3.statik elektrik alanlar elektromanyetik alanlar...elektromanyetik alanlar ktÜelektrik-elektronik...

Elektromanyetik Alanlar

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

3.Statik Elektrik Alanlar

2

21

R

QQkF Q1, Q2 : (C)

4

1k

(N)

Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti

Coulomb Yasası : 1785 de Charles Coulomb tarafından formüle edilmiş

deneysel bir yasadır. Bir noktasal yükün diğer bir noktasal yük üzerine

etkidiği kuvvetle ilgilenir.

R : (m)

: sabit =ro : ortamın yalıtkanlık sabiti (F/m)

Boş uzayda =o , r(bağıl yalıtkanlık sabiti)=1 dir.

9

o

o 10.94

1k

(m/F)

1




12R2

o

2112 a

R4

QQF


Coulomb Yasası :

1r

2r

1212 rrR

12F

21F

12Ra

21Ra12RR

R

Ra 12

R12

1221 RR aa

3

12o

1221123

o

2112

rr4

rrQQR

R4

QQF

1221 R12R1221 aFaFF

2





Coulomb Yasası :

Birden çok noktasal yük için,

3

No

NN

3

2o

22

3

1o

11

rr4

rrQQ.......

rr4

rrQQ

rr4

rrQQF

N

1k3

k

kk

o rr

rrQ

4

QF

2rr

Nrr

1rr

r1r

Nr

2r

NQ

Q

2Q

1Q

3





Elektrik Alan Şiddeti : Elektrik alanının var olduğu bir bölgeye

yerleştirilmiş çok küçük durağan bir test yükü üzerine etki eden birim

yük başına düşen kuvvet olarak tanımlanır.

Q

FlimE

0Q

Q

FE

veya basitçe (N/C) (V/m)

Elektrik alanına konan test yükü ölçülmek istenen alanı bozmayacak

büyüklükte olmalıdır. Sonsuz küçük olması gerekmez, yeter ki ölçülen

alanı bozmasın.

3

o

R2

o rr4

rrQa

R4

QE

ye yerleştirilmiş bir noktasal yükün

de yarattığı elektrik alanı :rr

N tane noktasal yükün alanı :

N

1k3

k

kk

o rr

rrQ

4

1E

4





Örnek 1: P1(3,2,-1) noktasına 1 mC, P2(-1,-1,4) noktasına -2 mC yükleri

konmuştur. P(0,3,1) noktasındaki 10 nC’luk yüke etkiyen kuvveti ve bu

noktadaki elektrik alan şiddetini bulunuz.

5





Örnek 2: (x,y,z) eksen takımında O(0,0,0) noktasına +1 nC, (0,1,0)

noktasına ise -2 nC noktasal yükleri konmuştur. (2,0,0) noktasındaki

elektrik alanını bulunuz.

6





Örnek 3: x-y düzleminde O(0,0) noktasına QO=5 nC, A(3 m,0) noktasına

QA=10 nC ve B(0,4 m) noktasına QB=-30 nC noktasal yükleri konmuştur.

C(3 m,4 m) noktasındaki elektrik alanını bulunuz.

7





Örnek 4: Florid fosfat maden cevheri kuartz ve fosfat taşının küçük

partiküllerinden oluşmaktadır. Bu partiküller düzgün bir elektrik alanı

kullanarak bileşenlerine ayrılabilir. Başlangıç hızı ve yer değiştirmeyi

sıfır kabul ederek 80 cm’lik düşüşten sonra partiküller arasındaki yatay

mesafeyi belirleyiniz. E=500 kV/m, Q/m=9 C/kg

8




Sürekli Yük Dağılımları

Yükler bir ortamda noktasal olarak bulunabilecekleri gibi, şekildeki bir

çizgi boyunca, bir yüzey üzerinde veya bir hacim içerisinde sürekli bir

dağılım şeklinde de olabilirler.

Noktasal yük Çizgisel yük Yüzeysel yük Hacimsel yük

Çizgisel yük yoğunluğu : L (C/m)

Yüzeysel yük yoğunluğu : S (C/m2)

Hacimsel yük yoğunluğu : v (C/m3)

9





Bu yük dağılımlarının her birinin herhangi bir R uzaklıkta yarattığı

elektrik alanı aşağıdaki bağıntılardan hesaplanabilir.

R2

L

o

aR

d

4

1E

R2

S

o

aR

dS

4

1E

R2

v

o

aR

dv

4

1E

: çizgisel yük dağılımı için dQ=Ldl

: yüzeysel yük dağılımı için dQ=SdS

: hacimsel yük dağılımı için dQ=vdv

R2

o

aR4

dQEd

10





1. Çizgisel yük :

Şekildeki gibi z-ekseni boyunca A ve B noktaları arasında düzgün yük

yoğunluğu L olan bir çizgisel yükün herhangi bir P(x,y,z) noktasında

yarattığı elektrik alanını bulalım.

ddQ L

zdd

zyx a)zz(ayax

)z,0,0()z,y,x(R

za)zz(aR

222

2 )zz(RR

11





1. Çizgisel yük :

2/322

z

32

R

)zz(

a)zz(a

R

R

R

a

zd

)zz(

a)zz(a

4E

2/322

z

o

L

cos/)zz(R 22

tanOTz 2cos/dzd

12





1. Çizgisel yük :

dasinacos4

E2

1

z

o

L

z1212

o

L a)cos(cosa)sin(sin4

E

Özel durum : Sonsuz çizgisel yük için B noktası +’a, A noktası -’a

götürülürse, 1=/2 ve 2=-/2 olur. Bu durumda z-ekseninden bir uzaklıktaki elektrik alanı,

a

2E

o

L

o

L

2E

13





1. Çizgisel yük :

Örnek : x-y düzlemine yerleştirilmiş, ekseni z ekseniyle aynı olan a

yarıçaplı dairesel bir halka L (C/m) düzgün yükü taşımaktadır.

x

y

a) (0,0,h) noktasındaki elektrik alan ifadesini

bulunuz. b) Elektrik alanının maksimum olduğu

h değerlerini bulunuz. c) Halkadaki toplam yük

Q ise, a0 iken elektrik alanını bulunuz.

d) (a) da bulduğunuz denklemi kullanarak

Q=10 pC, a=5 cm için h=5 cm’deki elektrik

alanını hesaplayınız.

14





2. Yüzeysel yük :

Şekildeki gibi x-y düzleminde düzgün yük yoğunluğu S olan a yarıçaplı

bir yük levhasının orjinden h uzaklıkta yarattığı elektrik alanını bulalım.

d2dSdQ SS

d2dS

yarıçaplı ve d genişlikli

halkanın yüzey alanı

Bu halkadaki yük

d

d2dQ S

h R

Ed

Ed

R2

o

aR4

dQEd

Bu yükün z-ekseni üzerinde

R uzaklıkta yaratacağı alan

15





2. Yüzeysel yük :

22

z

R

h

aha

R

Ra

z2/322

o

S ahah4

d2Ed

Simetriden dolayı yatay bileşenler birbirini yok eder, yani E=0 olur.

Elektrik alanının sadece z-bileşeni kalır.

z

a

0

2/322o

S ah

d

2

hE

22o

Sz

ha

h1

2E

z

22o

S aha

h1

2E

16





2. Yüzeysel yük :

z

o

S a2

E

Özel durum : a= yapılırsa yani levha sonsuz bir düzlem ise, levhadaki

düzgün yük yoğunluğu S in yarattığı elektrik alanı,

Levhanın alt tarafında (–z yönünde) orjinden h uzaklıktaki elektrik alanı

z22

o

S aha

h1

2E

Düzgün yüklü sonsuz bir levhanın alanı düzgün alandır, değeri ve

doğrultusu değişmez.

n

o

S a2

E

na : levhaya dik bir birim vektör

17





2. Yüzeysel yük :

Paralel iki sonsuz levha arasındaki elektrik alanı :

z

o

S aEEE

z>a bölgesinde :

0 EEE

E

+S -S

E

E

E

E

E

z=0 z=a

z

o

S aE

2

z

o

S aE

2

z<0 bölgesinde :

0 EEE

z

o

S aE

2

z

o

S aE

2

0<z<a bölgesinde :

z

o

S aE

2

z

o

S aE

2

18





2. Yüzeysel yük :

19

Örnek : Boş uzayda z=-4, z=1 ve z=4 sonsuz düzlem levhalarında

sırasıyla, 3 nC/m2, 6 nC/m2 ve -8 nC/m2 olan düzgün yükler

bulunmaktadır. Aşağıdaki noktaların her birinde elektrik alanını bulunuz.

a) PA(2,5,-5) b) PB(4,2,-3) c) PC(-1,-5,2) d) PD(-2,4,5)





3. Hacimsel yük :

Şekildeki gibi düzgün yük yoğunluğu v olan hacimsel yük dağılımının

P noktasında yarattığı elektrik alanını bulalım.

dvdQ v dvdvQ vv

3

a4Q

3

v

dQ elemanter hacimsel yükünün

P noktasında yaratacağı alan

R2

o

v aR4

dvEd

Simetriden dolayı alanın Ex ve Ey bileşenleri

sıfırdır, sadece Ez bileşeni vardır.

20





3. Hacimsel yük :

ddrdsinrdv 2

Kosinüs kuralından,

2

o

vz

R

dvcos

4cosdEE

Son ifadede z ve r sabit tutulup ne göre türev alınırsa,

rz2

Rrzcoscosrz2rzR

222222

zR2

rRzcoscoszR2Rzr

222222

rz

RdRdsin

21





3. Hacimsel yük :

Q

v

3

2

o

a

0

2

o

v

a

0

rz

rz

22

2

o

v

a

0r

rz

rzR

2

222

0

2

o

vz

a3

4

z4

1

rdr4z4

rdR

rzRr

z4

rdRdR

rz1rd

z4E

22





3. Hacimsel yük :

z

o

az

QE

24

23

Sonuç olarak P(0,0,z) noktasındaki E alanı,

Yük dağılımı simetrik olduğundan P(r,,) noktasındaki elektrik alanı,

yukarıdaki bağıntıdan,

r

o

ar

QE

24

Bu alan, küresel yük dağılımının orijini veya merkezinde bulunan bir

noktasal Q yükünün aynı P noktasında yarattığı elektrik alanına özdeştir.





cm 5r0,

cm 5r3,nC/m 20

cm 3r0,nC/m 103

3

v

24

Örnek 1: Boş uzayda hacimsel yük yoğunluğu aşağıdaki gibi veriliyor.

a) r=4 cm b) r=6 cm’deki elektrik alanını bulunuz.





25

Örnek 2: Şekildeki gibi verilen 2 cm uzunluğundaki elektron hüzmesinin

içerdiği toplam yükü bulunuz.

26

Elektromanyetik Alanlar3.Statik Elektrik Alanlar

ED

(C/m2 )

Elektrik Akısı ve Elektrik Akı Yoğunluğu

Ortamdan bağımsız yeni bir vektör alan,

Boş uzayda :

: Yerdeğiştirme alanı (Elektrik akı yoğunluğu)

ED o

E ile D aynı alan çizgilerine sahiptir.

+Qr D

Noktasal yük için,

r2a

r4

QD

(C/m2 )

r2

o

ar4

QE

(V/m )


27



Bir düzgün alan (yönü ve değeri noktadan noktaya değişmeyen alan)

içinde;

DS (C)

(C/m2 )

D

S Elektrik akısı :

Elektrik akı yoğunluğu :

SD

cosDS

na

S

D


28



Alan düzgün olmayıp yüzey de düzlem değilse;

SdDd

dS

na

S yüzeyi

D

S

SdD

Örnek : =2 m, z=0, z=5 m ile sınırlanan silindirik bir hacim içerisindeki

akı yoğunluğu C/m2 dir. Silindirin yüzeyinden

çıkan toplam elektrik akısını bulunuz.zaz2ae30D


29


Gauss Yasası ve Uygulamaları

Herhangi bir kapalı yüzeyden geçen toplam elektrik akısı, o yüzey

tarafından kapsanan toplam yüke eşittir.

top

S

QSdD

a yarıçaplı kapalı bir küre yüzeyinden geçen akının bu kürenin içindeki

yüke eşit olduğunu gösterelim.

Bunun için noktasal bir Q yükünün, şekilde gösterildiği gibi küresel

koordinat sisteminin orjinine yerleştirildiğini varsayalım.

Bu Q yükünün kürenin yüzeyindeki yerdeğiştirme alanı,

(C)


r2S aa4

QD

(C/m2 )

30




r

2 addsinaSd

Kapalı küre yüzeyi üzerinden integrali,

)addsina()aa4

Q(SdD r

2

r2

ddsin4

QSdD

Qddsin4

QSdD

2

0 0S

Q

31



Gauss yasası, özellikle kapalı yüzey üzerinde D alanının dik bileşeninin

sabit olduğu bazı simetri durumlarında, yük dağılımının yarattığı alanın

(D veya E) belirlenmesinde kolaylık sağlar. Simetri durumu yok ise

Gauss yasasının çok faydası olmaz.

Yukarıdaki küre yüzeyinin her noktasında D alanı sabit ve yüzeye diktir.


a yarıçaplı kürenin yüzey alanı S=4a2 dir.

Qa4a4

QDS 2

2

Gauss yasasının uygulanmasında, öncelikle simetrinin olması ve

sonrasında verilen bir yük dağılımının yarattığı alanın dik bileşeninin

sabit olacağı uygun bir yüzeyin seçilmesi önemlidir. Bu tip yüzeyler

Gauss yüzeyi olarak adlandırılır.

32



Gauss yüzeyi örnekleri :

Küresel Gauss

yüzeyi

D

D

Silindirik Gauss yüzeyi

D

D

Kübik Gauss yüzeyi

D

D


33



Hacimsel yük dağılımı v kullanılırsa,


dvQv

v S

SdD

Q dvSdDS v

v

: Genelleştirilmiş Gauss yasası

dvDdivSdDS v

Diverjans teoreminden,

v

v

v

dvdvDdiv

vDdiv

: Maxwell denklemlerinin ilki

34



Uygulama 1 : Sonsuz çizgisel düzgün yük dağılımın alanı


Çizgisel yük L (C/m)

Gauss yüzeyi

D

Şekildeki uzunluğu l ve yarıçapı olan

silindirik Gauss yüzeyinin alt ve üst

yüzeyleri D alanına paralel olduğundan

bu yüzeylerden geçen akı sıfırdır.

Silindirin yan yüzeyinden geçen akı :

l2DDS

Silindirin içindeki toplam yük : lQ L

ll2DQ L Gauss yasasından :

a

2D L

(C/m2)

a

2

DE

o

L

o

(V/m)

35



Uygulama 2 : Düzgün yük dağılımlı sonsuz düzlem levhanın alanı


Şekildeki Gauss yüzeyinin yan

yüzeyleri D alanına paralel

olduğundan bu yüzeylerden

geçen akı sıfırdır. Alt ve üst

yüzeylerden çıkan toplam akı :

DS2DSDS

S yüzeyindeki toplam yük :

SQ SSDS2Q S Gauss yasasından :

zS a

2D

(C/m2) z

o

S a2

E

(V/m)

S yüzeyi

Gauss yüzeyi

D

D

Yük dağılımı S

olan sonsuz levha

36



Uygulama 3 : İçinde düzgün yük dağılımı bulunan kürenin alanı

Yarıçapı a, düzgün yük dağılımı v=o C/m3 olan bir kürenin içinde ve

dışındaki alanları (D ve E) Gauss yasasından yararlanarak bulalım.


Küre içerisindeki alanı bulmak için, kürenin

içinde şekildeki gibi r<a olan bir küresel Gauss

yüzeyi seçelim. Bu yüzeyden çıkan akı :2r4DDS

r yarıçaplı bu kürenin içindeki toplam yük :

3

r4vQ

3

ov

ro a3

rD

Gauss yasasından :

(C/m2) (V/m)

Gauss yüzeyi

r

o

o a3

rE

(0 < r a)

37



Uygulama 3 : İçinde düzgün yük dağılımı bulunan kürenin alanı

Küre dışındaki alanı bulmak için, kürenin dışında şekildeki gibi r>a olan

bir küresel Gauss yüzeyi seçelim. Bu yüzeyden çıkan akı :


2r4DDS

a yarıçaplı kürenin içindeki toplam yük :

3

a4vQ

3

ov

(V/m)r2

o

3

o ar3

aE

Gauss yüzeyi

(r a)

r2

3

o ar3

aD

(C/m2)

2

3

o

r3

a

3

ao

3

r o

38



Örnek 1: veriliyor. (1,/4,3) noktasındaki

yük yoğunluğunu ve yarıçapı 1m olan -2 z 2 aralığındaki silindirin

kapsadığı toplam yükü hesaplayınız.


2

z

2 C/m acoszD

39



Örnek 2: (x,y,z) eksen takımında şekildeki gibi yerleştirilmiş küpün her

bir kenarı 2 m dir. Yerdeğiştirme alanının aşağıdaki değişimleri için

küpün içindeki toplam elektrik yükünü bulunuz.


y

x

z

0

2

zyx C/m a)5z(a)4y(a)3x(D

a)

2

z

333

y

222

x C/m azyxazyxaxyzD

b)

40


Elektriksel Potansiyel ve Gerilim

Elektrik devrelerinde gerilim ve akımlarla çalışılır.

Elektrik devresinde A ve B gibi iki nokta arasındaki VAB gerilimi

(potansiyel farkı), bu iki nokta arasında bir birim yükü hareket ettirmek

için gerekli enerji miktarı veya potansiyel enerjiyi gösterir.

Bir elektrik devresi problemi çözülürken devrede var olan elektrik

alanları genellikle dikkate alınmaz. Bununla birlikte, bir direnç veya bir

kondansatör uçları arasındaki potansiyel farkının (gerilimin) kaynağı

yine bu uçlar arasındaki bir elektrik alanının varlığıdır.

Bu bölümde elektrik alanı E ile elektriksel potansiyel V arasındaki

bağlantı incelenecektir.

Bu amaçla, önce, bir noktasal yükün düzgün bir E alanında alana karşı

yönde bir noktadan başka bir noktaya hareketi ele alınacaktır.


41



Şekildeki gibi –y yönündeki düzgün bir E alanında pozitif bir noktasal Q

yükü bulunsun. Bu yüke etkiyen elektriksel kuvvet –y yönünde (alan

yönünde) olacaktır.


+Q

y

x

d

y E

E

E

ye aQEEQF

Yük pozitif y-ekseni boyunca (Fe

kuvvetine karşı) hareket ettirilirse, bu

hareketi enerji harcanması karşılığında

sağlayacak Fe ye karşı koyan bir Fd dış

kuvvete ihtiyaç vardır.

Q yükünü sabit hızla hareket ettirmek için yük üzerine etkiyen net

kuvvetin sıfır olması, yani,

0FF ed

42



Herhangi bir nesnenin bir dış kuvvetin etkisi altında bir diferansiyel

yerdeğiştirme uzaklığında hareket ettirilmesiyle yapılan iş veya harcanan

enerji,


EQFF ed

Q yükü y-ekseni boyunca dy kadar hareket ettirilirse,

ldEQldFdW d

(Joule, J)

QEdy)dya()Ea(QdW yy

Birim yük başına diferansiyel elektriksel potansiyel enerji (dW),

diferansiyel elektriksel potansiyel (dV) olarak adlandırılır.

ldEQ

dWdV

(V)

43



Şekilde gösterilen A ve B gibi herhangi iki nokta arasında bir Q yükünün

A dan B ye mevcut alana karşı hareketle taşınması sırasında yapılan

toplam iş veya gerekli potansiyel enerji,


B

A

ldEQW

Bu noktalar arasındaki potansiyel farkı,

(J)

B

A

B

A

ldEQ

WdV

B

A

ABAB ldEQ

WVVV

(V)

44



Burada;

VAB belirlenirken A başlangıç, B bitiş noktası olarak alınır.

VAB<0 ise, Q yükünün A dan B ye hareketinde potansiyel enerjide bir

kayıp vardır ve bu da işin alan tarafından yapıldığını gösterir.

VAB>0 ise, potansiyel enerjide bir kazanç vardır, işi dış kuvvet

yapmıştır.

VAB seçilen yoldan bağımsızdır.


45




r2

o

ar4

QE

Bir noktasal yükün elektrik alanında potansiyel farkı :

Şekildeki gibi (x,y,z) eksen takımının orjinine yerleştirilmiş bir noktasal

Q yükünün yarattığı alandaki mutlak potansiyeli belirleyelim.

Bu yükün elektrik alanı,

AB

B

A

B

A

AB VVdVldEV

radrld

rA

rB

Q

46





B

A

B

A

r

r

2

o

r

r

rr2

o

ABr

dr

4

Qadra

r4

QV

AB

ABo

AB VVr

1

r

1

4

QV

VB B noktasındaki, VA ise A noktasındaki potansiyel (veya mutlak

potansiyel) olarak tanımlanır. Böylece, VAB potansiyel farkı yani gerilim,

A referans noktasına göre B noktasındaki potansiyel olur.

47





BoABr

o

ABr

Br4

Q

r

1

r

1lim

4

QVlimV

AA

B noktasındaki mutlak potansiyel rA sonsuza yaklaştırılarak (VA=0)

bulunur.

Orjine yerleşmiş bir noktasal yükün mutlak potansiyeli rB=r alınarak

aşağıdaki gibi genelleştirilebilir.

r4

QV

o (V)

48




Noktasal yükün potansiyel dağılımı elektrik alanınki gibi küresel

simetriye sahiptir.

Bir noktasal yükün alanı 1/r2 ile değişirken noktasal yükün potansiyeli

1/r olarak değişir.

Potansiyelin sabit olduğu yüzeyler (veya çizgiler) eşpotansiyel

yüzeyler (veya çizgiler) olarak tanımlanır. Noktasal yük için eşpotansiyel

yüzeyler yük etrafında iç içe kürelerdir.

Eşpotansiyel yüzeyler (çizgiler) her zaman elektrik alanına diktirler.

Bir yük elektrik alanına dik doğrultuda hareket ettirilirse yapılan iş sıfır

olur.

Eşpotansiyel çizgi üzerindeki her noktada potansiyel eşit olduğundan,

dV=0 olur.

ldE0ldEdV

49




Q noktasal yükü orjin yerine konum vektörü r olan bir noktaya

yerleşmiş ise, bu durumda potansiyel;

N adet noktasal yük için, elektrik alanlarına uygulanan toplamsallık

ilkesi potansiyellere de uygulanarak ;

rr4

QV

o

No

N

2o

2

1o

1

rr4

Q.......

rr4

Q

rr4

QV

N

1k k

k

o rr

Q

4

1V

50




Sürekli yük dağılımları için;

(Çizgisel yük)

L

L

o rr

ld

4

1V

(Yüzeysel yük)

S

S

o rr

Sd

4

1V

(Hacimsel yük)

v

v

o rr

vd

4

1V

51




Örnek 1: Şekildeki kare yapının kenarları 1 m’dir. Karenin merkezindeki

(O) potansiyeli bulunuz.

L=10 pC/m

Q1=1 pC

Q2=-10 pC

y

x

L

O

52




Örnek 2: Yarıçapı a=10 cm olan iletken bir yarım küre kabuğunun

yüzeyinde düzgün bir yük dağılımı vardır. Yüzeydeki toplam yük 0,1 nC

olduğuna göre, yarım kürenin merkezindeki elektrik alanını ve

potansiyeli bulunuz.

53




Örnek 3: -4 C ve 5 C iki noktasal yük sırasıyla (2,-1,3) ve (0,4,-2)

noktalarına konmuştur. Sonsuzdaki potansiyeli sıfır varsayarak (1,0,1)

noktasındaki potansiyeli bulunuz.

54




Örnek 4: Q1=10 pC ve Q2=-20 pC noktasal yükleri arasındaki uzaklık

40 cm dir. İki yükü birleştiren doğrunun orta noktasında alan ve

potansiyel ne olur?

55



Elektrik Alanının Potansiyelden Türetilmesi :

Şekilde A ve B noktaları arasındaki potansiyel farkı alınan yoldan

bağımsızdır. Bu nedenle;

Bu sonuç, şekildeki gibi kapalı bir yol boyunca E nin çizgi integralinin

sıfır olduğunu gösterir. Fiziksel olarak bu, bir elektrostatik alanda bir

yükün kapalı bir yol boyunca hareketi sonucu net iş yapılmadığı

anlamına gelir.

ABBA VV

0ldEVV ABBA

0ldE

56



Stokes teoremi uygulanırsa;

olur. Yani, elektrik alanının rotasyoneli sıfır ise bu alan bir statik alandır

ve bir potansiyelden türetilebilir.

0Sd)Ex(ldE

0ErotEx

dzEdyEdxEldEdV zyx

dzz

Vdy

y

Vdx

x

VdV


57



İki ifade karşılaştırılırsa;

VE

x

VEx

y

VE y

z

VEz

Sonuçta;

elde edilir. Elektrik alanı V nin gradyanıdır. (-) işareti, elektrik alanının

yönünün V nin artış yönüne ters olduğunu gösterir. Elektrik alanı V nin

yüksek seviyelerinden alçak seviyelerine doğru yönelir.


58




Örnek 1: V/m veriliyor. Bu alanın skaler

potansiyelden türetilebileceğini gösteriniz. y

3

x

2 ax2ayx6E

59




Örnek 2: V/m olan bir dış elektrik alanı içinde

1 µC luk bir yükün orjinden (3,1,4) noktasına taşınması sonucunda iş

yapılmadığını gösteriniz

zyx a6a3a7E

60




Örnek 3: Serbest uzayda V=10(+1)z2cos veriliyor.

a) Eşpotansiyel yüzeyi V=20 V olan iletken bir yüzey tanımlansın.

İletken yüzeyin denklemini bulunuz.

b) İletken yüzey üzerinde =0,2 ve z=1,5 olan noktada ve elektrik

alanını bulunuz.

c) O noktadaki S i bulunuz.

61




Örnek 4: V/m veriliyor. 1 nC luk yükü (0,0,0)

noktasından (1,1,0) noktasına taşımak için gerekli enerjiyi aşağıdaki

yollar için belirleyiniz.

a) (0,0,0)(1,0,0)(1,1,0) b) y=x c) y=x2

)ay2ay(eE yx

2x

62



Elektriksel Dipol :

Aralarındaki d uzaklığı çok küçük olan eşit genlikli ve zıt yüklü iki

noktasal yükün oluşturduğu sisteme dipol denir. Yüklerin bulunduğu

eksen dipol eksenidir. Şekilde P noktasındaki potansiyel;

21

12

o

21o

rr

rr

4

Q

r

1

r

1

4

QV

63



Elektriksel Dipol :

dr dcosrr 12 2

12 rrr ise, ve

yaklaşıklıkları yapılırsa;

2

or4

cosQdV

raddcos

(V) olarak elde edilir.

zadd

dQp

: -Q dan +Q ya yönelen dipol momenti (Cm)

2

o

r

r4

apV

64



Elektriksel Dipol :

Dipol momenti orjin yerine bir r noktasında ise ;

P noktasındaki elektrik alanı ;

3

o rr4

)rr(pV

a

V

r

1a

r

VVE r

a

r4

sinQda

r2

cosQdE

3

o

r3

o

65



Elektriksel Dipol :

asinacos2r4

pE r3

o

Qdpp

Bir dipolün elektrik alanının ve potansiyelinin değişimi :

alan çizgisi

eşpotansiyel yüzey

66



Örnek 1: Dipol momentleri nC.m ve nC.m olan iki dipol

(0,0,-2) ve (0,0,3) noktalarına yerleştirilmiştir. Orjindeki potansiyeli

bulunuz.

za5

Elektriksel Dipol :

za9

67



Örnek 2: pC.m momentli bir elektriksel dipol orjine

yerleştirilmiştir. Aşağıdaki noktalarda potansiyeli ve elektrik alanını

bulunuz. a) (0,0,10) b) (1,/3,/2)

za100

Elektriksel Dipol :

68


Elektrostatik Enerji ve Kuvvet

Ayrık yük durumunda elektrostatik enerji :

Ayrık yüklerden oluşan bir sistemde mevcut olan enerjiyi belirlemek

için, ilk olarak bu yüklerin bir araya getirilmesi için gerekli iş miktarı

hesaplanmalıdır. Bu amaçla, üç noktasal Q1, Q2 ve Q3 yükleri şekilde

gölgeli olarak gösterilen başlangıçta boş bir uzayda konumlandırılmak

istensin.


Uzay başlangıçta yüksüz olduğundan,

Q1 in sonsuzdan P1 e taşınmasında iş

yapılmaz (W=0 ). Q2 nin sonsuzdan

P2 ye taşınmasında yapılan iş, Q1 in

P2 deki V21 potansiyeli ile Q2 nin

çarpımına eşittir.

Benzer şekilde, Q3 ün P3 de konumlandırılmasında yapılan iş

Q3(V32+V31) olur.

69




Böylece, üç yükün konumlandırılmasında yapılan toplam iş;


)VV(QVQ0WWWW 32313212321e

Yükler ters sırada konumlandırılmışsa;

)VV(QVQ0WWWW 13121232123e

Bu ifadede;

V23 : Q3 yükünün P2 noktasında oluşturduğu potansiyel



(1)

(2)

(1) ve (2) denklemleri toplanırsa;

70





332211

323132321213121e

VQVQVQ

)VV(Q)VV(Q)VV(QW2

Veya;

V1, V2, V3 : P1, P2, P3 noktalarındaki toplam potansiyeller

)VQVQVQ(2

1W 332211e

Sistemde N adet noktasal yük varsa ;

k

N

1k

ke VQ2

1W

(J)

Vk : Qk noktasında diğer bütün yüklerin oluşturduğu potansiyel

1 eV = 1,6.10-19 J

71





Örnek 1: -1 C, 2 C ve 3 C’luk üç noktasal yükü bir kenarı 10 cm

olan eşkenar üçgenin köşelerine yerleştirmek için gerekli enerjiyi bulun.

72





Örnek 2: -1 nC, 4 nC ve 3 nC’luk üç noktasal yük sırasıyla (0,0,0),

(0,0,1) ve (1,0,0) noktalarına yerleştirilmiştir. Sistemdeki enerjiyi bulun.

73



Sürekli yük dağılımı durumunda elektrostatik enerji :


Çizgisel, yüzeysel ve hacimsel yük dağılımları için;

(Çizgisel yük) L

Le Vdl2

1W

(Yüzeysel yük) S

Se VdS2

1W

(Hacimsel yük) v

ve Vdv2

1W

74



Alan büyüklükleri cinsinden elektrostatik enerji :


Hacimsel yük dağılımı için enerji ifadesinde

kullanarak DDdivv

yazılabilir. v

e Vdv)D(2

1W

özdeşliğinden )D(VVDDV

VDDVV)D(

enerji ifadesinde kullanılırsa,

vv

e dv)VD(2

1dv)DV(

2

1W

75





Denklemin sağ yanındaki ilk terime Diverjans teoremi uygulanırsa,

R yarıçaplı çok büyük bir küre için yüzey integrali, R iken sıfıra

gider. Böylece,

olur.

vS

e dv)VD(2

1Sd)DV(

2

1W

v

e dv)VD(2

1W

VE

koyularak,

v

e dv)ED(2

1W

elde edilir.

76





ED

v

2

v

2

e dvE2

1dvD

2

1W

(J)

Elektrostatik enerji yoğunluğu,

ED2

1

dv

dWw e

e

2

e E2

1w (J/m3)

v

ee dvwW

77





ar,0

ar0,o

v

Örnek 1: Küresel simetrili bir yük dağılımı

olarak veriliyor. V potansiyelini ve r<a

bölgesinde depolanan enerjiyi belirleyiniz.

D ve E alanları daha önce Gauss yasasından bulunmuştu.

a) r > a için ;

r2

o

3

o ar3

aE

dr

r

1

3

aldEV

2

o

3

o

ar ,Cr3

aV 1

o

3

o

V(r=)=0 olduğundan C1=0 bulunur.

78





Örnek 1:

b) r < a için ; r

o

o a3

rE

drr

3ldEV

o

o

2

o

2

o C6

rV

a)’ dan

o

2

o

3

a)ar(V

o

2

o22

o

2

o

o

2

o

2

aCC

6

a

3

a

ar ),ra3(6

V 22

o

o

olarak bulunur.

79





Örnek 1:

ar),ra3(6

ar,r3

a

V22

o

o

o

3

o

o

2

o

2

a

ar

)ra3(6

22

o

o

r3

a

o

3

o

r

V

80





Örnek 1: c) r < a bölgesinde depolanan enerji;

v

2o

v

e dvE2

dvED2

1W

r

o

o a3

rE

a

0r 0

2

0

22

2

o

2

ooe drddsinr.r

92W

o

52

oe

45

a2W

(J)

81





Örnek 2: nC/m2 veriliyor. (0 x, y, z 1)

bölgesinde depolanan toplam enerjiyi hesaplayınız. zyx axyaxzayzD

82





Örnek 3: Yalıtkan bir kürenin yarıçapı a, yalıtkanlık katsayısı dur. Küre

boşluktadır ve içinde v=oa/r olan bir yük dağılımı bulunmaktadır.

Sistemde depolanan elektriksel enerjiyi bulunuz.

83



Elektrostatik kuvvet :


Birbirinden ayrı hem yüklü iletken hem de dielektrik cisimlerden oluşan

bir izole sistemde, elektriksel kuvvetler cisimlerden birinin yerini bir dl

diferansiyel uzaklığı (hayali yer değiştirme) kadar değiştirsin. Bu

durumda sistem tarafından yapılan mekanik iş,

ldFdW e

:Fe

Sabit yük koşulu altında cisme etkiyen toplam elektriksel kuvvet

Bir dış enerji kaynağı olmayan bu izole sistemde, mekanik iş depolanan

elektrostatik enerjinin harcanmasıyla yapılmış olmalıdır.

ldFdWdW ee

(a)

ld)W(dW ee

(b)

84



Elektrostatik kuvvet :


(a) ve (b) karşılaştırılırsa,

Yani, elektriksel kuvvet enerjinin gradyanıdır.

Üç boyutlu uzayda üç eşitlikten oluşur. Kartezyen koordinatlarda

x-yönündeki kuvvet,

(N)ee WF

x

W)F( exe

olarak yazılabilir.

85


Malzeme Uzayında Elektrik Alanları

Malzemelerin elektriksel özellikleri :

Bir malzeme ortamının elektromanyetik parametreleri, elektriksel

geçirgenliği , manyetik geçirgenliği ve iletkenliği dır.

Bir malzemenin parametreleri noktadan noktaya değişmiyorsa o

malzemenin homojen, yönden bağımsız iseler bu durumda izotropik

olduğu söylenir.

Bazı kristaller dışında çoğu malzemeler izotropik özellikler gösterir.

Bu bölümde tüm malzemelerin homojen ve izotropik olduğu

varsayılacak ve yalnızca ve parametreleriyle ilgilenilecektir.

Bir malzemenin iletkenliği, bir dış alanın etkisi altında malzemeden

elektronların ne kolaylıkta ilerleyebildiğin bir ölçüsüdür.

Malzemeler, iletkenliklerinin büyüklüklerine göre iletkenler (metaller)

veya dielektrikler (yalıtkanlar) olarak sınıflandırılır.


86



Malzemelerin elektriksel özellikleri :

=0 olan bir malzeme mükemmel bir dielektriktir. = olan bir

malzeme ise mükemmel bir iletkendir.

Çoğu metallerin iletkenliği 106 ila 107 S/m aralığında, iyi yalıtkanların

ise 10-10 ila 10-17 S/m aralığındadır.


İletken İletkenlik, (S/m) Yalıtkan İletkenlik, (S/m)

Gümüş 6,2.107 Cam 10-12

Bakır 5,8.107 Parafin 10-15

Altın 4,1.107 Mika 10-15

Alüminyum 3,5.107 Kuartz 10-17

Bazı malzemelerin 20oC deki iletkenliği

87



İletkenlerin elektrik alanı içindeki davranışı :

İletkenler, içlerinde çok sayıda serbest elektron bulunan maddelerdir.

Normal koşullarda bu elektronlar iletkenin yüzeyini terk edemezler ve

iletkenin içinde yük bulunmaz. Bu nedenle iletkenin içinde alan sıfır olur

ve iletkenin her noktası eşit potansiyelde bulunur. İletken bir elektrik

alanı içine sokulduğunda, bu dış alanın etkisiyle, serbest yükler hareket

etmeye başlar. Artı yükler alan yönünde, eksi yükler ise alan karşı yönde

hareket ederler. Ancak, bu hareket sonsuza dek sürmez. İletkenin içinde,

yüklerin hareketi sonucu bir elektrik alanı oluşur. Bu alan, dış alana karşı

koyacak biçimdedir ve dış alana tam eşit olduğunda iletken içindeki

yüklerin hareketi durur. Bu, denge durumudur. Bu durumda, iletkenin

içindeki alan sıfır olur ve tüm yükler iletkenin yüzeyinde toplanırlar.


88



İletkenlerin elektrik alanı içindeki davranışı :

Bir iletken içinde elektrik alanının sıfır olmasının önemli bir uygulaması

elektrostatik ekranlama’ dır. Şekildeki gibi B iletkenini çevreleyen A

iletkeni sıfır potansiyelde tutulursa; B nin A tarafından, dışarıdaki C

iletkeni gibi başka elektrik sistemlerinden, elektriksel olarak ekranlanmış

olduğu söylenir. Benzer şekilde, A iletkeni dışarıdaki C iletkenini de B

iletkenine karşı ekranlamaktadır. Sonuçta, A iletkeni bir ekran olarak

görev yapar ve ekran içinde ve dışındaki elektriksel koşullar birbirinden

tamamen bağımsız olur.


89



Bir iletkenle bir yalıtkanın ayırma yüzeyinde sınır koşulları :

Şekildeki gibi bir mükemmel iletken () ile bir yalıtkan ortamın

ayırma yüzeyinde alanların arayüze teğet ve dik bileşenleri bulunacaktır.

Mükemmel iletken içinde E ve D alanları sıfırdır.


İletken (E=0) İletken (E=0)

Yalıtkan Yalıtkan

S S

90




Şekil (a)’daki kapalı abcda yolu boyunca,


0ldE

olduğundan, h0 için;

00wE00addc

tcbba

0Et

Şekil (b)’deki silindirik yüzeye Gauss yasası uygulanırsa,

S

QSdD

olduğundan, h0 için : SSD Sn

SnD

SnE

İletken yüzeyinde alanların dik bileşenleri :

0Dt

91




Örnek : y0 bölgesi mükemmel bir iletken, y0 bölgesi ise bir yalıtkan

(r=2) ortamdır. İletken üzerinde yüzey yük yoğunluğu 2 nC/m2

olduğuna göre; (a) A(3,-2,2) (b) B(-4,1,5) noktalarında E ve D alanlarını

bulunuz.


92



Yalıtkanlar ve elektrik alanı içindeki davranışları :

İletken bir ortamda atomun dış halkasındaki elektronlar atomu kolaylıkla

terk edebilirler ve başka bir atoma geçebilirler.

Yalıtkanlarda ise bir dış alan uygulandığında, yükler atomu kolaylıkla

terk edemezler.

Çünkü, yalıtkanlarda serbest yük yoktur ve yükler atoma sıkı sıkıya

bağlıdırlar.

Bununla birlikte, bir dış alan içine sokulan yalıtkan, bu alanda değişiklik

yaratır.

Normal koşularda, yani dış alan uygulanmadan, yalıtkan içinde rasgele

yönelmiş birçok dipol (iki-kutuplu) bulunur.

Atom ölçeğinden daha büyük uzaklıklarda bunların yarattığı alan sıfırdır.


93




Şekildeki gibi, eğer yalıtkan bir Ed dış alanı içine sokulursa, tüm dipoller

alan yönünde yönelirler. Bu olaya polarizasyon (kutuplaşma) denir. Alan

içine sokulan böyle bir yalıtkandaki dipoller bir ikincil alan

(polarizasyon alanı) yaratırlar. Sonuç olarak, bir dış alan içine sokulan

tüm yalıtkanların çok sayıda dipole eşdeğer olduğu söylenebilir.


Pozitif yüzey yükü

Negatif yüzey yükü

Ed Ed

Kutuplanmış

molekül

94




Dipollerin etkisi, birim hacimdeki dipol momenti ile tanımlanabilir.

Dipol momenti p ise, bunun v hacmine bölümü,


v

pP

birim hacimdeki dipol momentini verir. Buna polarizasyon alanı denir.

P, eksi yüklerden artı yüklere doğru yönelen bir vektördür. Önceki

sayfada verilen yalıtkanın uzunluğu L, yüzey alanı S ise, hacmi v=SL

olacağından, polarizasyon alanı,

SPPP

S

Q

SL

LQ

v

pP (C/m2)

olarak bulunur. SP , polarizasyon sonucu yalıtkan tabakanın yüzeyinde

beliren yük yoğunluğudur.

95




Böylece, yalıtkan içindeki yerdeğiştirme alanı,


PED o

olur. Homojen ve izotropik bir yalıtkan ortamda P ile E orantılıdır.

e yalıtkanın elektriksel hassasiyeti olarak tanımlanır ve boyutsuz bir

büyüklüktür. P için verilen ifade yerdeğiştirme alanı ifadesinde yerine

koyulursa,

EP oe

E)1(D eo

elde edilir.

96





EED ro

olarak tanımlanırsa, yalıtkan içindeki yerdeğiştirme alanı

olur. r bağıl yalıtkanlık katsayısı adını alır. Boşlukta e=0 (polarizasyon

alanı P=0) ve r=1 dir. Bazı yalıtkanlar için r tabloda verilmiştir.

re1

Ortam r Ortam r

Boşluk 1 Pleksiglas 3,4

Hava 1,006 Cam 6

Parafin 2,1 Mika 6

Kauçuk 3 Damıtık su 81

97





Örnek 1: r=4 olan bir yalıtkan tabaka düzgün bir elektrik alanı içine

yerleştirilmiştir. Tabaka yüzeyinde SP=0,5 C/m2 olduğuna göre

tabakadaki P, D ve E alanlarını bulunuz

98





Örnek 2: Bir dielektrik malzeme, her birinin dipol momenti 1,8.10-27 Cm

olan 2.1019 polar molekül/m3 içermektedir. Tüm dipollerin V/m

elektrik alanı yönünde dizildiğini varsayarak P alanını ve r yi bulunuz.x

5 a10E

99





Örnek 3: Lineer, homojen ve izotropik dielektrik içindeki elektrik alan

şiddeti V/m, polarizasyonun genliği ise 235,2 pC/m2 dir.

ve alanlarını bulunuz.zyx a6a2a3

P

D

100



İki yalıtkanın ayırma yüzeyinde sınır koşulları :

Şekildeki gibi iki mükemmel yalıtkan (0) ortamın ayırma yüzeyinde

alanların arayüze teğet ve dik bileşenleri bulunacaktır.


yalıtkan ortam 1

yalıtkan ortam 2

2na

1na

h h

w

101


Şekildeki kapalı abcda yolu boyunca,


0ldE

olduğundan, h0 için;

00wE0wEaddc

t1cbba

t2 t2t1 EE

Silindirik yüzeye Gauss yasası uygulanırsa,

S

QSdD

olduğundan, h0 için :

SSDSD Sn2n1



t21t12 DD

102



Arayüzde alanların dik bileşenleri :



Sn2n1 DD Sn22n11 EE

Arayüzde yük yoksa, yani S=0 ise;

n2n1 DD n22n11 EE

Böylece, her bir yalıtkan ortamdaki elektrik alanı :

n1t11 EEE

n2t22 EEE

103



Ortamlardan birindeki alanın doğrultusu ve her iki ortamın parametreleri

kullanılarak, diğer ortamdaki alanın doğrultusu belirlenebilir. Şekilden,



n1

t11

E

Etan

n2

t22

E

Etan

2

1

n1

n2

n1

n2

2

1

D

D

E

E

tan

tan

S=0 ise : n2n1 DD2r

1r

2

1

tan

tan

104





Örnek 1: İki homojen, izotropik yalıtkan ortamı z=0 düzlemi

ayırmaktadır. z≥0 için r1=4, z≤0 için r2=3 verilmektedir. 1.ortamda

kV/m düzgün elektrik alanı bulunduğuna göre;

a) 2.ortamdaki E2 alanını bulunuz.

b) E1 ve E2 alanlarının arayüzle yaptığı açıları bulunuz.

zyx1 a3a2a5E

105





Örnek 2: İki homojen, izotropik yalıtkan ortamı z=0 düzlemi

ayırmaktadır. z≥0 için r1=2, z≤0 için r2=7,5 verilmektedir. 1.ortamda

nC/m2 olan düzgün alan bulunduğuna göre;

a) 1.ortamdaki E1 ve 2. ortamdaki P2 alanını bulunuz.

b) E1 ve E2 alanlarının arayüz normaliyle yaptığı açıları bulunuz.

c) Her iki ortamdaki enerji yoğunluklarını bulunuz.

zyx1 a30a60a20D

106


Kondansatörler

Bir kondansatör, bir elektrik alanında enerji depolayan, bir enerji

depolama düzeneğidir. Kondansatör, aralarında yalıtkan bir malzeme

bulunan iki iletkenden oluşur. Kondansatör iletkenlerinin başlangıçta

yüksüz (nötr) olduğu varsayılarak iletkenleri arasına şekildeki gibi bir V

gerilimi uygulanırsa, bir iletkende +Q ve karşı iletkende –Q şeklinde bir

yük ayrışması olur.


Toplam yük

Toplam yük

107


Kondansatörler

Bu yük ayrışması, iki iletken arasındaki yalıtkan ortamda kondansatörde

enerjinin depolanmasını sağlayan bir elektrik alanı yaratır. Her iki

iletkende depolanan yük miktarı iletkenler arasına uygulanan gerilimle

orantılıdır. Her iki iletkendeki toplam yük miktarının iletkenler

arasındaki gerilime oranı kondansatörün kapasitesini (sığasını) tanımlar.


V

QC (Farad, F)

Bir kondansatörün kapasitesi, yalnızca iletkenlerin geometrisi

(iletkenlerin şekli, aralarındaki mesafe, v.s) ve aralarındaki yalıtkan

ortamın dielektrik sabitine () bağlıdır. Kapasitenin tanımına göre, bir

kondansatör iletkeni üzerindeki yük kondansatör gerilimiyle aynı oranda

artar. Örneğin, kondansatör gerilimi iki katına çıkarılırsa yük de iki

katına çıkar. Dolayısıyla C kapasitesi sabit kalır.

108


Kondansatörler

Yarıçapı a olan yalıtılmış (izole) bir iletken küre yüzeyindeki toplam

yük Q ise, bu kürenin kapasitesi


a4/Q

Q

V

QC

olarak elde edilir. Burada V kürenin sonsuza göre potansiyelidir.

Dolayısıyla C de kürenin sonsuza göre kapasitesi olur.

a4C (F)

109


Kondansatörler

Paralel levhalı kondansatörler :

Sıklıkla karşılaşılan bir kondansatör geometrisi paralel levhalı

kondansatördür. Şekilde gösterildiği gibi, aralarında küçük bir d uzaklığı

bulunan S yüzey alanlı iki büyük düz iletken levhadan oluşur. Levhalar

arasında dielektrik sabiti olan homojen bir yalıtkan malzeme vardır.


Levha yüzey alanı = S

Üst levhadaki toplam yük = +Q

Alt levhadaki toplam yük = -Q

Dielektrik

sabiti =

110


Kondansatörler


Gerçek bir paralel levhalı kondansatörde yük ve alan karakteristikleri

ideal paralel levhalı kondansatör modeli kullanılarak yaklaştırılabilir. Bu

modelde; levhalardaki yüzey yük yoğunluklarının düzgün olduğu

(S=±Q/S), levhalar arasındaki elektrik alanın düzgün olduğu (E=V/d) ve

dışarıda elektrik alanının sıfır olduğu kabul edilir.

Gerçek bir paralel levhalı kondansatörde ise, yük yoğunluğu levhaların

kenarlarında arttığı için dağılım düzgün değildir. İletkenin kenarlarındaki

bu yük fazlalığı, şekilde gösterildiği gibi, elektrik alan saçaklanması

(düzgün olmayan elektrik alanı) olarak bilinen bir etkiye neden olur.


elektrik alan saçaklanması

111


Kondansatörler


Kondansatör levhalarının yüzeyleri büyük ve birbirlerine yakın oldukları

için levhaların kenarlarına yakın yerlerde elektrik alanındaki saçaklanma

miktarı küçüktür. Bu nedenle, ideal paralel levhalı kondansatör modeli

çoğu kondansatörler için doğrudur.

Paralel düzlem levhalar arasındaki elektrik alanı,


SE

olarak daha önce bulunmuştu. E=V/d ve S=Q/S olduğuna göre, paralel

levhalı kondansatörün kapasitesi :

Ed

ES

V

S

V

QC S

d

SC

(F)

112


Kondansatörler


Kondansatörde depolanan toplam enerji, kondansatör elektrik alanıyla

ilişkili enerji yoğunluğunun integralinden bulunabilir.


dvwWv

ee

İdeal paralel levhalı kondansatörde, levhalar arasındaki elektrik alanı

düzgün olduğundan enerji yoğunluğu da düzgündür.

(J)

2

e E2

1w

)Ed(ES

2

1)Sd(E

2

1vwdvwW 2

e

v

ee

2

CV

C2

Q

2

QVW

22

e Bu denklem, herhangi bir

kondansatör için geçerlidir.

113


Kondansatörler

Örnek : Şekildeki her bir kondansatörde depolanan elektrik enerjisini

hesaplayınız.


F 3

4CT

2 F

V=120 V

1 F

3 F

+ -

2 F 4 F

V

80 V 40 V

mJ 6,9)120.10.3

4(5,0)VC(5,0W 262

TT

mJ 4,6)80.10.2(5,0)F2(W 26

e

mJ 8,0)40.10(5,0)F1(W 26

e

mJ 4,2)40.10.3(5,0)F3(W 26

e

114


Kondansatörler

İki yalıtkanlı paralel levhalı kondansatörler :

A. Ayırma yüzeyi alan çizgilerine dik ise;

Şekilde, iki paralel düzlem levha arasında dielektrik sabitleri 1 ve 2

olan iki yalıtkandan oluşan kondansatör ve eşdeğeri verilmiştir. İki

yalıtkanı ayıran arayüzde D1=D2 dir.


S

12

C1 C2

V

Her bir kondansatörün kapasitesi :

1

11

d

SC

2

22

d

SC

Eşdeğer kapasite :

1221

21

21

21

dd

S

CC

CCC

115


Kondansatörler


B. Ayırma yüzeyi alan çizgilerine paralel ise;

İki yalıtkanı ayıran arayüzde E1=E2 dir.


Her bir kondansatörün kapasitesi :

d

SC 11

1

d

SC 22

2

Eşdeğer kapasite :

d

SSCCC 2211

21

1 2

S1 S2

C1

C2

V

Levhaların yüzey alanları S1=S2=S/2 ise :d2

)(SC 21

116


Kondansatörler


Örnek : Şekildeki paralel levhalı kondansatörün levhaları arasına

uygulanan gerilim V=100 V, d=1 cm, 1=o (hava) ve 2=3o dır. Her iki

bölgedeki E, D ve P alanlarını bulunuz.


d

VEEE yh

kV/m 1001,0

100Eh

1. bölgede (1=o) :

28

hoh C/m 10.85,8ED 0Ph

2. bölgede (2=3o) : kV/m 10Ey 28

hyoy C/m 10.5,26D3E3D 28

hyoyroy C/m 10.7,17D2E2E)1(P

V d12 EhEy

+

-

Dy Dh

117


Kondansatörler

Koaksiyel (Eş-eksenli) kondansatör :

Şekil-(a)’da gösterildiği gibi bir koaksiyel kondansatör; aralarında bir

yalıtkan bulunan (), içtekinin yarıçapı a, dıştakinin yarıçapı b ve

uzunlukları L olan iç içe iki silindirik iletkenden oluşur.


(a) (b)

L

118


Kondansatörler



Çizgisel yük yoğunluğu L olan iletkenden bir uzaklıktaki (şekil-(b))

elektrik alanı,

2E L olarak daha önce hesaplanmıştı.

Bu bağıntı kullanılarak, iletkenler arasındaki V gerilimi

b

a

LL

b

a

)a/bln(2

d

2dEV

L

QL

bulunur.

olduğuna göre;

119


Kondansatörler



L uzunluğundaki koaksiyel kondansatörün kapasitesi,

Birim uzunluğun kapasitesi ise,

L2/)a/bln(Q

Q

V

QC

(F) olarak elde edilir. )a/bln(

L2C

)a/bln(

2

L

CC

(F/m)

120


Kondansatörler



Örnek : Koaksiyel kablonun iletkenleri arasındaki gerilimin belirli bir

değeri için iç iletkenin yüzeyindeki alanı minimum yapan a yarıçapı ne

olmalıdır ? Bu durumda birim uzunluğun kapasitesi nedir? (r=1)

=a için

6,55)a/bln(

2C or

pF/m

2E L )a/bln(

2V L

)a/bln(

VE

)a/bln(a

VEi

1)a/bln(0da

dEi 718,2ea/b

121


Kondansatörler

Paralel iletkenli hattın kapasitesi :


Şekildeki gibi; yarıçapları a, aralarındaki uzaklık d ve düzgün çizgisel

yük yoğunlukları L olan iki iletkenin merkezlerini birleştiren doğru

üzerinde bir M noktasındaki toplam elektrik alanı,

a

)d(2a

2EEE LL

2a 2a

M E

E

d

V

L -L

122


Kondansatörler

Paralel iletkenli hattın kapasitesi :


İletkenler arasındaki gerilim,

ad

a

ad

a

L

ad

a

dd

11

2adEldEV

a

adlnV L

olarak bulunur.

Birim uzunluğun kapasitesi : a/)ad(lnV

C L

(F/m)

İletkenlerin yarıçapı aralarındaki uzaklığa göre çok küçük ise (d>>a),

)a/dln(C

(F/m)

123


Kondansatörler

Küresel kondansatörün kapasitesi :


Şekildeki gibi a ve b yarıçaplı iç içe yerleştirilmiş eş-merkezli iki iletken

kürenin oluşturduğu yapı küresel kondansatör olarak tanımlanır.

2rr4

QE

b

a

2

b

a

rr

dr

4

QdrEV

b

1

a

1

4

QV

ab

ab4

V

QC (F)

124


Kondansatörler



Örnek 1: Şekildeki küresel kondansatörde; a=1 mm, b=3 mm, c=2 mm,

r1=2,5 ve r2=3,5 olarak veriliyor. Kondansatörün kapasitesini bulunuz.

pF 668,110

10.610.85,8.5,2.4

cb

bc4C

3

612

11

İki küre arasında peş peşe iki farklı yalıtkan ortam

vardır. Alanlar yalıtkan ortamların ayırma yüzeyine

diktir. Dolayısıyla seri bağlı iki kondansatör

durumu söz konusudur.

Her bir kondansatörün kapasitesi,

pF 778,010

10.210.85,8.5,3.4

ac

ac4C

3

612

22

Eşdeğer kapasite : pF 53,0778,0668,1

778,0.668,1

CC

CCC

21

21

125


Kondansatörler



Örnek 2: Şekildeki küresel kondansatörde; a=1 mm, b=3 mm, r1=2,5

ve r2=3,5 olarak veriliyor. Kondansatörün kapasitesini bulunuz.

pF 417,010.5,1.10.85,8.5,2.4)ab/(ab4C 312

11

İki küre arasındaki her bir yarı bölgede farklı

yalıtkan vardır. Alanlar yalıtkan ortamların ayırma

yüzeyine paraleldir. Dolayısıyla paralel bağlı iki

kondansatör durumu söz konusudur. Küreler

arasındaki bölgenin yalnız bir yalıtkanla dolu

olması durumunda her biri için kapasite,

pF 583,0)/(CC 1r2r12

Eşdeğer kapasite : pF 5,02/)CC(C 21

126


Kondansatörler

Yalıtkanlık dayanımı :


Bir yalıtkan içindeki elektrik alanı istenildiği kadar artırılamaz. Alan

belirli bir değeri aşınca yalıtkan iletken duruma geçer. Buna yalıtkanın

delinmesi denir. Yalıtkanın delinmeden dayanabildiği en büyük alana bu

yalıtkanın dayanımı denir.

Bir kondansatör yapılırken, yalıtkan delinmeden uygulanabilecek en

büyük gerilim değerinin bilinmesi gerekir. İletken düzlemler arasındaki

belirli bir uzaklık için delinme gerilimi ile yalıtkanlık dayanımı

orantılıdır. Aşağıda bazı yalıtkanların dayanabildiği en büyük alan

değerleri Mega volt/metre (MV/m) olarak verilmiştir.

Yalıtkan Yalıtkanlık dayanımı (MV/m) Yalıtkan Yalıtkanlık dayanımı (MV/m)

Hava 3 Cam 30

Kağıt 15 Kuartz 30

Kauçuk 21 Mika 200

127


Elektrostatik Sınır-Değer Problemleri

İletken-boş uzay (veya dielektrik) sınırlarındaki koşulları verilen

problemler sınır-değer problemleri olarak adlandırılır.


Poisson ve Laplace Denklemleri :

Elektrostatik alanlar için,

vDDdiv

0ExErot

VE0Erot

Doğrusal ve yönden bağımsız ortamlarda,

vEED

olur. Bu ifadede VE

konursa,

vV 2elde edilir. olduğundan,

v2V : Poisson denklemi

128





Kartezyen koordinatlarda,

Serbest yüklerin bulunmadığı (v=0) ortamlarda,

(V/m2)

v

2

2

2

2

2

2

z

V

y

V

x

V

: Laplace denklemi 0V2

Kartezyen koordinatlarda,

0z

V

y

V

x

V2

2

2

2

2

2

129





Örnek : Şekilde; aralarındaki uzaklık d ve potansiyelleri 0 ve Vo olan

paralel büyük iletken levhalar arasındaki bölge, hacimsel yük yoğunluğu

v=-oy/d olan sürekli bir elektron dağılımı ile doldurulmuştur.

Kenarlardaki saçaklanma etkisini ihmal ederek,

a) Levhalar arasında herhangi bir noktadaki potansiyeli,

b) Levhalar üzerindeki yüzey yük yoğunluğunu bulunuz.

a) Poisson denkleminden,

ydy

V

o

o

2

2

İki kez integre edilirse,

21

3

o

o CyCyd6

V

bulunur.

130





Örnek :

a) İletken levhalardaki sınır koşullarından,

o

oo11

o

2

oo

6

d

d

VCdC

6

dVV

y=0 da : V=0 C2=0

y=d de :

C1 ve C2 yerine koyularak,

y6

d

d

Vy

d6V

o

oo3

o

o

(V) elde edilir.

131





Örnek :

a)

Alttaki plakada y=0,

o

oo2

o

oy

6

d

d

Vy

d2a

y

VE

(V/m)

b) Sınır koşullarından;

yn aa

6

d

d

VE ooo

yloSl

Üstteki plakada y=d, yn aa

3

d

d

VE ooo

yuoSu

(C/m2)

(C/m2)

132




Elektriksel Görüntü Alma Yöntemi :

Bazı elektrostatik problemlerin, ilgili Poisson ve Laplace denklemlerinin

çözümünde sınır değerlerinin sınır değerlerinin sağlanmasının zor olduğu

durumlarda, sınır yüzeylerdeki koşullar uygun hayali görüntü yüklerle

oluşturulabilir ve daha basit bir yolla potansiyel dağılımları belirlenebilir.

Poisson ve Laplace denklemlerinin doğrudan çözümü yerine sınır

yüzeylerin uygun hayali yüklerle değiştirildiği bu yönteme görüntü

yöntemi denir.

Toprak düzleminden yukarda

yük dağılımları Eşdeğer dağılımlar

Q

-Q

+Q

133





Görüntü yöntemi, geometrik yapıları basit olan, örneğin düzlemsel,

silindirik veya küresel iletken durumunda kolaylık sağlar. Karmaşık

yapılı iletkenlerde bu yöntem kolaylık sağlamaz.

Örnek : Bir pozitif noktasal Q yükü, topraklanmış (sıfır potansiyel) çok

geniş bir levhadan d kadar yukarıya yerleştirilmiştir.

a) y>0 bölgesindeki herhangi bir P(x,y,z) noktasındaki potansiyeli,

b) İletken düzlem yüzeyinde indüklenen yük yoğunluğunu bulunuz.

Topraklanmış

İletken düzlem

Görüntü yükü

y=0 düzlemi

Fiziksel yapı

Görüntü yükü ve alan çizgileri

134





Örnek :

a) İki yük nedeniyle P(x,y,z) noktasındaki potansiyel için,

R

1

R

1

4

Q)z,y,x(V

oyazılabilir.

0y ,z)dy(x

1

z)dy(x

1

4

Q)z,y,x(V

222222o

0y ,0)z,y,x(V

135





Örnek :

b) P(x,y,z) noktasındaki elektrik alanı,

VE

2/32220yyoS)zdx(2

QdE

İndüklenen yüzey yük yoğunluğu,

0y ,)z)dy(x(

aza)dy(ax

)z)dy(x(

aza)dy(ax

4

QE

2/3222

zyx

2/3222

zyx

o

3.statik elektrik alanlar elektromanyetik alanlar...elektromanyetik alanlar ktÜelektrik-elektronik...

Documents