A kör és részei

Mivel itt beszélnünk kell egy-két olyan fogalomról, kifejezésről, melyekkel eddig nem

találkoztál, ezért most jól figyelj! Amiket itt leírok, minden körre igazak. Nem csak kis, vagy nagy

körökre, és nem is csak közepesekre! Ismerned kell majd a kör kerületének és átmérőjének

hányadosát. De ez a hányados szerencsére minden kör estén ugyanannyi. És így máris többet tudsz,

mint sok ember, aki még ezt sem tudja. Előbb nézzük, hogy milyen nevekkel illetjük a kör alkatrészeit!

Az egyik legfontosabb fogalom a . Gyakran jelöljük nagy -val. Vannak,

akik nagy -val jelölik. Sőt vannak, akik nagy -vel. Ez az a pont, ahová a körzőt szúrtam, mikor

megrajzoltam a kört. Eme ponttól ugyanakkora távolságra található a körvonal minden pontja.

Ez az „ugyanakkora távolság”, becsületesebb nevén „állandó távolság” a kör . Jele az . A

sugár ezekszerint egy hosszúság, távolság. Ilyen messze van egymástól a körző két vége, mikor a kört

rajzolom.

A körvonal, mint neve is sejtteti, az a , mely a körzővel meg lett rajzolva. Ezt jelöljük kis -val.

Ez határolja el egymástól a kör külsejét és belsejét. A kör belseje azon pontok halmaza, melyek

közelebb vannak a középponthoz, mint a sugár hosszúsága. A kör külseje pedig, azon pontokból áll,

melyek messzebb vannak a középponttól, mint a sugárhossz.

Az a sugár kétszerese. Jele a . Ez az az egyenes szakasz, amit akkor kapok, ha a kör

közepén átmenő egyenes szakasszal összekötöm egymással a körvonal két pontját. A az az

egyenes szakasz, mely a körvonal két pontját köti össze egymással. Vagyis az átmérő is egy húr.

Méghozzá a leghosszabb húr, az adott körben. Két pontot kiválasztva a körvonalról, mindig

egyértelműen adódik az a húr, mely őket összeköti.

A , vagy röviden csak , a körvonal egy szakasza. Jele az . Ő tehát nem egyenes, hanem görbe

szakasz. Ez is összeköti egymással a körvonal két pontját, de mindig hosszabb, mint ugyanezt a két

pontot összekötő húr. Ha kiválasztok két kerületi pontot (körvonal pontot), akkor két lehetőség van,

hogy milyen körívvel kössem őket össze. Általában van egy kisebb és egy nagyobb körív erre a célra.

Eme két körív együtt adja a teljes körvonalat. Ha ez a két körív teljesen egyforma hosszú, akkor

éppen két olyan pontot kötnek össze, melyek a kör egyik átmérőjének végpontjai. A körívhez mindig

van egy középponti szög, mely azt fejezi ki, hogy a kör középpontjából kitekintve, mekkora fordulatot

tesz pillantásom, midőn a körív mentén végigsöpör.

A leginkább egy pizzaszeletre hasonlít. Azaz egy olyan háromszög, akinek talpát ívesre

föstették vala. Ennek határvonalai tehát egy körív és két sugár. Így ugyanaz a középponti szög

jellemzi, mint ami az adott körívet. Gyakran ennek területét is számoljuk.

A úgy képződik, hogy a körvonal két pontját összekötöm húrral és körívvel is. Mivel két

körívvel is össze tudom kötni a két pontot, ezért így még nem egyértelmű. Meg kell adni azt is, hogy

melyik körívről van szó. Erre is mint területre gondolhatunk.

A kör egy olyan egyenes, mely csak egyetlen pontban közös a körvonallal. Eme pontba, az

húzott sugár merőleges az érintőegyenesre. Érintő nyilván csak a körön kívülről

húzható. Viszont minden külső pontból kettő is. Az egy adott külső pont és az

érintési pont közötti egyenes szakasz. A pontból húzott két érintésiszakasz egynelő hosszú. Egyikük

az ,másikuk az pontban érinti a kört.

A kör kerülete és az átmérő hányadosa, azaz a A kör kerülete, mint minden becsületes síkbeli alakzat kerülete, annak a vonalnak a hossza,

mely az alakzat külső határát adja. Itt tehát maga a körvonal hossza, amivel megrajzoltad a kört. Ezt

már körülményes lenne vonalzóval lemérni, mert az általunk használt vonalzók többsége egyenes. A

kör meg ugye egy görbe vonal. Egy karika. Sokáig nem is tudta az emberiség pontosan lemérni. Azt

tudták, hogy körülbelül háromszor olyan hosszú, mint az az egyenes, ami a körbe rajzolható

leghosszabb egyenes. De nem tudták, hogy pontosan mennyi is az a szám ami, a kör kerületének és

ennek a körbe írható leghosszabb egyenesnek a hányadosa. Hajszálpontosan mi sem ismerjük ezt a

számot, de elég pontosan ahhoz, hogy gyakorlati szempontból pontosnak vehessük. Sőt gyakran csak

a két tizedes jegyre kerekített értékét használjuk, mert nekünk az is elég.

A leghosszabb egyenes mely a körbe írható, az nevet viseli. Ő a kör átmérője. És

éppen kétszer olyan hosszú, mint a kör . A kör sugara az a hossz, ami a kör középpontja és a

körvonal valamely pontja között van. Ez tehát az a hossz, amekkora a körző két csúcsa között van,

mikor kört rajzolsz. Ebből már következik, hogy az átmérő, aki ugye kétszerese a sugárnak, mindig át

kell, hogy haladjon a középponton, hiszen a kör ott a legszélesebb. Az átmérő jele: . A sugár jele: .

Tehát:

Ezt érdemes tudni, mert így ha az egyiküket közlik veled, máris tudod a másikukat is.

Az a bizonyos hányados, ami a kör kerülete és átmérőjének hányadosa, a nevet kapta a

keresztségben. Jele éppen az a görög betű melynek ugyanez a neve: . Azért éppen ez a hangot

jelölő betű, mert a szóra utal, ami kerületet jelent. Ennek a hányadosnak az értéke, egy

végtelen tizedes tört. Ezért is nem ismerjük a pontos értékét, és nem azért mert buták vagyunk.

Egyébként ma már több ezer tizedes jegy pontossággal ismerjük, de az is lehet, hogy több tízezer

tizedes jegy pontossággal.1 De ez itt nekünk nem kell. Ha papíron számolsz, elég csak ezt a kerekített

értéket használnod:

Tehát a kör kerülete:

Ha a számológépedet megkérdezed, ő valami ilyesmit fog mondani:

1 Ha értesüléseim nem csalnak, már 10 000 000 000 000, azaz tíz billió tizedes jegy pontossággal ismerjük a

értékét.

Attól függően, hogy hány számjegyet képes kijelezni. A számítógépek még ennél pontosabban is

képesek ezt megadni. Hogy honnan tudjuk mindezt? Mert elődeink, sok okos bácsi és néni, már

többször is kiszámolták. Hogy neked ne kelljen újra és újra. Először éppen a kör kerületének

pontosabb ismerete miatt számolták ki a régi görögök, már amennyire pontosan tőlük tellett. De

lehet, hogy már előttük is próbálkoztak ezzel, de arról nem maradt fenn írásos bizonyíték. Ma már

sok-sok képlet van, mellyel képesek vagyunk kiszámolni, rengeteg tizedes jegy pontossággal, de ezek

tényleges kiszámítása hosszadalmas. Ezért a számítógépekre bízzuk. Még nekik is sokáig tart, mert

eme képletek mindegyikében nagyon sok szám összege, vagy szorzata található, amelyeket ráadásul

előbb ki kell számolni. De nem csak a esetében van ez így. Később majd tanulsz még olyan

számokról, melyek pontosságát sosem fogjuk maximálisan elérni, mert végtelen tizedes törtek. Nézd

meg bátran az interneten, keress utána, hogy hány tizedes jegyig tudjuk ma már a értékét!

Hogyan lehet megtudni, hogy tényleg annyi az annyi?

És most lássuk, hogy mi az a módszer, ami a kör kerületéhez köti a kiszámítását. Már most

felhívom azoknak a bizonyára nagyobbacska diákoknak a figyelmét, akik azt javasolnák, hogy

szögfüggvénnyel próbáljuk meg, mert az sokkal könnyebb, hogy abban van egy kis bökkenő. A

szögfüggvényeket kiszámításuk során éppen a ismeretéből adják meg a számológépek. Még akkor

is, ha te nem radiánban táplálod be neki az adatokat. Ő akkor is radiánban számol, tehát felhasználja

a -t. Csak éppen lehetővé teszi számodra, hogy ne radiánban kommunikálj vele. Tehát ne

önmagából számoljuk ki -t, mert az csalás!

Az alapgondolat az, hogy a kör belsejébe zabályos2 sokszöget írva, annak kerülete, mindig

kisebb lesz, mint a köréírté. A kör köréírva pedig mindig nagyobb kerületű sokszöget kapunk, mint a

kör kerülete. Na persze, azért éppen szabályosakat veszünk a sokszögekből, mert az ő kerületük

könnyebben számolható. A belülre írt sokszög a csúcsaival érinti a kört, így a kör sugara éppen az ő

középpontjának és bármely csúcsának a távolsága lesz. A kívülre írt sokszög az oldalaival érinti a kört,

így a kör sugara, éppen a középpontja és bármely oldalának távolsága lesz.

Ahogy fokozzuk a sokszögek csúcsainak számát; egyre több és több csúcsú sokszöget írva

belülre és kívülre; ezek egyre inkább rásimulnak a körre. A beírt egyre növekvő kerületével, a köré írt

egyre csökkenő kerületével, hiszen minél több oldala van egy sokszögnek, annál inkább hasonlít a

körre. Tehát ha elég jól illeszkednek a sokszögek a körre, mert nagy a csúcsok száma, akkor a belülre

írt sokszög kerülete, már alig kisebb a kívülre írténál. Tekinthetjük egyenlőnek is vele. És ez a

majdnem, sőt már nagyon is egyenlő kerület lesz a kör kerülete is. Ennem kiszámításából

következtetünk a értékére: Ha a kör sugarát egységnyinek vesszük, akkor a keresett kerület

éppen . Hiszen . Így itt:

2 Persze, aki nem tud , az írhat is.

Ezért hát figyeld, hogy milyen kifejezést kapunk majd a kerületre, mert az lesz értékének közelítése

is!

Mindezeket összevetve, a sokszögek kerületét kell csak lemérni nagy pontossággal. Mondhatnám azt

is, hogy házi feladatként szerkessz egy ilyen összeállítást. Biztosan tanulságos lenne.

Egy beírt négyszög és nyolcszög egy kívülre írt négyszöggel és nyolcszöggel. Figyeljük meg az ábrán, hogy a nyolcszögek

mennyivel jobban simulnak a körhöz, mint a négyszögek. Ha még több számú sokszögeket választanánk, azok még jobban

simulnának.

Nyílván elegendő egyetlen oldalának hosszát számon tartani a sokszögeknek, mert csak azokat kell

szorozni a megfelelő sokszög csúcsszámmal, hogy megkapjuk a síkszög kerületét. Lévén, hogy a

sokszög csúcsai és oldalai azonos számúak.

A nagy négyszög oldalai hosszúságban, pont a kör átmérőjével egyeznek meg, azaz: a kis

négyszög oldala pedig Pitagorasz tétellel kiszámolható, amire adódik. Így a négyzetek és a kör

kerületeire fennáll:

Mennyinek is vettük az -t? Volt annyi eszünk, hogy egységneknek választottuk. Hiszen

ekkor a kör kerülete éppen a keresett lesz. Így aztán:

Azaz:

A

Ezért

Silány egy közelítés, de ez még csak az első lépés volt.

Hatszögek esetén a beírt hatszög egy oldala éppen megegyezik a kör sugarával: . A kivülre írté pedig

Ezeknek hatszorosai a kerületek. Így:

Mivel egység:

És

Azaz:

Ez már nem is olyan rossz közelítés.

A hatszögek oldalhosszaiból meg lehet mondani a tizenkétszögek oldalhosszait, bár nem kapunk

igazán szép számítást. Jobb, ha nem szögekből indulunk, majd megyünk a szögre, szögre,

szögre, stb. Mert látszólag ugyan gyorsabban haladnánk, mintha a szögekből indulunk, majd a

stb. szögek következnek, de a hatszöggel induló csúnyább. Próbáld ki, annak a

mintájára, ahogy mindjárt látod a négyszöges indulással!3 Négyszöges indulással sokkal könnyebben

követhető szabályosságot vehetünk észre.

3 Házi feladatnak szántam. Nem vicc.

A körbeírt és köréírt nyolcszög közrefogják a kör kerületi vonalát

Ha a beírt és körülírt sokszög is szabályos tizenhatszög, akkor a belsősokszög, a külső sokszög és a kör már szinte egybeolvadni látszik.

Ahogy egyre növeljük a sokszögek szögeinek számát a beírt és körülírt sokszögek egyre inkább

rásimulnak a körre. A beírtak kerülete alulról közelíti a körét, tehát egyre nagyobb lesz a kerület, míg

végtelenül megközelíti. A kívülre írtak kerülete felülről közelíti a körét, tehát egyre kisebb és kisebb

lesz, míg végül végtelenül megközelíti a kör kerületét.

Mivel a belülre írtak kerülete sosem lesz nagyobb, mint a kör kerülete, hanem tart a köréhez. A

kívülre írtaké sosem lesz kisebb, mint a kör kerülete, hanem tart a köréhez, így a számolás

megkönnyítése végett csak az egyikkel fogunk törődni. Méghozzá a beírt sokszöggel, mert azt

könnyebb számolni. És csak azt fogjuk vizsgálni, hogy hogyan számítható ki az oldalú sokszög

oldalhosszából a csúcsú oldalhossza. Az eljárás, mikor megduplázzuk a sokszög csúcsainak

számát, az hogy újabb csúcspontokat választunk ki a jelenlegi csúcsok között, a körívek mentén.

Méghozzá két-két csúcs közötti ív felezőpontjában. Mivel a sokszög oldalai a kör húrjai, így az oldalak

felezőpontján át húzott sugarak mindig merőlegesen felezik az oldalakat. És egyúttal egy ilyen sugár

körön lévő végpontja egybe is esik egy új csúcsponttal. Így az ábra szerint; mely egy

négyszögről, nyolcszögre való áttérést mutat; az csúcs egyik oldalának fele

. A sugár , az új

sokszög oldala , melynek dupla annyi csúcsa van, mint az előzőnek.

A kép -re, ill. -ra illusztráció, de bármely re igaz az összefüggés.

Így

és között az összefüggést Pithagorász tétellel meghatározhatjuk. A sugár két szakaszra

osztódik az oldal által. A kisebbik szakasz, mely a csúcs felé esik, legyen ! A másik, mely a kör

középpontja felé esik, befogója egy olyan derékszögű háromszögnek, melynek másik befogója

, és

átfogója az . Így ez a kérdéses befogóhossz:

Az pedig:

Tekintve, hogy az , az és az

ugyancsak derékszögű háromszöget alkotnak, úgy hogy az az

átfogó, és a másik kettő a befogó, így fennáll a következő:

Mivel pedig -ről tudjuk, amit tudunk, ilyenné áll össze:

Ezt tovább pofozva:

Azaz:

Végig ezt fogjuk újra és újra felhasználni. Ez tehát egy rekurzív sorozat.

És induljunk ki kezdőértékként -ből. Ekkor mivel a kör átmérője a négyzet átlója is egyben:

Így :

A következő állomás:

A következő:

Az -t kiemelve:

Gyűjtsük össze, ami eddig van:

Ebből már látszik a minta.

Lévén az -ben az azt jelenti, hogy ennyi oldalal van a sokszögnek, ezzel az -nel szorozva az

kifejezést, éppen az aktuális sokszög kerületét kapjuk.

Így ha a jelöli az szög kerületét, akkor:

És itt is nagyon kényelmessé válik, hogy az . Vegyük észre, hogy minden egy kettőhatvány.

Azaz . Ahol pozitív egész. Így általánosan írva:

Mivel :

És a gyökök alatt lévő összes kettesesek száma megegyezik az -gyel. Ha illetve tart

végtelenhez, azaz egyre nagyobb és nagyobb értket vesz fel, akkor a keresett kerület tart -hez. Ki

hitte volna, hogy a és a így összefügg egymással. Ez a kifejezés egyébként olyan sorozatot ad,

ahol az egyik tényező, a , tart végtelenhez, a másik tényező, a gyökös rész, tart nullához, midőn

tartt végtelehhez. Szorzatuk pedig egy konstans szám, a . Ha nagy leszel, akkor majd fogsz még

tanulni ilyen sorozatokról.

A precízség kedvéért még be kellene látnunk, hogy a képletünk valóban helyes. Ebben az az

észrevétel segít, hogy a sokszög oldalainak duplázásával, a képletben éppen eggyel nő a kettesek

száma. Ezt négyszög, nyolcszög, tizenhat, és még néhány csekély csúcsszámú sokszögekre láttuk. Az

kell bizonyítanunk, hogy ez minden sokszögre igaz. Tegyük fel, hogy egy bizonyos számig ez igaz is.

Nézzük, hogy igaz lesz-e, ha a következőre is. Szerencsére tudjuk, hogy egy adott oldal miként adja

meg az oldalt:

Ahol is az ismert. Egy bizonyos számú kettest tartalmaz a gyök alatt:

Azaz, mivel a számok mindig éppen a kettő hatványai, kifejezhetőek így:

És aki figyelt a felsorolt oldalszámok esetén, -től -ig; ami nem más, mint -től -ig;

észrevehette, hogy a kettesek száma mindig eggyel kevesebb, mint az , azaz a hatványkitevő.

Vagyis az -ben is éppen darab kettes van a gyök alatt. Így ha az

képletbe helyettesítjük be a

kifejezést, ezt kapjuk:

Ez pedig a négyzetre emelés elvégzése után:

A második gyök alól kivisszük az -et. És természetesen szorzódik a gyök előtti -rel.

Majd az első gyök alól is kivisszük az -et:

S lám, valóban eggyel több lett a gyökök alatti összes kettesek száma, mint a esteben.

∎

Így helyes az észrevett szabály.

Most már tetszőleges pontossággal kiszámolhatjuk értékét. Feltéve, hogy elég pontosan

ismerjük értékét. Mivel ez utóbbi is egy olyan végtelen tizedes tört melynek kiszámítása

hasonlóan hosszadalmas, és csak közelítőleg adja meg; noha egyre pontosabban és pontosabban; így

elég sokára lesz meg értéke oly pontosan, ahogy mi szeretnénk. De a hétköznapi számításokhoz

általában elég az az érték, amit a szmológépünk4 is ismer. Gyakran még az is elég, amire mi magunk

emlékszünk:

Eme tudástól felbátorodva lássuk a kör néhány alkatrészének a hosszát, területét. Ezekhez éppen kell

a értéke, emiatt tettük ezt a kis kalandozást.

A körre vonatkozó kerület és terület képletek A kör kerületét már láttuk:

A terület abból szűrhető le, hogy ha a kört sok-sok, magyarán darab háromszögre vágjuk fel,

melyek egyenlőszárúak, és egymással egybevágóak, akkor eme háromszögek alaphoz tartozó

magassága éppen maga az lesz. Ha az alapjuk éppen , hiszen darab háromszögünk van akkor

egy ilyen háromszög területe az említett magasság miatt:

És mivel

4 A számológép pedig még a „szmológép”-nél is pontosabban.

Így

És ha az összes kis háromszög területét akarom, ami együtt a kör területét adja ki, akkor ennek az -

szeresét veszem:

Azaz

Egyszerűbben írva:

A körív hossza, a körcikk területe, kerülete

A körív a kör kerületi vonalának egy darabja. Jele az A hozzátartozó középponti szöggel

egyértelműen megadható. (Egy adott kör esetén a sugár már adott.) Méghozzá egyenes arányosság

van a középponti szög és a körív között. Kétszer akkora középponti szöghöz kétszer akkora körív

dukál, fele akkorához fele akkora, stb. Röviden fogalmazva, ahányad része az egész kerülethez

tartozó középponti, -os szögnek az ívhez tartozó középponti szöge, annyiad része a körív is a

kerületnek.

Azaz: (a középponti szög legyen , ha hagyományos szögben mérünk, azaz a derékszög -ot ér)

Vagy ha valaki jobban szereti radiánban mérni a szögeket: (ekkor a középponti szög legyen -val

jelölve)

Hiszen ekkor a teljes kerület középponti szöge .

És talán van még olyan ember, aki emlékszik arra, hogy a kerület, hogyan számolható:

Így:

Illetve:

És ebből is látható, hogy miért is oly kényelmes a radiánban való számolás.

---------------------

A körcikk egy olyan görbe alapú háromszög, melynek alapja a kör egy íve, szárait pedig a kör két

sugara alkotja.

A terület megadható a sugár és az ív hosszának ismeretében, vagy a sugár és a középponti szög

ismeretében egyaránt. Ha a sugarat és az ív

hosszát ismerem, akkor a képlet hasonlít a

háromszög esetén megismerthez:

Csak itt az alap szerepét az ívhossz, a magasság

szerepét az játsza:

Ha a középponti szöget ismerem, akkor azt a megfigyelést használjuk ki, hogy a körcikk területe

egyenesen arányos a középponti szögével. És annyiad része a teljes kör területének, mint ahányad

része a középponti szög a teljes szögnek, azaz -nak.

A körcikk leginkább egy kör alakú pizza szeletéhez hasonlít. Azaz olyan alakzat, mely a körből

két sugara mentén kimetszve nyerhető. Határoló vonalai eme két sugár és egy körív. Így ehhez éppen

úgy egyértelműen hozzárendelhető a középponti szög, mint az imént a körívhez. Szerencsére a

területe éppen úgy egyenes arányban van a középponti szöggel. Azaz, ahányad része a középponti

szöge a teljes kör középponti szögének ( , annyiad része a körcikk területe a teljes

körének.

Illetve

Mi is volt a kör területe? Na, mi más, mint:

Így:

Illetve

Ismét egyszerűbb pofájú a radiánban számolt szöggel kifejezett alak.

A kerület nem jelenthet problémát:

Lévén, hogy egy ív és két sugár határolja.

A húr hossza

A húr a kört metsző egyenes azon szakasza, mely a körön belülre esik. Őt is jellemzi a

középponti látószöge. A leghosszabb húr a kör átmérője. Az ehhez tartozó középponti szög ,

illetve radiánban mérve . Nem egyenes arányosság, hanem szögfüggvény fejezi ki a húr és a

középponti szög kapcsolatát. Pl. a középponti derékszöghöz tartozó húr nem a fele az

egyenesszöghöz tartozónak. Hiszen az előbbi , utóbbi pedig . Így, bizony nagyon buta, aki azt

kérdezi, hogy „Jaj, hát a szinusz meg a koszinusz…mire jó már?” Íme, erre is jó.

Kérdés tehát, hogy milyen hosszú a húr, ha a

kör sugara, és a húrhoz tartozó középponti

szög ismert. Ennek meghatározásához felezzük el

a szöget, és a húrt. Ekkor keletkezik egy

derékszög, így egyszerű szögfüggvénnyel

megadható a húr hossza.

Az ábra szerint

Azaz

A teljes húr hossza pedig:

Amit egyébként a is ismerhetünk. Hiszen ha a húrral szemben nagyságú

középponti szög van, akkor a kerületi szög éppen ennek fele. Majd lásd ott.

A körszelet kerülete, területe

A körszelet a kör megskalpolásával kapott, azaz a kör egy húrja mentén nyisszantott darab.

Így egy a kör egy húrja és íve határolja. Tehát ezek összege lesz a kerület. A húr hosszának

kiszámítása, néhány egyszerű esettől eltekintve, csak szögfüggvények ismeretével lehetséges. A

kerület egyszerű:

Ezeket már láttuk az iméntiekben. Így be tudjuk helyettesíteni őket. Ha hagyományos szögekben

számolunk, mikor a derékszög -ot ér:

Ha pedig radiánban számolunk, ahol a derékszög

radián:

A terület kiszámításához a körcikk területéből

kell kivonni annak az egyenlőszárú

háromszögnek a területét, mely a körszeletet

kiegészíti a körcikkre.

Mind a körcikk, mind a háromszög területe a

kör sugarának és középponti szögének a

függvénye. A háromszög területéhez

használjuk fel ezt a képletet:

Ahol az és a a háromszög két oldala, a pedig eme két oldal által közrezárt belsőszög. Itt a kör

középponti szöge lesz a közrezárt szög, a két oldal pedig . Így itt most a háromszög területe:

A körcikk területét pedig már láttuk:

Így tehát:

Vagy

-őt kiemelve:

Ha pedig radiánban mérjük a szöget:

Illetve

-őt kiemelve:

A körgyűrű területe

A körgyűrű két koncentrikus5 kör által közrefogott síkrész. A területe úgy kapható meg, ha a

nagy kör területéből kivonjuk a kis körét.

Vagy pedig -t kiemelve:

A körgyűrűcikk területe

Remélhetően a név magáért beszél. Ha mégsem, akkor az ábra bizonyára segít.

Ennek területe megadható az ívek ismeretében.

Ekkor roppant hasonlatos a képlet egy trapéz

területképletéhez:

Ahol az és a a trapéz hosszú, ill. rövid alapja,

a magassága.

Itt most az alapok szerepét az ívek hosszai, és

, a magasságot a körgyűrű vastagsága játssza. A

körgyűrű vastagsága pedig a nagy és kis sugár

különbsége többnyire -va, vagyon jelölve:

Így tehát:

5 Ez annyit tesz, hogy a középpontjuk egybeesik.

Ha nem az ívek hosszait ismerjük, hanem a középponti szöget, akkor azzal a megfontolással, hogy a

körgyűrűcikk területe úgy aránylik a körgyűrűéhez, miként a középponti szög a teljesszöghöz ezt

kapjuk:

Illetve radiánban mért szöggel:

És -vel egyszerűsítve:

Most már ismered a leggyakrabban előforduló területek képleteit. Egyéb speciális esetekben pedig,

megfelelő darabolással előállíthatod az adott feladathoz valót.

-------------------------

És végül emlékezzünk még arra, amit -re kaptunk! Egyébként ezt felnőttesen úgy írják:

Fontos kikötés, hogy a gyökös részben az összes kettes darabszáma éppen ugyanaz, ami a gyök előtti

kettes kitevője, azaz . Tehát, annyi kettes kell a gyökök alá összesen. Maga a

pedig azt jelenti,

hogy az tart végtelenhez, vagyis ha nagyon nagy értéket vesz fel, akkor nagyon jól közelít ez a

képlet. Vagyis egyenlőségnek tekinthető akkor.

∎∎