4.- modulo i cap iv

7/31/2019 4.- MODULO I CAP IV

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Lgica MatemticaOrden de informacin

LGICA MATEMTICA

La lgica proposicional utilizando una representacin primitiva del lenguaje, permite representar y manipularaserciones sobre el mundo que nos rodea. La lgica proposicional permite el estudio del razonamiento, a travsde un mecanismo que primero evala enunciados simples y luego enunciados complejos, formados mediante el usode conectivos proposicionales.

PROPOSICIN: Una proposicin es un enunciado que tiene un valor asociado ya sea de verdadero (V), o falso(F). Pero no ambos a la vez. Una proposicin es el significado de una oracin aseverativa.Por ejemplo: Todos los animales son irracionales

2 es un nmero impar

Una proposicin se representa simblicamente por letras minsculas, como: p, q, r, s, etc. Las cuales son

llamadas variables proposicionales.El hecho de que una proposicin sea verdadera o falsa, lo expresaremos simblicamente veamos:Sea p: Todos los hombres son mortalesEsta proposicin es verdadera, entonces diremos que su valor de verdad es verdadero y lo denotaremos por:V(p) = V

Sea q: 2 es un nmero imparEsta proposicin es falsa , entonces diremos que su valor de verdad es falso y lo denotaremos por:V(q) = F

Observacin: Aquellos enunciados que indican una pregunta, una exclamacin, una orden, No son Proposiciones.Ejemplos: Qu da es hoy? Ingres!

Recoge ese lpiz Tus lindos ojos

Hay oraciones aseverativas que no son proposiciones. La oracin El es estudioso . No es posible determinar si

es verdadera o falsa, si no se sabe a quien se refiere. Las oraciones de esta naturaleza se llaman enunciadosabiertos.Los enunciados abiertos usan las palabras el, ella y los smbolos x, y, z, etc. No son proposiciones pero

cuando se reemplazan estas palabras o smbolos por indeterminado objeto o valor resultan ser proposiciones.Ejemplos: 2 + x = 10.

n es un numero primo.Ella esta bailando con Andrs Fernndez.

As, en el primer enunciado si reemplazamos x por 5Tendremos 2 + 5 = 10, la cual ahora es una proposicin falsa.Si en el segundo enunciado si reemplazamos n por 7Tendremos 7 es un numero primo. La cual ahora es una proposicin verdadera.

PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS.

PROPOSICIN SIMPLE: Llamada tambin atmica o elemental, expresa una sola idea y se representa poruna sola variable (tienen un solo sujeto y un solo predicado). Por ejemplo:

p: "15 es divisible por 3 " es una proposicin simple o atmica.q: "Francisco Bolognesi Muri el 7 de Junio" es una proposicin simple o atmica

PROPOSICIN COMPUESTA: Llamada tambin molecular o coligativa, esta formadas por dos o masproposiciones simples unidas por conjunciones gramaticales (conectivos) o afectados por el adverbio denegacin NO. As, por ejemplo:


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CONECTIVO

Encontramos dos enunciados. El primero (p) nos afirma que Pitgoras era griego y el segundo (q) quePitgoras era gemetra.

b. No es el casoque todo impar sea primo.Es tambin una proposicin compuesta.

NOTACIN Y CONECTIVOS LGICOSA partir de proposiciones simples es posible generar otras, Es decir que se puede operar con proposiciones, ypara ello se utilizan ciertos smbolos llamados conectivos lgicos.

Smbolo Operacin asociada Significado

Conjuncinp y q

Disyuncin dbil oDisyuncin inclusivap o q (en sentido incluyente)

Negacin ( no p) o ( no es cierto que p)

Implicacin p implica q, o si p entonces q

Doble implicacin p si y slo si q

Diferencia simtricadisyuncin fuerte odisyuncin exclusiva

o p o q (en sentido excluyente)

OPERACIONES PROPOSICIONALES

Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos o ms proposiciones, de lasque se conoce los valores veritativos, se trata de caracterizar la proposicin resultante a travs de su valor deverdad. A tal efecto, estudiaremos a continuacin el uso y significado de los diferentes conectivos lgicos.

LA CONJUNCIN: Se denomina conjuncin al resultado de unir dos proposiciones p y q con elconectivo lgico . Denotamos por p q (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es:

p q p qV V VV F F

F V FF F F

La tabla que define esta operacin, establece que la conjuncin es verdadera slo si las dos proposicionescomponentes son verdaderas. En todo otro caso, es falsa.

Ejemplo1: Sea la proposicin:

12 es un nmero par a pesar que es un mltiplo de 3Vemos que est compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p y q, que son:p: 12 es un nmero par.q: 12 es un mltiplo de 3.Por ser ambas verdaderas, la conjuncin de ellas es verdadera.

Ejemplo2: sea la declaracin

a.

t :


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r : Hoy es el da 3 de noviembre y maana es el da 5 de noviembreEsta conjuncin es falsa, ya que no pueden ser simultneamente verdaderas ambas proposiciones.

Nota: Las palabras pero; sin embargo ; adems; aunque; no obstante, equivalen al conectivo de laconjuncin.

As: Julio estudia no obstante tiene que trabajar. El trmino no obstante representa conjuncin por tantosimbolizamos como sigue: p q , donde p : Julio estudiaq : Julio tiene que trabajar

DISYUNCIN: Se denomina disyuncin al resultado de unir dos proposiciones p y q con el conectivolgico . Denotamos por p q (se lee "p o q"), cuya tabla de verdad es:

p q p qV V VV F VF V VF F F

La disyuncin slo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas.

Ejemplo1: Juan es ingeniero o artistaEn este caso el sentido de la disyuncin es inclusiva, ya que puede ser que Juan es ingeniero y ademspuede ser artista.Ejemplo2: Tiro las cosas viejas o que no me sirvenEl sentido de la disyuncin compuesta por p y q (p: tiro las cosas viejas, q: tiro las cosas que no me sirven)es incluyente, pues si tiro algo viejo, y que adems no me sirve, la disyuncin es V

Negacin

Dada una proposicin p, se denomina la negacin de p a otra proposicin denotada por ~ p (se lee "no p") quele asigna el valor veritativo opuesto al de p. Por ejemplo:

P : Diego estudia matemtica~ p : Diego no estudia matemticaTambin puede escribirse: ~ p: no es cierto que Diego estudia matemticaPor lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad:

p pV FF V

Observamos aqu que al valor V de p, la negacin le hace corresponder el valor F, y viceversa.Se trata de una operacin unitaria, pues a partir de una proposicin se obtiene otra, que es su negacin.Ejemplo: La negacin de " p: todos los alumnos estudian matemtica" es:

~ p: no todos los alumnos estudian matemticaO bien:~ p: no es cierto que todos los alumnos estudian matemticaO bien~ p: hay alumnos que no estudian matemtica

IMPLICACIN O CONDICIONAL: La Implicacin de las proposiciones p y q es la proposicin p q(si p entonces q) cuya tabla de valores de verdad es:

p q p qV V VV F FF V V

F F V


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Vemos que para cualquier combinacin de las proposiciones p y q , la proposicin t: (pq) (~ p q) es siempreverdadera. Entonces, la proposicin t es una tautologa.

Ejemplo2: Analicemos ahora la frmula lgica { ( p q ) p } q

P q p q (p q)p { ( p q ) p } q

VVFF

VFVF

VFVV

VFFF

VVVV

En este caso comprobamos tambin que independientemente de la combinacin de valores de verdad de lasproposiciones p y q, el resultado de la frmula lgica es siempre V. Decimos, aqu tambin, que esta frmula esuna tautologa o ley lgica.

* Si al estudiar una frmula lgica, a diferencia de los ejemplos anteriores resulta que para cualquier valor deverdad de las proposiciones intervinientes el resultado de dicha frmula es siempre falso, decimos que dichafrmula es una Contradiccin.

Ejemplo: Analicemos la frmula lgica p ~ p

P ~ p p ~ pV F F

F V F

Encontramos que la frmula es siempre falsa, es entonces una Contradiccin.

Si una proposicin no es una tautologa ni una contradiccin (es decir que contiene al menos un valor V y otro F)es una contingencia.

EQUIVALENCIAS Y LEYES LGICAS.Existen varias equivalencias de la lgica proposicional, las cuales se conocen como leyes de equivalencia.Dos formulas F1 y F2 son equivalentes si: F1 F2 resulta ser una tautologa. Y se denota F1 F2

Ejemplo.

Las proposiciones p q y ~ (p ~ q) son equivalentes, como vemos realizando la tabla de valorescorrespondientes:

p q p q (p ~ q) ~(p ~ q) p q ~(p ~ q)

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

F

V

F

F

V

F

V

V

V

V

V

V

Podemos concluir entonces que: ( p q ) y ~ ( p ~ q) son equivalentes.

( p q ) ~ ( p ~ q)

* Otro ejemplo de equivalencia es: qp qp . Vasta revisar las tablas de verdad


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La siguiente tabla muestra estas leyes.

Ley de equivalencia FrmulaLey de

equivalenciaFrmula

Conmutacinpq = q ppq = qp Distribucin

p(q r) = (pq) (p r)p(q r) = (pq) ( p r)

Asociacin(p q) r = p(qr)(p q) r = p (qr) Complementacin

p p = Fp p = V

Idempotenciap p = ppp = p

Identidadp F = pp V = p

InvolucinImplicacin

p = pp q = p q

Absorcinppq) = p p p q) p qp(pq) = pp( pq) = pq

Doble Implicacin p q = (p q) (q p) De Morgan ( p q) = p q ( p q) = p q

qp qp

Las leyes lgicas nos ayudan a simplificar expresiones simblicas, las cuales representan enunciados.Por ejemplo: Simplificar { [ (p q) p ] p }Solucin:

{ [ (p q) p ] p } { [p (p q)] p } ley conmutativa

{ [ p ( p q)] p } ley implicacin

{ [ p ( p q)] p } ley absorcin

{ [ p ] p } ley absorcin

{ V } ley complementacin

F

INFERENCIA LGICA.

El inters de lgica es el estudio de las inferencias (razonamientos, argumentos) mediante proposiciones.Una inferencia consta de proposiciones llamadas premisas, a partir de las cuales se deduce otra proposicinllamada conclusin.Inferencia o razonamiento:

( P1 P2 P3 . Pn) Q o

Q

P

P

P

P

n

3

2

1

Pero como podemos determinar si la conclusin de una inferencia esta correctamente deducida de las premisasAs por ejemplo de las premisas: Todos los lambayecanos son peruanos y Pedro Ruiz Gallo es peruano, Alguienpodra concluir que por tanto Pedro Ruiz Gallo es lambayecano.Pues a pesar de que las premisas son verdaderas la conclusin es Falsa.La validez de una inferencia no depende de los valores de verdad ni del contenido de los enunciados queaparecen en la inferencia.Una inferencia es vlida si y slo si el conjunto de premisas implica la conclusin, esto es (P1 P2 P3 . Pn)Q , es una tautologa.


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Prueba de la validez por tablas de verdad

Como una inferencia es vlida si y slo si (P1 P2 P3 . Pn) Q , es una tautologa. Entonces dedemosanalizar la tabla de verdad de toda la inferencia.

Ejemplo: Sea el siguiente razonamiento: Juan es abogado o arquitecto , pero Juan es arquitecto por tantoJuan no es abogado. Determine si es valido o no:

Juan es abogado o arquitecto , pero Juan es arquitecto por tanto Juan no es abogado.( P1 P2 ) Q

adems P1 : Juan es abogado o arquitecto : (p q)p q

P2 : Juan es arquitecto : qQ : Juan no es abogado : p

Luego la inferencia se simboliza de la forma siguiente:{ ( p q ) q } p analicemos su tabla de verdad

p q {( p q ) q } pV V V V V F FV F V F F V FF V V V V V VF F F F F V V

EN CONCLUSIN EL RAZONAMIENTO NO ES VALIDO.( debe ser una tautologa)

Ejemplo2: Tenemos un argumento como el siguiente:Si trabajo y estudio entonces no apruebo matemticas. Pero aprob matemticas. Por tanto no trabaje ono estudie.

Traducido a smbolos:P1: Si trabajo y estudio entonces no apruebo matemticas: (pq) r

( p q ) r

P2 : Aprob matemticas: rr

Q : No estudie o no trabaje. : (~ p ~ q)( ~ p ~ q)

La inferencia: { [( p q) r] r } (~ p ~ q)

La tabla de verdad correspondiente:

P q R {[( p q) r ] r } (~ p ~ q ) }V V V V F F F V V F F FV V F V V V F F V F F FV F V F V F V V V F V VV F F F V V F F V F V VF V V F V F V V V V V FF V F F V V F F V V V FF F V F V F V V V V V VF F F F V V F F V V V V

Por tanto la inferencia es valida.


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Prueba de la validez por mtodo abreviado.Esteprocedimiento evita la tarea de construir tablas, es conveniente sobre todo cuanto se trabaja con mas dedos proposiociones simples.Consiste en suponer la conjuncin de premisas Verdadera y la conclusin Falsa, como nica posibilidad queinvalida la implicacin (inferencia): ( P1 P2 P3 . Pn ) Q

( V V V . V ) F

FEjemplo: Sea el siguiente razonamiento: Juan es abogado o arquitecto , pero Juan es arquitecto por tantoJuan no es abogado. Determine si es valido o no:Este ejercicio ya lo tenemos simbolizado:

{ ( p q ) q } p o de la forma

( p q ) Vq V

p F

ANALIZAMOS : si p F p V

Adems q V

Luego: ( p q ) V , remplazamos sus valores de verdad obtenidos.

( V V ) V

Como podemos ver no hay ninguna contradiccin en nuestro analisis esto significa que, los valores dados soncorrectos y por tanto la implicacin { ( p q ) q } p , es falsa.

Ejemplo2: Tenemos un argumento como el siguiente:Si trabajo y estudio entonces no apruebo matemticas. Pero aprob matemticas. Por tanto no trabaje o

no estudie.Traducido a smbolos:

La inferencia: { [( p q) r] r } (~ p ~ q) procedemos del mismo modo

( p q) r] Vr V

~ p ~ q FTenemos que: ~ p ~ q F

F F FLuego como ~ p F , se tiene que p V , as mismo: ~ q F , se tiene que q V

Adems r VLuego. [ ( p q) r ] V remplazamos sus valores de verdad obtenidos[( V V ) V ] V[ ( V ) F ] V

[ F ] V (CONTRADICCIN)

Como podemos ver hay una contradiccin en nuestro anlisis esto significa que, los valores dados NO soncorrectos y por tanto la implicacin { ( p q ) q } p , NO falsa. Como se supuso , sino que esVERDADERA.

Cuantificadores

A partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones generales mediante un proceso llamado

de cuantificacin. Asociados a la indeterminada x, introducimos los smbolos x y x, llamados cuantificadoruniversal y cuantificador existencial respectivamente. Las expresiones.


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Para todo x, se verifica p(x) se denota por x : p(x)

Existe x, tal que se verifica p(x) se denota por x / p(x)

Corresponden a una funcin proposicional p(x) cuantificada universalmente en el primer caso, y existencialmente

en el segundo.Ejemplo: Una funcin proposicional cuantificada universalmente es V si y slo si son V todas las proposicionesparticulares asociadas a aquella. Para asegurar la verdad de una proposicin cuantificada universalmente essuficiente que sea verdadera alguna de las proposiciones asociadas a la funcin proposicional.

Un problema de inters es la negacin de funciones proposicionales cuantificadas. Por ejemplo, La negacin de"Todos los enteros son impares" es "Existen enteros que no son impares" y en smbolos: x / ~ p(x)

Entonces, para negar una funcin proposicional cuantificada universalmente se cambia el cuantificador enexistencial, y se niega la funcin proposicional.

Ejemplo: Supongamos la proposicin: Todos los alumnos de mi colegio son aplicados

La vamos a escribir en lenguaje simblico, negarla y retraducir la negacin al lenguaje ordinario.

Nos damos cuenta pronto que se trata de la implicacin de dos funciones proposicionales:

p(x) : es alumno de mi colegio

q(x) : es aplicado

Tenemos: (x) q(x)

Teniendo en cuenta la forma de negar una funcin proposicional cuantificada universalmente y una implicacinresulta:

(x) (x)

Y traduciendo al lenguaje ordinario resulta: Existen alumnos de mi colegio que no son aplicados.

Ejercicios:

1. Si la proposicin qppsr es verdadera , entonces determine los valores de p; q; r y s .

Adems: qp es falso.

Solucin:

Recordando: FF

qpqp

Luego:

VFFV

qppsr

FF

VFF

V

Fs;VrV;q; Fp


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2. Si la proposicin: [ r (~ p q) ] [(pq) ~s ] es verdadera , halle los valores de verdad de cadauna de las proposiciones (p,q,r,s).Resolucin: [ r ( ~ p q ) ] [ ( p q ) ~ s ]

V Fs;VrF;q; Vp

ORDEN DE INFORMACIN

as caractersticas ms saltantes en este tipo de problemas es que en ellos siempre se presentan datosdesordenados, los cuales contienen toda la informacin, debemos relacionarlos entre s, ordenarlos

buscando correspondencia entre ellos.Se recomienda que para poder resolver los problemas de este tipo trate de enfrentarlos de la manera msgrfica, buscando esquematizar los datos de manera ordenada.

Tipos de Orden de Informacin:

Orden de Informacin

Ordenamiento Creciente - Decreciente

Ordenamiento horizontal - vertical

Ordenamiento Circular

Test de Decisiones

Ordenamiento Creciente y Decreciente

ituaciones donde nos piden ordenar individuos segn cualidades de mayor a menor o de menor amayor, por lo cual se debe tener en cuenta las siguientes proposiciones y su respectivasimbolizacin:

I) A es mayor que BA > B B < A

II) A es menor que BA < B B > A

III) A no es mayor que B

A B (A < B A = B)IV) A no es menor que B

A B (A > B A = B)

L

V V

F VF

V F FV

FF

V

F

S


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V) A es menor que B, pero mayor que CC < A < B B > A > C

VI) A es menor que B, y ste menor que C(A < B y B < C) A < B < C

VII)S: (A B y A B) A < B.

VIII) Si: B > A y C >A, entonces no hay comparacin entre B y C (no se puede determinar quien es elmayor)

IX) Si:

X) Si: A > B > C A > C

Ejemplo 1En cierta prueba, Rosa obtuvo menos puntos que Mara; Maril menos puntos que Luca; Noem el mismo

puntaje que Sara; Rosa ms que Sofa; Maril el mismo que Mara y Noem ms que Luca. Quin obtuvo elmenor puntaje?

Solucin:Rosa < Mara , Maril < Luca , Noem = SaraRosa > Sofa , Maril = Mara , Noem > LucaDe los datos se unen con una nica desigualdad( por ejemplo el menor que : < )

Si SofaRosa> RosaSofa< LucaNoemi> NoemLuca< = Sara

Luego: Sofa < Rosa < Mara = Maril < Luca < Noem = Sara

Entonces el menor puntaje lo obtuvo: SofaEjemplo 2

En un pentagonal de ftbol, la tabla de posiciones fue la siguiente :- Boys (B) obtuvo un punto ms que Universitario (U)- Universitario (U) obtuvo un punto ms que Cristal (C)- Municipal (M) obtuvo dos puntos menos que universitario (U)- Boys (B) obtuvo dos puntos menos que Aurich (A)

Ordene en forma creciente :a) ABUCM b) MUBAC c) MUCBA d) MCUBA e) MCUAB

Solucin:Ordenando las posiciones, tenemos:A Si, Boys obtuvo dos puntos menos que Aurich Aurich obtuvo dos puntos ms que Boys.

+2B

+1 Boys (B) obtuvo un punto ms que UniversitarioU

+1C Municipal (M) obtuvo dos puntos menos que universitario (U)

+1M

Luego la respuesta es la alternativa d.

CABCByCB

A

2


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Ordenamiento Vertical y Horizontal:

as situaciones ms comunes, son cuando no piden ordenar de derecha a izquierda(o viceversa) o de arriba hacia abajo (o viceversa); para ello debemos tomar en cuenta :

I) A a la derecha de BB A

II) A a la izquierda de BA B

III) A junto a la derecha de BB A

IV) A junto a la izquierda de BA B

V) A se sienta a dos sitios de BA B B A

VI) A se sienta en el extremo izquierdo, y B a tres sitios de lA B

VII) A esta a tres pisos de B (en un edificio de cuatro pisos)A

B

B

A

VIII) Para ir de A a B hay que bajar dos pisosA

B

IX) A est adyacente a B yCB A C C A B

X) Se empezar ordenando por el dato ms conciso (que sirva como una referencia inicial)

Ejemplo 01

Seis amigos (A; B; C; D; E y F) estn sentados en una fila de seis asientos libres juntos. Si sabe que: B est junto y a la izquierda de C D est a la derecha de B y a la izquierda de E E esta junto a la izquierda de F A est a la izquierda de CQuien ocupa el cuarto lugar si los contamos de izquierda a derecha?a) B b)A c) C d) F e) DSolucin

1. lklk

2. B D E

3. zdxfadfadfa

L

B CDe (1) y (2):

B C D E

* De (1), (2 ) y (3 )

B C D E FE F


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4. A CFinalmente de (1), (2), (3) y (4):

De izquierda a derecha el cuarto lugar lo ocupa D Respuesta: E

Ejemplo 02.Se tiene un edificio de seis pisos en el cual viven seis personas A; B; C; D; E y F, cada una en un piso diferente.Si se sabe que: E vive adyacente a C y B Para ir de la casa de E a la F hay que bajar tres pisos A vive en el segundo pisoQuin vive en el ltimo piso?

a) B b) C c) D d) E e) FSolucin

1. 3.

2.

De (2) y (3) se tendr 2 posibilidades

1ra posibilidad 2da posibilidad

1 2 3 4

A B C D E F

B

E

C

C

E

B

E

F

A

E

A

F

E

F

A


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Con (1), descartamos la segunda posibilidad, luego quedar:

Se observa que el ltimo piso est destinado necesariamente para D Respuesta: C

* Ordenamiento circular:Situaciones que nos solicitan ordenar individuos alrededor de una mesa circular (o alrededor de una figuracerrada) en estos casos basta ubicarse en un eje fijo; es decir, tomar un sentido u orientacin referencial.

Observaciones B est junto y a la derecha de A C est a la derecha de A (existe dos posibilidades) D est al frente de A F est junto y a la izquierda de A E est a la izquierda de A (existe dos posibilidades) E est a la derecha y junto a D

Ejemplo 01Cuatro amigos: Carlos, Antonio, Mario y Rger se sientan alrededor de una mesa redonda, en la que hay cuatro

sillas distribuidas simtricamente. Sabemos que:- Carlos se sienta junto y a la derecha de Antonio- Mario no se sienta junto a Antonio- Rger est entretenido observando cmo los otros tres discutenSegn esto podemos afirmar:

a) Rger y Carlos se sientan juntosb) Antonio y Rger no se sientan juntosc) No es cierto que Rger y carlos no se sientan juntosd) Mario se sienta junto y a la derecha de Rger

e)

Mario se sienta junto y a la derecha de Carlos

D

D

B

E

C

A

F

D

C

E

B

A

F

A

BC

FE

Delante delpersonaje essu derecha

Detrs delpersonaje es suizquierda


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Solucin:De acuerdo a los datos se distribuye de la siguiente manera:

Respuesta. ( e )Mario no se sienta junto a Antonio

Test de decisiones:La mejor estrategia de afrontar situaciones, donde se nos pide relacionar diversos datos entre s (comopueden ser personas con su ocupacin, deportes, lugar donde viven o donde estudian, etc.), es haciendoun cuadro, en el cual podemos ir marcando las deducciones que vamos haciendo. Se recomienda comenzar

por aquellos datos que se pueden colocar directamente. A continuacin se procede a marcar con una X oun No en cada casilla correspondiente a una imposibilidad definida y a colocar (es un visto bueno) oun Sen la casilla que corresponda a un dato confirmado. Adems se debe verificar tanto en cada filahorizontal y vertical la existencia de un solo s, a menos que las condiciones del problema afirmen locontrario o sealen caractersticas especiales de los datos.Un cuadro de doble entrada es el que a continuacin le mostramos:

Matemtico. Ingeniero. Bilogo.

Rojas X XWilliam X XMatute X X

EJERCICIOS DE APLICACINMara, Luca e Irene, viven en 3 ciudades distintas: Lima, Cuzco, Tacna, estudiando una carrera diferente:Educacin, Derecho y Arquitectura. Si se sabe que:- Mara no vive en Cuzco- La que vive en Cuzco no estudia Derecho- Luca no estudia Educacin- Luca no vive en Tacna- Quien vive en Tacna estudia Arquitectura

Dnde vive Irene y qu estudia?a) Lima Arquitectura b) Lima Educacin c) Lima Derechod) Cuzco Educacin e) Cuzco - Derecho

Solucin:Se realiza el sgte. Cuadro y se comienza a llenar de s o de No de acuerdo a los datos

Si Cuzco, no Derecho Cuzco puede ser educacino arquitectura.

Pero se sabe que: Si Tacna, si arquitectura Cuzcotiene que ser educacin.

Adems, como Lucia puede ser derecho o arquitectura Lucia tiene que ser derecho, ya que no Tacna.Se ubica por ltimo las dems afirmaciones o negaciones quedando el cuadro as:

Lima Cuzco Tacna Der Edu ArqMara NoLuca no noIrene

AC

M R

1o

2o


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EJERCICIOS DE APLICACIN

1.) Juan es ms estudioso que Alex. Alex es menos estudioso que Miguel, pero ms que Dany. Cul de lassiguientes expresiones ser siempre verdadera?.a) Juan es ms estudioso que Miguelb) Juan es menos estudioso que Danyc) Juan es menos estudioso que Migueld) Juan es ms estudioso que Danye) Juan estudia igual que Miguel

Solucin

Juan > AlexDany < Alex < MiguelDany < Alex < Juan

Podemos observar que la conclusin siempre verdadera es queJuan es ms estudioso que Dany.

2.) Cuatro amigos Jaime , Luis , Pablo y Oscar se sientan alrededor de una mesa circular para brindar por elcumpleaos de uno de ellos; Se sabe que:- El que se sent a la izquierda de Luis brind con sangra- Jaime estaba frente al que brind con vino.- Quien se sentaba a la derecha de Oscar, brind con Champagne.- El que brind con Cctel y el que brind con Champagne estaban frente a frente.Con que brind Pablo y quien brind con vino?

a) Champagne. -Jaime b) cctel-Oscar c)sangra Jaimed) Champagne. -Oscar e) cctel-Luis

SolucincctelPablo

Jaime Oscar

sangra Vino

LuisChampagne

Luego Pablo brind con cctel y Oscar brind con vino

3.) Aldo, Cirilo y Baltazar tienen ocupaciones: relojero, panadero y pianista; no necesariamente en ese orden.Se sabe que Cirilo nunca tuvo buen odo para la msica; la habilidad que tiene Aldo con las manos escomparable con la de un cirujano, Baltazar es artista. Luego Baltazar, Aldo y Cirilo son respectivamente:

a) Relojero, pianista, panaderob) Pianista, relojero , panaderoa) Panadero, pianista, relojerob) Pianista, panadero, relojeroc) Relojero, panadero, pianista

Lima Cuzco Tacna Der Edu ArqMara no No si no no SiLuca Si no no Si No noIrene no si no no Si No Res uesta . d


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Solucin

Relojero Panadero Pianista

Aldo Si No NoCirilo No Si NoBaltazar No No Si

Del grfico concluimos que:Aldo es relojero, Cirilo es panadero, Y Baltazar es pianista

4.) Tres personas viven en 3 ciudades distintas y tienen ocupaciones diversas,. Se sabe que :- Jos no vive en Lima- Luis no vive en Piura- El que vive en Lima no es el religioso- El que vive en Piura es poltico

- Luis no es profesional- Uno de ellos se llama Fernando- Uno de ellos vive en Huancayo

Entonces es cierto que:

a) El piurano es profesionalb) El religioso es limeoc) Fernando es limeo y polticod) El poltico es de Piurae) Jos es profesional.

SolucinLima Piura Huancayo Poltico Religioso Prof.

Jos No Si No Si NO NoLuis No No Si No Si NoFernando Si No No No No Si

Del cuadro podemos afirmar que el poltico es de Piura.

RMCAEDCBAFEFEDe (1), (2 )(3 ) D

CB Ee (1) y (2):CBCBCABCBy

CB

2SFBFCBECDelante del

personaje

suerecha

etrs delrsonaje esizquierda

FEAFAEAFEFABECDFACEBD

4.- modulo i cap iv

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