4. Funzioni elementari

algebriche

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA

A. A. 2013-2014

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Sono dette elementari un insieme di funzioni dalle quali si ottengono, mediante composizione ed operazioni algebriche, le funzioni reali più comunemente usate in matematica

Fanno parte di tali funzioni quelle già incontrate nei corsi di geometria analitica e di trigonometria

sono noti i grafici delle funzioni elementari

Funzioni elementari

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Funzioni elementari: algebriche e trascendenti

– Funzioni lineari: y=mx+q

– Funzioni quadratiche: y=ax2+bx+c

– Funzioni potenza (e radici): y=x

– Funzioni esponenziali: y = ax

– Funzioni logaritmiche: y = logax

– Funzioni trigonometriche:

y=senx, y =cosx, y =tgx; y=cotgx

– Funzioni trigonometriche inverse:

y=arcsenx; y =arccosx; y =arctgx; y=arccotgx

Algebriche

Trascendenti

L’importanza delle funzioni elementari è anche dovuta al fatto che:

- sono spesso utilizzate nella costruzione di modelli matematici che descrivono le relazioni dinamiche relative al fenomeno che si sta analizzando

- a partire dai loro grafici si possono tracciare grafici di funzioni più complicate senza ricorrere a strumenti complessi (come avviene tradizionalmente nello “studio di funzione”)

Funzioni elementari

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FUNZIONI LINEARI

• Sono il tipo più semplice di funzione reale di variabile reale

• Le funzioni lineari sono tutte e sole le funzioni

f:RR definite da f(x) = mx + q con m,q R

(per m=0 si hanno le funzioni costanti)

• E’ noto dalla geometria analitica che il grafico di tali funzioni è sempre una retta

(per m=0, le rette sono parallele all’asse X)

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Funzioni lineari e grafici

• I grafici delle funzioni lineari sono esattamente le rette del piano non parallele all’asse Y delle ordinate

• Per avere tutte le rette del piano occorre considerare l’insieme delle equazioni ax + by + c = 0, con a, b, c R

Nota: le rette parallele all’asse Y non sono grafici di funzioni

Data la funzione f:RR definita da f(x) = mx + q con m,q R

cosa rappresentano m e q?

Funzioni lineari: significato di q

sul grafico: rappresenta l’incontro della retta con

l’asse delle Y, detto anche intercetta delle

ordinate

per la funzione:

poiché f(0)=m·0+q, segue che q = f(0) è il valore

della funzione in x=0

Domanda: cosa rappresenta invece per la funzione il

punto di incontro, xo, del suo grafico con l’asse delle X?

L’ordinata è 0, quindi f(x0)= 0: x0 è il punto in cui si annulla

la funzione

Funzioni lineari: significato di m

Significato di m sul grafico

- m ha un significato geometrico: quantifica l’inclinazione della retta (o pendenza della retta) rispetto all’asse X

• m è ottenuto come rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due punti qualunque del grafico

• m è anche uguale alla tangente dell’angolo che l’asse X forma con la retta con una rotazione in senso antiorario (per tale motivo m è anche detto coefficiente angolare della retta)

12

12

xx

yym

Funzioni lineari: significato di m

• Condizioni di parallelismo tra due rette di

equazioni y = m1x + q1 e y = m2x + q2:

m1 = m2

• Condizioni di perpendicolarità tra due rette di

equazioni y = m1x + q1 e y = m2x + q2:

m1 · m2 = -1

Funzioni lineari: significato del parametro m

m rappresenta anche una proprietà della funzione:

è il rapporto tra la variazione della variabile dipendente

e la variazione della variabile indipendente, ovvero il

tasso (o rapidità o velocità) di variazione (Δf/Δx)

della funzione, che è costante:

m

xx

xfxf

xx

xfxf

xx

xfxf

x

f

13

13

23

23

12

12

)()()()()()(

Le funzioni lineari sono utilizzate quindi per modellizzare

tutti quei fenomeni in cui le due grandezze coinvolte si

evolvono con una legge di proporzionalità diretta

Esercizio: dal grafico alla funzione

• Dato il grafico, determinare la rappresentazione

algebrica della funzione lineare

Osservando il

grafico, in

figura si

identifica

l’intercetta (-1)

e il

coefficiente

angolare (3/2)

12

Funzioni lineari e grafici

• Bastano due punti del grafico di una funzione lineare

P0(x0, y0) e P1(x1, y1) per ricavare l’espressione della

funzione f(x) = mx + q :

00

01

01 mxy q e x

f

xx

yym

• Viceversa, data una funzione lineare f(x)=mx+q, è facile

tracciarne il grafico: basta considerare due punti le cui

coordinate (x, y) soddisfano la condizione y = mx+q

Alcune proprietà delle funzioni lineari

• Dominio: R Immagine: R, o {q} se f(x) = q (cioè m=0)

• Invertibilità: le funzioni lineari con m0 sono biiettive, quindi invertibili

se f(x)= mx+q, allora la funzione inversa è definita da:

• Crescenza/decrecenza : se m>0 la funzione f(x)= mx+q è crescente su tutto il suo dominio, mentre se m<0 è decrescente

Descrivere la variazione della variabile y quando la variabile x aumenta sempre più o diminuisce sempre più

m

qx

m

1xf 1 )(

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Nella pratica sperimentale capita spesso di

ricavare dati relativi ad un fenomeno in cui è

ipotizzabile che una variabile dipenda in modo

lineare da un’altra (almeno in un certo ambito di

osservazione)

Problema: come trovare la legge che esprime

questa relazione a partire dai dati sperimentali?

(cioè, come trovare per il modello matematico

f(x) = mx + q i valori di m e q) ?

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Esercizio

La concentrazione di monossido di carbonio a Milano è

passata da circa 10 mg/m3 nel gennaio 1990 a circa

4.8 mg/m3 nel gennaio 2000.

1. Trovare la relazione tra il tempo t (in anni) e la

concentrazione C di monossido di carbonio (in mg/m3)

supponendo che sia espressa da una funzione lineare.

[C(t) = - 0,52 t + 1044,8]

2. Quale concentrazione di monossido di carbonio si

sarà avuta nel gennaio 1997? In quale anno la

concentrazione di monossido di carbonio sarà stata di

7,4 mg/m3 ?

[6,36 mg/m3 circa ; nel gennaio 1995 ]

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3. Secondo la modellizzazione stabilita quando la

concentrazione di monossido di carbonio scenderà sotto

il valore di 2.2 mg/m3 ?

[ t >2005]

Nota

• Le risposte del punto 2 sono un esempio di

interpolazione perché si sono stimati valori intermedi tra

quelli ottenuti tra due rilevazioni

• La risposta del punto 3 è un esempio di estrapolazione

perché si è stimato un valore esterno rispetto alla

regione di osservabilità (le estrapolazioni sono sempre

più rischiose delle interpolazioni!)

Interpretazione geometrica di equazioni e disequazioni di primo grado:

• risolvere l’equazione mx+q = 0 (con m0) significa trovare l’ascissa del punto di intersezione della retta, grafico di f(x) =mx+q, con l’asse X

• risolvere la disequazione mx+q>0 [risp. mx+q<0] equivale a cercare l’insieme delle ascisse dei punti della retta che si trovano al di sopra [risp. al di sotto] dell’asse X

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Risoluzione grafica di disequazioni lineari

18 18

FUNZIONI POLINOMIALI

• Una funzione polinomiale è una funzione

f: R R in cui l’espressione algebrica della legge è un polinomio di grado n:

f(x) = anxn+an-1x

n-1+…+a0

dove a0, a1,…, an(0) R sono i coefficienti del polinomio

e n N è il grado del polinomio

- a0 è il termine noto

- an(0) è il coefficiente direttivo (o direttore)

Se il polinomio è di grado 0 si ha una funzione costante, se di grado 1 si ha una funzione lineare, se di grado 2 si

ha una funzione quadratica

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FUNZIONI QUADRATICHE

• Le funzioni quadratiche sono tutte e sole le funzioni f: R R definite da:

f(x) = ax2 + bx+ c con a, b, c R e a0

• Il grafico di una funzione quadratica è una curva detta parabola con asse di simmetria parallelo all’asse Y

Proprietà del grafico delle funzioni quadratiche

La forma del grafico, cioè della parabola, e la sua posizione rispetto agli assi cartesiani dipendono dai valori di a, b e c

• Se a>0 la parabola ha la concavità verso l’alto, se a<0 ha la concavità verso il basso

• Il grafico è simmetrico rispetto alla retta x = -b /2a (asse della parabola)

• Il punto V =(-b /2a ; -Δ /4a) con Δ =b2-4ac è il vertice della parabola ed è il punto di minimo (cioè il punto in cui la funzione assume il suo minimo valore) se a>0, oppure di massimo (cioè il punto in cui la funzione assume il suo massimo valore) se a<0

• c individua l’intersezione della parabola con l’asse Y: il punto di intersezione è infatti P=(0, c)

• Cosa si può dire della parabola se b o c sono 0?

Se solo c=0, la parabola passa per l’origine; se solo b=0 la parabola ha vertice sull’asse Y nel punto (0,c); se b=c=0, il vertice della parabola è in O(0,0).

Descrivere la variazione della variabile y quando la variabile x aumenta sempre più o diminuisce sempre più

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• Data una funzione quadratica siamo in grado di disegnare il suo grafico

• Viceversa: una funzione quadratica è completamente determinata dalla conoscenza di 3 punti del suo grafico (dipende infatti da tre parametri a, b, c)

Interpretazione geometrica di equazioni e disequazioni di secondo grado:

• risolvere l’equazione ax2+bx+c=0 significa trovare le ascisse dei punti di intersezione della parabola, grafico di f(x) =ax2+ bx+ c, con l’asse X (dipendono dal segno di )

• risolvere la disequazione ax2+ bx+ c>0 [risp. ax2+ bx+ c<0] equivale a cercare l’insieme delle ascisse dei punti della parabola che si trovano al di sopra [risp. al di sotto] dell’asse X

Esempio: moto di un corpo che cade

Si tratta di un moto uniformemente accelerato

La funzione s che descrive la variazione della coordinata

verticale del corpo in funzione del tempo t (cioè la sua

altezza rispetto al suolo) è data da

dove s0 è la posizione iniziale, v0 la velocità iniziale nella

direzione dell’asse verticale e g = 9,8 m/s2 è

l’accelerazione di gravità

Si tratta di una funzione quadratica il cui grafico è una

parabola con la concavità rivolta verso il basso

2

00 gt2

1tvs)t(s

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FUNZIONI POTENZA

Sono funzioni della forma f(x) = xb dove b è un

numero reale (esponente della funzione

potenza)

Qual è il dominio di tali funzioni?

Qual è il loro grafico?

Dipende dalla natura dell’esponente!

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Funzioni potenza f(x) = xb con particolari valori

dell’esponente

Caso II: f(x) = xn, n >0 intero,

n dispari (n = 1, 3, 5,…)

Caso I: f(x) = xn, n >0 intero,

n pari (n = 2, 4, …)

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Caso III: f(x) = x−n, n >0 intero,

n pari (n = 2, 4, …)

Caso IV: f(x)=x−n, n >0 intero,

n dispari (n = 1, 3, 5,…)

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Caso V: f(x) = x 1/n, n >0 intero,

n pari (n = 2, 4, …)

Caso VI: f(x) = x 1/n, n >0 intero,

n dispari (n = 1, 3, 5,…)

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FUNZIONE f(x) = a/x = ax-1, a reale non nullo

• La funzione f(x) = a/x = ax-1 con a0

é il tipo più semplice di funzione razionale

(o fratta) (caso particolare f(x)=1/x)

Il suo dominio è R-0

• Rappresenta una relazione di proporzionalità

inversa: un punto (x, y) appartiene al grafico di f se e solo se xy = a, quindi il prodotto fra l’argomento ed il valore della funzione è costante su tutto il dominio della funzione

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Qual è il grafico di f ? Come influisce l’essere a>0 o a<0?

Si tratta di un’iperbole equilatera con gli assi di simmetria coincidenti con gli assi coordinati e il centro di simmetria coincidente con il punto (0,0); il grafico si trova nel I e III quadrante se a>0, e nel II e IV quadrante se a<0

a > 0 a < 0

Descrivere il comportamento della variabile dipendente al quando x tende a + o a - e quando x si avvicina a 0

• Nel 1662 con i suoi esperimenti Robert Boyle determinò che

“a temperatura costante, per ogni quantità di gas il prodotto dei valori della pressione e del volume rimane costante”

• Come possiamo esprimere questo con una

formula?

Esempio: legge di Boyle per i gas

costante una è k dove ,P o V cui da V

k

P

kkPV

Il grafico di V in funzione di P (o di P in funzione di V) è

un’iperbole equilatera

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E’ un fatto geometrico del tutto generale che se S

è un solido del quale dilatiamo le dimensioni lineari

di un fattore k risulta che:

- le misure lineari variano proporzionalmente a k

- le aree di superfici variano proporzionalmente a k2

- i volumi variano proporzionalmente a k3

Un’applicazione: il confronto tra funzioni

potenza con diverso esponente può fornire

interessanti conseguenze sul piano biologico

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Esempio: una sfera di raggio r ha volume

V = 4/3 r3 e area superficiale A = 4 r2

Se dilatiamo la sfera, moltiplicando il suo raggio

per un numero k >0, si ha:

raggio = k r

area = 4 (k r)2 = k2 A,

volume = 4/3 (k r)3= k3 V

Quindi se il raggio varia proporzionalmente a k, l’area varia con il quadrato di k e il volume con il cubo di k

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In molti romanzi e film di fantascienza, la Terra

viene invasa da enormi insetti aggressivi

Oltre all’assenza di prove dell’esistenza di forme

di vita extraterrestri

esistono motivi biologici

per cui questo evento non può accadere, almeno

allo stato delle nostre conoscenze, e

la matematica li giustifica!

Perché non saremo mai invasi dalle formiche

giganti?

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Immaginiamo che una formica lunga 3 mm venga ingrandita con un coefficiente di dilatazione k = 1000

• il nuovo insetto sara’ lungo 3 metri

• il suo volume sara’ (1000)3= (103)3= 109 volte quello originale

• l’area di una sezione di una zampa sara’ di (1000)2= (103)2= 106 volte l’originale

Perché non saremo mai invasi dalle formiche giganti?

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Nell’ipotesi che la composizione dei tessuti e dello scheletro rimanga la stessa

il nuovo insetto sara’ un miliardo di volte piu’ pesante dell’originale e poggera’ su zampe la cui sezione e’ soltanto un milione di volte maggiore

La pressione che il corpo esercitera’ sulle zampe sara’

dunque 1000 volte quella originale e le ossa e i tessuti non potranno reggere lo sforzo

l’insetto gigante non sara’ in grado di

muoversi!

Perché non saremo mai invasi dalle formiche giganti?