3uri *xlgr )udqfklql - … · • limiti immediati • limiti indeterminati • asintoti di...

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Prof. Guido Franchini

LimitiScaricabile su: http://lezioni.jimdo.com/

INDICE TEORIA • Definizione di limite • Limiti di forma immediata • Limiti di forma indeterminata • Applicazione del Teorema di L’Hospital • Ordine degli infiniti e infinitesimi • Limiti notevoli • Asintoti ESERCIZI • Limiti immediati • Limiti indeterminati • Asintoti di funzioni • Asintoti di funzioni parametriche


LIMITI DI FORMA IMMEDIATA

I limiti di forma immediata sono tutti quei limiti per i quali con la semplice sostituzione siottiene subito il risultato. A tale proposito , prima dei relativi esempi , daremo la seguente tabellariassuntiva di tutti i casi di limiti di forma immediata.

00

++

+=

n

00

+−

−=

n

00

−−

+=

n

00

−+

−=

n

00

++

+∞=

00

+−

−∞=

00

−−

+∞=

00

−+

−∞=

+= +∞+

n

0

+= −∞−

n

0

−= −∞+

n

0

−= +∞−

n

0

++∞

= +n0

+−∞

= −n0

−+∞

= −n0

−−∞

= +n0

+∞= +∞+0

+∞

= −∞−0

−∞= −∞+0

−∞

= +∞−0

+∞+

= +∞n

+∞−

= −∞n

−∞+

= −∞n

−∞−

= +∞n

±∞=++±∞ )()( n ±∞=−+±∞ )()( n ( ) ( )+∞ + +∞ = +∞ ( ) ( )−∞ + −∞ = −∞

( ) ( )+∞ ⋅ +∞ = +∞ ( ) ( )−∞ ⋅ −∞ = +∞ ( ) ( )+∞ ⋅ −∞ = −∞ ( ) ( )−∞ ⋅ +∞ = −∞

( ) ( )+∞ ⋅ + = +∞n ( ) ( )−∞ ⋅ + = −∞n ( ) ( )+∞ ⋅ − = −∞n ( ) ( )−∞ ⋅ − = +∞n

( ) ( )±∞ = ±∞−n dispari ( ) ( )±∞ = +∞−n pari ±∞ = ±∞−n dispari +∞ = +∞−n pari

±∞=±∞ −disparin)( +∞=±∞ −parin)( +∞=+∞ +∞)( +−∞ =+∞ 0)(

++∞+ = 0)0( +∞=−∞+ )0(


Questi ultimi valori trovati , legati alle funzioni logaritmiche ed esponenziali , sono megliogiustificati dai corrispondenti grafici relativi.

log ( )a 0+ = −∞ log ( )a 0+ = +∞

a > 1 0 1< <a

log ( )a +∞ = +∞ log ( )a +∞ = −∞

a −∞ += 0 a −∞ = +∞

a > 1 0 1< <a

a +∞ = +∞ a +∞ += 0

y xa= log y xa= log

a > 1 0 1< <a

y a x= y a x=

a > 1 0 1< <a


Interpreteremo tali tipi di tabelle con qualche esempio :

02

1lim =

−−∞→ xx 0

2

1lim =

−+∞→ xx −∞=

−−→ 2

1

2lim

xx +∞=

−+→ 2

1

2lim

xx

+∞=

−−∞→ 2lim

xx

( ) +∞=−++∞→

522lim xxx

12

1

32

12

2lim +=

+−−→ xxx

2

1

3

5

2lim −=

−

+→ x

x

x ( ) 2522

1lim −=−+

+→xx

x 0

32

22

2lim =

+−−

−→ xx

x

x

tali risultati sono stati ottenuti mediante una semplice sostituzione : al valore della variabile xsi è sostituito il corrispondente valore su indicato.

LIMITI DI FORMA INDETERMINATA

I limiti di forma indeterminata sono tutti quei limiti per i quali , al contrario dei precedenti ,non si ottiene immediatamente il risultato.

Le forme cosiddette di indeterminazione sono le seguenti : ( generalmente riferite alla funzione)

Esaminiamo quindi i casi più frequenti che si possono verificare :

1° caso :

Tale tipo di limite si risolve applicando i metodi della scomposizione ( il tutto per arrivare asemplificare).

00 ;

∞∞ ; ±∞ ∞m ; 0⋅∞ ; ( )00 ; ( )0∞ ; ( )∞1

00

)()(

lim0

=→ xmBxnA

xx


Es. 0

0

1

23lim

2

1=

−+−

→ x

xxx

( )( ) ( ) 12lim

1

21lim

11−=−=

−−−

→→x

x

xxxx

Es. ( ) 0

0

1

23lim 2

2

1=

−+−

→ x

xxx

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( ) 2

1

1

2lim

11

21lim

11

21lim

111=

+−

−=+−−−−

=+−−−

→→→ x

x

xx

xx

xx

xxxxx

2° caso :

Tale tipo di limite si risolve mediante raccoglimento a fattor comune , sia al numeratore cheal denominatore , della variabile di grado massimo.

Es. ∞−∞+=

−−++

+∞→ xx

xxx 3

2 43lim

01

1

431

lim)

11(

)431

(lim

2

32

23

323

=−−

++=

−−

++

+∞→+∞→

x

xxx

xx

xxxx

xx

Es. limx

x x

x x→+∞

+ ++ +

=+∞+∞

4

3

3 4

∞+=−+

++=

−+

++

+∞→+∞→

3

43

34

434

11

431

lim)

11(

)43

1(lim

xx

xx

xxx

xxx

xx

∞∞=∞→ )(

)(lim

xmBxnA

x


NOTA : Il segno è stato valutato dal rapporto dei segni nella forma indeterminata.

Questo 2° caso pur tuttavia lo possiamo riassumere in un :

2° caso-generalizzato :

( facciamo presente che il fatto di non indicare i relativi segni per il termine ( )∞ , indica che questopuò assumerli indifferentemente tutti).

Nei primi due casi volendo valutare il segno relativo del termine che otterremo , dovremovalutare il rapporto dei segni nella forma indeterminata.

Per ottenere l'esatto valore del termine l , eseguiremo il rapporto dei coefficienti dei termini digrado massimo.

Es. ∞−∞+=

−−++

+∞→ xx

xxx 3

2 43lim poiché n = 2 , m = 3 0

43lim

3

2

=−−

+++∞→ xx

xxx

∞∞=∞→ )(

)(lim

xmBxnA

x

1) lim( )( )x

An xBm x→∞ = ∞ n > m

2) lim( )( )x

An xBm x→∞ = 0 n < m

3) lim( )( )x

An xBm x

l→∞ = ≠ 0 n = m


Es. ∞+∞+=

++++

+∞→ xx

xxx 3

4 43lim poiché n = 4 , m = 3 +∞=

++++

+∞→ xx

xxx 3

4 43lim

Es. ∞−∞−=

−+−

−∞→ 2

2

82

54lim

xx

xxx

poiché n = 2 , m = 2 2

1

8

4

82

54lim

2

2

=−−=

−+−

−∞→ xx

xxx

3° caso : oppure :

Tale tipo di limite si risolve applicando le operazioni della razionalizzazione di radicali.( Anche in questo caso è evidente che si arriva poi a semplificare).

Es. 0

0

1

22lim

1=

−−

→ x

xx

( )

( )∞=

−=

−−−

=−−

⋅−−

→→→ 22

2lim

221

12lim

22

22

1

22lim

111 xxx

x

x

x

x

xxxx

Es. 0

0

1

112lim

1=

−−−

→ x

xx

( )1

112

2lim

)122(1

112lim

)122(

)112(

1

)112(lim

111=

+−=

+−−−−

=+−+−

⋅−

−−→→→ xxx

x

x

x

x

xxxx

00

)(

)(lim

0=→ xpB

n xmAxx 0

0

)(

)(lim

0=→ n xpB

xmAxx


Es. 0

0

42

2lim

32=

−−

→ x

xx

( )( )

( ) ( )( )

( )0

2

42lim

22

422lim

42

42

42

2lim

3 2

2

3 2

23 2

3 2

32=

−=

−−−

=−

−⋅

−−

→→→

x

x

xx

x

x

x

xxxx

Questa è solo una anteprima dimostrativadei contenuti disponibili nel File Completo: Limiti su http://lezioni.jimdo.it Qui sopra avete trovato una parte del capitolo"Teoria"


32.

2

3

14

43

14

43

14

43

14

43

14

43

14

43

14

341

14

341

22

2222

222

limlim

limlimlim

limlimlim

−=

−−

+

=

−−

+

=

−−

+=

−

+=

−

+⇒

=−

+=

−

++−=

−

+−−

−∞→−∞→

−∞→−∞→−∞→

−∞→−∞→−∞→

⇒

x

x

xx

xx

xx

x

xx

x

xx

x

x

x

x

xx

x

xx

xx

xxx

xxx

33.

( )

∞−=

+−=

+−

=

+−⇒∞−∞+=+−

+∞→+∞→

+∞→+∞→

⇒ 33

33

33

33 3

21

121

21

21

limlim

limlim

xx

xxx

xxxxx

xx

xx

14

3412

lim−

+−−−∞→ x

xxx

3 321lim xxx

+−+∞→

Risolvere i seguenti limiti


34.

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )0

22122212

3

22122212

221222122212

2212

3 233 2

333 2

3 233 233

33

lim

lim

lim

=−++−++

⇒

=−++−++

−++−++−+⇒

∞+∞−=−−+

−

−∞→

−∞→

−∞→

xxxx

xxxx

xxxxxx

xx

x

x

x

35.

( )

( ) ( )=

+−+−−

−−=

+−+−−

−+−−⇒

=

+−+−−

+−+−

+−−−⇒

∞+∞−∞+=

−

+−−−

++

+∞→+∞→

+∞→

+∞→

23225

274

23225

2344

23225

232232

25

232

242

23

242

24234

242

242242

242

limlim

lim

lim

xxxxx

xx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxxxxx

x

xxxx

xx

x

x

25

223422lim

−

+−−−+∞→ x

xxxxx

33 2212lim −−+−∞→

xxx


5

2

231

21

25

274

231

21

25

274

2312

25

274

42

3

42

3

3

3

42

22

3

3

lim

limlim

−=

+−+−

−

−+−

⇒

=

+−+−

−

−+−

=

+−+−

−

−+−

⇒

+∞→

+∞→+∞→

xxxx

xx

xxxxx

xxx

xxxxx

xx

xxx

x

xx

Questa è solo una anteprima dimostrativadei contenuti disponibili nel File Completo: Limiti su http://lezioni.jimdo.it Qui sopra avete trovato una parte del capitolo"Esercizi"

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