1  

Signali i sustavi ‐ Zadaci za vježbu 

III. tjedan 

1. Neka  je  kontinuirani  kompleksni  eksponencijalni  signal.  Neka  je    diskretni eksponencijalni signal dobiven iz kontinuiranog signala   uniformnim očitavanjem s periodom Ts. Je li dobiveni diskretni signal uvijek periodičan? Ako nije, pod kojim uvjetima je? 

Rješenje: 

Očitavanjem kontinuiranog signala dobivamo: 

 

Ako je x(n) periodičan s temeljnim periodom N tada vrijedi 

 

U ovom slučaju je to: 

 

Slijedi da je  1. 

Ovo se najlakše riješi rastavljanjem na sinuse i kosinuse 

cos sin 1 

Pa mora biti cos 1 i sin 0, a to će biti za 

22

. 

Kako N mora biti prirodan broj, treba promotriti u kojim će se to uvjetima dogoditi. Temeljni period 

signala je  . Kada se to uvrsti u izraz za period: 

22 . 

Kako k može biti bilo koji cijeli broj, omjer   mora biti racionalan, da bi period N bio cijeli broj.  

x(n) je periodičan, ako je omjer   (period otipkavanja i temeljnog perioda signala x(t))racionalan broj. 

 

   

2  

2. Zadan je diskretan signal  cos 1 . Kakav mora biti  a  da bi signal bio periodičan? 

Rješenje: 

Da bi signal bio periodičan mora vrijediti: 

cos 1 cos 1 cos 1 , uz , ,  

Dakle mora biti  2 . 

Odnosno izraz    mora biti prirodan. 

Iz gornjeg, evidentno slijedi da  a  mora biti racionalni višekratnik broja π , tj.  

, gdje su ,  

U tom slučaju 

2 2. 

Očito za svaki izbor m i l, postoji takav k da je gornji izraz prirodan broj!   

3  

3. Zadan  je  diskretan  signal  : .  Definiramo  novi  signal  :   na  sljedeći  način: 

, ∑ ,  pri  čemu  je  .  Dokažite  da  je  signal  f periodičan  za  svaki diskretan signal  g za koji zadana suma konvergira. 

Rješenje: 

Zadani signali  :  i  :  su diskretni signali. Da bi diskretan signal f bio periodičan mora vrijediti 

, 

. 

Možemo izabrati takav  , kojeg možemo napisati kao umnožak  , gdje su  , . Zadani signal tada glasi: 

 

 

∞ ∞∞ ∞

 

 

Pa je zadani signal f(n) periodičan. 

   

4  

4. Zadan je diskretan signal  ( )( ) ( ) ( 2008)x n n n nμ μ= − − . Izračunajte energiju signala. 

Rješenje: 

Energija diskretnog signala definirana je na sljedeći način: 

| | ,  

U našem slučaju 

20072

02696779140

nE n

=

= =∑  

Pri tome smo koristili sljedeću relaciju 

2

0

( 1)(2 1)6

k

n

k k kn=

+ +=∑  

Napomena: još neke česte formule za konačne sume možete naći u službenom šalabahteru. 

   

5  

5. Izračunajte sljedeće integrale  

a. 2  

b. 1 cos  

Rješenje: 

Diracova  delta  funkcija  definirana  je    i  iznosi  0 za 0.  Površina  ispod  impulsa  iznosi 

1. Množenjem sa nekom funkcijom dobiva se 

. 

Za ovu  funkciju  se može  reći da „vadi“ vrijednost podintegralne  funkcije na mjestu na kojem  je  impuls definiran: 

. 

a. Traži se  2 . Usporedbom sa prethodnom formulom izlazi da je  2, a  . 

Zato ovaj integral iznosi 

2 4. 

b. Postupak je sličan: 

1 cos 1 cos |uz 0| 0 1 cos 0 0. 

 

   

6  

6. Pronađite i skicirajte generaliziranu derivaciju signala 

1, 0,( ) sgn( )

1, 0.t

g t tt≥⎧

= = ⎨− <⎩ 

Rješenje: 

Zadani signal se može napisati i u obliku sa step funkcijom:  sgn 1, 0,1, 0 1 2 . 

Ovako  zapisani  signal  se  jednostavno može  derivirati  uzme  li  se  u  obzir  da  je  derivacija  step  funkcije 

impuls  : 

1 2 2 2 . 

   

7  

7. Izračunajte generaliziranu derivaciju signala: 

a. ( ) ( )( ) ( ) ( 1) (3 ) ( 2) ( 3)g t t t t t t tμ μ μ μ= − − + − − − −  

b. ( )( ) ( )( ) 3 ( ) ( 1) (3 ) ( 2) ( 3)g t t t t t t tμ μ μ μ= − − − + − − − −  

Rješenje: 

a. [ ]( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 3) ( 2)t t t t t tμ μ δ μ μ δ− − − − − − − − + −  

b. [ ] [ ]( ) ( 1) 3 ( ) 2 ( 1) ( 2) ( 3) ( 2)t t t t t t tμ μ δ δ μ μ δ− − − + − − − − − − + −  

Za  vježbu,  zgodno  je  nacrtati  signale  i  iz  slike  pokušati  skicirati  oblik  derivacije  signala.  Nakon  toga računom provjeriti dobiveni rezultat! 

   

8  

8. Neka  su  funkcije  u∈L2(I)  i  g∈L2(I)  (kvadratno  integrabilne)  takve  da  je 

∫ ∫−=I I

dxxxgdxxxu )()()(')( ϕϕ   za  svaku  funkciju  )(0 IC∞∈ϕ .  Tada  kažemo  da  je  u  slabo 

derivabilna i da je g njena slaba derivacija, pri čemu je  )(0 IC∞  skup svih beskonačno derivabilnih 

funkcija na intervalu I, čija je vrijednost na krajevima intervala jednaka nuli. Koristeći spomenutu 

činjenicu  dokažite  da  je  )(21)( xxxu +=   za  ‐1≤x≤1  slabo  derivabilna  te  da  je  njena  slaba 

derivacija Heavisideova step funkcija ⎩⎨⎧

>≤

=0 ,10 ,0

)(xx

xμ . 

Rješenje: 

Izračunat ćemo oba integrala te ih usporediti. 

Na lijevoj strani imamo (koristi se formula za parcijalnu integraciju): 

( )1 1 1 1

1

01 0 0 0

1 '( ) '( ) ( ) ( ) ( )2

x x x dx x x dx x x x dx x dxϕ ϕ ϕ ϕ ϕ−

+ = = − =−∫ ∫ ∫ ∫  

Pri tome smo koristili činjenicu navedenu u zadatku  ( 1) (1) 0ϕ ϕ− = = . 

Na desno strani imamo 

1 1

1 0

( ) ( ) ( )x x dx x dxμ ϕ ϕ−

− = −∫ ∫  

S  obzirom  da  su  integrali  jednaki  za  0 ( )C Iϕ ∞∀ ∈ ,  zaključujemo  da  je  step  funkcija  generalizirana 

derivacija polazne funkcije! 

 

   

9  

9. Pretpostavite da želite uživo, preko Interneta slušati prijenos nekog koncerta. Pri tome Internet ne koristite  za  nikakav  drugi  prijenos  podataka.  Neka  je  za  predstavljanje  svakog  audio  uzorka potrebno 16 bita. 

a. Nalazite se kod kuće  i spojeni ste s modemom, 56 kbps (kilobita u sekundi), na Internet. Kojom maksimalnom  frekvencijom  uzorkovanja može  biti  diskretiziran  audio  signal  koji slušate? 

b. Koja je frekvencija u pitanju ako se nalazite na 100 Mbps LAN‐u? 

Rješenje: 

a. Brzina modema je  56 56 000 56 000 /  

Za jedan uzorak treba 16 bitova    16 . 

Maksimalnu frekvenciju ćemo dobiti tako da podijelimo brzinu prijenosa sa količinom podataka po jednom uzorku: 

56 00016

3 500 3.5 . 

b. Ako se nalazimo na LAN‐u, postupak računanja je analogan. Brzina prijenosa je  100 100 000 000 100 000 000 / . 

Za jedan uzorak treba 16 bitova    16 . 

Maksimalnu frekvenciju ćemo dobiti tako da podijelimo brzinu prijenosa sa količinom podataka po jednom uzorku: 

100 000 00016

6.25 . 

   

10  

10. Zadan  je  diskretan  signal  ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

8cos)( πnnx .  Nađite  dva  različita  kontinuirana  signala  koja 

otipkavanjem daju ovaj diskretan signal. Frekvencija otipkavanja neka je  kHzfs 10= .  

Rješenje: 

Zadan je diskretan signal  ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

8cos)( πnnx . 

Njega smo mogli dobiti iz nekog kontinuiranog signala  cos  otipkavanjem 

cos . 

Period otipkavanja je  sf

Ts

s1100001 −== . 

Da bi otipkani signal i zadani diskretni signal bili jednaki mora vrijediti: 

)cos(8

cos snTn ωπ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

, 

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ n

ffn

s

ππ 2cos8

cos . 

sffnn ππ 2

8=  

Hzf

f s 62516

1000016

=== . 

Početni kontinuirani signal je prema tome bio  )1250cos()6252cos()( tttx ππ =⋅= . 

Primijetite da za neki cijeli broj k vrijedi i (zbog periodičnosti cos): 

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛n

fkff

nff

s

s

s

ππ 2cos2cos . 

Tako možemo izabrati i frekvenciju  Hzf 1062510000625 =+= kontinuiranog signala koji će nakon 

otipkavanja imati jednak diskretan signal. 

Drugi kontinuirani signal koji otipkavanjem daje početni diskretni je i npr.  

)21250cos()106252cos()( tttx ππ =⋅= . 

Ovo nisu jedini signali koji su rješenje zadatka. Nađite još neki.