4. KARTEZYEN KOORDİNATLAR

M.Feridun Dengizek

KARTEZYEN KOORDİNATLAR• Uzayda herhangi bir noktanın yerinin

(konumunun) belirtilmesi için iki ayrı koordinat sistemi kullanılır. Bunlar;

– Polar koordinat sistemi– Kartezyen koordinat sistemi

• Yaşadığımız iç mekanlar genellikle kübik olduğu için kübik hacımlar için konum koordinatları verilmesi daha kullanışlıdır.

• Bu nedenle vektörlerin kartezyen koordinatlarda tanımlanması işleri dahada kolaylaştırır.

• İki boyutlu problemler için düzlemsel kartezyen koordinatların (Coplanar coordinates) kullanılması yeterli olmaktadır.

KARTEZYEN KOORDİNATLARDA KUVVET TANIMI

• İki boyutlu kartezyen koordinatlarda gösterilmiş F kuvvetinin

– x eksenindeki iz düşümü Fx

– y eksenindeki iz düşümü Fy

olarak tanımlanır.

FX=F*Cosϴ

Fy=F*Sinϴ

Şekil 2 de F kuvvetinin y ekseninde yönü negatif olduğundan

Fy= -F*Sinϴ

Şekil 1

Şekil 2

KARTEZYEN VEKTÖR NOTASYONU

• Kartezyen vektör notasyonunda – x yönündeki vektörler için i– y yönündeki vektörler için j

Notasyonları kullanılır.

• Kartezyen notasyonu ile şekil 3 deki F vektörü

şeklinde yazılır.

F üzerindeki ok bu değerin vektörel bir değer olduğunu belirtir

Şekil 3

jFiFF yx

KARTEZYEN VEKTÖR TOPLAMASI• Toplanacak vektörler önce kartezyen koordinat

sistemine göre bileşenlerine ayrılırlar• Sonra her bileşen kartezyen notasyonuna uygun

olarak yazılırlar.

F1=F1x+F1y

F2=-F2x+F2y

F3=F3x-F3y

FR=F1 +F2 + F3

FR=(F1x i+F1y j )+(-F2x i +F2y j)+(F3xi -F3yj)

FR=(F1x-F2x+F3x)i+(F1y +F2y -F3y)j

FRx=ΣFX

FRy=ΣFy

FR=(FRx)i+(FRy )j

2Ry

2RxR FFF

Rx

Ry1

F

Ftan

PROBLEM 4.1PROBLEM 3.2 NİN KARTEZYEN VEKTÖR NOTASYONU İLE ÇÖZÜMÜ

FR=FA+FB

FA=-FAx-FAy

FB=FBx-FBy

FAx=-6,000*Cos60 =-3,000N

FAy=-6,000*Sin60 =-5,196N

FA=(-3,000i - 5,196j)N

FBx=2,000*Cos45 =1,414N

FBy=-2,000*Sin45 =-1,414N

FB=(1,414i – 1,414j)N

FRx=ΣFX FRx=-3,000+1,414N =-1,586N

FRy=ΣFy FRy=-5,196-1,414N =-6,610N2Ry

2RxR FFF

N797,6F)610,6()586,1(F R22

R

Rx

Ry1

F

Ftan 01 51.76

586,1

610,6tan

3 BOYUTLU VEKTÖRLERDE KARTEZYEN NOTASYONU

• İki boyutlu vektör işlemlerinde kartezyen notasyonu kullanılmadan vektörel işlemler kolaylıkla yapılır.

• Ancak üç boyutlu vektör işlemlerinde kartezyen notasyonu kullanılmadan sonuca ulaşmak daha zordur.

• Kartezyen koordinat sisteminde x,y,z eksenlerinin yönleri sağ el kuralı ile tespit edilir.

KARTEZYEN KOORDİNAT SİSTEMİ MODEL GÖRÜNÜŞLER

3 BOYUTLU VEKTÖRLERDE KARTEZYEN NOTASYONU

• 3 Boyutlu vektörün büyüklüğü

F=Fx i +Fy j +Fz k

3 Boyutlu vektörün açısı. Bu açı koordinat düzleminde x,y,z eksenleri

ile Toplam kuvvet F vektörünün arasındaki A, B, C açılarıdır.

– A açısı x ekseni ile F vektörü arasında– B açısı y ekseni ile F vektörü arasında– C açısı z ekseni ile F vektörü arasındadır

2z

2y

2x FFFF

F

FCosA x

F

FCosB y

F

FCosC z

3 BOYUTLU VEKTÖRLERDE KARTEZYEN NOTASYONU

F vektörü kartezyen notasyonu ile yazılması

Fx=F*CosA

Fy=F*CosB

Fz=F*CosC

F vektörü Büyüklüğü

2z

2y

2x FFFF

CCosFBCosFACosFF 222222

)CCosBCosACos(FF 22222

1CcosBcosAcos 222

2z

2y

2x FFFF

kFjFiFF zyx

CkcosFBjcosFAicosFF

İKİ AÇISI BİLİNEN ÜÇ BOYUTLU VEKTÖR ANALİZİ

• Bileşenlerine ayrılacak vektörün kuyruğu koordinat eksenlerinin kesiştiği O noktasında olmalıdır.

• Eğer verilen vektörün büyüklüğü ile birlikte iki açısı biliniyorsa bilinmeyen diğer açı aşağıdaki bağıntıdan bulunabilir.

1CCosBCosACos 222

Acos*FFF

FAcos x

x

Bcos*FFF

FBcos y

y

Ccos*FFF

FCcos z

z

Daha sonra aşağıdaki bağıntılar kullanılarak

vektörün x,y,z eksenlerindeki bileşenleri bulunur.

Acos*FFF

FAcos x

x

Bcos*FFF

FBcos y

y

Ccos*FFF

FCcos z

z

Acos*FFF

FAcos x

x

Bcos*FFF

FBcos y

y

İKİ AÇISI BİLİNEN ÜÇ BOYUTLU VEKTÖR ANALİZİ

Eğer verilen iki açıdan birisi koordinat düzlemlerinden birindeki iz düşümün açısı ise bu durumda trigonometri kullanılarak bu açının iki eksendeki bileşenleri bulunarak çözüme gidilmelidir.

FI =F* sinB

Fx =FI * sinϴ

Fx=F*sinB*sinϴ

Fy=F*cosB

Fz =FI * cosϴ

Fz =F* sinB *cosϴ

kFjFiFF zyx

k)cos*Bsin*F(j)BcosF(i)sin*Bsin*F(F

Problem 4.2• Bir odanın tam köşesinde çakılı bir halka halat ile 200 N luk

bir kuvvetle çekilmektedir.• İp dikey köşe çizgisinden 450 , yatay köşe çizgisinden ise 600

açıda çekilmektedir.• Uygulanan kuvvetin x,y,z eksenlerindeki bileşenlerini

kartezyen koordinat notasyonu ile yazınız.

ÇÖZÜM

C=600 veya C=1200

C=1200 odanın sınırları dışında kalacağından, C=600 olarak tespit edilir.

F=F*CosA i + F*CosB j + F*CosC k

F=200*cos60i + 200*Cos45j + 200*Cos60kF=100i + 141.42j + 100k Fx=100N, Fy=141.42N, Fz=100N

1CCosBCosACos 222

5.0CosC25.0CosC

25.0CCos

1CCos71.05.0

1CCos45Cos60Cos

2

222

222

3 BOYUTLU VEKTÖRLERİN TOPLAMASI

• İki veya daha fazla üç boyutlu vektörün toplanması için önce her vektörün kartezyen notasyonu ile x, y, z bileşenlerine ayrılmış olarak yazılması gerekir.

• Bileşenlere ayrılan vektörler i, j, ve k olarak üç eksende toplamları alınır.

• Tüm vektörlerden elde edilmiş bu üç eksendeki bileşenlerinden toplam sonuç vektörünün büyüklüğü ve açıları toplanarak bulunmuş olur.

kFjFiFFzyxT

Problem 4.3

• Bir odanın tam köşesinde çakılı bir halka halat ile 100 N luk bir kuvvetle çekilmektedir.

• Halat zemin düzleminden 600 , halatın zemin üzerindeki iz düşümü ise duvar düzlemlerinden 450 açıda çekilmektedir.

• Uygulanan kuvvetin x,y,z eksenlerindeki bileşenlerini kartezyen koordinat notasyonu ile yazın.

• Üç eksendeki büyüklüklerini bulunuz

• Halatın köşe çizgilerinden açılarını bulunuz.

Problem 4.3 Çözümü

• Önce F vektörünün zemin üzerindeki iz düşümü F’ kuvvetini bulalım

• FI =F*cos60 F’=100*cos60=50 N• Fx=F’*sin45 Fx=50*sin45=35.36N• Fz=F’*cos45 Fz=50*cos45=35.36N• B=900-600 B=300

• Fy =F*cosB Fy=100*cos30=86.6N

F=35.36 i+86.6j+35.36k

B=300

F

FCosA x

01x 29.69A)100

36.35(cosA

F

FCosA

01z 29.69C)100

36.35(cosC

F

FCosC

Problem 4.4

• Bir halkadan iki ayrı halat ile farklı yönlerde kuvvet uygulanmaktadır.

• Halatlardan birisinden belirtilen açılarda 300 N kuvvet etki etmektedir.

• Halka üzerinde y ekseni yönünde toplam FT=800N toplam kuvvet ortaya çıkabilmesi için F2 kuvvetinin büyüklüğünü ve açılarını bulunuz.

Problem 4.4 Çözümü

• Problemin çözümü için kuvvetlerin ayrı ayrı bileşenlerinin bulunması gerekir.

• F1 kuvvetinin hem büyüklüğü hem açıları bilindiği için bileşenleri kolaylıkla bulunur.

F

FBcos y1

1

F

FAcos x1

1

300

FCcos z1

1

N13.212F

45cos*300F300

FAcos

x1

x1x1

1

N150F

60cos*300F300

FBcos

y1

y1y1

1

N150F

120cos*300F300

FCcos

z1

z1z1

1

F1 =(212.13 i + 150j – 150k)N

Problem 4.4 Çözümü• F2 Kuvvetini analiz edebilmek için elde hiçbir veri bulunmamaktadır.

Ancak Toplam kuvvet açıları ile birlikte bilindiği için toplam kuvvetin analizinden F2 kuvvetiinin bileşenleri bulunabilir

• FT toplam kuvvetinin hem büyüklüğü hem yönü bilindiği için kartezyen koordinat sisteminde kolaylıkla yazılır.

FT=FTx i + FTy j + FTz k

FT=(0 i + 800 j +0 k)N

kFjFiFFzyxT

k)FF(j)FF(i)FF(F z2z1y2y1x2x1T

N)k)F150(j)F150(i)F13.212((N)k0j800i0( z2y2x2

N13.212F

i)F13.212((N)i0(

x2

x2

N650F

150800F

j)F150()j800(

y2

y2

y2

N150F

k)F150(N)k0(

z2

z2

Problem 4.4 Çözümü

F2=(-212 i + 650 j -150 k)N

02

12

2

z22 63.77C)

700

150(cosC

F

FCcos

2z2

2y2

2x22 FFFF

N700F

150650)13.212(F

2

2222

02

12

2

y22 79.21B)

700

650(cosB

F

FCosB

02

12

2

x22 64.107A)

700

13.212(cosA

F

FCosA

Problem 4.4 çözümü (Özet)

• Birden fazla üç boyutlu vektörlerin toplanmasında önce bilinen vektörler bileşenlerine ayrılır.

• Sonra her üç eksendeki bileşenler toplanarak eşitlik kurulur.

• Bileşenler bulunduktan sonra bilinmeyen açı değerleri tespit edilir

Problem 4.5

Yanda görülen halka 500N kuvvet ile belirtilen açılarda çekiliyor.

Bu halkaya gelen kuvveti kartezyen notasyon ile yazınız.Çözüm

İki açı biliniyor. Üçüncüyü bulalım

707.0Bcos

5.0Bcos

160cosBcos60cos

1CcosBcosAcos

2

222

222

Cos B=+/- 0.707 olması iki çözüm olduğunu göstermektedir. Bunlar

a) 45 o

b) 135o

Şekilden açının y ekseni üstünde eksi yönde olduğu için -0.707 doğru çözümdür. B= 135o

k250j354i250F

)60cos*500(j)135cos*500(i))60cos(*500(F

CkcosFBjcosFAicosFF

Problem 4.6

Yandaki resimde görünen kancanın üzerinde etkin olan toplam kuvvetin büyüklüğünü ve açılarını bulunuz.

Önce F1 kuvvetinin eksenlerdeki bileşenlerini bulalım.

F’1=600*(4/5) = 480N

F1x=F’1*sin30 =480*sin30=240N

F1y=F’1*cos30 =480*cos30=416N

F1z=F1*(-3/5) =600*(-3/5) =-360N

F1=(240i+416j-360k)N

707.0Bcos

5.0Bcos

160cosBcos120cos

1CcosBcosAcos

2

222

222

B=45o veya B=135o

B<90 B=45o

Sonra F2 yi kartezyen koordinatlarda bulalım

k200j282i200F

)60cos*400(j)45cos*400(i)120cos*400(F

CkcosFBjcosFAicosFF

2

2

Son olarak Toplam kuvveti bulalım.

FT=F1+F2

FT= (240i+416j-360k)N + (-200i+282j+200k)N

FT= ((240-200)i +(416+282)j+ (-360+200)k )N

FT =(40i+698j-160k)N

N717F

)160(69840F

FFFF

T

222T

2z

2y

2x

o1x 8.86A)717

40(cosA

F

FAcos

o1y 2.13B)717

698(cosB

F

FBcos

o1z 103C)717

160(cosC

F

FCcos