(4) calculo integl
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Calculo IntegralTRANSCRIPT
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Cálculo Integral.
Dr. MsI. Alonso Álvarez Olivo
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Historia del CalculoLos principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo XVIII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez que se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.
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VIDEO (1)
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VIDEO (2)
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Integral DefinidaLa integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función y el eje x. Tiene signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos
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Ejemplo
Si f es la función constante f(x)=3, entonces la integral de f entre 0 y 10 es el área del rectángulo limitado por las rectas x=0, x=10, y=0 e y=3. El área corresponde al producto del ancho del rectángulo por su altura, por lo que aquí el valor de la integral es igual a 30.
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Integral
b
a
dxxfI )(
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Area entre la curva y el eje, desde a hasta b
Integral definida
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Integración de Riemann
Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración.
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Aproximaciones a la integral de f(x) entre 0 y 1, con ■ 5 muestras por la izquierda (arriba) y ■ 12 muestras por la derecha (abajo)
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1i
11i
,/)(
)(lim
ii
n
iii
n
xxxxfSup
xxS
Sumas Superior e Inferior (Riemann)
1
11
,/)(
)(lim
iii
n
iiii
n
xxxxfInf
xxS
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Integrable según Riemann
)(lim)(lim1
1i1
1i
n
iii
n
n
iii
nxxxx
SS
SSdxxfb
a
)(
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Integración de Riemann
n
iiii
n
b
a
xxxfdxxf0
1 ))((lim)(
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Ejemplos
a b
La función f(x)=5, es derivable según Riemann en [a,b]
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abxx
xxxxS
n
iii
n
n
iii
n
n
iii
n
5)(lim5
)(5lim)(lim
11
11
11i
abxx
xxxxS
n
iii
n
n
iii
n
n
iii
n
5)(lim5
)(5lim)(lim
11
11
11i
abdxSSb
a
55
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EjemplosLa función f(x)=x, es derivable según Riemann en [0,b]
b
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Función de Dirichlet
Ixsi
Qxsixf
,,...,0
,,...,1)(
RRf :
La función f no es integrable según Riemann, se puede integrar con Lebesgue
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Teorema Fundamental del CálculoEl teorema demuestra una conexión entre la integración y la derivación. Esta conexión, combinada con la facilidad, comparativamente hablando, del cálculo de derivadas, se puede usar para calcular integrales.
Entonces F ′(x) = f(x).
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VIDEO
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Propiedades del Integral
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Integrales Impropias
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Ejemplo
1
)/1( dxx
Calcular el siguiente integral en función del parámetro
Solución :
1,,1
11,,
si
si
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Integral Indefinida
Si F(x) es una primitiva (antiderivada) de f(x) (F’(x)=f(x)), se define
kxFdxxf )()(
(El Integral Indefinido de una función es una familia de funciones)
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Métodos de Integración (Sustitución)
dttgtgfdxxf )(')]([)(
dxx
x
dxxxsen
3
4
)3)ln(2(
)cos().(
Ejemplos:
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Métodos de Integración (Por partes)
dxxgxfxgxfdxxgxf )().(')().()(').(
dxx
dxxsen
)ln(
)(2
Ejemplos:
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Caso Curioso ¿?
)(,10
)).(/1()).(/1()./1( 2
dxxxxxdxx
dxx
1
Realizando una Integración por partes con f(x)=1/x, y g’(x)=dx, tenemos:
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Calculo de Áreas
xy
xy
2
Calcular el área de la figura limitada por las curvas:
Desde 0 hasta 1
3/132/3
)(1
0
32/31
0
2
xxdxxx
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Solución:
3/132/3
)(1
0
32/31
0
2
xxdxxx
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Derivación e IntegraciónLas propiedades (algebra) de las derivadas o de los integrales (Riemann) no se transmiten a las series infinitas
11
)()(nn
n xfdx
dxf
dx
d
11
)()(n
nn
n dxxfdxxf ?
?
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Ejercicios
• Calculo de integrales por definición• Aplicación del Teorema fundamental del calculo• Ejercicios de Calculo de Integrales• Aplicaciones del Integral