4. sistema e volume de controle

Prof. Fernando Oliveira- Uema 2012

Universidade Estadual do Maranhão – UEMA

Centro de Ciências Tecnológicas – CCT

Departamento de Hidráulica e Saneamento

Disciplina: Mecânica dos Fluidos

Sistemas e Volumes de Controle

Profº Fernando Oliveira [email protected]


C O N T E Ú D O P R O G R A M Á T I C O

Mecânica dos Fluidos Equação da Continuidade

Conceitos fundamentais da Mecânica dos Fluidos;

Principais leis básicas de um sistema;

Teorema do Transporte de Reynolds (TTT);

Conservação da massa (Equação da continuidade)


Sistema

Um sistema é constituído por uma porção de matéria (fluido) isolada do

exterior e fechada por um contorno imaginário ou real.

Figura 1. Caracterização de um sistema (Van Wylen, 2009)

Sistema e Volume de controle

A massa do sistema é fixa (se conserva). Suas fronteiras (separação com

a vizinhança (exterior)) podem ser fixas ou móveis.


Na mecânica dos fluidos estamos interessado com escoamentos

de fluidos através de dispositivos como compressores, turbinas,

tubulações, bocais, etc,

Neste caso é difícil focalizar a atenção numa quantidade de

massa fixa identificável,

Assim, é conveniente fazê-lo num volume do espaço do qual o

fluido escoa – método do volume de controle.

Figura 2 . Sistema e Volume de controle



Figura 3 . Sistema e Volume de controle

Volume de controle

Trata-se de um volume arbitrário, fixo no espaço, de paredes imaginárias, que

permite a passagem, através de sua superfície externa (superfície de controle),

da massa, da quantidade de movimento, da energia e demais quantidades

associadas ao escoamento.



Volume de controle

Trata-se de um volume arbitrário, fixo no espaço, de paredes imaginárias, que permite

a passagem, através de sua superfície externa (superfície de controle), da massa, da

quantidade de movimento, da energia e demais quantidades associadas ao escoamento.

Figura 4. volume de controle (Van Wylen, 2009)



As principais Leis Básicas são:

1. Conservação da Massa (Equação da continuidade)

2. Segunda Lei de Newton (Equação da Quantidade de Movimento)

3. Segunda Lei de Newton (Equação da Quantidade de Movimento Angular)

4. Primeira Lei da Termodinâmica

5. Segunda Lei da Termodinâmica

APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS A VOLUME DE CONTROLE


Formulação Diferencial x Integral

Figura 5. Métodos Diferencial x Integral

APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS A VOLUME DE CONTROLE


Equações na forma integral para um volume de controle

Encontrar uma relação entre as derivadas do sistema e a

formulação para volume de controle.

Esta relação pode ser aplicada para cada uma das leis básicas

através do Teorema de Transporte de Reynolds, TTT.

Observações:

APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS



Relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume de controle.

A equação acima é a relação fundamental entre a taxa de variação de uma

propriedade extensiva arbitrária, N, de um sistema, e as variações dessa

propriedade associadas com um volume de controle.

É conhecida como o Teorema de Transporte de Reynolds.

Aplicando e desenvolvendo as leis que modelam os movimentos dos fluidos

considerando um dos sistemas e VC, chega-se à seguinte expressão geral:



Interpretação da formulação do

Teorema de Transporte de Reynolds



Campo de Velocidade

Onde pode ser qualquer propriedade do fluido, como:

),,,( tzyx

),,,( tzyxVV

),,,( tzyxFF



Para cada lei básica considere o símbolo N para designar qualquer

propriedade extensiva do sistema. Onde:

Comparando com as equações das leis básicas, constatamos que:

)()( sistemasistemaMsistema ddmN

sSN

eEN

VxrHN

VPN

MN

1

Relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume de controle.



Logo:

Positivo: quando o fluxo é para fora do SC;

Negativo: quando o fluxo é para dentro do SC.

SCAdV

Observação:

No TTR o termo: , a velocidade V é medida em relação à

superfície de controle. O produto é escalar.

AdV

2

A

)(2

V

2

A

)(1

V

VC finito

Figura 6. Vazão em massa num VC finito



0

sistemadt

dM

A massa (M) de um sistema permanece sempre fixa e inalterada.

Conservação da Massa – Equação da Continuidade

Sabe-se que sistema é definido como uma quantidade de fixa e

identificável de material. Assim o principio da conservação da massa que :

Figura 7. volume de controle (Van Wylen, 2009)



0

sistemadt

dM

A massa (M) de um sistema permanece sempre fixa e inalterada.


Sabe-se que sistema é definido como uma quantidade de fixa e

identificável de material. Assim o princípio da conservação da massa que :

)()(

sistema

sistema ddmMsistemaM

Onde a massa do sistema, M, é dada por:

Matematicamente pode ser representada da seguinte forma:



As formulações de sistema e de volume de controle são relacionadas pelo

Teorema de Transporte de Reynolds, ou seja:

Logo, substituindo a massa na equação no TTR obtemos que:

SCVC

sistema

AdVdtdt

dM Substituindo: 0

sistemadt

dM

Logo, a formulação de volume de controle da conservação da massa é:

SCVCAdVd

t0




SCVCAdVd

t0

Interpretação da relação da Equação da Conservação da massa com o TTR.

VC

dt

Taxa de variação temporal da massa contida no VC.

SCAdV Taxa de fluxo de massa através da superfície de controle.

Os termos tem a seguinte representação:

Ou seja, a conservação da massa exige que a soma da taxa de variação

temporal da massa contida no VC + Taxa de fluxo de massa através da

superfície de controle seja nula.




0

SC

AdV

Para um volume de controle não deformável, isto é, um volume de

controle de forma e tamanho fixos, = constante

SCVC

AdVdt

0

cte

No caso de incompressível: ρ = constante (na entrada e saída)

a) Escoamento incompressível e VC indeformável

Considerando as sentenças acima, temos:

Nenhuma propriedade do fluido varia com o tempo no escoamento permanente.

Isto significa que:

),,,( tzyx 0

t

Casos especiais da Equação da Continuidade (Conservação da Massa)



Casos especiais da Equação da Continuidade (Conservação da Massa)

),,( zyx

A equação da conservação da massa, pode resumidamente ser escrita na forma:

0VA

SCVC

AdVdt

0

0

0

SC

AdV

b) Escoamento permanente: Compressível

Neste caso específico, implica dizer que no máximo:

No caso de compressível: ρ ≠ constante (mesmo que o escoamento seja

permanente)



c) Equação da Continuidade: Entrada e saída simples

Quando há somente um fluido entrando e saindo do VC:

VAmmm

21

VAm

Pode ser escrita na forma:



Q = A1 v1 = A2 v2 = constante

A equação da continuidade estabelece que:

o volume total de um fluido incompressível (fluido que mantém

constante a massa específica apesar das variações na pressão e na

temperatura) que entra em um tubo será igual aquele que está

saindo do tubo;

a vazão medida num ponto ao longo do tubo será igual a

vazão num outro ponto ao longo do tubo, apesar da área da

seção transversal do tubo em cada ponto ser diferente.

c) Equação da Continuidade: Entrada e saída simples



A vazão líquida de massa para dentro de um volume de controle deve ser igual à vazão

para fora do volume de controle. Matematicamente pode ser escrita assim:

se mmAdVSC

..

A expressão geral para a

conservação da massa num volume de

controle é também conhecida como a

Equação da Continuidade.

Figura 9. Dispositivo com Múltipas Aberturas

d) Equação da Continuidade: com várias entradas e saídas



0..

se mm se mm ..

Em regime permanente, podemos expressar que:

Quando há somente um fluido entrando e saindo do VC:

mmm se

d) Equação da Continuidade: com várias entradas e saídas



Numa seção da superfície de controle que apresenta a área A temos:

QVAAdVmSC

Onde, a vazão em volume para escoamento permanente é dado por: VAQ

2

A

)(2

V

2

A

)(1

V

VC finito

111 AVQ 222 AVQ

Figura 10. Vazão em massa num VC finito

E)Vazão em volume (Q)



d)Vazão em volume (Q)

VAQ

Temos também que:

At

SQ

t

VolumeQ

222 AVQ 111 AVQ



d)Vazão em volume (Q)

VAQ

Temos também que:

At

SQ

t

VolumeQ

UEMA/CCT/DHS

SELETIVO 2010

Aplicação Prática

da Equação da Conservação da

Massa (Equação da continuidade)



A utilização e as aplicações da conservação da massa são inúmeras. Pode ser

aplicada para solução de problemas e realização de projetos de vários

equipamentos na engenharia. Podemos citar alguns exemplos na engenharia:

1. Dispositivos passivos, como: tubos, bocais, difusores, válvulas, etc.

Aplicação Práticas da Equação da Conservação da Massa

(Equação da Energia)

A maioria dos dispositivos e aplicações envolve o escoamento de substâncias:

Figura 11. Dispositivos passivos.

a) Difusores b) Bocais c) Válvulas



2. Dispositivos ativos que envolvem trabalho, tais como: turbinas e bombas,

b) Motor a Jato a) Turbinas hidráulica

Figura 12. Dispositivos que envolvem trabalho.

Aplicação Práticas da Equação da Conservação da Massa

(Equação da Energia)



Considere a situação em que água escoa em regime permanente num bocal cônico que é alimentado pelo escoamento proveniente de uma mangueira. Na seção de saída a velocidade é 20m/s e diâmetro de 40mm. Qual deve ser a vazão em volume da bomba para que a velocidade da seção de descarga seja igual a 20m/s?

1. Exemplos Práticos da Equação em um bocal cônico

Figura 13. Dispositivos passivos - bocal

Aplicação da Conservação da Massa (Equação da Continuidade)



Aplicando a Equação da Continuidade num VC, temos

0

SCVC

AdVdt

012

..

mmAdVSC

Como o regime é permanente, a equação acima ficará:

De modo que: 1212

....

0 mmmm

Como a vazão em massa é igual ao produto da massa específica do fluido pela vazão

em volume, temos que:

1122 QQ

mmmmm 1212

....

0





12 12 QQ

smQQ xx /³00251,004,04

202

21

2

2222214

DVAVQQ

Vamos admitir que o escoamento é incompressível (escoamento de baixa

velocidade). Assim:

Logo:

Assim, a vazão em volume da bomba (também conhecida como capacidade da bomba)

é igual a vazão em volume na seção de descarga do bocal. Se, por simplicidade,

admitirmos que o escoamento é unidimensional na seção de descarga do bocal, podemos

chegar à seguinte combinação:

Logo, o vazão em volume no bocal de entrada será:




Exercícios de Estudos para Prova

1. Defina e dê exemplo de Sistema e Volumes de controle.

2. Escreva cada uma das 5 leis básicas para um sistema e

nomeie cada um de seus termos.

3. Escreva o teorema de transporte de Reynolds e explique

cada um de seus termos.

4. Escreva a equação da conservação de massa e explique-a.

5. Explique a diferença de um escoamento incompressível e

escoamento compressível.

6. Qual o conceito de vazão em volume? Escreva a equação e

explique cada termo.



CONCLUSÃO:

A equação da continuidade é uma poderosa ferramenta para resolução de

problemas na engenharia relacionado especialmente àqueles em que há

fluxo de massa em sistemas que envolvem volume de controle;

Os problemas práticos que envolvem o uso da equação da continuidade

podem ser melhor entendidos adotando hipóteses simplificadoras durante a

solução.


1. FOX; MCDONALD, A.T., Introdução à Mecânica dos Fluidos. LTC Editora, 5ª Edição.

2. SONTAG, R; VAN WYLEN. Fundamentos da Termodinâmica, Edgard Bluxher, 2009;

3. White, F.M., Mecânica dos Fluidos, McGraw-Hill;

4. Cengel, Y.A., & Cimbala, J.M., Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e Aplicações, McGraw-Hill;

5. Munson, B., Young, D. & Okiishi, T., Fundamentals of Fluid Mechanics, Wiley.

6. STREETER, Vitor L. , Wylie, E. Benjamin – Mecânica dos Fluidos. São Paulo. McGraw-Hill do Brasil, Ltda. 1982. 7edição.

7. Ranald. V. Giles, Jack B Evett, Cheng Liu. Mecânica de Fluidos e Hidráulica. 2ªEdição. Editora ABDR, 1996.

8. Outros

Bibliografia consultada

4. sistema e volume de controle

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