.m, determinar: (a) a amplitude de vibrao a 1750 rpm e Resp.X=0,3973mm(b) a fora transmitida para a base nesta velocidade. Resp.F= 32,91N