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4. Propagación en medios homogéneos e isótropos
Se trata de caracterizar la propagación de la luz en un medio homogéneo
(egen no depende de la posición) e isótropo (egen es un escalar).
Se buscan soluciones de las ecuaciones de Maxwell macroscópicas de la
forma:
ωt)rki(
ωt)rki(
c
c
eH,trH
eE,trE
0
0
E0, H0, kc y w son constantes.
Hay que obtener la relación existente entre los parámetros que caracterizan
al medio (egen y m) y los de la onda.
0)()(
0)()(
0))((
0))((
rEirH
rHirE
rH
rE
gen
gen
we
wm
m
e
0gene
00
00
0
0
1
1
0
0
Hk-
E
EkH
Hk
Ek
cgen
c
c
c
we
wm
Combinando las dos últimas ecuaciones:
202
002020
1
)()(1
)(1
c
gen
cccc
gen
cc
gen
kE
kkEEkk-
EkkE
mwe
mwemwe
2
2
222
cgenc nc
kw
mew
4. Propagación en medios homogéneos e isótropos
00
22
em
meme
gen
genc cn
Definimos el índice de refracción complejo del medio como:
kc es complejo:
inn
aikk
c
c
con k (vector de ondas), a (vector de atenuación), n ( índice de refracción)
y (índice de absorción) reales,
4. Propagación en medios homogéneos e isótropos
)(0, trkira eeEtrE w
w
w
nc
ak
nc
ak
2
2
22
2
222 )(
4. Propagación en medios homogéneos e isótropos
1. En general los vectores k y a no serán paralelos y por tanto E no será
una función de k·r. A estas ondas las llamaremos ondas “planas
inhomogéneas”:
“Los planos de amplitud constante no coinciden con los planos de
fase constante”
2. Los vectores E0, H0 y kc no forman un triedro ortogonal: intervienen
vectores complejos.
4. Propagación en medios homogéneos e isótropos
Medios transparentes
Para estos medios el índice de absorción es nulo: =0.
0
2
2
222
ak
nc
ak
w
a) a=0. En este caso la onda es plana y los vectores E, H y k
forman un triedro ortogonal.
medio
nnc
k
w 22
0
Ahora la en el medio es medio= 0/n.
4. Propagación en medios homogéneos e isótropos
¿Cuál es ahora la velocidad de fase de la onda?
n
c
kv
ctetzk
fase
w
w
4. Propagación en medios homogéneos e isótropos
b) a0
a y k son perpendiculares. Por ejemplo:
)(0
tkxiazeeEE w
Onda armónica pero no es plana
2
2
22 n
ca
kv fase
w
ww
No podemos decir qué ángulo forma E con k o a.
4. Propagación en medios homogéneos e isótropos
Frente de ondas
Planos de amplitud constante
a
k
z
x
vfase
4. Propagación en medios homogéneos e isótropos
4. Propagación en medios homogéneos e isótropos
velocidad de grupo - paquete de ondas casi-monocromático
ww
ww
wwww0
0
))((0 )(),( tzkieEdtzE
0ww
0
0 0( ) ( ) ( ) ( )dk
k n kc d w
ww w w w w
w
))(( 00),(~
),(tzki
etzEtzEww
tzd
dkEeEdtzE
tzd
dki
0
0
0
0
0 ~)(),(
~)(
0w
ww
ww
www
www
w
Vg
la envolvente (grupo) se propaga sin deformarse a la velocidad de grupo
envolvente del grupo
ww
ww
d
dnn
c
d
dnn
c
d
dkvg
0
1
Medios absorbentes
Para estos medios el índice de absorción no es nulo: 0 (egen complejo).
El vector de ondas es complejo.
a) Si
02
2
w
nc
ak
n y tienen el mismo signo
Si tomamos k0 (| k0 |=w/c) para designar la dirección de k y a:
0
0
ka
knk
00)( knkink cc
4. Propagación en medios homogéneos e isótropos
w
w
nc
ak
nc
ak
2
2
22
2
222 )(
ak
)(0
)(0
000 trknitrknirk ceEeeE,trEww
- Es una onda amortiguada armónica.
- Es una onda homogénea.
- Los vectores E0 y H0 son perpendiculares a k0, pero la parte real de E0
no es perpendicular a la de H0 cuando la polarización es elíptica.
4. Propagación en medios homogéneos e isótropos
)(
0
tzkizaeeEE
w
Para el caso de k | | a :
4. Propagación en medios homogéneos e isótropos
Atenuación en dB por kilómetro: 10
(0)10log
( )
SA
z z S z
ejemplos:
metal 4 1011 dB/km
vidrio vulgar (ventanas, lentes) 4 105 dB/km
vidrio de fibras ópticas 0.1 dB/km
vacío
4
( ) (0)z
S z S e
b) El caso general: >0 :
k y a forman un ángulo distinto de cero o de 90º
02
2
w
nc
ak
n y tienen siempre el mismo signo.
Superficies de amplitud constante y fase constante no coinciden.
Ejemplo de medio absorbente: los metales (~3). Para un amplio
rango de frecuencias.
Ejemplo de medio transparente: el vidrio (opaco para el UV).
4. Propagación en medios homogéneos e isótropos
w
w
nc
ak
nc
ak
2
2
22
2
222 )(
2/12
2/12
112
112
we
mew
we
mew
a
k
)(
0
tzkizaeeEE
w
2
11
0
o
kal npenetració
2/1
2 1)(1
21
weme
w
kf v
w
f
k
v22
Medio absorbente
Si suponemos
e y reales
Para el caso de k | | a :
Longitud de penetración :
4. Propagación en medios homogéneos e isótropos
Velocidad de fase
y longitud de onda:
Distinta atenuación
Distinta fase
Atenuación de la onda
)(
0
tzkizaeeEE
w
2/12
2/12
112
112
we
mew
we
mew
a
k
Pulso
Tras atravesar el medio el pulso
se ha ensanchado y atenuado.
4. Propagación en medios homogéneos e isótropos
Conductancia muy grande
1/ we we /igen
2/12
2/12
112
112
we
mew
we
mew
a
k
4. Propagación en medios homogéneos e isótropos
2
mw ak
0
22
2
0
we
n
n
02we
n
we
we
22
1
)1(2
000
0
al
iinn
npenetració
c