4 analiza sk primenom teorije elastičnosti
DESCRIPTION
4 Analiza SK Primenom Teorije ElastičnostiTRANSCRIPT
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
PREDNAPREGNUTE ISPREGNUTE KONSTRUKCIJE
Osnovne akademske studije, VII semestar
Prof dr Stanko Briemail: [email protected]
Departman za Tehnike nauke,GRAEVINARSTVO
Dravni Univerzitet u Novom Pazaru
2014/15
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Sadraj
1 Analiza SK primenom teorije elastinostiOpte napomeneOsnovne pretpostavke u elastinoj analizi
2 Proraun u vremenu t = t0Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
3 Proraun u vremenu tOsnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Opte napomeneOsnovne pretpostavke u elastinoj analizi
Sadraj
1 Analiza SK primenom teorije elastinostiOpte napomeneOsnovne pretpostavke u elastinoj analizi
2 Proraun u vremenu t = t0Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
3 Proraun u vremenu tOsnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Opte napomeneOsnovne pretpostavke u elastinoj analizi
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Uvodne napomene o analizi spregnutih konstrukcijaUobiajeno je da se globalna analiza spregnute konstrukcijevri primenom teorije elastinstiLokalna analiza se zatim vri ili primenom teorije plastinosti,ili teorije elastinosti, u zavisnosti od klase poprenih presekaTeorija elastinosti se koristi u analizi graninih stanjaupotrebljivosti, zbog relativno niskog nivoa napona ueksploatacijiTeorija elastinosti primenjuje se i u analizi graninih stanjanosivosti, za preseke klase 3 i 4
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Opte napomeneOsnovne pretpostavke u elastinoj analizi
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Uvodne napomene o analizi spregnutih konstrukcijaLinearna teorija elastinosti veoma esto se koristi uproraunima konstrukcija:
- zasnovana je na linearnoj vezi napona i deformacija- jednostavna je za primenu- daje dovoljno tane rezultate (u veini sluajeva)
Svi komercijalni programi za analizu konstrukcija zasnovani suna linearnoj teoriji i MKE, a neki programi imaju mogunost inelinearne analize
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Opte napomeneOsnovne pretpostavke u elastinoj analizi
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Uvodne napomene o analizi spregnutih konstrukcijaSpregute konstrukcije se sastoje iz materijala razliitihmehanikih karakteristika i ponaanje SK je u sutini nelinearnoNelinearnost spregnutih konstrukcija nastaje zbog:
- vremenskih deformacija betona: skupljanja i teenja- prslina u betonu- relaksacije elika za prednaprezanja (ako je prisutnoprednaprezanje)
- nestabilnosti pritisnutih delova elinog profila- klizanja u smiuem spoju- deformabilnosti spojnih sredstava
Ove nelinearnosti mogu da se uzmu u obzir odgovarajuimproirenjima linearne teorije
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Opte napomeneOsnovne pretpostavke u elastinoj analizi
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Uvodne napomene o analizi spregnutih konstrukcijaPopreni presek spregnute konstrukcije je neghomogenU optem sluaju, u poprenom preseku SK prisutni su sledeimaterijali:
1 beton (u oznaci (c))2 elik za konstrukcije, elini nosa, (u oznaci (a))3 elik za armaturu u betonskom delu (u oznaci (s))4 elik za prednaprezanje (u oznaci (p))
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Opte napomeneOsnovne pretpostavke u elastinoj analizi
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Uvodne napomene o analizi spregnutih konstrukcijaPosmatranom preseku spregnutog nosaa pridruuje sekorespodentni (idealizovani) presek od homogenog elastinogmaterijala sa modulom elastinosti EuModul elastinosti Eu naziva se uporedni modul elastinostiZa uporedni modul elastinosti Eu bira se E jednog odmaterijala u preseku, a ostali moduli se redukuju sa EuZa uporedni modul elastinosti Eu bira se modul elastinostielinog nosaa: Eu = Ea
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Opte napomeneOsnovne pretpostavke u elastinoj analizi
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Uvodne napomene o analizi spregnutih konstrukcijaProraun napona u spregnutom preseku ekvivalentan jeproraunu napona u korespodentnom homogenom presekuU proraunu korespodentnog preseka vae sve pretpostavketehnike teorije savijanja tapova od homogenog elastinogmaterijalaPretpostavlja se da spregnuti nosa ima ravan simetrije, koja jeu isto vreme i ravan savijanja, oznaena sa xzOsa spregnutog nosaa x je geometrijsko mesto taaka teitaTi idealizovanog presekaDimenzije poprenog preseka su relativno male u odnosu naduinu tapa i poluprenik krivine ose tapa
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Opte napomeneOsnovne pretpostavke u elastinoj analizi
Sadraj
1 Analiza SK primenom teorije elastinostiOpte napomeneOsnovne pretpostavke u elastinoj analizi
2 Proraun u vremenu t = t0Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
3 Proraun u vremenu tOsnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Opte napomeneOsnovne pretpostavke u elastinoj analizi
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Uvodne napomene o analizi spregnutih konstrukcijaOsnovne pretpostavke u elastinoj analizi spregnutog preseka:
- vai Bernulijeva hipoteza ravnih preseka (raspodela dilatacijapo visini preseka je linearna)
- deformacijske veliine su male (zanemaruju se kvadrati iproizvodi prvih izvoda pomeranja) - geometrijska linearnost
- pomeranja su mala i uslovi ravnotee se postavljaju nanedeformisanoj konfiguraciji - statika linearnost
- zanemaruje se uticaj transverzalnih sila na deformaciju- elini nosa i armatura su od linearno elastinog materijala samodulom elastinosti Ea = Es = Eu
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Opte napomeneOsnovne pretpostavke u elastinoj analizi
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Uvodne napomene o analizi spregnutih konstrukcijaOsim navedenih, usvajaju se i sledee Osnovne pretpostavke zabetonski deo spregnutog preseka:
- u poetnom trenutku t = t0 beton je elastian materijal iponaa se u skladu sa Hukovim zakonom c = Ec0 c
- u proizvoljnom trenutku t beton je linearanvisko-elasto-plastian materijal sa osobinom starenja i za vezu usvaja se priblina algebarska veza EM metodec = Ec,eff (c cs), gde je efektivni modul elastinosti datsa
Ec,eff =Ec0
1 + rili Ec,eff =
Ec01 + r
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Opte napomeneOsnovne pretpostavke u elastinoj analizi
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Uvodne napomene o analizi spregnutih konstrukcijaOsim navedenih, usvajaju se i sledee Osnovne pretpostavke oeliku za prethodno naprezanje spregnutog preseka:
- u poetnom trenutku t = t0 elik za prethodno naprezanje seponaa u skladu sa Hukovim zakonom p = Ep p
- u proizvoljnom trenutku t elik za prednaprezanje ima osobinurelaksacije i za vezu usvaja se priblina vezap = Ep,eff p, gde je Ep,eff efektivni modul elastinostizavistan od relaksacije R:
Ep,eff = pEp p = 1 R100
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Opte napomeneOsnovne pretpostavke u elastinoj analizi
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Uvodne napomene o analizi spregnutih konstrukcijaZbog visko-elastinih oobina betona, naponi i deformacije uspregnutim nosaima menjaju se kroz vremeProraun spregnutih konstrukcija sprovodi se za
1 poetni trenutak t = t0 . . . trenutak u kome se nanosi prvooptereenje
2 proizvoljan trenutak t . . . posmatrani trenutak vremena -obino je to krajnje stanje: t
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Sadraj
1 Analiza SK primenom teorije elastinostiOpte napomeneOsnovne pretpostavke u elastinoj analizi
2 Proraun u vremenu t = t0Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
3 Proraun u vremenu tOsnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Dilatacije u vremenu t = t0Na osnovu Bernulijeve hipoteze o ravnim presecima, dilatacijaproizvoljnog vlakna na rastojanju z0 od teine ose, u trenutkut0, data je kao linearna funkcija rastojanja od teine ose:
0 = 0 + k0 z0 (1)
gde je:- 0 . . . dilatacija proizvoljnog vlakna na rastojanju z0 od teineose u vremenu t = t0
- 0 . . . dilatacija vlakna u osi tapa u vremenu t = t0- k0 . . . promena krivine ose tapa u vremenu t = t0- z0 . . . poloaj proizvoljnog vlakna u odnosu na teinu osu uvremenu t = t0
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Naponi u vremenu t = t0Veze izmeu napona i deformacija u vremenu t = t0 zamaterijale koji ine spregnut presek:
- za elini deo (konstrukcioni, armatura, prednaprezanje)
k0 = Ek 0 (k = a, s, p) (2)
- za betonski deoc0 = Ec0 0 (3)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Uslovi ravnotee u vremenu t = t0Uslovi ravnotee izmeu unutranjih i spoljanjih sila uvremenu t = t0 dati su sa:
- uslov ravnotee normalnih silak
Ak
k0 dA = N0 (4)
- uslov ravnotee momenata savijanja
k
Ak
z0 k0 dA = M0 (k = a, s, p, c) (5)
gde su N0 i M0 normalna sila i momenat savijanja u presekuusled razmatranog sluaja optereenja
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Princip virtuelnih sila u vremenu t = t0Princip virtuelnih sila moe da se koristi za odreivanje nekoggeneralisanog pomeranjaNa osnovu Principa virtuelnih sila generalisano pomeranje 0 uvremenu t = t0, koje odgovara jedininoj generalisanoj siliP = 1, moe da se prikae u obliku:
0 =
s(M0 k0 + N0 0) ds
r
Cr0 cr0 (6)
gde su M0 i N0 momenat i normalna sila, a Cr0 odgovarajuavirtuelna reakcije veze r usled jedinine virtuelne sile, dok je 0traeno generalisano pomeranje take na osi nosaa u vremenut = t0
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Unosi se izraz za dilataciju proizvoljnog vlakna (1) u vezenapon - deformacija (2) i (3), pa zatim u uslove ravnotee (4)i (5), dobijaju se jednaine:
- ravnotea normalnih sila (k = a, s, p)(k
Ek
Ak
dA+ Ec0
Ac
dA
) 0
+
(k
Ek
Ak
z0 dA+ Ec0
Ac
z0 dA
) k0 = N0
(7)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Osnovne jednaine u vremenu t = t0kao i
- ravnotea momenata savijanja (k = a, s, p)(k
Ek
Ak
z0 dA+ Ec0
Ac
z0 dA
) 0
+
(k
Ek
Ak
z20 dA+ Ec0
Ac
z20 dA
) k0 = N0
(8)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Uporedni modul elastinosti EuKao uporedni modul elastinosti Eu usvojen je modulelastinosti konstrukcijskog elika Ea:
Eu = Ea (9)
Uvode se bezdimenzionalni faktori redukcije nk kao odnosiuporednog i posmatranog modula elastinosti
nk =EuEk
(k = a, s, p, c) (10)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Koeficijenti redukcije u vremenu t = t0Imajui u vidu da su moduli elastinosti elika za armaturu ikonstrukcijskog elika meusobno isti, Ea = Es = Eu = 210GPa, kao i da je za t = t0 Ec = Ec0, koeficijenti redukcije sudati sa
na = ns = 1 np =EuEp
nc =EuEc0
(11)
Jednaine ravnotee (4) i (5) mnoe se sa jedinicom, koja sena levoj strani prikazuje kao:
1 =EuEu
Vodei rauna o uvedenim koeficijentima redukcije nk,jednaine ravnotee mogu da se prikau u obliku:
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Osnovne jednaine u vremenu t = t0
Eu
(k
1
nk
Ak
dA+1
nc
Ac
dA
) 0
+ Eu
(k
1
nk
Ak
z0 dA+1
nc
Ac
z0 dA
) k0 = N0
(12)
Eu
(k
1
nk
Ak
z0 dA+1
nc
Ac
z0 dA
) 0
+ Eu
(k
1
nk
Ak
z20 dA+1
nc
Ac
z20 dA
) k0 = M0
(13)
za (k = a, s, p)Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
ili napisano neto kompaktnije, za (k = a, s, p, c):
Eu
(k
1
nk
Ak
dA
) 0 + Eu
(k
1
nk
Ak
z0 dA
) k0 = N0
Eu
(k
1
nk
Ak
z0 dA
) 0 + Eu
(k
1
nk
Ak
z20 dA
) k0 = M0(14)
Jednaine (14) se zovu Osnovne jednaine u vremenu t = t0Reenja jedn. (14) (0 i k0) unose se u izraz (1), pa se zatim,prema izrazima (2) i (3), dobijaju naponi u preseku, kao itraeno generalisano pomeranje, prema (6)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Sadraj
1 Analiza SK primenom teorije elastinostiOpte napomeneOsnovne pretpostavke u elastinoj analizi
2 Proraun u vremenu t = t0Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
3 Proraun u vremenu tOsnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Izrazi u zagradama u jednainama (12) i (13), odn. u jedn.(14), pretstavljaju geometrijske karakteristike idealizovanogpreseka u vremenu t = t0:
Ai0 povrina idealizovanog preseka: (k = a, s, p, c)
Ai0 =k
1
nk
Ak
dA (15)
Syi0 statiki momenat idealizovane povrine za teinu osu:(k = a, s, p, c)
Syi0 =k
1
nk
Ak
z0 dA = 0 (16)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0kao i
Ji0 momenat inercije idealizovanog preseka: (k = a, s, p, c)
Ji0 =k
1
nk
Ak
z20 dA (17)
Imajui u vidu da se spregnuti nosa sastoji iz elinog nosaa(a), meke armature (s), elika za prednaprezanje (p), kao ibetonske ploe (c), mogu da se definiu povrine delova k kaoi redukovane povrine delova k sloenog spregnutg preseka:
Ak =
Ak
dA Akr =1
nkAk (k = a, s, p, c) (18)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Prema tome, povrina idealizovanog preseka, u trenutkuvremena t = t0, data je sa zbirom redukovanih povrina:(k = a, s, p, c)
Ai0 =k
1
nk
Ak
dA =k
1
nkAk =
k
Akr (19)
Imajui u vidu koeficijente redukcije (11), povrinaidealizovanog preseka u trenutku t = t0 data je sa:
Ai0 = Aa +As +1
npAp +
1
ncAc (20)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Osa simetrije poprenog preseka je osa z, sa smerom ka donjojivici preseka, a osa y je osa u teitu Ti idealizovanog presekau vremenu t = t0Svaki od delova preseka (a,s,p,c) ima svoje teite Tk sapoloajem zk0 u odnosu na teite idealizovanog presekaStatiki momenat ukupne povrine idealizovanog preseka uodnosu na teinu osu jednak je, po definiciji, nuli:
Syi0 =k
1
nk
Ak
z0dA =k
zk0Akr = 0 (k = a, s, p, c)
(21)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Popreni presek spregnutog nosaa u vremenut = t0
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Osa y je u gornjoj ivici preseka (upravno na ravan simetrijepreseka xz) i paralelna je sa teinom osom yRastojanje izmeu osa y i y oznaeno je sa ei0, odn. to jepoloaj teita idealizovanog preseka Ti0 u odnosu na gornjuivicu presekaSa ek se oznaava poloaj teita Tk svake redukovanepovrine Akr u odnosu na gornju ivicu, tako da vae relacije:
zk0 = ek ei0 (22)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Relacija (22) se unosi u izraz za statiki momenat povrine(21), pa se dobija
k
(ek ei0)Akr =k
ek Akr ei0k
Akr = 0
Kako jeAkr = Ai0, dobija se poloaj teita idealizovanog
preseka u odnosu na gornju ivicu preseka:
ei0 =1
Ai0
k
ek Akr (23)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Razvijanjem izraza (23) dobija se poloaj teita idealizovanogpreseka u vremenu t = t0:
ei0 =1
Ai0
(Aa +As +
1
npAp +
1
ncAc
)(24)
Sopstveni momenti inercije delova Ak u odnosu na osu uteitu Tk paralelnu sa osom y0 ( koja je u teitu Ti0), kao iredukovani sopstveni momenti inercije, dati su sa:
Jk =
Ak
(z0 zk0)2 dA Jkr = 1nkJk (k = a, s, p, c)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Momenti inercije delova Ak u odnosu na osu y0 (zbirsopstvenog i poloajnog momenta inercije), kao i odgovarajuiredukovani momenti inercije
Jk0 =
Ak
z20 dA = Jk + z2k0Ak
Jkr0 =1
nkJk0 = Jkr + z
2k0Akr
Karakteristike idealizovanog preseka zavise, osim odgeometrijskih kaakteristike, jo i od osobina materijala koji inespregnut presek u vremenu t = t0
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Momenat inercije idealizovanog preseka Ji0 u odnosu na osuy0 u vremenu t = t0 jednak je zbiru redukovanih momenatainercije za osu y0:
Ji0 =k
1
nk
Ak
z20 dA =k
1
nkJk0 =
k
(Jkr + z2k0Akr)
(25)Uzimajui u obizir koeficijente redukcije nk, dobija se momenatinercije idealizovanog preseka Ji0 u vremenu t = t0 u obliku
Ji0 = (Ja + z2a0Aa) + (Js + z
2s0As)
+1
np(Jp + z
2p0Ap) +
1
nc(Jc + z
2c0Ac)
(26)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Imajui u vidu izraze (19), (21) i (25), osnovne jednaine (14)imaju oblik:
EuAi0 0 = N0 Eu Ii0 k0 = M0 (27)
odakle se dobijaju reenja za dilataciju ose tapa 0 i zapromenu krivine k0 u vremenu t = t0:
0 =N0
EuAi0k0 =
M0Eu Ji0
(28)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Sadraj
1 Analiza SK primenom teorije elastinostiOpte napomeneOsnovne pretpostavke u elastinoj analizi
2 Proraun u vremenu t = t0Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
3 Proraun u vremenu tOsnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Naponi i pomeranja u vremenu t = t0Dobijena reenja (28) unose se u izraz (1) za dilatacijuproizvoljnog vlakna u preseku na rastojanju z0 od teine oseDilatacija proizvoljnog vlakna u vremenu t = t0 data je, prematome, sa
0 =N0
EuAi0+
M0Eu Ii0
z0 (29)
Naponi se dobijaju prema vezama (2) i (3):
k = Ek 0 (k = a, s, p) c = Ec0 0
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Naponi i pomeranja u vremenu t = t0Imajui u vidu redukcione koeficijente za pojedine materijale uspregnutom preseku, naponi u vremenu t = t0 dobijaju se uobliku:
k0 =1
nk
(N0Ai0
+M0Ji0
z0
)(k = a, s, p)
c0 =1
nc
(N0Ai0
+M0Ji0
z0
) (30)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Naponi i pomeranja u vremenu t = t0U eksplicitnom obliku, naponi se dobijaju kao:
- naponi u elinom profilu
a0 =
(N0Ai0
+M0Ji0
z0
)- naponi u armaturi
s0 =
(N0Ai0
+M0Ji0
z0
)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Naponi i pomeranja u vremenu t = t0U eksplicitnom obliku, naponi se dobijaju kao:
- naponi u eliku za prethodno naprezanje
p0 =1
np
(N0Ai0
+M0Ji0
z0
)- naponi u betonskom delu preseka
c0 =1
nc
(N0Ai0
+M0Ji0
z0
)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Naponi i pomeranja u vremenu t = t0Moe da se definie uporedni napon u vremenu t = t0:
u0 = Eu 0 (31)
odnosno
u0 =
(N0Ai0
+M0Ji0
z0
)(32)
Sa tom oznakom, naponi u bilo kom delu spregnutog presekadati su sa
k0 =1
nku0 (k = a, s, p, c) (33)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Naponi i pomeranja u vremenu t = t0Generalisano pomeranje take na osi tapa dato je, premaizrazu (6), sa
0 =
s0
(M0M0Eu Ji0
+N0N0EuAi0
)r
Cr0 cr0 (34)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Naponi i pomeranja u vremenu t = t0Kao to se vidi, izrazi za deformacijske veliine, napone ipomeranja za posmatrani spregnut nosa analogni suodgovarajuim izrazima za korespodentni nosa od homogenogmaterijala sa modulom elastinosti Eu i sa karateristikamaidealizovanog preseka Ai0 i Ji0Napon k0 u nekom delu spregnutog preseka (k = a, s, p, c)proporcionalan je naponu u odgovarajuoj takikorespodentnog homogenog preseka, pri emu je faktorproporcionalnosti bezdimenzionalan faktor redukcije 1nk
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Naponi i pomeranja u vremenu t = t0Moe da se odredi deo ukupne normalne sile koju u vremenut = t0 prihvata pojedini deo spregnutog preseka povrine AkTo je:
Nk0 =
Ak
k0 dA =1
nk
Ak
(N0Ai0
+M0Ji0
z0
)dA (35)
Sreivanjem se dobija
Nk0 = N0AkrAi0
+M0Akr zk0Ji0
(36)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Naponi i pomeranja u vremenu t = t0Slino moe da se odredi deo ukupnog momenta savijanja kojiu vremenu t = t0 prihvata pojedini deo spregnutog presekapovrine Ak (k = a, s, p, c)To je:
Mk0 =
Ak
(z0 zk0)k0 dA
=1
nk
[N0Ai0
Ak
(z0 zk0)dA+ M0Ji0
Ak
(z0 zk0)dA]
(37)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Naponi i pomeranja u vremenu t = t0Sreivanjem se dobija
Mk0 =1
nkM0
JkJi0
= M0JkrJi0
(k = a, s, p, c) (38)
Uslovi ravnotee su zadovoljeni, tako da vaik
Nk0 = N0k
(Mk0 + zk0Nk0) = M0
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Primer analize preseka u vremenu t = t0
Spregnuti presek se sastoji (samo) iz- elinog nosaa (a)- betonske ploe (c)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Primer analize spregnutog preseka u vremenu t = t0Posmatra se spregnuti nosa koji se sastoji samo iz
- elinog nosaa (a)- betonske ploe (c)
Prethodno naprezanje nije primenjeno, a uticaj armature ubetonskoj ploi se zanemarujeStatiki uticaji u preseku su normalna sila N0 i momenatsavijanja M0 (u odnosu na osu idealizovanog presekaOdrediti raspodelu sila u preseku na betonski i elini deo
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Primer analize spregnutog preseka u vremenu t = t0Kod nosaa koji se sastoji iz elinog nosaa i betonske ploekoristi se odnos modula elastinosti elika i betona
n =EaEc0
Uporedni modul elastinosti je Eu = Ea, tako da sukoeficijenti redukcije jednaki
na = 1 nc = n =EaEc0
Poloaji teita betonske ploe i elinog nosaa, mereno odgornje ivice betonskog preseka, dati su, redom, sa ec i ea
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Primer analize spregnutog preseka u vremenu t = t0Redukovane karakteristike poprenog preseka su:
- povrina idealizovanog preseka Ai0:
Ai0 = Aa +1
nAc
- poloaj teita idealizovanog preseka ei0:
ei0 =1
Ai0(eaAa +
1
necAc)
- momenat inercije edealizovanog preseka Ii0
Ii0 = (Ia + e2aAa) +
1
n(Ic + e
2c Ac)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Primer analize spregnutog preseka u vremenu t = t0Naponi u vremenu t = t0 su dati sa:
- naponi u elinom delu preseka
a0 =
(N0Ai0
+M0Ji0
z0
)- naponi u betonskom delu preseka
c0 =1
n
(N0Ai0
+M0Ji0
z0
)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Primer analize spregnutog preseka u vremenu t = t0Raspodela normalne sile N0 i momenta savijanja M0 u presekuna elini i betonski deo:
- betonski deo:
Nc0 = N0Ac/n
Ai0+M0
Ac/n
Ji0z0
Mc0 = M0Jc/n
Ji0
- elini deo:
Na0 = N0AaAi0
+M0AaJi0
z0
Ma0 = M0JaJi0
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Primer analize spregnutog preseka u vremenu t = t0Pri tome, uslovi ravnotee moraju da budu zadovoljeni:
N = 0 Nc0 +Na = N0M = 0 Mc0 + zc0Nc0 +Ma0 + za0Na0 = M0
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Sadraj
1 Analiza SK primenom teorije elastinostiOpte napomeneOsnovne pretpostavke u elastinoj analizi
2 Proraun u vremenu t = t0Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
3 Proraun u vremenu tOsnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Osnovne jednaine u vremenu tVae sve osnovne pretpostavke u elastinoj analizi spregnutogpreseka koje su navedene u proraunu u poetnom trenutkut = t0
Imajui u vidu viskoelastine osobine betona i relaksaciju elikaza prednaprezanje naponi i pomeranja u spregnutom nosaumenjaju se u toku vrmenaProraun napona i pomeranja u trenutku vrmena t (obino jeto krajnje vreme t) vri se slino kao i za poetnitrenutak t = t0, dakle na korespodentnom preseku odhomogenog elastinog materijala
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Osnovne jednaine u vremenu t1 Bernulijeva hipoteza ravnih preseka za trenutak t:
= + k z (39)
gde su- . . . dilatacija proizvoljnog vlakna preseka (na rastojanju z odteine ose)
- . . . dilatacija take na osi tapa- k . . . promena krivine ose tapa
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Osnovne jednaine u vremenu t2 Veze izmeu napona i dilatacija za trenutak t:
- za konstrukcioni elik i armaturu (a,s)
k = Ek (k = a, s) (40)
- za elik za prethodnno naprezanje (p)
p = Ep,eff (41)
- za beton (c)c = Ec,eff ( cs) (42)
gde je cs dilatacija skupljanja betona u vremenu t
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Osnovne jednaine u vremenu t
U izrazu (41) sa Ep,eff je oznaen efektivni modul elastinostielika za prednaprezanje u trenutku vremena t koji uzima uobzir (na jednostavan nain) osobinu relaksacije elika:
Ep,eff = pEp p = 1 R100
gde je R relaksacija elika u vremenu t (u konanomtrenutku), izraena u procentima
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Osnovne jednaine u vremenu t
U izrazu (42) sa Ec,eff je oznaen efektivni modul elastinostibetona u skladu sa EM Metodom:
Ec,eff =Ec0
1 + rili Ec,eff =
Ec01 + r
(43)
U izrazu (43) sa r je oznaen redukovani koeficijent teenjadat sa
r =Ec(t0)
Ec28(t, t0)
dok je koeficijent faktor korekcije
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Osnovne jednaine u vremenu t3 Uslovi ravnotee izmeu spoljanjih i unutranjih sila za
trenutak t: k
Ak
k dA = N
k
Ak
z k dA = M (k = a, s, p, c)
(44)
gde su N i M normalna sila i momenat savijanja uposmatranom preseku, u vremenu t, odreeni za teite Tiidealizovanog preseka u vremenu t
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Osnovne jednaine u vremenu t4 Princip virtuelnih sila se koristi za odreivanje generalisanih
pomeranja u vremenu t:
=
s(M k + N )ds
r
Cr cr (45)
gde je generalisano pomeranje take na osi tapa, dok su N iM sile u posmatranom preseku, a Cr reakcija veze r usledvirtuelne jedinine sile P = 1, koja odgovara traenompomeranju , u vremenu t
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Osnovne jednaine u vremenu tPostupak reavanja sistema jednaina isti je, naelno, kao i zapoetni trenutak vremena t = t0Izraz za dilataciju proizvoljnog vlakna u preseku (39) unosi seu veze (40), (41) i (42), pa se naponi unose u usloveravnotee (44)Dobijaju se dve jednaine po nepoznatim i k (dilatacija osetapa i promena krivine)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Osnovne jednaine u vremenu t
Uslov ravnotee normalnih sila dobija se u obliku (k = a, s)(k
Ek
Ak
dA+ Ep,eff
Ap
dA+ Ec,eff
Ac
dA
) +(
k
Ek
Ak
z dA+ Ep,eff
Ap
z dA+ Ec,eff
Ac
z dA
) k
= N + Ec,eff cs
Ac
dA
(46)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Osnovne jednaine u vremenu tUslov ravnotee momenata savijanja dobija se u obliku(k = a, s)(
k
Ek
Ak
z dA+ Ep,eff
Ap
z dA+ Ec,eff
Ac
z dA
) +(
k
Ek
Ak
z2 dA+ Ep,eff
Ap
z2 dA+ Ec,eff
Ac
z2 dA
) k
= M + Ec,eff cs
Ac
z dA
(47)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Osnovne jednaine u vremenu tAnalogno kao i kod prorauna u poetnom trenutku t = t0,uvode se bezdimenzionalni koeficijenti redukcije kao odnosizabranog uporednog modula elastinosti Eu i modulaelastinosti posmatranog materijala u spregnutom preseku utrenutku vremena t:
nkt =EuEkt
(k = a, s, p, c)
Za uporedni modul elastinosti bira se modul elastinostielinog nosaa Eu = Ea
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Osnovne jednaine u vremenu tImajui u vidu da se modul elastinosti elinog nosaa iarmature ne menja kroz vreme, Ea = Eat = Es = Est,koeficijenti redukcije nkt se dobijaju u obliku:
nat = nst = 1 npt =Eu
Ep,effnct =
EuEc,eff
(48)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Osnovne jednaine u vremenu tBezdimenzionalni koeficijent za beton usled kratkotrajnogoptereenja nc = n0, pri emu je uporedni modul elastinostiEu = Ea, dat je sa
nc =EuEc0
=EaEcm
jer je za beton Ec(t0) = Ec0 Ecm, gde je Ecm sekantnimodul koji povezuje take za c = 0 i c = 0.4 fckKoeficijent za beton usled dugotrajnog optereenja nct dat jesa (48), pri emu je Ec,eff dat sa (43)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Osnovne jednaine u vremenu tMeutim, u EC4 se dozvoljava uproenje u odreivanjukoeficijenta redukcije za betonU analizi spregnutih zgrada, posebno za skladita i koje nisuprethodno napregnute, dozvoljava se sledee uproenje:
- za dugotrajne uticaje moe da se usvoji Ec,eff Ecm/3- koeficijent redukcije za beton za dugotrajna optereenja jednakje
nct = nL =Ea
Ecm/3 20
- koeficijent redukcije za beton za kratkotrajna optereenjajednak je
nc = n0 =EaEcm
6.5
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Osnovne jednaine u vremenu tZa ostale konstrukcije moe da se usvoji i za dugotrajne i zakratkotrajne uticaje da je
Ec,eff Ecm2
Sa ovim, koeficijent redukcije za beton je isti i za kratkotrajnai za dugotrajna optereenja:
nc = n0 = nct =Ea
Ecm/2
Prema tome, na taj nain se u globalnoj analizi omoguavaproraun samo jednog stanja (u vremenskom smislu)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Osnovne jednaine u vremenu t
Kada se jednaine (46) i (47) pomnoe sa jedinicom:1 = Eu/Eu i kada se uzmu u obzir izrazi za bezdimenzionalnekoeficijente redukcije nkt, dobja se sistem od dve jednaine:
Eu
(k
1
nkt
Ak
dA
) + Eu
(k
1
nkt
Ak
z dA
)k
= N + Eu1
nctcs
Ac
dA
Eu
(k
1
nkt
Ak
z dA
) + Eu
(k
1
nkt
Ak
z2 dA
)k
= M + Eu1
nctcs
Ac
z dA (k = a, s, p, c)
(49)Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Sadraj
1 Analiza SK primenom teorije elastinostiOpte napomeneOsnovne pretpostavke u elastinoj analizi
2 Proraun u vremenu t = t0Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
3 Proraun u vremenu tOsnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tAnalogno proraunu u vremenu t = t0 spregnuti presek se i uvrmenu t zamenjuje sa idealizovanim (korespodentnim)presekom od homogenog elastinog materijala sa modulomelastinosti EuGeometrijske karakteristike takvog preseka su povrina Ai imomenat inercije Ji idealizovanog presekaPovrine preseka pojedinih delova spregnutog preseka iodgovarajue redukovane povrine u vremenu t date su sa
Ak =
Ak
dA Akrt =1
nktAk (k = a, s, p, c)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tPovrina idealizovanog preseka Ai u vremenu t data je sa
Ai =k
1
nkt
Ak
dA =k
1
nktAk =
k
Akrt (k = a, s, p, c)
(50)Imajui u vidu koeficijente redukcije, povrina idealizovanogpreseka moe da se prikae kao
Ai = Aa +As +1
nptAp +
1
nctAc (51)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tPosmatra se odnos idealizovane povrine spregnutog preseka uvremenu t i u vremenu t = t0Povrine idealizovanih preseka se razlikuju samo u redukovanimpovrinama betonskog dela i elika za prednaprezanje, zbograzliitih vrednosti modula elastinosti u vremenima t0 i tZa betonski deo preseka redukovane povrine su:
- u vremenu t = t0:
Acr0 =1
ncAc =
EuEc0
Ac
- u vremenu t:Acrt =
1
nctAc =
EuEc,eff
Ac
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tKako je, prema EM Metodi,
Ec,eff =Ec0
1 + r= cEc0 gde je c =
1
1 + r
to je redukcioni koeficijent za beton u vremenu t dat sa
nct =Eu
Ec,eff=
EuEc0/(1 + r)
=1
cnc
Pri tome je oigledno c < 1.0
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tSlino, za elik za prednaprezanje redukovane povrine su:
- u vremenu t = t0:
Apr0 =1
npAp =
EuEp
Ap
- u vremenu t:Aprt =
1
nptAc =
EuEp,eff
Ap
Pri tome je
Ep,eff = pEp gde je p = 1 R100
< 1.0
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tRedukcioni koeficijent za elik za prednaprezanje moe da seprikae u obliku
npt =Eu
Ep,eff=
EupEp
=1
pnp
Prema tome, redukovane povrine betona i elika zaprednaprezanje u vremenu t mogu da se prikau kao
Acrt =Acnct
= cAcnc
= cAcr
Aprt =Apnpt
= pApnp
= pApr
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tKako su c < 1, kao i p < 1, to su redukovane povrinebetona i elika za prednaprezanje manje u vremenu t nego uvremenu t = t0
Acrt < Acr0 kao i Aprt < Apr0
Prema tome, ukupna idealizovana povrina spregnutg preseka uvremenu t manja je od idealizovane povrine u vremenu t = t0
Ai < Ai0
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tIdealizovana povrina preseka u vremenu t moe da se prikaeu obliku (k = a, s), (j = p, c)
Ai =k
Akr +j
jAjr = Aa +As + pApnp
+ cAcnc
(52)
Uvode se koeficijenti j :
j = 1 j (j = p, c) 0 j 1
tako da jej = 1 j
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu t
Unosei relaciju j = 1 j u izraz za idealizovanu povrinu(52), dobija se
Ai =k
Akr +j
Ajr j
jAjr (k = a, s) (j = p, c)
(53)Iz izraza (53) se vidi da je
Ai = Ai0 j
jAjr (j = p, c) (54)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tDrugim reima, idealizovana povrina spregnutog preseka uvremenu t manja je od povrine idealizovanog preseka utrenutku t0 za iznos:
Ai = Ai0 Ai =j
jAjr (j = p, c)
Kod spregnutih preseka kod kojih se betonska ploa i elik zaprethodno naprezanje nalaze iznad teita idealizovanogptreseka, u vremenu t, zbog smanjenja idealizovane povrine,dolazi do sputanja poloaja teita Ti u odnosu na teite Ti0u trenutku t0
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tPoloaj teita idealizovanog preseka u vremenu t odreuje seiz uslova da je statiki momenat idealizovane povrine uodnosu na osu y u teitu Ti jednak nuliAnalogno kao i kod analize geometrijskih karakteristika utrenutku t0, sa ei se oznaava rastojanje teita Ti od gornjeivice preseka, a sa ek rastojanja teita Tk povrina Ak odgornje ivice preseka (k = a, s, p, c)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tRastojenja izmeu teita idealizovanog preseka Ti i teita Tkdata su sa zk = ek eiIz uslova da je statiki momenat idealizovane povrine uodnosu na teinu osu jednak nuli:
k
zk Akrt =k
(ek ei)Akrt = 0
dobija se poloaj teita idealizovanog preseka u vremenu t,mereno od gornje ivice preseka:
ei =1
Ai
k
ek Akrt (55)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tImajui u vidu da se prvo vri analiza za poetni trenutakt = t0, pogodno je da se poloaj teita idealizovanog presekau vremenu t izrazi u odnosu na ve odreeno teite uvremenu t0Neka je poloaj teita Ti u odnosu na teite Ti0 oznaen sae, pri emu je Ti ispod teita Ti0U teitu u vremenu t0 nalazi see koordinatni sistem (y0, z0), au teitu Ti u vremenu t nalazi se sistem (y, z), gde se ose z0 iz poklapaju, a ose y0 i y su paralelneRelacija translacije izmeu ta dva sistema data je sa
z = z0 eStanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Spregnuti presek u vrmenenu t
Poloaj teita u vremenu t u odnosu na teite u vremenu t0
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tTeite se odreuje iz uslova da je statiki momenat povrineza teinu osu jednak nuli
k
zk Akr +j
j zj Ajr = 0 (k = a, s), (j = p, c)
Unosei relaciju j = 1 j u uslov da je statiki momenatjednak nuli, dobija se
k
zk Akr j
j zj Ajr = 0 (k = a, s, p, c), (j = p, c)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tNajzad, koristei relacije translacije z = z0 e dobija se
k
(zk0 e)Akr j
j (zj0 e)Ajr = 0
(k = a, s, p, c), (j = p, c)
odnosno, posle preureivanja,k
zk0Akr j
j zj0Ajr
e
k
Akr j
j Ajr
= 0 (k = a, s, p, c), (j = p, c)Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu t
Kako je
k zk0Akr = 0 (kao statiki momenat za teinu osuy0), dok je izraz u zagradi uz e jednak Ai, dobija se konaanpoloaj teita e
e = 1Ai
j
j (zj0 e)Ajr (j = p, c) (56)
Momenat inercije idealizovanog preseka Ji u vremenu t dat jesa (k = a, s, p, c)
Ji =k
1
nkt
Ak
z2 dA =k
1
nktJkt =
k
(Jkrt + z2kAkrt)
(57)Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu t
Izraz (57) za momenat inercije idealizovanog preseka uvremenu t dobija se u obliku
Ji =(Ja + z
2a Aa
)+(Js + z
2s As
)+
1
npt
(Jp + z
2p Ap
)+
1
nct
(Jc + z
2c Ac
) (58)Takoe, momenat inercije Ji moe da se prikae i u obliku, za(k = a, s, p, c) i (j = p, c)
Ji =k
1
nkt
Ak
z2 dAj
j1
njt
Aj
z2 dA (59)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu t
Posle sreivanja, izraz (59) moe da se prikae u obliku
Ji = Ji0 j
j Jir0 e2Ai (60)
Kao to se vidi, momenat inercije idealizovang preseka uvremenu t odreen je preko momenta inercije u vremenu t0umanjenim za
j
j Jir0, kao i za e
2Ai, prema tajnerovojteoremi, zbog prelaska na novu teinu osu y
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tPosmatra se, kao ilustracija, spregnuti presek koji ine samoelini nosa (a) i betonska ploa (c), pri emu je zanemarenuticaj armature u betonu (s) na geometrijske karakteristike,dok prednaprezanje (p) ne postoji u ovom sluajuKako se za uporedni modul elastinosti bira modul elastinostielinog nosaa, to su koeficijenti redukcije dati sa
na = 1, nc = n =EaEc0
nct = nt =Ea
Ec,eff
dok je (ns = 0, np = 0)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tPovrina idealizovanog preseka Ai u vremenu t data je, uovom sluaju, sa
Ai = Aa +Acnt
Alternativno, povrina idealizovanog preseka u vremenu t moeda se odredi prema izrazu (54)
Ai = Ai0 cAcr = Ai0 cAcn
= Ai0 Acn
+Acnt
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Spregnuti presek u vrmenenu t
Spregnuti presek sastavljen samo od elinog nosaa (a)i betonske ploe (c)Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu t
Poloaj teita Ti u vremenu t dat je (u odnosu na gornju ivicupreseka) sa
ei =1
Ai(eaAa +
1
nctecAc)
Alternativno, poloaj teita Ti u odnosu na teite Ti0 utrenutku t0 dat je sa
e = 1Ai c zz0Acr =
1
Ai c zz0
Acn
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Redukovane geometrijske karakteristike u vremenu tMomenat inercije Ji u vremenu t dat je sa
Ji =(Ja + z
2a Aa
)+
1
nt
(Jc + z
2c Ac
)Alternativno, momenat inercije Ji izraen preko Ji0 u trenutkut0 dat je sa
Ji = Ji0 cJcr0 e2Ai= Ji0 1
n(Jc + z
2c0Ac) +
1
nt(Jc + z
2c0Ac) e2Ai
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Sadraj
1 Analiza SK primenom teorije elastinostiOpte napomeneOsnovne pretpostavke u elastinoj analizi
2 Proraun u vremenu t = t0Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
3 Proraun u vremenu tOsnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Fiktivne sile u presekuKoristei oznake za karakteristike idealizovanog preseka,osnovne jednaine spregnutog preseka (49) mogu da se prikaukao
EuAi = N
Eu Ji k = M(61)
gde su desne strane jednaina date sa
N = N + Eu1
nctcs
Ac
dA
M = M + Eu1
nctcs
Ac
z dA
(62)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Fiktivne sile u preseku
Veliine N i M, date sa (62), nazivaju se fiktivne sile upresekuFiktivne sile u preseku u proraun spregnutih nosaa uveo jeM. uri, a u neto drugaijem obliku i koristei AAEMmetodu, prikazao je J. LaziVeliine M i N su prave sile u preseku u vremenu t,definisane u odnosu na teite Ti u vremenu tAko su sile u preseku u vremenu t0 oznaene sa N0 i M0, zbogpromene poloaja teita u vremenu t, imajui u vidu da jerastojanje izmeu teita jednako e, sile u preseku u vremenu tsu data sa
N = N0 M = M0 N0 eStanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Spregnuti presek u vrmenenu t
Promena teita i sila u preseku u vremenu t
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Fiktivne sile u preseku
Drugi lanovi u izrazima (62) se obeleavaju sa ns i ms:
ns = ns(s, t, t0) = Eu1
nctcs
Ac
dA = EuAcrt s
ms = ms(s, t, t0) = Eu1
nctcs
Ac
z dA = zs ns
(63)
pri emu je
ns0 = ns(s0, t0, t0) = 0 ms0 = ms(s0, t0, t0) = 0
jer je u poetnom trenutku t0 skupljanje jednako nuli: s0 = 0
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Fiktivne sile u presekuAko se posmatra statiki odreen nosa koji nije optereen:N = 0,M = 0, kao i N0 = 0,M0 = 0, pri emu je ins0 = 0,ms0 = 0
U tom sluju, fiktivne sile u preseku su date sa
N = ns M = ms = zc ns (64)
Znai, fiktivne sile u ovom sluaju pretstavljaju samo uticajskupljanja betona
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Fiktivne sile u presekuUticaj poznate deformacije spregnutog nosaa usled skupljanjabetona uvodi se kao spoljanja sila zatezanja u betonskom delupreseka nsDilatacije betona usled skupljanja nije slobodna, zbog prisustvamodanika, kao i armature u betonskom deluZbog povezanosti betona i elinog dela spregnutog nosaa,sili zatezanja u betonu ns usled skupljanja betona, odgovarareaktivno optereenje u teitu idealizovanog preseka Ti:normalna sila ns i momenat savijanja ms = ns zc
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Naponi i pomeranja u vremenu tOvo optereenje je promenljivo sa vremenom jer je dilatacijausled skupljanja betona promenljiva sa vremenomU izrazu za napon u betonu lan (Ec,eff sc) postoji samokada se skupljanje uzima u obzir (s 6= 0)Kako je skupljanje negativna veliina, to su naponi u betonunaponi zatezanja (Ec,eff sc > 0)Kako je s < 0, to je sila ns u teitu preseka negativna, odn.pretstavlja pritisak, videti (63)Takoe, kako je i rastojanje zc negativno, to je i momenat mspozitivan, odn. zatee donju stranu preseka, videti (64)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Fiktivne sile u presekuTransformacijama se dobija
ns = EuAcnct
cs = EuAc
Eu/Ec,effcs = Ec,eff Ac cs
pa je odgovarajui napon zatezanja dat sa
=nsAc
= Ec,eff cs
Sili ns u teitu Tc betonskog dela odgovara reaktivnooptereenje u teitu idealizovanog preseka Ti: normalna silans i odgovarajui momenat ms = ns zc
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Spregnuti presek u vrmenenu t
Reaktivno optereenje ns i ms u teitu Ti poprenog preseka usleduticaja skupljanja
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Sadraj
1 Analiza SK primenom teorije elastinostiOpte napomeneOsnovne pretpostavke u elastinoj analizi
2 Proraun u vremenu t = t0Osnovne jednaine u vremenu t = t0Geometrijske karakteristike u vremenu t = t0Naponi i pomeranja u vremenu t = t0
3 Proraun u vremenu tOsnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Naponi i pomeranja u vremenu t
Iz jednaina ravnotee (61) dobijaju se nepoznatedeformacijske veliine:
=NEuAi
k =MEu Ji
(65)
Reenja za deformacijske veliine i k u vremenu t po oblikusu ista kao i reenja u vremenu t0, odn. analogna suodgovarajuim izrazima korespodentnog nosaa od homogenogelastinog materijala sa modulom elastinosti Eu = Ea, sakarakterisitkama idealizovang preseka Ai i Ji, optereenog safiktivnim silama u preseku N i M
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Naponi i pomeranja u vremenu t
Prema izrazu (39) dilatacija proizvoljnog vlakna spregnutogpreseka, u vremenu t, data je sa
=NEuAi
+MEu Ji
z (66)
Koristei veze u vremenu t, izrazi za napone pojedinihdelova spregnutog preseka, u vremenu t, dati su sa:
k =1
nkt
(NAi
+MJi
z
)(k = a, s, p)
c =1
nct
(NAi
+MJi
z
) Ec,eff cs
(67)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Naponi i pomeranja u vremenu tUvodi se, slino kao i u vremenu t0, uporedni napon u vremenut, dat sa
u = Eu odn. dat sa
u =NAi
+MJi
z
Naponi u pojedinim delovima spregnutog preseka u vremenu tmogu da se prikau kao
k =1
nktu (k = a, s, p)
c =1
nctu Ec,eff sc
(68)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Naponi i pomeranja u vremenu t
U izrazu za napon u betonu lan (Ec,eff sc) postoji samokada se skupljanje uzima u obzir (s 6= 0)Kako je skupljanje negativna veliina, to su naponi u betonunaponi zatezanja (Ec,eff sc > 0)kako je s < 0, to je sila ns u teitu preseka negativna, odn.pretstavlja pritisak, videti (63)Takoe, kako je i rastojanje zc negativno, to je i momenat mspozitivan, odn. zatee donju stranu preseka, videti (64)
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Dijagram napona u spregnutom preseku usledskupljanja
(a) naponi zatezanja u betonu usled ns kao spoljanje silezatezanja
(b) naponi u spregnutom preseku od N = ns i M = ms, kaoreaktivnih sila u teitu Ti
(c) konani naponi u spregnutom preseku usled uticaja skupljanjaStanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Naponi i pomeranja u vremenu tIzraz za traeno generalisano pomeranje u vremenu t, za takuna osi tapa, odreen je, primenom principa virtuelnih sila, sa
=
s
(M MEu Ji
+N NEuAi
)r
Cr cr (69)
Zbog reolokih osobina betona i elika za prethodnonaprezanje, geometrijske karakteristike idealizovanog presekaAi i Ji, kao i fiktivne sile u presku N i M funkcije suvremena t
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
-
Analiza SK primenom teorije elastinostiProraun u vremenu t = t0
Proraun u vremenu t
Osnovne jednaine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t
Analiza SK primenom teorije elastinosti
Naponi i pomeranja u vremenu tKarakteristike idealizovanog preseka i fiktivne sile u presekuodreuju se za svako vreme t u kome se trae naponi ipomeranjaPrema tome, naponi i pomeranja u spregnutom nosau zavisnisu od vremena ak i za sluaj optereenja i uticaja koji se nemenjaju sa vremenom
Stanko Bri Prednapregnute i spregnute konstrukcije
Analiza SK primenom teorije elasticnostiOpte napomeneOsnovne pretpostavke u elasticnoj analizi
Proracun u vremenu t=t0Osnovne jednacine u vremenu t=t0Geometrijske karakteristike u vremenu t=t0Naponi i pomeranja u vremenu t=t0
Proracun u vremenu tOsnovne jednacine u vremenu tGeometrijske karakteristike u vremenu tFiktivne sile u presekuNaponi i pomeranja u vremenu t