Brojni sistemi i kodoviBrojni sistemi i kodovi

Prof dProf dr Gordana orevir Gordana orevi

DIGITALNI RADIGITALNI RAUNAR UNAR -- Digitalna tehnika Digitalna tehnika

Digitalni raDigitalni raunar operiunar operie diskretnim naponskim e diskretnim naponskim stanjima koje opisujemo skupom od dva stanjima koje opisujemo skupom od dva simbola simbola (0 i 1, istina i la(0 i 1, istina i la, visoki napon i niski napon, , visoki napon i niski napon, ili neka druga kombinacija). ili neka druga kombinacija).

NajNajeee se koriste simboli 0 i 1, kada govorimo o e se koriste simboli 0 i 1, kada govorimo o samom procesu rasamom procesu raunanja, odnosno H (high) i L(low) unanja, odnosno H (high) i L(low) kada govorimo o samim naponskim nivoima u kada govorimo o samim naponskim nivoima u elektronskim komponentama koje elektronskim komponentama koje ine raine raunar. unar.

Svako izraSvako izraunavanje, ma kako slounavanje, ma kako sloeno bilo, svodi se na eno bilo, svodi se na konakonaan niz operacija nad kombinacijama pomenuta an niz operacija nad kombinacijama pomenuta dva stanja (0 i 1).dva stanja (0 i 1).

Kod i kodiranjeKod i kodiranje

kodkod u predstavlja niz pravila za pretvaranje u predstavlja niz pravila za pretvaranje jednog oblika informacije (nrp. slovo, binarni jednog oblika informacije (nrp. slovo, binarni zapis, rezapis, re, broj) u drugi oblik, broj) u drugi oblik

kodiranjekodiranje predstavlja radnju prevoenja predstavlja radnju prevoenja informacije u simbole koji se zatim, preko informacije u simbole koji se zatim, preko medijuma, prenose do primaocamedijuma, prenose do primaoca

dekodiranjedekodiranje je obrnut postupak, i obuhvata je obrnut postupak, i obuhvata pretvaranje simbola u oblik informacije razumljiv pretvaranje simbola u oblik informacije razumljiv za primaocaza primaoca

RaRaunarske informacije su digitalneunarske informacije su digitalneBit ili binarna cifraBit ili binarna cifra

Najmanja jedinica informacijaNajmanja jedinica informacija

MoMoe da ima samo dve vrednosti: 1 ili 0e da ima samo dve vrednosti: 1 ili 0

MoMoe da predstavlja brojeve, slova ili specijalne znakee da predstavlja brojeve, slova ili specijalne znake

RaRaunarske informacijeunarske informacije-- binarne cifrabinarne cifra

BajtBajt

Bajt = skup od 8 bitaBajt = skup od 8 bita

MoguMogunost da se prikanost da se prikau sva slova, brojevi i u sva slova, brojevi i specijalni znaci specijalni znaci

256 razli256 razliitih kombinacija 0 i 1itih kombinacija 0 i 1

2288 2277 2266 2255 2244 2233 2222 2211 2200

Brojni sistemiBrojni sistemi

Brojni sistemBrojni sistem je sistem pomoje sistem pomou kojeg se predstavljaju u kojeg se predstavljaju brojevibrojevi

Najpoznatiji sistem je dekadni sistem ili decimalni sistem Najpoznatiji sistem je dekadni sistem ili decimalni sistem (baza 10)(baza 10)

Dekadni sistem je danas najrasprostranjeniji. Poreklom Dekadni sistem je danas najrasprostranjeniji. Poreklom je iz Indije, a u Evropi se prvi put pojavljuje u 10. veku, je iz Indije, a u Evropi se prvi put pojavljuje u 10. veku, tada jotada jo bez nulebez nule

Brojni sistemiBrojni sistemi

Principijelno je moguPrincipijelno je mogu sistem na bilo kojoj bazisistem na bilo kojoj bazi

Osim dekadnog sistema u upotrebi su i:Osim dekadnog sistema u upotrebi su i: binarni sistem (baza 2) binarni sistem (baza 2)

oktalni sistem (baza 8)oktalni sistem (baza 8)

heksadecimalni (baza 16) heksadecimalni (baza 16)

Jedan brojni sistem se uvijek sastoji iz baze Jedan brojni sistem se uvijek sastoji iz baze bb i skupa i skupa simbola koje nazivamo ciframa (jedan brojni sistem ima simbola koje nazivamo ciframa (jedan brojni sistem ima uvek buvek b--1 simbola)1 simbola)

Binarni sistemBinarni sistem

Binarni sistem je po nekim izvorima prvi koristio Leibniz u Binarni sistem je po nekim izvorima prvi koristio Leibniz u 17. veku17. veku

Danas je pored dekadnog sistema ovo najrasprostranjeniji Danas je pored dekadnog sistema ovo najrasprostranjeniji sistem zbog upotrebe u digitalnoj tehnici i rasistem zbog upotrebe u digitalnoj tehnici i raunarstvuunarstvu

Binarni sistem je sistem na bazi 2; znaBinarni sistem je sistem na bazi 2; znai svaki broj se i svaki broj se predstavlja iskljupredstavlja iskljuivo sa dve cifre odnosno simbolima 0 i 1ivo sa dve cifre odnosno simbolima 0 i 1

Brojevi binarnog sistema bi izgledali ovako:Brojevi binarnog sistema bi izgledali ovako: 0 = 0 0 = 0 1 = 1 1 = 1 2 = 10 2 = 10 3 = 11 3 = 11 4 = 100 4 = 100 5 = 101 5 = 101 6 = 110 6 = 110 7 = 111 7 = 111 8 = 1000 8 = 1000 itditd

BinarniBinarni kodkod

53 : 2 = 26 153 : 2 = 26 1

26 : 2 = 13 026 : 2 = 13 0

13 : 2 = 6 113 : 2 = 6 1

6 : 2 = 3 06 : 2 = 3 0

3 : 2 = 1 13 : 2 = 1 1

11

53 53 ((1010)) = 110101= 110101

2288 2277 2266 2255 2244 2233 2222 2211 2200

1 1 0 1 0 11 1 0 1 0 1

32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5332 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 53

Primer Primer raraunarskogunarskog programaprograma

AdresaAdresa OznakaOznaka NaredbaNaredba Binarni kodBinarni kod

.begin.begin

.org 2048.org 2048

a_starta_start ..equequ 30003000

2048 2048 ld [length],&r1 ld [length],&r1 11000010 00000000 11000010 00000000 00101000 00101100 00101000 00101100

2052 2052 ld [address],%r2 ld [address],%r2 11000100 00000000 11000100 00000000 00101000 00110000 00101000 00110000

2056 2056 addccaddcc %r3,%r0,%r3 %r3,%r0,%r3 10000110 10001000 10000110 10001000 11000000 00000000 11000000 00000000

2060 2060 loop:loop: addccaddcc %r1,%r1,%r0%r1,%r1,%r0 10000000 10001000 10000000 10001000

01000000 0000000101000000 00000001

2064 2064 be donebe done 00000010 10000000 00000010 10000000 00000000 00000110 00000000 00000110

2068 2068 addccaddcc %r1,%r1,--4,%r1 4,%r1 10000010 10000000 10000010 10000000

01111111 1111110001111111 11111100

Prevoenje jednog brojnog sistema u Prevoenje jednog brojnog sistema u drugidrugi

Ako Ako elimo brojeve iz dekadnog brojnog sistema prevesti elimo brojeve iz dekadnog brojnog sistema prevesti u neki drugi brojni sistem, najjednostavnije u neki drugi brojni sistem, najjednostavnije emo to emo to uuiniti ako broj podelimo bazom brojnog sistema u koji initi ako broj podelimo bazom brojnog sistema u koji ga ga elimo pretvaramo sve dok kolielimo pretvaramo sve dok kolinik ne bude 0, a nik ne bude 0, a potom prepipotom prepiemo ostatke deljenja unazademo ostatke deljenja unazad

binarnibinarni oktalnioktalni heksadekadniheksadekadni

2020 : 2 = 10 (0): 2 = 10 (0)

1010 : 2 = 5 (0): 2 = 5 (0)55 : 2 = 2 (1): 2 = 2 (1)22 : 2 = 1 (0): 2 = 1 (0)11 : 2 = 0 (1): 2 = 0 (1)binarnibinarni brojbroj jeje1010010100

2020 : 8 = 2 (4): 8 = 2 (4)

22 : 8 = 0 (2): 8 = 0 (2)

oktalnioktalni brojbroj jeje 2424

2020 : 16 = 1 (4): 16 = 1 (4)

11 : 16 = 0 (1): 16 = 0 (1)hexadehexadekadnikadni brojbrojjeje 1414

Oktalni sistemOktalni sistem

Oktalni sistem je brojni sistem kod kojeg je baza 8Oktalni sistem je brojni sistem kod kojeg je baza 8

Ovaj sistem se koristi u raOvaj sistem se koristi u raunarstvu, mada daunarstvu, mada danas nas znatno ree nego u predhodim decenijamaznatno ree nego u predhodim decenijama

Ovaj sistem ima 8 cifaraOvaj sistem ima 8 cifara

Skup simbola ovog sistema kojima se predstavljaju Skup simbola ovog sistema kojima se predstavljaju cifre ovog sistema je S={0,1,2,3,4,5,6,7}cifre ovog sistema je S={0,1,2,3,4,5,6,7}

Primer brojeva u oktalnom brojnom Primer brojeva u oktalnom brojnom sistemusistemu

163 : 8 = 20 3163 : 8 = 20 3

20 : 8 = 2 420 : 8 = 2 4

2 2

163(163(1010) = 243() = 243(88)) 22 1 01 0

2*8 + 4*8 + 3*8 =1632*8 + 4*8 + 3*8 =163

PrimeriPrimeri brojeva zapisanih u brojeva zapisanih u ovovoomm sistemu: sistemu: 123(123(88) i 456() i 456(8 8 ))

Heksadekadni sistemHeksadekadni sistem

heksadekadni sistem je sistem na bazi 16heksadekadni sistem je sistem na bazi 16 svi brojevi se predstavljaju sa 16 cifarasvi brojevi se predstavljaju sa 16 cifara simboli za predstavljanje svih cifara ovog brojnog sistema nalazsimboli za predstavljanje svih cifara ovog brojnog sistema nalaze se e se

u skupu S = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F)u skupu S = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F) Broj 10 se piBroj 10 se pie kao A, broj 11 kao B itd. sve do F e kao A, broj 11 kao B itd. sve do F to predstavlja to predstavlja

broj 15.broj 15. Pretvaranje funkcioniPretvaranje funkcionie slie slino kao kod binarnog sistema no kao kod binarnog sistema -- umesto umesto

beze 2 imamo bazu 16beze 2 imamo bazu 16 HeksadecimalniHeksadecimalni sistemsistem se se koristikoristi u u raraunarstvuunarstvu u u kombinacijikombinaciji sasa

binarnimbinarnim sistemomsistemom jerjer se se pretvaranjepretvaranje momoee lakolako obavljatiobavljati ((etiri etiri mesta u binarnom sistemu zauzimaju samo jedno mjesto u mesta u binarnom sistemu zauzimaju samo jedno mjesto u heksadecimalnom sistemu)heksadecimalnom sistemu)

Za razumevanje ovih sistema potrebno je napraviti strogu razlikuZa razumevanje ovih sistema potrebno je napraviti strogu razliku izmeu brojaizmeu broja, kao prirodno, kao prirodno--matematimatematikog pojma, i njegovog kog pojma, i njegovog predstavljanja. Npr. broj 3 (kao 3 jabuke) se mopredstavljanja. Npr. broj 3 (kao 3 jabuke) se moe predstaviti kao e predstaviti kao 33, , u sluu sluaju da koristimo dekadni sistem ili kao aju da koristimo dekadni sistem ili kao 1111 ako se koristi binarni ako se koristi binarni sistemsistem

Primeri brojeva u heksadekadnom Primeri brojeva u heksadekadnom brojnom sistemubrojnom sistemu

4051 : 16 = 253 34051 : 16 = 253 3

253 : 16 = 15 13 253 : 16 = 15 13 -- DD

15 15 -- FF

4051(4051(1010) = FD3() = FD3(1616)) 22 1 01 0

F*16 + D*16 + 3*16 = 4051F*16 + D*16 + 3*16 = 4051

FF * 162 + * 162 + DD * 161 + 3 * 160 = 3840 + 208 + 3 = 4051 * 161 + 3 * 160 = 3840 + 208 + 3 = 4051

PrimeriPrimeri brojeva zapisanih u brojeva zapisanih u ovovoomm sistemu: CD4(sistemu: CD4(1616) i ) i EA7(EA7(1616))

88--bitni podaci u oblikubitni podaci u obliku

binarnog kodabinarnog koda

oktalnog kodaoktalnog koda

heksadekadnog kodaheksadekadnog koda

Meunarodni standardi za kodiranjeMeunarodni standardi za kodiranje

EBCDIC (EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Extended Binary Coded Decimal Interchange Code)Interchange Code)

ASCII (American Standard Code for ASCII (American Standard Code for Information Interchange)Information Interchange)

ObeleObeleavanje:avanje:b b bitbitB B bajtbajt

BajtBajt

Kilobajt (KB)Kilobajt (KB)

Megabajt (MB)Megabajt (MB)

Gigabajt (GB)Gigabajt (GB)

Terabajt (TB)Terabajt (TB)

Petabajt (PB)Petabajt (PB)

= 8 = 8 bb

= 1024 B = 2= 1024 B = 21010 BB

= 1024 KB = 2= 1024 KB = 21010 KBKB

= 1024 MB = 2= 1024 MB = 21010 MBMB

= 1024 GB = 2= 1024 GB = 21010 GBGB

= 1024 TB = 2= 1024 TB = 21010 TBTB