4.1 continuidad en un punto 4.2 tipos de discontinuidades 4.3 continuidad en intervalos
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4.1 Continuidad en un punto
4.2 Tipos de discontinuidades
4.3 Continuidad en intervalos
1. Comprender el concepto de continuidad de una función en un punto.
2. Determinar y clasificar las discontinuidades de una función.
3. Bosquejar la gráfica de funciones continuas y discontinuas.
4. Determinar los valores apropiados de ciertos parámetros que aseguran la continuidad en un punto para una función definida por partes.
5. Comprender el concepto de continuidad de una función en intervalos.
6. Aplicar el teorema del Valor Intermedio para la existencia de raíces de una función continua.
4.1 Continuidad en un punto
4.2 Tipos de discontinuidades
4.3 Continuidad en intervalos
2
Consideremos la función
:
tal que
3 2
f
f x x x
2: tal que 3 2f f x x x
2: tal que 3 2f f x x x
2: tal que 3 2f f x x x
2: tal que 3 2f f x x x
2
21. 3 3 3 3 2 9 9 2 2
: tal 3
2
que 2
3
f
f f x x
f
x
33
2
32. lim lim 2, por lo cual lim 2.
El límite existe y es igual
: tal que 3 2
a 2.xx x
f x f x f
f f x x x
x
2
3
: tal que 3
3. lim 2
2
3x
f f
f f
x x
x
x
2
Vemos, además, que la gráfica de la
función no tiene
: tal que
interrupciones en
2
3
3.
f f x x x
x
2 3 2f x x x
33 3
3
1. 3 2
2. lim lim 2 lim
3. lim 2 3
xx x
x
f
f x f x f x
f x f
Decimos que la función
es continua en 3.x
Consideremos la gráfica de una función :y f x
Decimos que la función
NO es continua en 3.x
33 3
1. La función no está definida para 3. Esto es, .
2. lim lim 4, por lo cual lim 4. El límite existe.
La gráfica de tiene una interru
3 no existe
pción en el punto de abscisa 3.
xx x
f x x
f x f f
f
x x
f x
Consideremos ahora la función:
33 3
3
1. =5 para 3. Esto es, 3 =5; 3 está en el dominio de .
2. lim lim 4, por lo cual lim 4. El límite existe.
3. lim 4 5 3
La gráfica de tiene una interrupción en el punto
xx x
x
f x x f x f x
f x f x f x
f x f
f
de abscisa 3.x
Decimos que la función
NO es continua en 3.x
Consideremos ahora la función:
33 3
1. (3) no está definida. Es decir, 3
2. lim 4 y lim 1, por lo tanto lim no existe
f
xx x
f
f x f x f x
D
Decimos que la función
NO es continua en 3.x
Consideremos ahora la función:
3 3
1. 3 no existe; 3 NO está en el dominio de .
2. lim ; lim . El límite NO existe.
La gráfica de tiene una interrupción en el punto de abscisa 3.
x x
f x f x
f x f x
f x
Decimos que la función
NO es continua en 3.x
0
0
0
Una función
es continua en
si
lim
f
x x
f
x
f x f x
D R
0
0 0Una función es continua en si limx x
f x f x f x
0
0
0
0
0
Es decir, para que una función sea continua
en un punto , necesariamente:
1) debe pertenecer al dominio de ;
es decir, debe existir
2) Debe existir el lim
3) lim debe ser exact
x x
x x
f
x
x f
f x
f x
f x
0amente .f x
0
1 2 0
1 2 0
Observemos que si una función es continua en
y tomamos , cerca de , entonces
y están cerca de y por lo tanto
próximos entre sí, lo que se verbaliza dicie
Un
ndo:
cambio pequeño e
f
f x
x x x
f x f x f x
D
n produce un cambio
pequeño en .
x
f x
0
0 0Una función es continua en si limx x
f x f x f x
Un cambio pequeño en produce un cambio pequeño en x f x
La continuidad es pues una ausencia de cambios
bruscos. Como se dice tradicionalmente: una
función es continua en un punto si en dicho
punto la gráfica de la función no presenta
interrupciones o saltos, esto es, cerca del punto
se puede dibujar la gráfica de la función sin
levantar el lápiz del papel.
2
Sea la función
:
dada como
1
¿Es continua en el punto 0?
g
g x
x
x
R R
2Sea la función : dada como 1
¿Es continua en el punto 0?
g g x x
x
R R
2Sea la función : dada como 1
¿Es continua en el punto 0?
g g x x
x
R R
2Sea la función : dada como 1
¿Es continua en el punto 0?
g g x x
x
R R
0
0
1) ¿Está la función definida en 0?
(En otras palabras: ¿Es 0 elemento
del dominio de ?)
x
x
g
2Sea la función : dada como 1
¿Es continua en el punto 0?
g g x x
x
R R
0
0
2
1) ¿Está la función definida en 0?
(En otras palabras: ¿Es 0 elemento
del dominio de ?)
Sí, claro, ya que 0
0 y 0 1
1 0 1
g
g
g
x
x
g
D
2Sea la función : dada como 1
¿Es continua en el punto 0?
g g x x
x
R R
02) ¿Cuál es el límite de en 0?g x
2Sea la función : dada como 1
¿Es continua en el punto 0?
g g x x
x
R R
0
2 2
0 0 0 0
22
0
2
0 0
2) ¿Cuál es el límite de en 0?
lim lim 1 lim 1 lim
1 lim 1 0 1
Así que
lim lim 1 1
x x x x
x
x x
g x
g x x x
x
g x x
2Sea la función : dada como 1
¿Es continua en el punto 0?
g g x x
x
R R
0
3) ¿Se cumple quelim 0 ?xg x g
2Sea la función : dada como 1
¿Es continua en el punto 0?
g g x x
x
R R
0
0
0
3) ¿Se cumple quelim 0 ?
En 1 vimos que 0 =1.
En 2 vimos que lim 1.
Por lo tanto,
li
La función es continua en 0.
m 0
x
x
x
g x g
g
g x
g x g
g
2Sea la función : dada como 1
¿Es continua en el punto 0?
g g x x
x
R R
Sí
Sea la función
:
dada como
1 2
0 2
¿Es continua en el p
1 2
unto 2?x
s
x
s x x
x
R R
1 2
0 2
1 2
x
s x x
x
1 2
0 2
1 2
x
s x x
x
0
0
1) ¿Está la función definida en 2?
(En otras palabras: ¿Es 2 elemento
del dominio de ?)
x
x
s
1 2
0 2
1 2
x
s x x
x
01) ¿Está la función definida en 2?
Tenemos que 2 0, así que la función
sí está definida en 2.
El número real 2 está en el dominio de
la función .
x
s
x
s
1 2
0 2
1 2
x
s x x
x
2) ¿Cuál es el límite de en 2?s x
1 2
0 2
1 2
x
s x x
x
2
2
Es claro
lim 1
y que
lim 1
x
x
s x
s x
2) ¿Cuál es el límite de en 2?s x
1 2
0 2
1 2
x
s x x
x
2
2 2
2) ¿Cuál es el límite de en 2?
Es claro que lim 1 li
Por lo tanto, NO EXISTE lim
y la función es discontinu
m
a en 2.
1x
x
x
s x
s x s x
s x
s x
3
2
7 220
1 2
574 2 1
2023
120
31 1
20
xx
x
x xf x
x
x x
3
2
7 220
1 2
574 2 1
2023
120
31 1
20
xx
x
x xf x
x
x x
3
2
7 220
1 2
574 2 1
2023
120
31 1
20
xx
x
x xf x
x
x x
¿Cuál es el dominio de la función?
3
2
7 220
1 2
574 2 1
2023
120
31 1
20
xx
x
x xf x
x
x x
¿Cuál es el dominio
de la función?
Como
232 1 y 1
20es claro que
f
f f
D R
3
2
7 220
1 2
574 2 1
2023
120
31 1
20
xx
x
x xf x
x
x x
¿Es la función continua en 2?
3
2
7 220
1 2
574 2 1
2023
120
31 1
20
xx
x
x xf x
x
x x
¿Es la función
continua en 2?
2 está en el dominio de .
Es más,
2 1
x f
f
3
2
7 220
1 2
574 2 1
2023
120
31 1
20
xx
x
x xf x
x
x x
¿Es la función
continua en 2?
33
2
2
2
El límite por la izquierda en 2 es:
2 37lim lim 7 7
2
37li
0 2
m5
0 5
x
x x
f x
xf x
3
2
7 220
1 2
574 2 1
2023
120
31 1
20
xx
x
x xf x
x
x x
¿Es la función
continua en 2?
22
2
2
2
El límite por la derecha en 2 es:
57 57 37lim lim 4 2 4
20 20 5
37lim
5
x x
x
f
f
x x
x
3
2
7 220
1 2
574 2 1
2023
120
31 1
20
xx
x
x xf x
x
x x
¿Es la función
continua en 2?
2 2
2
Entonces
37lim lim
5y el límite existe y
37lim
5x
x xf x f
f
x
x
3
2
7 220
1 2
574 2 1
2023
120
31 1
20
xx
x
x xf x
x
x x
¿Es la función
continua en 2?
2
2
37Pero lim y 2 1
5así que
lim 2
y la función es discontinua en 2 .
x
x
f x f
f
x
x f
3
2
7 220
1 2
574 2 1
2023
120
31 1
20
xx
x
x xf x
x
x x
3
2
7 220
1 2
574 2 1
2023
120
31 1
20
xx
x
x xf x
x
x x
¿Es la función continua en 1?
3
2
7 220
1 2
574 2 1
2023
120
31 1
20
xx
x
x xf x
x
x x
¿Es la función
continua en 1?
1 está en el dominio de .
Es más,
231
20
x f
f
3
2
7 220
1 2
574 2 1
2023
120
31 1
20
xx
x
x xf x
x
x x
¿Es la función
continua en 1?
22
1 1
1
El límite por la izquierda en 1 es:
57 57 23lim lim 4 1 4
2
23lim
2
20
0 20 0x x
xf x
f x x
3
2
7 220
1 2
574 2 1
2023
120
31 1
20
xx
x
x xf x
x
x x
¿Es la función
continua en 2?
1
1 1
El límite por la derecha en 1 es
23li
:
3 3 23lim lim 1 1 1
2
m2
0
0
20 20x x
x
f x x
f x
3
2
7 220
1 2
574 2 1
2023
120
31 1
20
xx
x
x xf x
x
x x
¿Es la función
continua en 1?
1 1
1
Entonces
23lim lim
20y el límite existe
23lim
0
y
2
x x
xf
f
x
f x x
3
2
7 220
1 2
574 2 1
2023
120
31 1
20
xx
x
x xf x
x
x x
¿Es la función
continua en 2?
1
1
23 23lim y 1
20 20así
la función es cont
que
l
in
im 1
y ua en 1 .
x
x
f x f
f x f
x
3
2
7 220
1 2
574 2 1
2023
120
31 1
20
xx
x
x xf x
x
x x
0 0
0
0
0 00
Es usual hacer o bien .
Que esté cerca de significa que está
cerca de 0.
Entonces la continuidad de la función
en el punto ocurre si:
limh
x x h h x x
x x h
f
x
f x h f x
0
0 0Una función es continua en si limx x
f x f x f x
0 0 00Una función es continua en si lim
hf x f x h f x
0 00
3
0
Utilizando la igualdad lim ,
verificar la continuidad
Ejemplo
de
2 3 4
en el punto 2.
4.1.9
hf x h f x
f x x x
x
0 00
30
Utilizando la igualdad lim , verificar la
continuidad de 2 3 4 en el punto 2.
hf x h f x
f x x x x
0 00
30
Utilizando la igualdad lim , verificar la
continuidad de 2 3 4 en el punto 2.
hf x h f x
f x x x x
3
0
2 1
2 2 2 3 4 14
4
2
f
f x f
0 00
30
Utilizando la igualdad lim , verificar la
continuidad de 2 3 4 en el punto 2.
hf x h f x
f x x x x
3
0
2 3
3
2
2
3
2 2 2 3 2 4
2 8 12 6 6 3 4
2 12 21
2 2 12 21 14
14
f h
f x h f h
h h
h h
h h h h
h h h
h
0 00
30
Utilizando la igualdad lim , verificar la
continuidad de 2 3 4 en el punto 2.
hf x h f x
f x x x x
3
0
2
3 2
0 0
2 2 12 21 14
lim 2 lim 2 12 21 14 14
y p
lim 2 14 2
y la funci
or tant
ón es continua .
o
en 2
h h
hf h
f h h h h
f h
x
h
f
h h
0 00
30
Utilizando la igualdad lim , verificar la
continuidad de 2 3 4 en el punto 2.
hf x h f x
f x x x x
0
¿ lim 1 ?h
g h
0
2
2
0 0
2 2
0 0
¿ lim 1 ?
Si 0 tenemos que 0 por lo que
1 1 y la regla que tenemos que
usar es 2; así que
lim 1 lim 1 2
lim 1 2 2 lim 2 3 3
h
h h
h h
g h
h h
x h
g x x
g h h
h h h h
0
¿ lim 1 ?h
g h
0
0 0
0 0
¿ lim 1 ?
Si 0 tenemos que 0 por lo que
1 1 y la regla que tenemos que
usar es 8 5 ; así que
lim 1 lim 8 5 1
lim 8 5 5 lim 3 5 3
h
h h
h h
g h
h h
x h
g x x
g h h
h h
0
0
0
1) Una función
es continua por la izquierda
en si
limx x
x
f x f x
0
0
0
2) Una función
es continua por la derecha
en si
limx x
x
f x f x
0
0
De aquí que una función sea continua en un punto
si y solamente si es continua por la izquierda
y por la derecha en .
x
x
0
0
0 0
0 0
1) Una función es continua por la izquierda
en si lim .
2) Una función es continua por la derecha
en si lim .
x x
x x
x f x f x
x f x f x
3
:
3 2 2
0 2 4
4
f
x x
f x x
x x
33 2 2
0 2 4
4
x x
f x x
x x
Qué se puede decir de la continuidad de
en 2 y 4
f
3
:
3 2 2
0 2 4
4
f
x x
f x x
x x
3
2 2lim lim 3 2 13 2
La función es continua por la izquierda
en 2.
x xf x x f
x
33 2 2
: 0 2 4
4
x x
f f x x
x x
33 2 2
0 2 4
4
x x
f x x
x x
2 2
lim lim 0 0 2 13
La función es discontinua por la derecha
en 2.
x xf x f
x
33 2 2
: 0 2 4
4
x x
f f x x
x x
33 2 2
0 2 4
4
x x
f x x
x x
2 2
Como
lim lim
el límite no existe y la función
es discontinua en 2.
x xf x f x
x
33 2 2
: 0 2 4
4
x x
f f x x
x x
33 2 2
0 2 4
4
x x
f x x
x x
La función NO ESTÁ DEFINIDA EN 4,
así que es discontinua por la izquierda,
discontinua por la derecha y, desde luego,
discontinua a secas.
x
33 2 2
: 0 2 4
4
x x
f f x x
x x
33 2 2
0 2 4
4
x x
f x x
x x
0
Dada la función
11
1 1
2 1
Determinar los valores de las constantes ,
que aseguren
Ejem
la c
plo
ontinuidad de la función
4.
en 1.
1.15
a xx
f x x
k x x
a k
f
x
0
11
Ejemplo 4.1.15 Dada la función 1 1
2 1
Determinar los valores de las constantes , que aseguren la continuidad de en 1.
a xx
f x x
k x x
a k f x
0Para que sea continua en 1 debemos
asegurar que es continua por la izquierda
y por la derecha en ese mismo punto.
Esta condición nos dara ecuaciones para
los parámetros y .
f x
a k
0
11
Ejemplo 4.1.15 Dada la función 1 1
2 1
Determinar los valores de las constantes , que aseguren la continuidad de en 1.
a xx
f x x
k x x
a k f x
1
1
1. Continuidad por la izquierda:
lim 1
1lim 1
1 1
2
x
x
f x f
ax
a
a
0
11
Ejemplo 4.1.15 Dada la función 1 1
2 1
Determinar los valores de las constantes , que aseguren la continuidad de en 1.
a xx
f x x
k x x
a k f x
1
1
1. Continuidad por la derecha:
lim 1
lim 2 1
2 1
2 1
1
x
x
f x f
k x
k
k
k
0
11
Ejemplo 4.1.15 Dada la función 1 1
2 1
Determinar los valores de las constantes , que aseguren la continuidad de en 1.
a xx
f x x
k x x
a k f x
1
1
Entonces es continua en 1 si y sólo si
lim 1 2
lim 1 1x
x
f
f x f a
f x f k
Como en la definición de continuidad
aparece el límite de una función,
todos los resultados enunciados para
los límites generan resultados para las
funciones continuas.
0
0 0Una función es continua en si limx x
f x f x f x
R
0 0
0
Por ejemplo:
Si es continua en y si 0,
entonces 0 cuando está cerca de .
f x x f x
f x x x
Como en la definición de continuidad aparece el límite
de una función, todos los resultados enunciados para los
límites generan resultados para las funciones continuas.
0 0 0Si es continua en y si 0, entonces 0 cuando está cerca de .f x x f x f x x x
0 0
0
Por ejemplo:
Si es continua en y si 0,
entonces 0 cuando está cerca de .
f x x f x
f x x x
Como en la definición de continuidad aparece el límite
de una función, todos los resultados enunciados para los
límites generan resultados para las funciones continuas.
0 0 0Si es continua en y si 0, entonces 0 cuando está cerca de f x x f x f x x x
0
0
La suma, diferencia, producto y cociente
de funciones continuas en un punto
es continua en dicho punto,
exceptuando el caso del cociente
si es un cero o raíz del denominador.
x
x
0
0
0
Si la función es continua en
y la función es continua en ,
entonces es continua en .
f x
g f x
g f x
4.1 Continuidad en un punto
4.2 Tipos de discontinuidades
4.3 Continuidad en intervalos
Una función que no es continua
en un punto se dice que es
discontinua en dicho punto.
Una función que no es continua en un punto
se dice que es discontinua en dicho punto.
0
0
0
Discontinuidades removibles o evitables:
Una función tiene una discontinuidad
removible o evitable en si existe
lim , pero no es igual a .x x
f
x
f x f x
0
0
0
Si redefinimos como el valor de lim ,
la función resulta continua en .
x xf x f x
f x
0
0
0 0
Discontinuidades removibles o evitables:
Una función tiene una discontinuidad removible o
evitable en si existe lim , pero o bien no es
igual a , o bien no está definida en .
x x
f
x f x
f x f x
Una función que no es continua en un punto
se dice que es discontinua en dicho punto.
0
0
0
Discontinuidades removibles o evitables:
Una función tiene una discontinuidad
removible o evitable en si existe
lim , pero no está definida en .x x
f
x
f x f x
0
0
0
Si definimos
como el valor de lim ,
la función resulta continua en .
x x
f x
f x
f x
0
0
0 0
Discontinuidades removibles o evitables:
Una función tiene una discontinuidad removible o
evitable en si existe lim , pero o bien no es
igual a , o bien no está definida en .
x x
f
x f x
f x f x
Una función que no es continua en un punto
se dice que es discontinua en dicho punto.
0
0
Discontinuidad esencial:
Una función tiene una
discontinuidad esencial en
si no existe lim .x x
f
x
f x
0
0
Una función que no es continua en un punto
se dice que es discontinua en dicho punto.
Discontinuidad esencial: una función tiene una
discontinuidad esencial en si no existe lim .x x
f
x f x
Una discontinuidad esencial
puede ser de salto o infinita.
0
0
Una función que no es continua en un punto
se dice que es discontinua en dicho punto.
Discontinuidad esencial: una función tiene una
discontinuidad esencial en si no existe lim .
Una discontin
x x
f
x f x
uidad esencial puede ser de salto o infinita.
0 0
Discontinuidad esencial de salto:
Cuando existen lim y lim ,
pero son diferentes.
x x x xf x f x
33 2 2
0 2 4
4
x x
f x x
x x
0
0
Una función que no es continua en un punto
se dice que es discontinua en dicho punto.
Discontinuidad esencial: una función tiene una
discontinuidad esencial en si no existe lim .
Una discontin
x x
f
x f x
uidad esencial puede ser de salto o infinita.
0 0
0 0
Discontinuidad esencial infinita:
Cuando se cumple al menos uno de los límites siguientes:
a) lim c) lim
b) lim d) lim
x x x x
x x x x
f x f x
f x f x
2
1
9 x
4.1 Continuidad en un punto
4.2 Tipos de discontinuidades
4.3 Continuidad en intervalos
Una función es continua
en un intervalo abierto ,
si es continua en cada , .
a b
x a b
:= f x x5
x4
x3
x2
x 1
Esta función es continua en todo ,
y por lo tanto en cualquier
intervalo abierto
R
:= f x1
( ) x 2 ( ) x
Es continua en
el intervalo abierto
, 2
:= f x1
( ) x 2 ( ) x
Es continua en
el intervalo abierto
2,
:= f x1
( ) x 2 ( ) x
Es continua en
el intervalo abierto
,
Una función es continua en un intervalo
cerrado , si:
1) Es continua en el intervalo abierto , .
2) Si en es continua por la derecha.
3) Si en es continua por la izquierda.
f
a b
a b
a
b
Los dos últimos puntos se escriben como:
2 ) lim
3 )́ lim .x a
x b
f x f a
f x f b
Una función es continua en un intervalo cerrado , si:
1) Es continua en el intervalo abierto , .
2) Si en es continua por la derecha.
3) Si en es continua por la izquierda.
f a b
a b
a
b
:= f x x5
x4
x3
x2
x 1
Esta función es continua en todo ,
y por lo tanto en cualquier
intervalo cerrado
R
:= f x1
( ) x 2 ( ) x
Es continua en
el intervalo cerrado
4,1.2
:= f x1
( ) x 2 ( ) x
NO es continua en
el intervalo cerrado
2,
:= f x1
( ) x 2 ( ) x
NO es continua en
el intervalo cerrado
,8
La extensión a intervalos del tipo
[ , ) y ( , ]
es inmediata.
a b
10 1 1
Una función polinomial
...
es continua en todo .
n nn nf x a x a x a x a
R
10 1
10 1
Una función racional
con
...
y
...
es continua en todo su dominio.
m mm
n nn
P xf x
Q x
P x a x a x a
Q x b x b x b
La composición
de funciones continuas
es continua en todo su dominio.
7 3
¿En qué intervalo es continua la función
5 3?F y y y
7 3
¿En qué intervalo es continua la función
5 3?
Al ser una función polinomial
es continua en todo el eje real.
F y y y
7 3¿En qué intervalo es continua la función 5 3?F y y y
Es continua en R
3
2
¿En qué intervalo
es continua la función
1?
5
x xf x
x
3
2
1¿En qué intervalo es continua la función ?
5
x xf x
x
Al ser una función racional,
es continua en todos los puntos
de su dominio.
Su dominio son todos los números
reales.
Esta función es continua en todo .R
3
2
1¿En qué intervalo es continua la función ?
5
x xf x
x
Es continua en R
3 2
¿En qué intervalo
es continua la función
3?
12
xf x
x x x
3 2
3¿En qué intervalo es continua la función ?
12
xf x
x x x
3 2
2
3 0 y 12 0
3 y 12 0
3 y 4 3 0
[ 3, ) 4 3 0
[ 3, ) 4,0,3 [ 3, ) 0,3
f x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
D R
R
R
R
3 2
3¿En qué intervalo es continua la función ?
12
xf x
x x x
La función es continua
en los intervalos:
[ 3,0), (0,3), (3, )
3 2
3¿En qué intervalo es continua la función ?
12
xf x
x x x
La función es continua
en los intervalos:
[ 3,0), (0,3), (3, )
0
0
0 0
Sea una función continua en cierto
intervalo , y sean , números en .
Si es un número que está entre
y entonces existe al menos un
entre y tal que .
f
I a b I
y f a
f b x
a b f x y
3 2
Usar el teorema del Valor Intermedio
para probar que la curva
1
se interseca con la recta
Ejemplo
6 en e
4.3.7
l intervalo 1,2 .
y x x x
y
3 2
Usar el teorema del Valor Intermedio para probar que la curva
1 se intersecta con la recta 6 en el intervalo 1,2 .y x x x y
3 2
Usar el teorema del Valor Intermedio para probar que la curva
1 se intersecta con la recta 6 en el intervalo 1,2 .y x x x y
3 2
La función polinomial
1
es continua en todo , por lo tanto es
continua en el intervalo 1,2 .
f x x x x
R
3 2
Usar el teorema del Valor Intermedio para probar que la curva
1 se intersecta con la recta 6 en el intervalo 1,2 .y x x x y
3 2
3 2
3 2
Como 1 es claro que
1 1 1 1 1 2
y
2 2 2 2 1 11
Así que
1 2 2 11
f x x x x
f
f
f f
3 2
Usar el teorema del Valor Intermedio para probar que la curva
1 se intersecta con la recta 6 en el intervalo 1,2 .y x x x y
0Es obvio que 6
está entre 1 y 2 :
1 2 6 2 11
y
f f
f f
3 2
Usar el teorema del Valor Intermedio para probar que la curva
1 se intersecta con la recta 6 en el intervalo 1,2 .y x x x y
0 0
3 2
Dado que se cumplen todas las condiciones
del Teorema del Valor Intermedio, existe al
menos un 1,2 tal que 6.
Como esto sucede, las curvas
1 y 6 se intersectan.
x f x
y x x x y
3 2
Usar el teorema del Valor Intermedio para probar que la curva
1 se intersecta con la recta 6 en el intervalo 1,2 .y x x x y
3 2
Usar el teorema del Valor Intermedio para probar que la curva
1 se intersecta con la recta 6 en el intervalo 1,2 .y x x x y
3 2
1
2
3
5 0
1.594
1.297 1.206
1.297 1.206
x x x
x
x i
x i
3 2
Usar el teorema del Valor Intermedio para probar que la curva
1 se intersecta con la recta 6 en el intervalo 1,2 .y x x x y
3 2
Usar el teorema del Valor Intermedio para probar que la curva
1 se intersecta con la recta 6 en el intervalo 1,2 .y x x x y
3 2
Usar el teorema del Valor Intermedio para probar que la curva
1 se intersecta con la recta 6 en el intervalo 1,2 .y x x x y
0
0 0 0
Sea una función continua en cierto intervalo y sean , números en .
Si es un número que está entre y entonces existe al menos
un entre y tal que .
f I a b I
y f a f b
x a b f x y
El teorema de Valor Intermedio
garantiza la existencia de ceros
o raíces de funciones continuas.
0
0 0 0
Sea una función continua en cierto intervalo y sean , números en .
Si es un número que está entre y entonces existe al menos
un entre y tal que .
f I a b I
y f a f b
x a b f x y
Si es continua en ,
y si y tienen signos diferentes
(el 0 está entonces entre y ),
existe una raíz , de ,
esto es, =0.
f a b
f a f b
f a f b
c a b f
f c
x5
3 x4
39 x3
47 x2
210 x
3 2Mostrar que la ecuación 2 9 0
tiene al menos una solución
Ejemplo
en el i
4.3.
nterv
8
alo 1,2 .
x x x
3 2La función polinomial =2 9
es continua en todo , y por lo tanto es continua
en cualquier intervalo cerrado, en particular es
continua en el intervalo 1,2 .
g x x x x
R
3 2Mostrar que la ecuación 2 9 0
tiene al menos una solución
Ejemplo
en el i
4.3.
nterv
8
alo 1,2 .
x x x
3 2
3 2
3 2
=2 9
entonces
1 2 1 1 1 9 7
2 2 2 2 2 9 9
Es claro que entonces
1 7 0 2 9
g x x x x
g
g
g g
3 2Mostrar que la ecuación 2 9 0
tiene al menos una solución
Ejemplo
en el i
4.3.
nterv
8
alo 1,2 .
x x x
0
0
0 0
Sea una función continua en cierto
intervalo , y sean , números en .
Si es un número que está entre
y entonces existe al menos un
entre y tal que .
f
I a b I
y f a
f b x
a b f x y
0
0
3 2
Por lo tanto existe al menos un 1,2
tal que 0.
Existe, entonces, en el intervalo 1,2 al
menos una solución de la ecuación
2 9 0
x
g x
x x x
3 2Mostrar que la ecuación 2 9 0
tiene al menos una solución
Ejemplo
en el i
4.3.
nterv
8
alo 1,2 .
x x x
3 2
E
Mostrar que la ecuación
2 9 0
tiene al menos una solución
jemplo
en el
4.3
intervalo 1,2
.
.
8
x x x
3 2
E
Mostrar que la ecuación
2 9 0
tiene al menos una solución
jemplo
en el
4.3
intervalo 1,2
.
.
8
x x x
3 2
E
Mostrar que la ecuación
2 9 0
tiene al menos una solución
jemplo
en el
4.3
intervalo 1,2
.
.
8
x x x
La raiz es 1.59
0
0 0 0
Sea una función continua en cierto intervalo y sean , números en .
Si es un número que está entre y entonces existe al menos
un entre y tal que .
f I a b I
y f a f b
x a b f x y
Si una función continua en un intervalo cerrado
no tiene raíces en él, entonces 0 para
toda en el intervalo o bien 0 para toda
en el intervalo.
f x
x f x
x
2
Aplicación del teorema del Valor Intermedio
a la función cuadrática general
Ejemplo 4.3.9
f x ax bx c
2Aplicación del teorema del Valor Intermedio a f x ax bx c
2
2
i) La función cuadrática
es continua en todo .
ii) Si 4 0, la función no tiene raíces en
Por tanto, por el teorema del valor intermedi
0 ó
o,
0 en tod .o
f x ax bx c
b a
f x f x
c
R
.
R
R
2Aplicación del teorema del Valor Intermedio a f x ax bx c
2
Como no cambia de signo, para saberlo
basta evaluarla en un punto, ¿dónde es
lo más fácil? Pues en cero, y
0 0 0
así que
1) sera mayor que cero en todo si 0
ó
2) sera menor que cero en
f a b c c
f x c
f x
R
todo si 0.c R
0
0 0 0
Sea una función continua en cierto intervalo y sean , números en .
Si es un número que está entre y entonces existe al menos
un entre y tal que .
f I a b I
y f a f b
x a b f x y
Asimismo entre dos raíces
consecutivas de una función
polinomial la función es positiva
siempre o bien es negativa siempre.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-800
-600
-400
-200
200
400
600
x
f(x)
5 43 45 ³ 59 ² 420f x x x x x x
0
0 0 0
Sea una función continua en cierto intervalo y sean , números en .
Si es un número que está entre y entonces existe al menos
un entre y tal que .
f I a b I
y f a f b
x a b f x y
Una función polinomial de grado
impar tiene al menos una raíz real.
Una función polinomial de grado impar tiene al menos una raíz real
1 20 1 2 1
1 2 10 2 1
0
0
...
...
Cuando el factor entre paréntesis tiende a 0.
Por lo tanto,
1. lim tiene el mismo signo que , luego hay
pun
n n nn n
n n nn n
x
f x a x a x a x a x a
a a a ax a
x x x x
x a
f x a
0tos donde tiene el mismo signo que .f x a
Una función polinomial de grado impar tiene al menos una raíz real
1 20 1 2 1
1 2 10 2 1
0
0
...
...
Cuando el factor entre paréntesis tiende a 0.
Por lo tanto,
2. lim tiene el signo contrario al de , y tamb
n n nn n
n n nn n
x
f x a x a x a x a x a
a a a ax a
x x x x
x a
f x a
0
ién
hay puntos donde tiene el signo contrario al de .f x a
Una función polinomial de grado impar tiene al menos una raíz real
1 20 1 2 1
Así que en alguna zona
...
es negativo y en otra es positivo.
Por lo que, por el Teorema del Valor
Intermedio, entre ambos tipos de puntos por
lo menos hay una raíz real.
n n nn nf x a x a x a x a x a
5 4 3 23 2 8 3 1f x x x x x x
Si : , es una función continua,
entonces:
Existen y , , tales que
para toda , .
f a b
c d a b
f c f x f d
x a b
R
Por el teorema de los Valores Extremos
y el teorema del Valor Intermedio,
tenemos que el rango de una función,
continua definida en un intervalo cerrado,
es otro intervalo cerrado, a saber,
, .f c f d
El rango de una función continua, definida en un intervalo
cerrado, es otro intervalo cerrado, a saber, , .f c f d
Gracias,espero que hayan aprendido algo.Fue un placer trabajar con ustedes.Hasta luego.