40891 8 mindlin reissner

Analisis de placas y lamina 4

o las funciones de tensión en los nodos. De esta forma las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de la placa pasan a ser un sistema de ecuaciones algebraicas con numerosas incógnitas. La función algebraica resultante para todos los nodos se obtiene con la ayuda de un polinomio de interpolación. Esto hace necesario la colocación de nodos ficticios fuera de la geometría de la placa y la aplicación de la condiciones de contorno para valorar las incógnitas en dichos puntos. La solución por diferencias finitas ha sido utilizada básicamente para problemas de placas delgadas. Otro análisis muy utilizado es el análisis como emparrillado plano. La geometría de la estructura se modela mediante un conjunto de barras longitudinales y transversales conectadas rígidamente entre sí en un conjunto de puntos. La barra, gobernada por la teoría general de vigas, se convierte en el elemento fundamental. El método es ampliamente aplicable en placas y puentes. Se ha presentado, en muchos casos, como una alternativa al método de los Elementos Finitos para obtener una respuesta de la estructura lo más exacta posible. 22..33..-- MMÉÉTTOODDOO DDEE LLOOSS EELLEEMMEENNTTOOSS FFIINNIITTOOSS Entraría a formar parte de los métodos aproximados pero es la herramienta más versátil para la solución de los problemas de flexión de placas. Los problemas de placas constituyeron una de las primeras aplicaciones del método. Los problemas de placas o de lo que se podrían llamar “elementos laminares delgados” planos, se diferencia en esencia, en las hipótesis sobre el giro de las normales al plano medio. Tal como ya se había introducido en un principio, esto nos distingue dos teorías. La teoría de placas delgadas de kirchhoff establece que las normales al plano medio se mantienen rectas y ortogonales a la deformada del plano medio. Esto permite despreciar la deformación por cortante pero limita el espesor de las placas. De aquí la aparición de teorías mas avanzadas como la de Reissner-Mindlin que mantienen la condición de deformación recta de la normal, pero no exigen su ortogonalidad con la deformada del plano medio. La teoría de Reissner- Mindlin permite desarrollar elementos finitos más sencillos que en el caso de la teoría clásica de Kirchhoff, y válidos tanto para el análisis de placas delgadas como para el de placas gruesas. Los elementos de Kirchoff son más limitados y complejos aunque quizás más seguros para el análisis de placas delgadas. Es difícil decidir cual de las teorías es más recomendable, pero parece la balanza que se va decantando cada vez más en el uso de los elementos de Reissner-Mindlin. El método de los elementos finitos es una herramienta muy versátil pero precisa de una discretización en cada dimensión de los problemas. Por tanto generalmente requiere más incógnitas por la aproximación que otros métodos. Muchas estructuras tienen propiedades geométricas constantes a lo largo de una dirección. Como las placas o de forma más general, las estructuras denominadas ‘prismáticas’, en las que la sección transversal no varía en dirección longitudinal. En todas estas estructuras, si las propiedades mecánicas de los materiales son también constantes en la dirección prismática, puede simplificarse el análisis combinando el método de los elementos finitos con desarrollos en series de Fourier para modelar el comportamiento transversal y longitudinal respectivamente.


Se combina la expresión del comportamiento de las variables longitudinales en series de Fourier con el desarrollo con elementos finitos (unidimensionales) en dirección transversal. Esto da un procedimiento que permite eliminar las variables asociadas a la dirección longitudinal, y resolver el problema por aplicación sucesiva de un problema unidimensional en el que solo intervienen las variables asociadas a la discretización de la sección transversal. Esto se traduce en un importante ahorro en cuanto al número de variables que intervienen en cada solución, por consiguiente en necesidades de almacenamiento de datos y del volumen total del cálculo.

Este procedimiento es conocido como método de la Banda Finita o The finite strip

method. Fue desarrollado en sus aspectos prácticos por Cheung [3] y Loo & Cusens [4] desde finales de los sesenta.

La filosofía del método es similar al método de Kantorovich que se usa de forma

general para reducir ecuaciones en derivadas parciales a ecuaciones diferenciales ordinarias o en derivadas parciales de orden inferior. La utilización de esta práctica para el análisis de placas con la teoría de Kirchhoff se debe a Cheung [3], y posteriormente también Cheung [3] y Loo & Cusens [4] ampliaron este método para el análisis de puentes y estructuras laminares. La aplicaron del método de la banda finita a diferentes estructuras prismáticas utilizando la teoría de Reissner- Mindlin ha sido tratada por Oñate y Suárez [5]. Seguidamente se van a presentar las generalidades del método de la banda finita.


3.- GENERALIDADES DEL MMÉÉTTOODDOO DE LA BANDA FINITA 3.1.- TEORÍA GENERAL DE LA BANDA FINITA El primer paso del cálculo del método es desarrollar los movimientos de la banda longitudinal (o dirección prismática) de la estructura, con funciones aproximadoras. Los métodos en principio apuestan por usar funciones polinómicas simples en una dirección y series trigonométricas o hiperbólicas continuas y diferenciables en la otra. La fórmula general de los movimientos se da como un producto entre funciones polinómicas y series. De forma general se puede decir que toda aquella serie que puede satisfacer a priori las condiciones de contorno en los extremos de la banda puede ser utilizada. Así para un movimiento genérico ),( yxa , se tiene: donde y es la dirección longitudinal de la estructura, a el vector movimientos en un punto, al el vector de amplitudes nodales de los movimientos para el armónico l y Sl una matriz que contiene las funciones armónicas, trigonométricas o hiperbólicas que cumplen con las condiciones de contorno de la estructura. El segundo paso a efectuar es discretizar el campo de amplitudes nodales al a lo largo de la sección transversal de la estructura utilizando elementos finitos de la manera usual: donde Ni(x) son las funciones de forma unidimensionales asociadas a los elementos finitos de n nodos que discretizan la sección transversal de la estructura, al

i el vector de amplitudes nodales de los movimientos del nodo i para el armónico l. Combinando las ecuaciones (3.1) y (3.2) resulta: En la siguiente Figura (Figura 3.1) se muestra un ejemplo del proceso de discretización de una placa en bandas finitas de dos nodos:

)()(),(1

xySyx lm

l

l aa ⋅= ∑=

li

n

ii

l xx aNa ∑=

⋅=1

)()(

li

m

li

n

i

llm

l

l xySxySyx aNaa ∑∑∑= ==

⋅⋅=⋅=1 11

)()()()(),(

(3.1)

(3.2)

(3.3)


Figura 3.1 Ejemplo de la discretización de una placa en bandas finitas de dos nodos

( fuente [6] ).

El hecho que la ecuación separe las variables de ),( yxa como producto de una función polinómica Ni(x) y una expresión analítica conocida Sl hace que estos procedimientos se conozcan también con el nombre de “métodos semianalíticos”. Al sustituir la expresión anterior en el vector deformaciones la expresión en función de las amplitudes nodales al

i queda como donde l

iB es la matriz de deformación del nodo i para el armónico l. De igual forma la ecuación constitutiva puede expresarse de forma general como

li

m

l

li

n

i

l xy aBSε ∑∑= =

⋅⋅=1 1

)()(ˆ

li

m

l

li

n

i

l xy aBSDσ ∑∑= =

⋅⋅⋅=1 1

)()(ˆˆ (3.5)

(3.4)

li

ii

l aNa ∑=

⋅=2

1

lm

l

lS aa ⋅= ∑=1


Por otra parte las cargas deben ser expresadas también en series de Fourier utilizando los mismos desarrollos que para los movimientos. donde las amplitudes nodales de la carga l pueden obtenerse, aplicando el Teorema de Euler (si la carga es constante). Se obtiene un coeficiente típico de Fourier a partir de los datos sobre las fuerzas exteriores. En un análisis por elasticidad, la expresión de la de energía potencial de la estructura, viene dada por la expresión: donde es el vector de desplazamientos de la placa, b, t y p son los vectores de fuerzas de volumen, superficie y a lo largo de una línea de dominio Γ , respectivamente. Se puede escribir la energía potencial como la suma de las contribuciones de la energía de las bandas según la expresión: siendo Ae el área de la banda e. Sustituyendo (3.4), (3.5), (3.9) en la expresión (3.10) obtenemos la expresión de la energía potencial para toda la estructura:

∑=

=m

l

ll

1

[ ]∫∫

∂⋅

∂⋅⋅= b l

y

y

l

l

y

y

0

2

1

Γ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅=∏ ∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫Γ

ddSdVdV T

S

T

VV

T σε21)(

(3.6)

(3.7)

(3.8)

∑=

=m

l

ll

1∑=

=m

l

ll

1∑=

=m

l

ll

1

(3.9)

(3.10)

∑ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∑

Γ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅=∏=∏

Γe

T

A

T

A

T

A

T

e

e ddAdAdAeee )()()(2

1)()( σε

(

)∫ ∑∑∑

∫ ∫ ∑∑∑∫ ∫ ∑∑∑

∫ ∫ ∑∑∑∑∑∑

Γ == =

== === =

= == =

Γ⋅

⋅⋅−

⋅

⋅⋅−⋅

⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=∏=∏

dxyS

dAxySdAxyS

dAxyxy

m

r

rrT

li

m

li

n

i

l

A

m

r

rrT

li

m

li

n

i

l

A

m

r

rrT

li

m

li

n

i

l

A

rj

m

r

rj

n

j

rT

li

m

l

li

n

i

l

ee

e

ee

e

11 1

11 111 1

1 11 1

)()(

)()()()(

)()(ˆ)()(ˆ21)()(

)()(

)(

aN

aNaN

aBSDaBS

(3.11)


Simplificando la expresión anterior

Se define )(][ elrijK como la matriz de rigidez de la banda, (e), que relaciona los nodos i y j

para el armónico l, y [ ] )(eli como el vector de fuerzas nodales equivalentes de la banda,

(e), asociadas con el nodo i para el armónico l de la serie, con las expresiones siguientes: Sustituyendo (3.13) y (3.14) en (3.12), la energía potencial de la banda, (e), queda simplificada como: Sumando las contribuciones de la energía de todas las bandas obtenemos la energía potencial total de la estructura en función de los desplazamientos de los nodos. La condición de que dicha energía tome un valor mínimo en la posición de equilibrio se expresa como: Esto nos permite obtener las ecuaciones algebraicas de equilibrio de la estructura discretizada en función de los desplazamientos de los nodos. Dichas ecuaciones se escriben en la forma matricial siguiente: donde K y f son, respectivamente, la matriz de rigidez y el vector de fuerzas nodales equivalentes de la estructura. Estos pueden obtenerse ensamblando las contribuciones de los diferentes elementos de banda finita (3.13) y (3.14).

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

Γ⋅−

⋅−

⋅−

⋅⋅=∏

∫

∫ ∫∫ ∫∑∑∑

∑∑∑∑ ∫ ∫

Γ

= = =

= = = =

dxyS

dAxySdAxyS

dAxyxy

rrTi

l

A

rrTi

l

A

rrTi

lTli

m

l

n

i

m

r

m

l

n

i

m

r

n

j

rj

A

rj

rTli

lTli

e

ee

e

)()(

)()()()(

)()(ˆˆ)()(ˆ21)(

)()(

)(

1 1 1

1 1 1 1

N

NNa

aBSDBSa

(3.12)

0)(=

∂∏∂

lia

fK =⋅

( ) ( ) ( ) [ ] )(

1 1 11 1 1 1

)(][21)( el

iTl

i

m

l

n

i

m

r

m

l

n

i

m

r

n

j

rj

elrij

Tli

e aaKa ∑∑∑∑∑∑∑= = == = = =

−=∏

( )∫ ∫ ⋅⋅=)(

)()(ˆˆ)()(ˆ][ )(

eA

rj

rTli

lelrij dAxyxy BSDBSK

[ ] ( ) ( ) ( )∫∫ ∫∫ ∫Γ

Γ⋅−⋅−⋅= dxySdAxySdAxyS rrTi

l

A

rrTi

l

A

rrTi

leli

ee

)()()()()()()()(

)( NNN

(3.13)

(3.15)

(3.16)

(3.17)

(3.14)


Una vez obtenidas las diferentes amplitudes l pueden calcularse los movimientos, deformaciones y tensiones en cada sección transversal que se desee por las ecuaciones (3.3), (3.4), (3.5), respectivamente. 3.2.- BANDA FINITA CLÁSICA vs. BANDA FINITA USANDO B3-SPLINES

El proceso descrito en el apartado anterior corresponde al método de la banda

finita clásica. En banda finita clásica las funciones dentro de la matriz Sl son funciones armónicas, trigonométricas o hiperbólicas. La reciente investigación ha desarrollado la discretización de la banda usando esplines, ‘the spline finite strip’. Junto con las funciones de forma tradicionales del MEF, han incrementado la flexibilidad en la capacidad de escoger funciones interpoladoras, permitiendo el uso de la discretización con funciones polinómicas en todas las direcciones.

La teoría de banda finita con esplines ha surgido como respuesta para superar las

dificultades que presenta el método de la banda finita clásica cuando se enfrenta a estructuras ‘multi-span’ o estructuras soportadas por columnas. Se han escogido funciones B3-splines para sustituir las series trigonométricas y las series hiperbólicas en la interpolación de funciones para el análisis de placas y láminas.

Los B3-splines son, en realidad, la solución de una viga bajo una carga puntual.

Esto genera que las bandas de esplines demuestren una mejora considerable en la mejora de la convergencia en la simulación de las cargas puntuales. En conjunción con el concepto de transformación del dominio, el método maneja fácilmente las estructuras con formas arbitrarias. Además permiten elaborar sección por sección todas las matrices y vectores que intervienen en el análisis.

La integración para la formación de estas matrices y vectores puede llevarse a

cabo mediante formulas explícitas (en dominios regulares) o integración numérica (en dominios arbitrarios). Se tiene que añadir que una de las ventajas destacables es que, además de ser igual de versátil que el método de banda finita clásica, el método permite continuidad C2 con un número inferior de grados de libertad.

El proceso de discretización es el mismo para el caso de banda finita clásico y

para el caso de esplines. Estos dos procesos se van a introducir con detalles en el análisis de placas rectangulares que se explicará a continuación. En el Anejo II se introducen los esplines no-periódicos, que son los que satisfacen las propiedades de la delta de Kronecker en los contornos.


4.- ANÁLISIS DE PLACAS RREECCTTAANNGGUULLAARREESS POR EL MÉTODO DE LA BANDA FINITA.

Antes se ha explicado que los métodos de análisis de placas y láminas se fundamentan básicamente en las teorías de Kirchhoff y Reissner-Mindlin. A continuación se expondrán de forma general las hipótesis que rigen las dos teorías y su desarrollo de aplicación en banda finita.

Figura 4.1 Definición geométrica de una placa y convenio de signos para

desplazamientos y giros (fuente [6]). 4.1.- TEORÍA DE KKIIRRCCHHHHOOFFFF Se expondrá de forma muy sintética la formulación de la teoría. Para más detalle se puede consultar cualquier libro que trate sobre la teoría de placas o sobre el MEF en el cálculo de placas. 4.1.1.- HHiippóótteessiiss FFuunnddaammeennttaalleess Las Hipótesis sobre las que se basa la teoría de placas de kirchhoff son las siguientes:

1) Los puntos del plano medio solo se mueven verticalmente ( u = v = 0). 2) Todos los puntos contenidos en una normal al plano medio tienen el mismo

desplazamiento vertical. 3) La tensión normal σz es despreciable. 4) Los puntos sobre las rectas normales al plano medio antes de la deformación,

permanecen sobre rectas también ortogonales a la deformada del plano medio después de la deformación.

4.1.2.- CCaammppoo ddee ddeessppllaazzaammiieennttooss Teniendo en cuenta las hipótesis anteriores:

),(),,( yxzzyxu xθ⋅−=),(),,( yxzzyxv yθ⋅−=

),(),,( yxwzyxw = (4.1)


La hipótesis 4 permite que los giros se expresen como la derivada de los desplazamientos, Figura 4.2. Figura 4.2 Deformación del plano medio de una placa delgada y giro de la normal

(fuente [6]).

Entonces el vector de desplazamientos se escribe como:

La deformación recta a la normal no es nada más que una aproximación, equivale a suponer un giro medio, uniforme para cada normal, esto simplifica el problema. En realidad la sección transversal se distorsiona con la deformación. (Figura 4.2) y el ángulo xθ (o yθ ) , depende de la altura sobre el plano medio.

Se tiene que añadir que la hipótesis de ortogonalidad de la normal solo se cumple para placas de pequeño espesor, como ya se había introducido. Se considera que el

espesor es pequeño cuando la relación espesor-ancho medio 05.0≤Lt y que, el espesor

es moderado o grande cuando 10.0≤Lt . En este último caso la distorsión de la sección

aumenta con la deformación de manera que se pierde la ortogonalidad entre la “normal al plano medio” y el plano medio. En estos casos la teoría de Reissner-Mindlin representa una mejor aproximación de la deformación real de la placa.

xw

x ∂∂

=θyw

y ∂∂

=θ

T

yw

xww

∂∂

∂∂

= ,,u

(4.2)

(4.3)


44..11..33..-- CCaammppoo ddee ddeeffoorrmmaacciioonneess,, tteennssiioonneess yy eessffuueerrzzooss El vector de deformaciones se reduce a { }yxyx γεε ,,=ε ya que zxγ y yzγ son nulas debido a la cuarta hipótesis de Kirchhoff. La hipótesis tres, a su tiempo conduce que el trabajo de deformación zzεσ sea nulo, por lo tanto se prescinde de la deformación zε en el análisis. Por tanto se puede escribir simplemente que:

El vector de tensiones asociado al vector de deformaciones independientes de la placa es: Expresión que proviene de la relación general entre tensiones y deformaciones de la elasticidad tridimensional. La matriz D, matriz de constantes elásticas del material tiene la forma: Para material isótropo Se define el vector de esfuerzos como donde Mx, My son los momentos flectores producidos por las tensiones en x, y y Mxy es el momento torsor producido por la tensión tangencial.

f

xy

y

x

z

yxwz

ywz

xwz

εε ⋅=

∂∂∂

−

∂∂

−

∂∂

−

=

=

2

2

2

2

2

2γεε

Dεσ =

=

xy

y

x

τσσ

−−

=

xyxyyx

yxyx

xxyx

xyyx GvvEEv

EvE

vv)1(00

00

11D

−−=

2100

0101

11

2 vv

v

vD

dzzMMM t

t

xy

y

x

f σσ ∫+

−=

= 2

2

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)


44..11..44..-- CCaammppoo ddee eessffuueerrzzooss yy ddeeffoorrmmaacciioonneess ggeenneerraalliizzaaddaass

Los vectores de esfuerzos generalizados y de deformaciones generalizadas (o curvaturas) tienen las expresiones siguientes, respectivamente: donde es la matriz constitutiva de flexión.

La relación entre vectores de deformación y deformación generalizada es inmediata.

Figura 4.3 Convenio de signos para tensiones y momentos en una placa (fuente [6]).

44..22..-- TTEEOORRÍÍAA DDEE RREEIISSSSNNEERR--MMIINNDDLLIINN 44..22..11..-- HHiippóótteessiiss FFuunnddaammeennttaalleess Las tres primeras hipótesis sobre las que se basa la teoría de placas de Reissner-Mindlin coinciden con las de Kirchhoff , solo cambia la hipótesis de ortogonalidad. Todas ellas se citan a continuación:

fff

t

t

t

tf dzzdzz εDεDDσσ ˆˆˆ 2

2

22

2

=== ∫∫+

−

+

−

)

DD12

ˆ3t

f =

∂∂

∂−

∂∂

−∂∂

−=yx

wyw

xw

f

2

2

2

2

2

2,,ε(4.7b)

(4.8)

ff zεε ˆ=

(4.7a)

(4.9)


1) Los puntos del plano medio solo se mueven verticalmente ( u = v = 0). 2) Todos los puntos contenidos en una normal al plano medio tienen el mismo

desplazamiento vertical. 3) La tensión normal σz es despreciable. 4) Los puntos que antes de la deformación estaban sobre la normal al plano

medio de la placa, permanecen al deformarse sobre una misma recta, sin que ésta tenga que ser necesariamente ortogonal a la deformada del plano medio.

4.2.2.- CCaammppoo ddee ddeessppllaazzaammiieennttooss Teniendo en cuenta las hipótesis anteriores: donde xθ , yθ son los ángulos que definen el giro de la normal. De la hipótesis 4 sobre el giro de la normal se obtiene: En este caso los giros de la normal en un punto se componen de dos términos, el

del cambio de pendiente al plano medio xw∂∂ y el giro adicional xφ de la normal debido a

que no permanece ortogonal al plano medio (lo mismo para el plano xz que para el yz ).

Esta es la diferencia fundamental entre las dos teorías de placas. Figura 4.4 Convenio de signos para los movimientos y giro de la normal en la teoría de

placas de Reissner-Mindlin (fuente [6]).

),(),,( yxzzyxu xθ⋅−=

),(),,( yxzzyxv yθ⋅−=

),(),,( yxwzyxw =

xx xw φθ +∂∂

= yy yw φθ +∂∂

=

(4.10)

(4.11)


44..22..33..-- CCaammppoo ddee ddeeffoorrmmaacciioonneess,, tteennssiioonneess yy eessffuueerrzzooss La hipótesis de no ortogonalidad de la normal se traduce en que la deformaciones transversales xzγ y yzγ no sean nulas. Si se consideran nulas se recupera la hipótesis de ortogonalidad de Kirchhoff. En este caso el vector de tensiones no nulas se define por: donde fσ y cσ representan los vectores de tensiones debidas a efectos de flexión y cortante transversal, respectivamente. El vector de deformaciones asociado al de tensiones es: donde fε y cε representan los vectores de deformación de flexión y de cortante transversal. La relación tensión-deformación es análoga a la que obtenida en la teoría de Kirchhoff: en que fD y cD son las matrices constitutivas a flexión y a cortante, respectivamente. En el caso de elasticidad ortótropa se escriben así:

=

=

c

f

yz

xz

xy

y

x

σ

σ

ττ

τσσ

KK

σ

=

−∂∂

−∂∂

∂

∂+

∂∂

−

∂

∂−

∂∂

−

=

=

c

f

y

x

yx

y

x

yz

xz

xy

y

x

ywxw

xyz

yz

xz

ε

ε

θ

θ

θθ

θ

θ

γγγεε

...................

)(ε

Dεσ =

=

=

c

f

c

f

c

f

D

D

ε

ε

σ

σ.....

0

0.....

'M

KKK

M

−−

=

xyxyyx

yxyx

xxyx

xyyxf

GvvEEv

EvE

vv)1(00

00

11D

(4.12)

(4.13)

(4.14)

(4.15)


Si el material es isótropo, entonces

Además, se tiene que añadir, que, de acuerdo con la teoría de la elasticidad, la distribución ‘exacta’ de tensiones tangenciales transversales no es constante a través del espesor (Figura 4.5). La teoría de Reissner-Mindlin hereda esta distribución de tensiones constante debido al campo de desplazamientos supuesto. Para sortear este problema se afecta a las tensiones transversales de un coeficiente de manera que el trabajo de deformación de la mismas coincida con el realizado por las tensiones transversales ‘exactas’. A la práctica se escribe donde 1α y 2α son los coeficientes de distorsión transversal. En placas de espesor

constante y material homogéneo es normal tomar 65

21 ==αα .

Figura 4.5 Convenio de signos para las tensiones τxz y τyz (fuente [6]).

44..22..44..-- CCaammppoo ddee eessffuueerrzzooss yy ddeeffoorrmmaacciioonneess ggeenneerraalliizzaaddaass A partir del vector de esfuerzos en un punto del plano medio, se obtienen los momentos flectores, integrando a través del espesor, el momento con respecto al plano medio de las tensiones xσ , yσ y xyτ , y los cortantes, integrando las tensiones tangenciales transversales xzτ , yzτ :

=

yz

xzc G

G0

0'D

)1(2 vEGGG yzxzxy −

===

EEE yx == vvvv yzxzxy ===

cccyz

xz

cG

GεDεσ =

=

2

1

0

0

α

α

(4.17)

(4.18)

(4.16)


operando adecuadamente donde son las matrices constitutivas generalizadas de flexión y cortante, respectivamente. Las deformaciones generalizadas de flexión y cortante por otro lado se expresan como sigue donde fε y cε pueden interpretarse como los vectores de curvaturas y de cizallamientos transversales de un punto de la superficie media de la placa. La relación entre vectores de deformación y deformación generalizada es inmediata.

dzz

dzzzz

QQ

MMM

t

t

c

ft

t

yz

xz

xy

y

x

y

x

xy

y

x

c

f

∫∫+

−

+

−

=

=

=

= 2

2

2

2

.............

ˆ.....ˆ

ˆσ

σ

ττ

τσσ

σ

σσ

=

=

−∂∂

−∂∂

∂

∂+

∂∂

−

∂

∂−

∂∂

−

=

=

= ∫∫

+

−

+

−

cc

ff

cc

fft

t

y

x

c

yx

y

x

f

t

t

c

f

c

f

t

t

ywxw

xyz

yz

xz

z

dzz

εD

εD

εD

εD

D

D

σˆˆ

.........ˆˆ

ˆ.........

ˆ12....................

)(

.....ˆ

.....ˆ

ˆ

3

2

2

2

2

θ

θ

θθ

θ

θ

σ

σ

σ

σ

fft DD12

ˆ3

=cc tDD =ˆ

∂∂

+∂∂

−

∂∂

−

∂∂

−

=

)(

ˆ

xy

y

x

yx

y

x

f

θθ

θ

θ

ε

−∂∂

−∂∂

=y

x

c

ywxw

θ

θε

ff zεε ˆ= cc εε ˆ=

(4.19)

(4.20)

(4.21)

(4.22)

(4.23)

=

c

f

ε

εε

ˆ.....ˆ

ˆ


Finalmente se escribirá la relación constitutiva entre el vector esfuerzos y deformaciones generalizadas, que es análoga a la que hay entre el vector tensiones y deformaciones.

Figura 4.6 Convenio de signos para los esfuerzos en una placa (fuente [6]).

44..33..-- FFOORRMMUULLAACCIIÓÓNN EENN BBAANNDDAA FFIINNIITTAA CCLLÁÁSSIICCAA DDEE RREEIISSSSNNEERR--MMIINNDDLLIINN A partir de las ideas presentadas en el capítulo 3 de forma generalizada y con las hipótesis de Reissner- Mindlin, se va a presentar la formulación particular para placas rectangulares. La formulación con las hipótesis de Kirchhoff se explicará en el apartado siguiente (apartado 4.4).

44..33..11-- DDiissccrreettiizzaacciióónn yy eeccuuaacciioonneess ddee rriiggiiddeezz

La primera etapa es dividir la placa en bandas longitudinales. Cada banda tendrá,

en general, n nodos en la dirección transversal x. Los desplazamientos y giros del plano medio de cada banda se expresarán utilizando una interpolación clásica de elementos finitos unidimensionales en la dirección transversal (x) de la placa (producto de funciones de forma). En la dirección longitudinal de la placa, dirección y, se desarrollaran los movimientos en series de Fourier. El proceso se puede visualizar en la Figura 3.1.

Entonces, como se vio en el capítulo 3, el primer paso del cálculo es desarrollar

los movimientos en series de Fourier a lo largo de la dirección longitudinal, en la que las propiedades geométricas y mecánicas son constantes. El campo de desplazamientos es entonces:

εDσ ˆˆˆ =

)()(),(1

yYxwyxw l

m

l

l∑=

⋅=

)()(),(1

yXxyx l

m

l

lxx ∑

=

⋅= θθ

)()(),(1

yZxyx l

m

l

lyy ∑

=

⋅= θθ

(4.24)

(4.25)


donde la siendo m el numero de armónicos utilizados en el análisis y wl, θx

l, θyl las

amplitudes nodales de los movimientos para el armónico l, y b la longitud de la placa. Las funciones armónicas presentadas en las ecuaciones (4.25) han sido escogidas

para que cumplan las condiciones de contorno de la Figura 4.7. Bordes simplemente apoyados en y=0 e y=b.

para y=0 e y=b Figura 4.7 Ejemplo de una placa simplemente apoyada (fuente [6]).

Para reproducir diferentes condiciones de contorno se escogen otros desarrollos en serie, utilizado funciones trigonométricas e hiperbólicas. Se detallaran las funciones

)(yYl , )(yX l y )(yZl para las otras condiciones de contorno más adelante. Los desarrollos aquí utilizados son los más sencillos y usuales en la práctica, ya

que conducen a que el sistema de ecuaciones del sistema de equilibrio de la estructura (3.16) sea un sistema desacoplado. Tal propiedad se debe a la forma particular de las funciones trigonométricas y se demostrará más adelante.

El segundo paso es discretizar las amplitudes de los movimientos, que como se

puede observar, solo dependen de la coordenada transversal x, ( )(xw l , )(xlxθ , )(xl

yθ ). Es importante destacar este hecho. Las amplitudes de los movimientos se independizan de la dirección y, que queda a manos de las funciones armónicas, que al mismo tiempo no dependen de la dirección x. Esto nos permite discretizar de forma independiente la dirección transversal de la placa como si de elementos finitos unidimensionales se tratara, utilizando las funciones de forma clásicas.

Entonces en un elemento unidimensional de n nodos las amplitudes de los

movimientos se expresan por:

)sin()()( yyXyY ll ⋅== λ )cos()( yyZl ⋅= λ bl πλ ⋅

= (4.26)

0== xw θ

0=∂∂

=∂∂

=∂∂

xxxw yx θθ

con

(4.27)


donde liw , l

ixθ y liyθ son las amplitudes de los movimientos del nodo i para el

armónico l y Ni(x) la función de forma unidimensional de clase C0 en dicho nodo.

Figura 4.8 Funciones de forma para los elementos de banda de Reissner Mindlin lineal,

cuadrático y cúbico (fuente [7]).

De forma sintética se puede decir que, el campo de movimientos se define longitudinalmente por los desarrollos en serie de Fourier (4.25) y transversalmente por la interpolación de elementos finitos (4.28). Uniendo las dos definiciones, el campo de desplazamientos queda como: donde

},{)()}(),(),({ ,1

liy

lix

li

n

ii

ly

lx

l wxNxxxw θθθθ ∑=

⋅= (4.28)

li

m

li

n

i

l xySyx aNa ∑∑= =

⋅⋅=1 1

)()(),(

[ ]Tyxw θθ ,,=a [ ]Tliy

lix

li

li w θθ ,,=a 3)( ΙN ⋅= xNii

=l

l

l

l

CS

S

0

0S

)sin( yS l ⋅= λ)cos( yCl ⋅= λ

(4.29)

(4.30)

)1(21

1 ξ−=N

)1(21

2 ξ+=N

)1(21

1 −= ξξN

)1(21

1 −= ξξN

)1(21

1 ξξ +=N

)1)(31)(

31(

169

1 −−+−= ξξξN

)1)(31)(1(

1627

2 −−+= ξξξN

)1)(31)(1(

1627

3 −++= ξξξN

)31)(

31)(1(

169

4 −++= ξξξN)(2 e

c

lxx −

=ξ


44..33..22-- LLaass ddeeffoorrmmaacciioonneess ggeenneerraalliizzaaddaass yy llooss eessffuueerrzzooss Las deformaciones generalizadas y los esfuerzos en una banda se obtienen

sustituyendo (4.29) en las expresiones ε , σ (4.22),(4.24)de la teoría de Reissner-Mindlin. Después de operar se llega a :

donde D es la matriz constitutiva (4.15), (4.16) y liB la matriz de deformación del

nodo i para el armónico l que se escribe como

finalmente la matriz lS tiene la forma: 44..33..33-- DDeessaaccooppllaammiieennttoo ddee llaass eeccuuaacciioonneess ddee rriiggiiddeezz

Las ecuaciones de rigidez pueden obtenerse usando el PTV (Principio Trabajos Virtuales) en la forma usual pero, en este caso, el análisis por elasticidad, usando la expresión de la de energía potencial de la placa, suele ser más sencillo. Este proceso se ha visto en el capitulo 3. En el desarrollo efectuado se llegaba a la expresión del sistema de ecuaciones (3.16):

li

m

l

li

n

i

l xy aBSDσ ∑∑= =

⋅⋅⋅=1 1

)()(ˆˆˆ

li

m

l

li

n

i

l xy aBSε ∑∑= =

⋅⋅=1 1

)()(ˆˆ

−

−∂∂

∂∂

−−

∂∂

−

=

=

ii

ii

ii

i

i

lci

lfi

li

NN

Nx

N

xN

N

Nx

N

0

0

.....................

0

00

00

...

λ

λ

λ

B

BB

=

l

l

l

l

l

l

CS

CS

S

0

0

S

)sin( yS l ⋅= λ

)cos( yC l ⋅= λ

(4.31)

(4.33)

(4.34)

(4.32)


Debido a las propiedades ortogonales de las funciones lS y lC , el sistema de ecuaciones anterior se convierte en un sistema desacoplado. A continuación se va a demostrar que la matriz de rigidez se reduce a una matriz diagonal formada por submatrices de rigidez desacopladas para cada armónico. A partir de la expresión general (3.13) :

. Observando las expresiones (4.32) y (4.33), se puede descomponer )()(ˆ xy l

il BS :

donde

Sustituyendo a la expresión (4.37) a la (4.36) se puede escribir la matriz de

rigidez de una banda (e)

y haciendo uso de las propiedades ortogonales de las funciones )sin( yS l ⋅= λ y )cos( yC l ⋅= λ :

luego, teniendo en cuenta que se obtiene la matriz de rigidez para cada banda, (e), como

faK =⋅⇒0)(=

∂∏∂

lia

( )∫ ∫ ⋅⋅=)(

)()(ˆˆ)()(ˆ][ )(

eA

rj

rTli

lelrij dAxyxy BSDBSK

dyyb

ryblb

⋅

⋅

∫

ππ sinsin0

dyyb

ryblb

⋅

⋅

∫

ππ coscos0

= 2b

0

para l = r

para l ≠ r

(4.35)

)()()()(ˆ xxxy li

lli

lli

l BSBSBS +=

5ΙS ll S=

5ΙS ll C=

−∂∂

∂∂

−

=

000

0000

00

00

ii

i

i

li

Nx

N

Nx

N

λB

−

∂∂

−−=

ii

ii

li

NN

xNN

0000

0000000

λ

λB

(4.36)

(4.37)

(4.38)

( ) ( )∫ ∫ +⋅⋅+=)(

)()(ˆ)()(][ )(

eA

rj

rrj

rTli

lli

lelrij dAxxxx BSBSDBSBSK

0ˆ][ˆ][ == lj

Tli

rj

Tli BDBBDB

(4.39)

(4.40)

(4.41)


quedando el sistema desacoplado, que permite formar para cada armónico l-simo una ecuación de equilibrio en la que intervienen exclusivamente la matriz de rigidez, el vector de amplitudes de los movimientos nodales y las fuerzas nodales equivalentes correspondientes a dicho armónico.

44..33..44-- VVeeccttoorr ffuueerrzzaass nnooddaalleess eeqquuiivvaalleenntteess

El vector de fuerzas nodales equivalentes de un elemento de banda,(e), para el armónico l viene dado por

siendo )(ea el ancho de banda y lq una fuerza uniformemente distribuida vertical:

con 0y e 1y los límites longitudinales de aplicación de la carga (Figura 4.9).En el caso de cargas puntuales el vector l

if es simplemente

dxb lj

a

Tli

ellij

e

BDBK ⋅⋅= ∫ ˆ][2

][)(

)(

llll faK =⋅

(4.42)

(4.43)

=

m

l

m

l

mm

ll

f

f

ff

a

a

aa

K

K

KK

...

...

...

...

...0

...0 2

1

2

1

22

11

[ ] dxqNb T

a

lTi

eli

e∫=

)(

0,0,2

][ )(f

( )10

0

2coscos2

1

0 yyl

q

yysen

yysenqq b

y

yl λλπλ

λ−=

∂

∂=∫∫

=

iy

ix

iili

yMysenM

ysenW

i

i

λλλ

cosf

(4.44)

(4.45)

(4.46)


donde iW ,ixM ,

iyM son las intensidades de la carga vertical y de los dos momentos puntuales que actúan en el nodo i de una banda a una distancia yi del extremo apoyado.(Figura 4.9) Figura 4.9 Cargas repartidas y puntuales sobre un elemento de banda finita de dos

nodos (fuente [6]).

Hay que destacar que el desacoplamiento de las matrices de rigidez y los vectores de fuerzas nodales para cada armónico es una consecuencia directa de los desarrollos en serie utilizados en (4.26). Si se utiliza cualquier otro desarrollo para reproducir un tipo diferente de condiciones de apoyo en los extremos de la placa, se produce un acoplamiento debido a la aparición de productos lS rC que no satisfacen la condición de ortogonalidad (4.40). En dichos casos, la matriz de rigidez es llena y hay que utilizar técnicas iterativas especiales para hacer el método de la banda finita competitivo frente al de los elementos finitos. Finalmente se debe añadir que la evaluación de las integrales de (4.42) y (4.44) puede efectuarse analíticamente. Únicamente hay que integrar términos polinómicos sencillos. No obstante, en la práctica es más conveniente utilizar integración numérica con una cuadratura de Gauss-Legendre unidimensional. 44..33..55-- EElleemmeennttoo ddee bbaannddaa lliinneeaall ddee ddooss nnooddooss ccoonn iinntteeggrraacciióónn rreedduucciiddaa Oñate y Suárez han comprobado que el bloqueo por cortante en elementos de banda finita de placa de Reissner-Mindlin, para placas delgadas, se evita si se utiliza integración reducida o selectiva. La integración exacta proporciona resultados incorrectos en las bandas lineal y cuadrática y debe evitarse. Además se ha determinado que el elemento de banda considerado más atractivo es el elemento de banda de dos nodos. Este permite una evaluación explícita de todas las integrales calculando simplemente el valor del integrando en el centro de la banda. Con la utilización de un solo punto de integración para todos los términos de la matriz de rigidez se evalúa simplemente el integrando como donde )..( indica valores calculados en el punto medio de la banda. Los valores de las funciones de forma y sus derivadas para los elementos de banda son evaluadas en el punto medio y adquieren los valores

lj

Tli

eell

ijba BDBK ⋅⋅= ˆ][

2][

)()(

(4.47)


Sustituyendo las expresiones (4.48) en la matriz l

iB se obtiene la matriz de rigidez de la Figura 4.10 Figura 4.10 Matriz de rigidez para el elemento de banda finita de placa de Reissner

Mindlin de dos nodos con integración reducida de un punto (fuente [6]). 44..44.. FFOORRMMUULLAACCIIÓÓNN DDEE KKIIRRCCHHHHOOFFFF EENN BBAANNDDAA FFIINNIITTAA

El procedimiento es similar al expresado en el apartado 4.3, pero ahora se

expresa la flecha w en función del desplazamiento iw y del giro xwi

∂∂ , puesto que ya

no son independientes entre si como ocurría en la teoría de Reissner-Mindlin.

donde De forma matricial más energética:

)()1(

e

ii

axN −

=∂∂

21

=iN (4.48)

∑∑= =

⋅

∂

∂+=

m

l

n

il

li

ilii yY

xxw

NxwNyxw1 1

)()(

)(),(

)sin()( yyYl ⋅= λ bl πλ ⋅

=

∑∑= =

⋅=m

l

n

i

li

li

1 1aCa

)()(

)(

2][ e

ij

eell

ijba KK =

(4.49)

(4.50)

(4.51)


La matriz de funciones de forma liC , que relaciona a y l

ia , se escribe ahora como: y el vector de parámetros nodales del plano medio, l

ia , corresponde al nodo i para el armónico l : Las funciones de forma iN y iN asociadas con el nodo i de una banda, (e), vienen dadas por: con El vector de deformación generalizado se obtiene análogamente a la ecuación (4.31): en la que )(xl

iB viene ahora dad por la expresión: Procedimiento igual que para la teoría de Reissner-Mindlin se llega a un sistema de ecuaciones desacoplado equivalente al (4.43). Para encontrar el vector de fuerzas nodales equivalentes en la teoría de Kirchhoff se procede de forma análoga a lo explicado en el apartado 4.3.4 , teniendo en cuenta, sin embargo, que el desplazamiento w y los giros θx y θy son dependientes entre sí. Por consiguiente las cargas verticales, bien uniformemente distribuidas o puntuales, contribuyen no solo a las fuerzas nodales verticales, sino también a los momentos.

{ }lilili YNYN ,=C

Tlil

ili x

xww

∂∂

=)(

,a

)32(41 3ξξ +−=iN

)1(41 32 ξξξ +−−=iN

)(2)( me xx

l−=ξ

221 xxxm

+=

∑∑= =

⋅=m

l

n

i

li

li x

1 1

)(ˆ aBε

∂∂

∂∂

−

−

∂∂

∂∂

==

li

li

lili

li

li

li

lli

CxN

blC

xN

bl

SNblSN

bl

SxNS

xN

x

22

22

2

2

2

2

22

)(

ππ

ππCSB

(4.52)

(4.53)

(4.54a)

(4.54b)

(4.55)

(4.56)

(4.57)

40891 8 mindlin reissner

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