4. introduzione alla fisica moderna
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Introduzione alla fisica moderna
CAPITOLO 3
1 POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli
Introduzione alla fisica moderna
2 POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli
Chapter 1. Relativity I pag. 1 1.1 1.2 1.4 1.6 Chapter 2. Relativity II pag. 41 2.1 2.2 2.3 Chapter 3. The Quantum Theory of light pag. 65 3.1 3.4 3.5 3.6
Chapter 4. The Particle Nature of Matter pag. 106 4.1 4.2 from pag. 119 to page 125 4.3 Chapter 5. Matter Waves pag 151 5.1 5.3 5.5 5.6 5.7
MODERN PHYSICS Third Edition By SERWAY/MOSES/MOYER
Introduzione alla fisica moderna La relatività
3 POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli
La relatività Galileiana
Sistemi di riferimento in moto relativo uniforme (sistemi inerziali)
Le velocità istantanee nei due sistemi di riferimento sono legati dalla relazione
Stessa accelerazione
x ' = x − vty ' = yz ' = zt ' = t
dx 'dt
= dxdt
− v
′ux = ux − v
d ′uxdt
= ′ax = ax
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Esperimento di Michelson Morley (1887) La velocità della luce è invariante
Nel 1905 Einstein sviluppa la Relatività Ristretta basta su due postulati fondamentali
La velocità della luce è costante Le leggi della fisica devono essere invarianti in due sistemi inerziali
Introduzione alla fisica moderna La relatività
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Analisi del concetto di simultaneità
Due eventi simultanei per l’osservatore nel sistema in moto O’ riposo, non lo sono per l’osservatore nel sistema in quiete O
Introduzione alla fisica moderna La relatività
6 POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli
Le trasformazioni di Lorentz
Introduzione alla fisica moderna La relatività
x ' = x − vt1− (v2 c2 )
y ' = yz ' = z
t ' = 11− (v2 c2 )
(t − vxc2)
′ux =ux − v
1− (uxv c2 )Le velocità istantanee nei due sistemi di riferimento sono legati dalla relazione
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Contrazione delle lunghezze
Introduzione alla fisica moderna La relatività
Sbarra in quiete nel sistema S’ ′L = ′xB − ′xA
Lunghezza della sbarra nel sistema S
L = xB − xA
Utilizzando le trasformazioni di Lorentz si ottiene
L = ′L 1− (v2 c2 ) L’osservatore in S (in quiete) vede la sbarra in moto con una lunghezza minore
′xA =xA − vt1− (v2 c2 )
′xB =xB − vt1− (v2 c2 )
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9 POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli
Dilatazione dei tempi
Introduzione alla fisica moderna La relatività
Misuriamo nel sistema S’ la distanza temporale fra due eventi nello stesso punto x’
′T = ′tb − ′ta
Un osservatore nel sistema S misura un intervallo di tempo
Utilizzando le trasformazioni inverse di Lorentz si ottiene
T = ′T1− (v2 c2 )
L’osservatore in S (in quiete) misura un tempo più lungo
ta =′ta + v ′x c2
1− (v2 c2 )
tb =′tb + v ′x c2
1− (v2 c2 )
T = tb − ta
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La quantità di moto di una particella che si muove a velocità molto grandi deve essere ridefinita come
m è la massa riposo, cioè la massa misurata dall’osservatore in cui la massa stessa è a riposo
Possiamo scrivere la forza come
e si trova Se la velocita si avvicina a c, l’accelerazione tende a zero
!p = m!u1− (u2 c2 )
= γ m!u γ = 11− (u2 c2 )
!F = d
!pdt
= ddt(γ m!u)
a = dudt
= Fm(1− u2 c2 )
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Calcoliamo il lavoro fatto da una forza
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Questo lavoro si trasforma in energia cinetica
A basse velocità e sviluppando in serie
E quindi
=
Si ritrova il risultato classico non relativistico
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Introduzione alla fisica moderna La relatività
La velocità della luce è una velocità limite
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Se scriviamo l’energia cinetica come.
possiamo dedurre che alla particella è associata un’energia totale
Energia cinetica
Energia a riposo
Equivalenza massa energia di Einstein
K = γ mc2 −mc2 γ = 11− (u2 c2 )
E = γ mc2 = K +mc2
In assenza di energia cinetica E = mc2
Introduzione alla fisica moderna La relatività
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Per particelle in moto a velocità relativistiche si preferisce utilizzare la quantità di moto piuttosto che la velocità !p = γ m!u E = γ mc2
Dalle relazioni precedenti si trova
E 2 = p2c2 + (mc2 )2
Nuovamente, per particelle a riposo E = mc2
Per particelle con massa a riposo nulla
E = pc
Introduzione alla fisica moderna La relatività
E 2 − p2c2 = (γ mc2 )2 − (γ muc)2 = γ 2m2c4 (1− (u2 c2 ) = (mc2 )2
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Unità of energia usata nella fisica atomica
-e
1 Volt 1 electron-volt (eV)= energia trasferita ad un elettrone accelerato da una d.d.p di 1 volt
1 electron-volt = 1 eV = (1.6.10-19C) x (1V)= 1.6.10-19 J
Introduzione alla fisica moderna
Massa dell’elettrone me = 9.11 10-31 kg
mec2 = 8.20 10-14 Joule
Se convertiamo in electron-volt
mec2 = 0.511 MeV
Possiamo esprimere al massa dell’elettrone come
me = 0.511 MeV/c2
La relatività
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Introduzione alla fisica moderna
Protone mp= 0.938 GeV/c2 = 1.6710-27 kg Neutrone mn= 0.939 GeV/c2 = 1.6740-27 kg
La relatività
Elettrone me= 0.511 MeV/c2 = 9.1-31 kg
E 2 = p2c2 + (mc2 )2Inoltre dalle relazione
Possiamo esprimere la quanità di moto come
p = 1c
E 2 − (mc2 )2
Misureremo quindi la quantità di moto come
p[ ] = eVc
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
18 POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli
Introduzione alla fisica moderna La relatività
Estensione della legge di conservazione dell’energia In un urto fra particelle relativistiche si conserva l’energia totale, includendo anche le energie associate alle masse
Consideriamo un urto completamente inelastico fra particelle uguali nel sistema del Centro di Massa
E = γ mc2 = mc2
1− (u2 c2 )
mc2
1− (u2 c2 )+ mc2
1− (u2 c2 )= Mc2
R i c o r d i a m o l ’ e s p r e s s i o n e dell’energia
Conservazione energia
Mu uprima dopo
U = 0
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Introduzione alla fisica moderna La relatività
M = 2m1− (u2 c2 )
M > 2m !!!
Inoltre ΔM = M − 2m = 2c2( mc2
1− (u2 c2 )−mc2 ) = 2K
c2
L’energia cineteca delle due particelle viene trasformata in energia di massa
Un caso particolarmente interessante si presenta quando una particella ferma si disintegra in due o più particelle di massa minore che si allontanano con velocità diversa da zero (decadimento)
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Introduzione alla fisica moderna La relatività
Mc2 = m1c2
1− (u12 c2 )
+ m2c2
1− (u22 c2 )
<1Quindi M > m1 + m2 e la differenza di massa si trasforma in energia cineteca
Si definisce Q rappresenta l’energia rilasciata nel processo di decadimento
Q = (M −m1 −m2 )c2
Effetto fotoelettrico
Colpendo con la luce la superficie di un metallo si può avere emissione di elettroni.
L’energia cinetica con cui vengono emessi gli elettroni non dipende dall'intensità della radiazione ma dipende linearmente dalla frequenza. Esiste una frequenza di soglia f0 al di sotto della quale non si osserva emissione di elettroni. Al di sopra della frequenza di soglia, aumentando l'intensità della luce si aumenta il numero di elettroni emessi ma non la loro energia cinetica.
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Effetto fotoelettrico
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Si misura corrente anche con potenziali negativi perché gli elettroni vengono emessi con una certa energia cinetica Ek. Il potenziale a cui la corrente si arresta prende il nome di “potenziale di arresto V0”.
Alla frequenza di soglia
Ek, Max = e V0
Intensità radiazione incidente
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Effetto fotoelettrico
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Inoltre per un dato materiale il valore del potenziale di arresto varia linearmente con la frequenza
Frequenza di soglia
f0 f
L’energia cinetica massima degli elettroni emessi dipende dalla frequenza della radiazione
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Effetto fotoelettrico
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Il modello di Einstein
La radiazione elettromagnetica è composta da quanti di energia detti fotoni, ciascuno di energia E che viaggiano alla velocità c
E = hf h = 6.62 ⋅10−34 JsCostante di Plank
Nobel Prize 1905
Detto We il lavoro necessario per estrarre l’elettrone dal metallo, si può scrivere
Ek,Max = hf −We eV0 = hf −We
V0 =1e(hf −We ) hf ≥We f0 =
We
h frequenza di soglia
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Effetto fotoelettrico
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E = hf h = 6.62 ⋅10−34 JsCostante di Plank
f = We
h frequenza di soglia
Gli elettroni vengono emessi se il fotone ha una energia uguale o maggiore all’energia di estrazione
f
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V0 =1e(hf −We )
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Unità of energia usata nella fisica atomica
-e
1 Volt 1 electron-volt = energia trasferita ad un elettrone accelerato da una d.d.p di 1 volt
1 electron-volt = 1 eV = (1.6.10-19C) x (1V)= 1.6.10-19 J
Per un fotone con λ= 500 nm
E = hf = hcλ
=6.634 ⋅10−34 Js( ) × 3⋅108m / s( )
500 ⋅10−9m= 4 ⋅10−19 J
Oppure E = (4.10−19 J ) × (1 eV /1.602.10−19 J ) = 2.5 eV
Effetto fotoelettrico
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h = 6.634 ⋅10−34 Js( ), h = 4.15 ⋅10−15eVs( ),
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La radiazione è composta di fotoni
I = EΣΔt
= (# fotoni) hfΣΔt
Potenza = (# fotoni) hfΔt
L’energia della radiazione è quantizzata e dipende dalla frequenza
Effetto fotoelettrico
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Effetto fotoelettrico
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Fotocellule
Fotovoltaico
+ -
Altre applicazioni
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Effetto fotoelettrico
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-
Il sensore è formato da milioni di minuscoli fotodiodi (pixel) i quali a c c u m u l a n o u n a c a r i c a proporzionale all'intensità luminosa di origine.
I fotodiodi pur essendo sensibili alla luce, non sono sensibili al colore. Per sopperire a questo problema sulla superficie del sensore viene applicato un filtro che ha il compito di far passare solo determinate frequenze di luce, scomponendo i tre colori primari: il rosso, il verde e il blu. Questo particolare filtro viene chiamato CFA (color filter array) o filtro RGB.
CCD ( Charge Coupled Device)
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Effetto Compton
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La radiazione elettromagnetica è composta da quanti di energia detti fotoni, ciascuno di energia E=hf che viaggiano alla velocità c. Ciascun fotone trasporta anche una quantità di moto p = E/c
p = Ec
= hλ
E = hf
Fenomeni di urto tra fotoni ed elettroni
Se il fotone si comporta come una particella, darà anche luogo a fenomeni di urto
Durante l’urto il fotone non può cambiare velocità e poiché la sua massa è nulla, può perdere energia soltanto cambiando frequenza.
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Effetto Compton
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In teoria della relatività E = p2c2 +m2c4
Primo dell’urto Dopo l’urto
Fotone
Elettrone
E0, f = hf = hcλ0
p0, f =hλ0
E0,e = mc2 po,e = 0
E1, f = hcλ1
p1, f =hλ1
E1,e p1,e
p0, f c +mc2 = p1, f c + p1,e
2 c2 +m2c4Conservazione dell’energia
p1,e2 = p0, f − p1, f( )2 + 2 p0, f − p1, f( )mc
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Effetto Compton
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Conservazione della quantità di moto
Eo, f = hf0
p1,e2 = p0, f
2 + p1, f2 − 2p0, f p1, f cosθ
!p1,e =!p0, f −
!p1, f
p1,e2 = p0, f − p1, f( )2 + 2 p0, f − p1, f( )mc
p1,e2 = p0, f
2 + p1, f2 − 2p0, f p1, f cosθ
p0, f − p1, f =p0, f p1, fmc
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟1− cosθ( )
( )θλλ cos101 −=−mch
p0, f = hλ 0
p1, f = hλ 1
p1,e
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Effetto Compton
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( )θλλ cos101 −=−mch
Un fascio di raggi x, con energia dei singoli fotoni dell’ordine di 20 KeV, veniva inviato su un bersaglio di grafite e si misuravano a diversi angoli l’intensità e la lunghezza d’onda dei raggi X diffusi. Compton scoprì che i raggi X diffusi ad angolo diverso da zero rispetto alla direzione incidente avevano lunghezza d’onda maggiore, tanto maggiore quanto più grande era l’angolo di diffusione.
Prima Dopo
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-
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Il dualismo onda corpuscolo
Fenomeni di interferenza tra onde
Formazione di pattern di interferenza. La posizione delle righe chiare e scure dipende dalla lunghezza d’onda (colore) e dalla geometria del sistema
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Il dualismo onda corpuscolo Introduzione alla fisica moderna
Il dualismo onda corpuscolo
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Effettuiamo un esperimento di interferenza con un fascio di bassissima intensità in maniera da avere un singolo fotone alla volta. Vista la natura corpuscolare del fotone ci aspetteremmo …..
100 sec exposure
… invece si forma una figura di interferenza
I l f o t o n e h a a n c h e u n comportamento ondulatorio, come ci s a r e m m o a s p e t t a t i , e s s e n d o radiazione elettromagnetica
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Si forma una figura di interferenza!
Un fascio di elettroni da 54 eV viene indirizzato su un cristallo di nickel
Davisson
Nobel Prize 1937
Esperimento di Davisson-Germer
Il dualismo onda corpuscolo
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Onde di materia
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de Broglie postula che ad ogni particella di quantità di moto p sia associata un’onda con lunghezza chiamata “lunghezza d’onda di de Broglie”
λ = hp
Nobel prize 1929
Ogni particella presenta sia aspetti ondulatori che aspetti corpuscolari. Ad esempio ad un pallone di massa m = 0.5 kg e velocità v = 30 m/s può essere associata un’onda
λ = hp= hmv
= 5.5 ⋅10−26 nm
Il dualismo onda corpuscolo
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Elettrone mc2 ~ 0.5 MeV Protone mc2 ~ 940 MeV Neutrone mc2 ~ 940 MeV
In generale per una particella non relativistica di massa m e quantità di moto p Ek =
p2
2mp = 2mEk
λ = hp= h
2mEk
= hc2mc2Ek
Massa a riposo
Per un elettrone con EK = 25 eV
λ = 1240 eV ⋅nm2 × 0.5 MeV
1Ek
= 0.25 nm
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Il dualismo onda corpuscolo Introduzione alla fisica moderna
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Ad ogni particella può essere associato un pacchetto di onde
L’onda si estende da -∞ a +∞….… dove è la particella?
x
λ = hp
440 Hz + 439 Hz
440 Hz + 439 Hz + 438 Hz
440 Hz + 439 Hz + 438 Hz + 437 Hz + 436 Hz
Il dualismo onda corpuscolo
Più lunghezze d’onda s o m m i a m o i n s i e m e , meglio definiamo la posizione, ma perdiamo i n f o r m a z i o n e s u l l a quantità di moto
Δx
Δx
Δx
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Introduzione alla fisica moderna
Principio di indeterminazione
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Introduzione alla fisica moderna
Similmente, ad ogni particella può essere associato un pacchetto di onde
Δk ⋅ Δx = 2π, Δω ⋅ Δt = 2π
-8
-4
0
4
8
-15 -10 -5 0 5 10 15J
Δx
Dall’analisi di Fourier
Δx ⋅ Δpx ~ ! / 2, Δω ⋅ Δt ~ ! / 2 ! = h / 2π (h tagliato)
Principio di indeterminazione
Principio di indeterminazione
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Introduzione alla fisica moderna
Δx ⋅ Δpx ~ ! / 2, Δω ⋅ Δt ~ ! / 2 Nobel Prize 1932
E’ impossibile determinare simultaneamente con precisione la posizione e la quantità di moto di una particella
L’osservazione e la misura della posizione (o della quantità di moto) di un elettrone richiedono l’uso di almeno un fotone. Durante la misura l’elettrone viene disturbato.
Principio di indeterminazione di Heisemberg
Equazione di Schrodinger
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Nella fisica quantistica i concetti di traiettoria, moto e quindi posizione e velocità, perdono sostanza, in virtù del principio di indeterminazione.
Si usa un nuovo formalismo che consenta di ottenere informazioni sull’onda di de Broglie associata al sistema fisico. Tale onda permette di calcolare l’ampiezza di probabilità delle grandezze fisiche di interesse.
Funzione d’onda di un sistema
ψψ ∗ψ = ψ 2
Si introduce la funzione d’onda complessa
La quantità rappresenta la probabilità per unità di
volume di trovare la particella ad un dato tempo
Ad esempio, in una dimensione, la probabilità P(x) che una particella si trovi in un intervallo dx è
dP(x) = ψ (x, t) 2 dx
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Introduzione alla fisica moderna
Probabilità che la particella si trovi in un intervallo (a, b) è:
P(x) = ψ (x, t) 2 dxa
b
∫Ed ovviamente deve essere P(x) = ψ (x, t) 2
−∞
+∞
∫ =1
x
λ = hp
Equazione di Schrodinger
Per una particella libera (e quindi con la posizione x non determinata), ma di quantità di moto nota:
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x
Equazione di Schrodinger
E = 12p2
mλ = h
p⇒ k = p
!, ω = 2π f = E
!
Per una particella non relativistica libera
E = 12(k!)2
m
ψ (x, t) = Aei(kx−ωt )
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Una particella vincolata in una regione Δx è rappresentata dalla sovrapposizione di onde con differenti numeri d’onda (pacchetto)
Utilizzando l’analisi di Fourier si ottiene
Δx
ψ (x, t) = a(k)−∞
+∞
∫ ei(kx−ωt )dk
E la velocita della particella corrisponde alla velocità di gruppo del pacchetto
vg =dωdk
Si ottiene
k0 = k
k = p!
, ω = E!
dk = dp!
, dω = dE!
dωdk
= dEdp
= v
Equazione di Schrodinger
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Introduzione alla fisica moderna
L’esperimento delle due fenditure rivisto in meccanica quantistica
Fenditura singola Fenditura doppia ψ 2
2
ψ 12
ψ 12 + ψ 2
2
ψ 1 +ψ 22
ψ 1 +ψ 22 = ψ 1
2 + ψ 22 + 2ψ 1 ψ 2 cosΦ
Termine di interferenza
Equazione di Schrodinger
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Introduzione alla fisica moderna
Nobel Prize 1932
− !2
2md 2ψdx2
+Uψ = EψU energia potenziale della particella
E energia totale della particella
Possiamo immaginare la scatola come una “buca di potenziale” di altezza infinita all’interno della quale la particela con U= 0 è confinata
− !2
2md 2ψdx2
= Eψ d 2ψdx2
= − 2mE!2
ψ
k2 = 2mE!2
Se ricordiamo che d 2ψdx2
+ k2ψ = 0 Equazione del moto armonico
Equazione di Schrodinger
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Introduzione alla fisica moderna
Soluzione ψ = Asen(kx)
Poiché ψ (L) = Asen(kL) = 0kL = nπ, n =1, 2,3....
k2 = 2mE!2
Si ottiene
En =h2
8mL2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟n2
ψ (x) = Asen(nπ xL)
Quantizzazione dell’energia
Equazione di Schrodinger
d 2ψdx2
+ k2ψ = 0
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Introduzione alla fisica moderna
Soluzione più generale
k2 = 2mE!2
Sovrapposizione di onde progressive e regressive che produce onde stazionarie confinate nella regione di interesse
Equazione di Schrodinger
d 2ψdx2
+ k2ψ = 0
ψ = cost eikx + e−ikx( )
La funzione d’onda è confinata alla regione 0 < x < L
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Consideriamo ora una “buca di potenziale” di altezza finita U al cui interno è confinata una particella con energia E
Per la meccanica quantistica esiste una certa probabilità non nulla che la particella si trovi nelle regioni I o III
Regione II d 2ψdx2
= − 2mE!2
ψ
Regione I e III d 2ψdx2
= 2m(U − E)!2
ψ
ψ = cost eikx + e−ikx( )
ψ = AeCx + Be−Cx
k2
C2
Equazione di Schrodinger
C2
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Introduzione alla fisica moderna
Regione I ψ = AeCx
Regione III ψ = Be−Cx
Esiste una probabilità finita di trovare la particella anche nelle regioni II e III
Equazione di Schrodinger
53 POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli
Introduzione alla fisica moderna
In meccanica quantistica una particella ha una certa probabilità di superare una ostacolo anche se la sua energia è minore dell’energia potenziale della barriera
Una parte dell’onda associata alla particella viene riflessa, ma una parte viene trasmessa al di la della barriera
Coefficiente di trasmissione T
U
L
T ≈ e−2CL C2 = 2m(U − E)!2
Equazione di Schrodinger
Effetto Tunnel