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計量経済、エコノメトリックス 練習問題 3 (12/01)
1
𝑖 𝑋 𝑌 𝑋 𝑋 𝑌 𝑌 𝑢 𝑢
1 5 4 25 20 4 0 0
2 1 1 1 1 1.2 -0.2 0.04
3 3 1 9 3 2.6 -1.6 2.56
4 2 3 4 6 1.9 1.1 1.21
5 4 4 16 16 3.3 0.7 0.49
合計 15 13 55 46 13 0 4.3
平均 3 2.6
(a) 最小二乗推定値
𝛽 =∑ 𝑋 𝑌 − 𝑛𝑋𝑌
∑ 𝑋 − 𝑛X=
46 − 5 × 3 × 2.6
55 − 5 × 9= 0.7
α = Y − β𝑋 = 2.6 − 0.7 × 3 = 0.5
s =1
n − 2u =
4.3
3= 1.433
(b) 講義ノートp293 のように、必要な数値をまとめる。
X = 3
X = 55
(X − X) = 𝑋 − 𝑛X = 55 − 5 × 9 = 10
s = √1.4333 = 1.197
(1) X = 3のとき、𝑌 の 95%信頼区間を求めなさい
(a) t 分布を使う:𝑡 / (𝑛 − 𝑘) = 𝑡 . (3) =3.182
(b) 𝑌 = 0.5 + 0.7 × 3 = 2.6
(c)(講義ノートp290 とp291 に参照)次の式(1)により、信頼係数 95%のY の信
頼区間の上限と下限を求められる。
Y ± 𝑡 / (𝑛 − 2) × s 1 +1
𝑛+
(𝑋 − 𝑋)
∑ (𝑋 − 𝑋)(1)
2.6 + 3.182 × 1.197 × 1 +1
5+
(3 − 3)
10≈ 6.7724
2.6 − 3.182 × 1.197 × 1 +1
5+
(3 − 3)
10≈ −1.5724
ゆえに、この信頼区間は(−1.5724,6.7724)である。
(2) 𝑋 = 0のとき、𝑌 の 95%信頼区間を求めなさい
(a) 問題(1)と同じように、𝑡 . (3) =3.182。また、𝑌 = 0.5 + 0.7 × 0 = 0.5
(b) 信頼係数 95%のY の信頼区間の上限と下限はそれぞれ、
0.5 + 3.182 × 1.197 × 1 +1
5+
(0 − 3)
10≈ 6.0196
0.5 − 3.182 × 1.197 × 1 +1
5+
(0 − 3)
10≈ −5.0196
ゆえに、この信頼区間は(−5.0196,6.0196)である。
2
(3) βは需要の所得弾力性を表す。まず、需要の所得弾力性とは何かを説明しなさい。次
に、推定結果から、生鮮魚介とはどのような財か説明しなさい。
(a) 需要の所得弾力性は、所得が 1%変化したとき、需要量が何%変化するのかを
測定するものである。これは、需要量の変化率
所得の変化率によって求められる。需要の所得弾力性
が 0 を上回れば、その財は正常財であり、負の値を取れば下級財である。正常財の
うち、所得弾力性が 1 を超えれば奢侈品であり、0~1 の間にあれば必需品である。
(b) 推定結果により、𝛽 = 3.0975であり、所得が 1%上昇するとき生鮮魚介への需
要量は 3.0975%上昇することがわかる。需要の所得弾力性が 1 より上回ることに
より、生鮮魚介は正常財で、奢侈品である。
(4) γ は需要の価格弾力性を表す。まず、需要の価格弾力性とは何かを説明しなさい。
次に、推定結果から、生鮮魚介とはどのような財か説明しなさい。
(a) 需要の価格弾力性は、ある財の価格が 1%変化したとき、その需要量が何%変
化するのかを表す指標である。これは、需要量の変化率
価格の変化率によって求められる。
(b) 推定結果により、𝛾 = −2.46563である。まず、需要の価格弾力性が負である
ため、通常の価格効果が働いていると言える。また、生鮮魚介への需要は弾力的で
あるため、問(3)と同じ、生鮮魚介は奢侈品であることがわかる。
(5) 𝛾 , 𝛾 は需要の交差価格弾力性を表す。まず、需要の交差価格弾力性とは何かを説明
しなさい。次に、推定結果から、生鮮魚介と生鮮肉との関係、生鮮魚介と生鮮野菜
との関係を説明しなさい(代替財か補完財か?)。
(a) 需要の交差価格弾力性は、他の財の価格が変化するときに、ある財の需要量の
変化を測定する。これは、ある財の需要量の変化率
他の財の価格の変化率によって求められる。需要の交差価格
弾力性が正の値であれば、他の財の価格の上昇により、ある財の需要量が上昇する
ため、代替財である。一方、需要の交差価格弾力性が負の値であれば補完財である。
(b) 𝛾 は生鮮魚介と生鮮肉の交差価格弾力性を表す。この値は正であるため、生鮮
肉の価格が上昇することにつき、生鮮魚介への需要量が増えるため、互いに代替財
である。
(c) 𝛾 は生鮮魚介と生鮮野菜の交差価格弾力性を表す。符号が正であれば代替財で
あり、負であれば補完財になります。しかし、この推定結果は統計的に有意ではな
く、𝛾 = 0との仮説を棄却できないため、生鮮魚介と生鮮野菜は互いに独立財であ
ることがわかる。
(6) すべての説明変数の係数がゼロという仮説、すなわち、β = γ = γ = γ = 0の仮設
を検定しなさい。教科書『計量経済学』(山本卓著)の分布表を用いてよい。
(a) 講義ノートp400~401 とp410 のように、決定係数を用いて簡単に検定する
ことができる。まず、仮設と F 統計量(分散分析表にも書かれている)を以下のよ
うにする。
(Note:𝐺 = 4 ; 𝑛 − 𝑘 = 20 − 5 = 15)
H : 𝛽 = 𝛾 = 𝛾 = 𝛾 = 0
𝐻 : 𝐻 ではない
R /G
1 − R /(n − k)=
0.908981/4
(1 − 0.908981)/15= 37.4502
(b) F 分布表により、𝐹 , , . = 3.061で37.4502より小さいため、𝐻 は有意水準 5%
で棄却される。
(7) 𝛽の 99%信頼区間を求めなさい。
(a) 自由度=15、α=0.01 であり、t 分布表よりt , . = 2.947がわかる。
(b) 𝛽の 99%信頼区間の上限と下限は𝛽 ± 𝑡 , . × 𝑠 より求められる:
𝛽 + 𝑡 , . × 𝑠 = 3.0975 + 2.947 × 0.950373 = 5.8982 𝛽 − 𝑡 , . × 𝑠 = 3.0975 − 2.947 × 0.950373 = 0.2968
ゆえに、𝛽の 99%信頼区間は(0.2968,5.8982)である。
1 F 分布表及びt分布表は教科書より引用。
(8) γ = 0という仮説を有意水準 1%で検定しなさい。(両側検定を用いなさい)
(a) 両側検定を使用するので、ここではt分布を使う。有意水準 0.01 で自由度=15
であるので、𝑡 , . = 2.947。①式の推定結果により、𝛾 のt値は 4.208344 で、
2.947を上回っているので、棄却域に入り、𝛾 = 0という仮説を棄却する。
(9) PF の係数推定値と𝑃𝑀 の係数推定値は符号が異なるが,絶対値で推定値が似た値に
なっていることと,𝑃𝑉 の係数はゼロを棄却できないので𝑃𝑉 を落として、②式を推
定し直すことにした。①式と②式を推定することで、何を検定しようとしているか
帰無仮説を書きなさい。
(a) ②式について、 𝑃𝐹𝑀 = 𝑃𝐹 − 𝑃𝑀𝑖であるので、以下のように書き換えられる。
𝐹 = 𝛼 + 𝛽Y + 𝛾 𝑃𝐹 − 𝛾 𝑃𝑀 + 𝑢
ここにおいて、①式と異なっている部分は、𝛾 = −γ と、γ 𝑃𝑉 がないことである。
ゆえに、帰無仮説は以下のように:
H :𝛾 = −γ 𝑎𝑛𝑑 γ = 0
(10) 残差平方和をもとにして(9)を検定しなさい。2
(a) 講義ノートp380 にしたがい、F 統計量を計算する。
(∑ u − ∑ u )/G
∑ u /(n − k)=
(0.022024 − 0.021734)/2
0.021734/15= 0.1001~F(2,15)
(b) F 分布表により、F , , . = 3.68である。この検定において、0.1001 < 3.68であ
るため、帰無仮説を棄却できない。
(11) 決定係数を利用して(9)を検定しなさい。
(a) 講義ノートp401 にしたがい、F 統計量を計算する。
R − R /G
1 − R /(n − k)=
(0.908981 − 0.907765)/2
(1 − 0.908981)/15= 0.1002~F(2,15)
(b) F 分布表により、F , , . = 3.68である。この検定において、0.1002 < 3.68であ
るため、帰無仮説を棄却できない。
2 問(10)と問(11)では有意水準 5%で検定する。
(12) ダービン・ワトソン(DW)比を計算したところ,DW = 0.781 となった。②式の誤
差項に系列相関があるかどうかを検定しなさい。もし系列相関があった場合は正の
系列相関か負の系列相関かを答えなさい。
(a) 標本数n = 20、定数項を除く説明変数の数は𝑘 = 2である。講義ノートp425(p
423 にも)の表を用いて有意水準 5%での dl と du を求めたところ、dl = 1.100, du =
1.537である。0.781 < 1.100となっており、領域 A に入るため、正の相関関係があ
ると判定される。
(13) もし系列相関があると判定された場合、最小二乗法の推定量にどのような影響があ
るのか説明しなさい。
(a) 系列相関がある場合、通常の最小二乗法を適用することは誤差項の共分散を無
視して回帰式の標準偏差を推定することとなる。そのため、求められた推定値には
以下のような問題が発生する。
1. 回帰式の標準誤差sは正しく推定されない。
2. 係数推定値β の標準誤差s a も正しく推定されない。
3. 係数推定値𝛽 のt値も正しくない。
→間違った信頼区間、間違った検定結果が得られる。
(Note:ただし、係数推定量は不偏性、一致性を持つ)