4 sistemas com um grau de liberdade

1

Vibração e Ruido

Universidade Metodista de Angola Faculdade de Engenharia Mecâtronica

Prof. MSc. Davyd da Cruz Chivala

Davyd da Cruz Chivala 2

Programa

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.1-Resposta em vibração livre não amortecida 3.2-Resposta em vibração livre com amortecimento

viscoso 3.3-Resposta me Vibração livre amortecida 3.4-Movimento harmonico da base de suporte 3.5-Transmissibilidade. Isolamento de vibrações


3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.1-Resposta em vibração livre não amortecida


3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2-Resposta em vibração livre com amortecimento viscoso



Assumindo solução do tipo (1) teremos: que se pode tambem escrever A solução desta equação subistituindo na eq.1 teremos:

(2)

Analizando (2) temos: 1. o termo eh exponencialmente decrescente

( ) tCetq λ=

02 =++ kcm λλ 02 =++mk

mc λλ

mk

mc

mc

−

±−=

2

2,1 22λ

( ) tt eCeCtq 2121

λλ +=

( )

( )

+=

+=

−

−

−

−

−

−−

−

+−

tmk

mct

mk

mc

mc

tmk

mc

mct

mk

mc

mc

eCeCetq

eCeCtq22

22

2

2

2

12

22

2

22

1

mc

e 2−



2. Quando os expoentes serão numeros reais e não ocorrera oscilações, nestas condições o sistemas chaman-se superamortecidos

3. Quando os expoentes serão numeros imaginarios e ocorrerão oscilações , caracteristica de um movimento oscilatorio subamortecido

4. Quando tem caracteristica de amortecimento critico, quando perturbabo o sistema não oscila e volta rapidamente para a posição de equilibrio.

mk

mc

<

2

2

mk

mc

>

2

2

mk

mc

=

2

2



Coeficiente de amortecimento Factor de amortecimento

nc mc ω2=

kmC

CC

c 2==ξ


3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.1-Movimento oscilatorio subamortecido

A equação tambem pode ser escrita

da seguinte forma subistituindo em

(2) temos e apois manipulações matematicas chega-se a: (3)

( )10 << ξ

mk

mc

mc

−

±−=

2

2,1 22λ

122,1 −±−= ξωξωλ nn

( )

+= −−−− ttt nnn eCeCetq 1

21

1

22 ξωξωξω

( ) ( ) ( )[ ]tBtAetq ddtn ωωξω sincos += −



Em que conhecida como frequencia angular natural amortecida

A e B obtidas por condições iniciais de deslocamento e de velocidade

outra forma comun de apresentar (3)

( )10 << ξ

21 ξωω −= nd

( )( ) ( )

2100

0

ξωξω−

+=

=

n

nqqB

qA

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

+

=

++=

+=

−

−

000tan

000

sin

1

22

qqq

qqqC

tCetq

n

d

d

dn

dtn

ξωωφ

ωωξω

φωξω



( )10 << ξ


3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.2-Movimento superamortecido

A solução eh dada por

A e B são obtidas por condições iniciais

( )1>ξ

( ) tt nn BeAetqωξξωξξ

−−−

−+−

+=11 2222

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )12

010

12010

2

2

2

2

−

−−+=

−

−++=

ξω

ωξξ

ξω

ωξξ

n

n

n

n

qqB

qqA



( )1>ξ



A solução é dada por

( )1=ξ

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]000 qttqqetq ntn ++= − ωω


3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.3-Decremento logaritmico

( )10 << ξ

( ) ( )φωξω += − tCetq dtn sin

( )( )

++

= −

−

φωφωδ ξω

ξω

11

0

sinsinlnln

1 tCetCe

qq

dt

dt

n

n

dttt += 01


3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.3-Decremento logaritmico

apois manipulações algebricas temos:

Ou ainda da forma

212

ξπξδ−

=

224 δπδξ+

=


3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio

Calcula a equação do movimento e a frequencia natural não amortecida do sistema



Considere um sistema massa-mola-amortecedor com massa m=20kg e de deslocamento inicial x0=0.01m conforme figura abaixo. Estime os coeficientes equivalentes de rigidez e amortecimento viscoso deste sistema



Uma haste delgada fina uniforme de massa m e de comprimento l eh articulada em A e esta ligada a quatro molas lineares e uma torcional, como mostra a figura abaixo. Determine a frequencia natural não amortecida se

mlradmNKmNK t 5,.1000,2000 ===



Determine a equação de movimento e frequençia natural da barra rigida OA de comprimento l e massa m, conforme figura abaixo.


3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4-Vibrações forçadas

Considere a equação do movimento massa-mola-amortecedor no caso em que temos uma força harmonica actuando no sistema

sendo F(t) harmonica teremos: Em que F é a amplitude da força e é medida em N

esta equação é diferencial não ordinaria e a solução é dada pela soma das

( )tFkqqcqm =++ ( ) ( )tFtF ωsin=

( )tFkqqcqm ωsin=++



ou seja a soma da solução homogenia que ja foi calculada nos pontos anteriores e de uma solução particular que adimite-se que seja do tipo:

subistituindo em teremos: e a solução particular é dada por:

tiAeq ω=

( ) ( ) ( )tqtqtq ph +=

( )tFkqqcqm =++

( ) titi FeAecikm ωωωω =++− 2

( ) ( ) ( )titi Fe

cmkcimkFe

cikmtq ωω

ωωωω

ωω 222

2

2

1+−

−−=

++−=



aonde

em que a parte imaginaria é:

( ) ( ) ( )( ) titi FeHFe

cmkcimktq ωω ω

ωωωω

=+−

−−=

222

2

( ) ( ) ( )222

2

cmkcimk

FAH

ωωωωω

+−

−−==

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

−−

+−=

+−

−+−= −

21

222222

2

sinsincosω

ωωωωωω

ωωωωmk

ctgtcmk

FFcmk

tmktctq



A equação tem solução:

A solução geral é composta por um termo transitorio e um estacinario.

A amplitude da resposta forçada é dada por:

( ) ( ) ( )tqtqtq ph +=

( ) ( )( ) ( )

−−

+−++= −−

21

22221 sinsincos

ωωω

ωωωωξω

mkctgt

cmk

FtAtAetq aatn

( ) ( ) ( ) ( )222222 21

1

ξββωω +−=

+−=

kF

cmk

FAnωωβ =



O factor de ampliação é dado por:

( )( ) ( )222 21

1,ξββ

βξ+−

===F

kAAAM p

st


3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.1-Ressonância

Ocorre quando a frequencia de exitação é igual a frequencia natural do sistema

Em projectos deve-se sempre evitar estar zona pois induzem vibrações de grandes amplitudes ao sistema


3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.1-Ressonância

O pico de resonância que é o valor maximo de M é obtido por:

E

( )nd

dMωωξβ

ββξ

=−=⇒= 2210,

2max121

ξξ −=M


3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.2-Vibrações causadas por forças de desbalanceamento em

maquinas rotativas No caso em que temos maquinas rotativas com massa

desbalanceada, o sistema é excitado por esta massa a sua velocidade angular com a sua excentricidade

ω ε



maquinas rotativas A força de desbalance é:

A equação do movimento é dada

A amplitude de vibração em regime permanente sera

dada por

( )temkqqcqm ωω sin20=++

( ) ( )temtFe ωω sin20=

( ) ( )222

20

21 ξββ

ω

+−=

kemqp



maquinas rotativas A quantidade representa a quantidade de

desbalanceamento do sistema. Em geral é obtido a partir de teste experimental para procurar adidionar

massas para corrigir este desbalanceamento, uma vez que esta excitação em niveis muito grandes pode

Comprometer o funcionamento de uma maquina e siminuir o seu tempo de vida util. Dividindo

por m obtém-se o factor de Amplição adimensional

em0

( ) ( )222

20

21 ξββ

ω

+−=

kemqp

em0

( )βξ ,Λ



maquinas rotativas

( )( ) ( )222

2

0 21,

ξββ

ββξ+−

=Λ=em

mqp



maquinas rotativas

e ocorre quando 2max

121

ξξ −=Λ

2max121

ξξβ

−=


3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.3- Movimento harmonico da base de suporte

No caso em que a base de suporte do sistema sofre um

movimento harmonico



A equação diferencial do movimento:

ou

O deslocamento do suporte é harmonico dado por

E a resposta sera da forma subistituindo na

equação do mov. Teremos

e

( ) 0)( =−+−+ yqkyqcqm kyyckqqcqm +=++

tiYey ω=

( )φω −= tiAeq

( )( ) ( )222

2

2121

ξββξβ+−

+= YA ( ) ( )222

21

212

ξββξβφ+−

= −tg



A relação A/Y é conhecida como transmissibilidade

( )( ) ( )222

2

2121

ξββξβ+−

+=

YA


3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibrações

Transmissibilidade de forças, consiste em estudar

mecanismo de modo a minimiza os esforços transmitidos as fundações ou lugar aonde esta apoiada as maquinas

As forcas transmitidas são por dois processos: atravez da rigides K z dos amortecedores C



A força transmitida

qcKqftr +=



Admitindo excitação harmonica, a magnitude e fase da força aplicada e das outras forças sera:

e a resposta ao sistema sera dado por

assim a força transmitida sera

tiapap eFF ω=

apFcimk

Aωω +−

= 2

1



Transmissibilidade=TR=

Graficamente temos:

aptr Fcimk

cikcAiKAFωω

ωω+−

+=+= 2

( )( ) ( )222

2

2121

ξββξβ+−

+=

ap

tr

FF



Verifica-se que Fap e Ftr são iguais no ponto em que Ou seja Ftr soh eh maior que Fap quando

2=β

nωω 2>


3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicios

1. Uma maquina com 45kg, eh montada em cima de um

isolador não-amortecido, composto de quatro molas em paralelo com rigidez de em cada mola. Quando opera a uma velocidade de 32Hz, a amplitude em regime permanente corresponde 0 1.5mm. Qual eh a magnitude da força que excita esta maquina nesta velocidade?

mN2102×

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