___________________________________________________________ _ Prof. Mrio

Razo e Proporo 9

04 Razo e Proporo04.1 Razo

a comparao entre duas grandezas, de mesma espcie, da forma

com b 0 Onde: a = antecedente

b = conseqente

L-se: a est para b04.1.1 Razo Inversa

04.1.2 Propriedade Podemos multiplicar ou dividir ambos os termos de uma razo, por um mesmo nmero diferente de zero, que esta no se altera.

Ex.1 - Qual razo entre as idades de Francis (14 anos) e Melissa (21 anos)?

Ex.2 - Na prova de Matemtica de Samara, a razo do nmero de questes certas para o nmero total de questes foi de 3 para 4. Sabendo-se que a prova era composta de 16 questes, quantas questes Samara acertou?

Exerccios

01. Determinar a razo de 48 para 72.02. Numa partida de basquete, Francis fez 15 arremessos, acertando 9 deles. Nestas condies:

a) Qual a razo do nmero de acertos para o nmero total de arremessos de Francis?

b) Qual a razo entre o nmero de arremessos que Francis acertou e o nmero de arremessos que ela errou?

04.1.3 - Razes Especiais

RE1 Velocidade : 3,6

km/h m/s x 3,6

Ex.3 - Um carro percorreu a distncia de 540 km em 4 horas: a) qual a velocidade mdia do carro?

b) no SI esta velocidade deve corresponder a? Ex.4 - Se um carro faz um movimento de 85 km/h durante 2h30min, que distncia percorreu? Ex.5 - Uma moto percorreu a distncia de 645 km com uma velocidade mdia de 86 km/h. Qual o tempo gasto no percurso?

Ex.6 - Um automvel foi de So Paulo a Ubatuba, passando por Taubat. De So Paulo a

Taubat ele rodou 130 km a uma velocidade mdia de 100 km/h. Os 100 km restantes, at Ubatuba, foram feitos a 60 km/h. O tempo total da viagem foi de?

Exerccios

03. Um mvel percorreu a distncia de 800 km em 16 horas. Qual sua velocidade mdia?04. A Kombi da Larissa fez um movimento a 220 km/h durante 3 horas. Qual a distncia percorrida05. Se um mvel percorre a distncia de 200 km com velocidade mdia de 100 km/h, qual o tempo gasto nessa viagem?06. Se um veculo se deslocar com velocidade mdia de 90 km/h:

a) Quantos quilmetros iro percorrer em 1 hora?

b) Qual o valor desta velocidade no SI?

07. Um automvel percorre 280m em 8 segundos: a) Qual sua velocidade no SI?

b) Qual sua indicao no velocmetro?

08. Um ciclista percorreu 126 km na velocidade de 36 km/h. Quanto tempo gastou no percurso?

09. Um soldado marcha com velocidade de 8 km/h. Em 3h30min percorrer quantos quilmetros?

10. Se um veculo se deslocar com uma velocidade mdia de 85 km/h, quantos quilmetros ele ir percorrer em :

a) 1 hora

b) 2 horas

c) 2h 30 min11. Um automvel percorreu 630 km em 5 horas:

a) qual a velocidade mdia desse automvel no percurso, em Km/h? b) essa mesma velocidade no SI ?

12. A distncia entre So Paulo e Braslia de 1.150 km. Qual a velocidade mdia do nibus que faz esse percurso em:a) 15h

b) 12h 30 min13. Transforme em m/s:

a) 162 Km/h

b) 72 Km/h

c) 126 Km/h

14. Transforme em Km/h:

a) 40 m/s

b) 75 m/s

c) 30 m/s

15. Um mvel percorreu 360m em 18s. Calcule sua velocidade em Km/h.

16. Um ciclista percorreu 43.200m em 4h. Calcule sua velocidade em m/s.

17. Em uma volta de 5000m, voc desenvolveu uma velocidade mdia de 2500m/min. Qual foi o tempo gasto no percurso?

18. Um ponto material percorreu a distncia de 300m com velocidade mdia de 20m/s. Quanto tempo gastou?

19. Um mvel percorreu 486 km com velocidade mdia de 45m/s. Em quantas horas transcorreu este percurso?

20. Um motociclista percorre 600m na velocidade mdia de 72 km/h. Quantos segundos levam no trajeto?

21. Um veculo desenvolve a velocidade mdia de 75m/s durante 3 horas. Quantos quilmetros percorrero?

22. Se o mvel anda a 40m/s, que distncia percorrer em 7 minutos?

RE2 Escala

Ex.7 Num mapa feito na escala 1: 50 000 a distncia entre duas cidades A e B 3,4 cm.

Calcule a distncia real entre as duas cidades em km. Ex.8 Na maquete de uma praa pblica construda na escala 1:75, o edifcio da prefeitura, de 13,5m de altura, est representado com uma altura de?Exerccios

23. Uma maquete foi construda na razo 1:40. Se a altura de um edifcio na maquete for de 90 cm, qual a altura real desse prdio?24. Uma escala de 1: 50, qual o comprimento real, em metros, correspondente ao comprimento de 8 cm?25. (Fuvest-06) No mapa a seguir a distncia, em linha reta, entre as cidades de Araatuba e Campinas de 1,5 cm. Na realidade, esta distncia de aproximadamente:

RE3 Densidade do Corpo

RE4 Densidade Demogrfica

Gabarito:

01) 2:3, 02a) 3:5 02b) 3:2 03) 50 km/h, 04) 660km, 05) 2h, 06a) 90km, 06b) 25m/s, 07a) 35m/s, 07b) 126km/h, 08) 3h30min, 09) 28km, 10a) 85km, 10b) 170km, 10c) 212,5km, 11a) 126, 11b) 35m/s, 12a) 76 2/3km/h, 12b) 92km/h, 13a) 45, 13b) 20, 13c) 35, 14a) 144, 14b) 270, 14c) 108, 15) 72, 16) 3, 17) 2min, 18) 15s, 19) 3, 20) 30, 21) 810, 22) 16,8km, 23) 36m, 24) 4, 25) 375km. 04.2 Proporo Quatro nmeros a, b, c e d, diferentes de zero, formam nesta ordem uma proporo se e somente se,

Onde: a e c so antecedentes

b e d so conseqentes

a e d so extremos

b e c so meios

d a quarta proporcional

L-se: a esta para b assim como c est para d Obs.: A igualdade entre duas razes chamada de proporo.

Exemplo:

A igualdade uma proporo porque as razes expressam o mesmo quociente 2 (Constante ou mesma parte da unidade).

04.2.1 Quarta proporcional o quarto nmero, de uma sucesso, que forma com os outros trs nmeros dados uma proporo.

Exemplo: 15 a quarta proporcional na seqncia 2, 5, 6, 15. 04.2.2 Proporo contnua E toda proporo em que seus meios so iguais.

Onde: b mdia proporcional ou mdia geomtrica dos extremos,

c a terceira proporcional de a e b.

Exemplo:

Em , 6 a mdia geomtrica ou mdia proporcional entre 2 e 18 e 18 a terceira proporcional de 2 e 6.

Clculo da Mdia Geomtrica

a raiz quadrada do produto dos dois nmeros dados

Exemplo 04.2.3 Propriedades

P1 - Propriedade fundamental

Ex.9 - Verificar se os nmeros 2,5,6 e 15 formam nessa ordem, uma proporo.

Ex.10 - Calcule o valor de x na proporo 6,5,5, x. ( 3 proporcional )

Ex.11 Encontre o valor de x na proporo 1,6,5 e x . (4 proporcional)

Exerccios

1. Verificar se os nmeros formam nessa ordem, uma proporo:

a) 5, 3, 10 e 6 b) 9, 7, 18 e 21 c) 9, 8, 36 e 32

d) 7, 3, 35 e 15 e) 3, 2, 18 e 12 f) 7, 6, 49 e 42

g) 5, 2, 40 e 19 h) 81, 63, 7 e 9 i) 28, 9, 7 e 18

j) 81, 63, 9 e 7 l) 6, 7, 18 e 21 m) 5, 6, 55 e 66

2. Calcule o valor de x na proporo contnua. (mdia geomtrica).

a) 2, x, x, 72 b) 4, x, x, 36 c) 8, x, x, 18

d) 16, x, x, 9 e) 3, x, x, 48 f) 6, x, x, 24

3. Calcule o valor da terceira proporcional (Proporo contnua).

a) 2, 12, x

b) 4, 12, x c) 8, 12, x

d) 16, 12, x

e) 3, 12, x

f) 6, 12, x

g) 25, 5, 5, x

h) 5, 25, 25, x i) 4, 16, 16, x

4. Encontre o valor da quarta proporcional (x).

a) 81, 63, 9, x

b) 6, 7, 18, x

c) 5, 6, 55, x

d) 3,5; 9; 7; x

e) 28, 9, 56, x

f) 5, 2, 40, x

g) 95, 5, 133, x

h) 8, 9, 160, x

i) 147, 7, 84, x

j) 160, 80, 180, x l) 225, 9,125, x m) 8, 96, 7, x

Ex.12 - Resolva

a)

b) (com x ( -1) c)

Exerccios

5. Resolva:

Ex.13 (TTN/85) Uma pessoa pretende medir a altura de um poste baseado no tamanho de sua sombra projetada ao solo. Sabendo-se que a pessoa tem 1,80m de altura e a sombras do poste e da pessoa medem 2m e 60 cm, respectivamente, a altura do poste ?Exerccios

6. Resolva:

a) Se 7 homens em 100 so criminosos, quantos em 500 no so criminosos?b) Para fazer um refresco, misturamos suco concentrado com gua na razo de 3 para 5. Nessas condies 9 copos de suco concentrado devem ser misturados com quantos copos de gua?c) Numa receita de bolo, est escrito que so necessrios 2 ovos para cada 0,5 Kg de farinha utilizada. Quantos ovos sero necessrios se forem utilizados 2 kg de farinha?

P2 - Soma ou subtrao dos antecedentes e conseqentes

Ex.14 - X + y = 21. Ex.15 - X/6 = y/5 e X y = 15

X/y = 2/5

Exerccios

7. Resolva os sistemas:Ex.16 - A soma de dois nmeros 24 e eles so proporcionais a 7 e 5. Quais so estes nmeros?

Ex.17 - Resolva a proporo X / 2 = Y / 3 =Z / 5, sabendo que x + y + z = 70.

Ex.18 - A mistura de tinta branca com tinta preta est na razo 2 para 3. Precisando de 30L dessa mistura, quantos litros de cada cor devemos ter:

Ex.19 - O permetro de um retngulo 28cm. A razo de 3 para 4. Calcule as dimenses desse retngulo.Exerccios

8. A diferena entre dois nmeros 20. Sabendo-se que eles so proporcionais aos nmeros 4 e 3, determinar esses nmeros.

9. A soma entre dois nmeros 30. Sabendo-se que eles so proporcionais a 3 e 2 , determinar esses nmeros.

10. Para pintar uma parede, um pintor deve misturar tinta branca com tinta cinza na razo 5 para

3. Se ele precisar de 24 L dessa mistura, quantos litros de cada cor ele ir utilizar?

11. Dois nmeros sero entre si como 2 est para 1. Sabendo-se que a diferena entre eles 40,

calcule os dois nmeros.

12. Para fazer uma limonada misturamos suco de limo com gua na proporo de 2 para 5. Quantos litros de suco de limo e de gua sero necessrios para fazer 21 litros de limonada?

13. A razo entre as massas de alumnio e de oxignio na substncia xido de alumnio igual a 7/ 8. Calcule as massas de alumnio e de oxignio, necessrias para formar 51g de xido de alumnio.

14. Determine dois nmeros que tm por soma 51 e que esto na razo .

15. Determine dois nmeros cuja razo e cuja diferena -12.

16. Em junho de 2006, Francis e Melissa pesam juntas 135 kg. Se o peso da Melissa do peso de Francis, quanto pesa cada uma?

17. Determine as dimenses de um retngulo que tem permetro 156 cm, sabendo que a razo entre comprimento e a largura .

18. Quando Francis, filha do Prof. Mrio, nasceu, Vnia, tambm sua filha, tinha 6 anos. Em 2006, a razo da idade de Francis para a idade de Vnia 0,75. Qual a idade de Francis?

19. Calcule a rea de um retngulo que tem permetro 102 m, sabendo que a razo entre sua largura e seu comprimento .

20. Quando Francis nasceu, Melissa tinha 7 anos. Em 2006, a razo da idade de Francis para a idade de Melissa 0,72. Qual a idade de Francis?

P3 - Multiplicao dos antecedentes e conseqentesEx. 20 Resolva:

Ex.21 - Determine as dimenses de um retngulo, sabendo-se que elas esto na razo 6:5 e que a rea desse retngulo 270 m .

Exerccios

21. Resolva:

EMBED Equation.3

22. Determine:

a) A e B na proporo A / 4 = B / 5, sabendo-se que A. B = 180.

b) Determine as dimenses de um retngulo, sabendo-se que elas esto na razo 4:3 e que a rea desse retngulo 48m.

23. O volume de um paraleleppedo retngulo 1620 m3. Calcular as arestas, sabendo-se que estas so proporcionais aos nmeros 3, 4 e 5.04.3 Nmeros Diretamente Proporcionais As sucesses e so diretamente proporcionais se e somente se,

Onde: k fator de proporcionalidade (Constante)Ex.22 - Verificar se as seqncias (3,4,11) e (6,8,22) so dir. proporcionais.

Ex.23 - Os nmeros 3,5, e 2 so diretamente proporcionais aos nmeros 4,20 e 10?

Ex.24 - Os nmeros a, b, 13 e 4 so diretamente proporcionais aos nmeros 40, 24, 104 e c .

Nessas condies, determine os valores de a, b e c.

Ex.25 A sucesso x, y, z formada por nmeros diretamente proporcionais a 2, 5, 3 e o fator de proporcionalidade 5. Calcule x, y e z.

Exerccios

24. Verificar se os nmeros 4, 9 e 7 so diretamente proporcionais aos nmeros 16, 36 e 28.

25. Os nmeros x, y e 32 so diretamente proporcionais aos nmeros 40, 72 e 128. Determine os nmeros x e y.

26. Os nmeros 78, 39 e 117 so proporcionais aos nmeros 6, 3 e 9?

27. Os nmeros da sucesso 36, x, y so diretamente proporcionais aos nmeros da sucesso 4,5,6. Calcule x e y.

28. Os nmeros A, 9 e 3 so proporcionais aos nmeros 2, B e 5. Quais so os valores de A e B?

29. A sucesso x, y, z formada por nmeros diretamente proporcionais a 6, 7, 8 e o fator de proporcionalidade 12. Calcule x, y e z.

04.3.1 Diviso em Partes Diretamente Proporcionais

Ex.26 Repartir 32 em partes diretamente proporcionais aos nmeros 3, 5 e 8.

Ex.27 - Divida 153 em partes proporcionais a 2/3 e 3/4.

Ex.28 - Sabendo-se que x, y e z so diretamente proporcionais a 10,15 e 30 e que x + y = 180, qual o valor de z?Exerccios

30. Vamos repartir 420 em trs parcelas, que so diretamente proporcionais aos nmeros 3,7 e 4. Quais so as trs parcelas?

31. As massas de cobre e zinco que se fundem para formar o lato so diretamente proporcionais aos nmeros 7 e 3. Quantos kg de cobre e quantos kg de zinco so necessrios para obter 40 kg de lato? 32. Divida 252 em partes diretamente proporcionais a 6,7 e 8.

33. Repartir 720 em duas partes tais que a razo entre elas seja 0,6.

34. Decomponha 56 numa soma de duas parcelas de modo que a metade da primeira seja igual a um quinto da segunda parcela.

35. Sabendo-se que A, B e C so diretamente proporcionais a 3,8 e 1 e que A + B = 165, qual o valor de C?

36. Reparta 50 em trs parcelas tais que sejam proporcionais a 2, 5 e 3.

37. Sabendo-se que x, y e z so diretamente proporcionais a 06, 03 e 09 e que x + y = 117, qual o valor de z?

38. A diferena entre dois nmeros 12 e guardam entre si a proporo 6 para 4. Quais so esses nmeros?

39. Em 2006 o Prof. Mrio precisa repartir R$ 603,00 entre suas filhas Melissa, 25 anos, Vnia, 24 anos e Francis, 18 anos, de modo que cada uma receba uma quantia proporcional sua idade. Como ser feita a diviso?

40. Samara e David formaram uma sociedade. Samara entra com R$ 3.000,00 e David com R$ 2.000,00. Conseguem obter na sociedade um lucro de R$ 6000,00. Quanto deve receber cada um de lucro?

41. Dividir o nmero 270 em trs partes que devem ser diretamente proporcionais aos nmeros 2, 3 e 5 e tambm diretamente proporcionais aos nmeros 4, 3 e 2, respectivamente.

04.4 Nmeros Inversamente Proporcionais As sucesses e so inversamente proporcionais se e somente se,

Ex.29 - Verificar se os nmeros 3, 5 e 6 so inversamente proporcionais aos nmeros 20, 12 e 10.

Ex.30 - Os nmeros 6, 12 e 18 so inversamente proporcionais aos nmeros 14, 7 e 4 ?

Ex.31 - Os nmeros 4, 14, e 10, so inversamente proporcionais aos nmeros x, y e 25.

Nessas condies, encontre x e y.

Exerccios

42. Os nmeros 6, 12 e 18 so inversamente proporcionais aos nmeros 14, 7 e 4?

43. Os nmeros 1,5; 2 e 2,4 so inversamente proporcionais aos nmeros 4 ; 3 e 2,5?

44. Quais devem ser os valores dos nmeros x e y para que os nmeros 3, 12 e y sejam inversamente proporcionais aos nmeros x , 30 e 10?

45. Sabendo-se que os nmeros da sucesso 2, x, y so inversamente proporcionais aos da sucesso 15, 6, 5, calcule x e y.

46. Os nmeros a, b e 6 so inversamente proporcionais aos nmeros 3, 2 e 5. Quanto vale a e b?

04.4.1 Diviso em Partes Inversamente Proporcionais

Ex.32 - Repartir o nmero 144 em partes inversamente proporcionais aos nmeros 3, 4 e 12.

Ex.33 - Repartir o valor 33 em partes inversamente proporcionais aos nmeros 1/3 e 1/8.

Ex.34 - Dividir o nmero 46 em partes diretamente proporcionais a 5 e 4, e inversamente proporcionais a 2 e 3.

Exerccios47. Vamos repartir 380 em parcelas que so inversamente proporcionais aos nmeros 2,5 e 4. Quais so essas parcelas?

48. Divida 31 em partes inversamente proporcionais a 3, 2 e 5.

49. Divida 222 em parcelas que sejam diretamente proporcionais a 2, 1 e 7, e inversamente proporcionais a 3, 5 e 9 respectivamente.

50. Dividir o nmero 690 em trs partes que devem ser diretamente proporcionais aos nmeros 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais aos nmeros 2, 3 e 4, respectivamente.

Gabarito:01- a) sim, b) no, c) sim, d) sim, e) sim, f) sim, g) no, h) no, i) no j) sim l) sim m) sim. 02- de a at f resposta 12. 03- a) 72, b) 36, c) 18, d) 9, e) 48, f) 24, g) 1, h) 125, i) 64. 04- a) 7, b) 21, c) 66, d) 18, e) 18, f) 16, g) 7, h) 180, i) 4, j) 90, l) 5, m) 84. 05- a) 5, b) 7, c) 6, d) 7, e)9, f) 8, g) 7, h) 8, i) 3, j) 85, l) 7, m) 144, n) 7, o) 3, p) 1, q) 4, r) 2. 06- a) 465, b) 15, c) 8. 07- a) x =91, y =52, b) x =144, y =90, c) x =10, y =6, d) x =18, y =21, e) x =36, y =32, f) x =35, y =15, g) x =112, y =42, h) A =105, B =30, i) A =63, B =81, j) B =160, P =180, l) x =66, y =55, m) x =18, y =12. 08- 80 e 60. 09- 18 e 12. 10- B =15 l e C =9 l. 11- 80 e 40. 12- 6 l de suco de limo e 15 l de H2O. 13- 23,8g de Al e 27,2g de O. 14- 24 e 27. 15- 6 e 18. 16- Melissa tem 65 kg e Francis 70 kg. 17- 48 cm por 30 cm. 18- 18 anos. 19- 648 m2. 20- 18 anos. 21- a) a =6, b =10 b) x =8, y =28 c) A = 64, B =40 d) x =10, y =15, z =20 e) A =35, B =21, C = 42. 22- a) A=12, B=15 b) 8m e 6m. 23- 15,12 e 9. 24- sim. 25- x=10, y=18. 26- sim. 27- x=45, y=54. 28- 6 e 3. 29- x=72, y=84,z=96. 30- 90, 210 e 120. 31- Cu = 28kg, Zn = 12 kg. 32- 72, 84, 96. 33- 270 e 450. 34- 16 e 40. 35- 15. 36- 10, 25 e 15. 37- 117. 38- 36 e 24. 39- M=225,00; V=216,00 e F 162,00. 40- Smara R$ 3600,00 e David R$ 2400,00 41- 80,90 e 100 42- no. 43- sim. 44- x =120,y =36. 45- x=5, y=6. 46- 10 e 15 respectivamente. 47- 200, 80 e 100. 48- 10, 15 e 6. 49- 90, 27 e 105 50- 180, 240 e 270.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

_1229508595.unknown

_1229516463.unknown

_1242320597.unknown

_1242324965.unknown

_1242329459.unknown

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