Series telescópicas.

Decimos que una serie es ∑i=1

∞

x i telescópica cuando es de la forma:

∑i=1

∞

x i=∑i=1

∞

ai1−ai

Siendo ( a n ) es una sucesión de números reales.

Dado que la suma parcial n-sima es:

sN = (a2 - a1 ) + (a3 - a2 ) + (a4 - a3 ) + ... + (aN - a N-1 ) + (aN+1 - aN ).

Simplificando los sumandos, se reduce a sN = (a N + 1 - a 1 ). Es decir:

∑i=1

∞

x i = lim n sN = lim n (an+1 - a 1 ).

Y en particular será convergente si y solo si la sucesión (an) converge.

# Ejemplo:

La serie ∑n=1

∞

−1

n2n

=∑n=1

∞1n1

−1n= limn∞ − 1

1

1n1 1 =−1