4.2.3 刘徽和祖氏父子 1. 刘徽的数学贡献 刘徽，魏晋时期人，祖籍淄乡，生卒年月不详 . 他年轻时十

分好学，尤其喜爱数学 . 公元 263 年，刘徽撰《九章算术注》 . 《九章算术注》对于阐发《九章算术》的思想方法，发展《

九章算术》的理论，完善《九章算术》的体系，作出了杰出的贡献 .

算术方面 刘徽阐发了《九章算术》中的分数理论 . 他的分数的意义、表示方

法、运算法则等代表了当时世界上的最高水平，并已接近于近代的成熟程度 . 他把分数看作比，由此发展出“率”的概念，又在“率”的基础上提出了算术中的比例理论、 “盈不足”方法等，成为中国传统算法理论发展的重要基础，并传入印度、阿拉伯和欧洲，对这些地区数学的发展产生了较大的影响 .

代数方面 刘徽对《九章算术》中的线性方程组解法以及正负数加减运算这两项算法

给以了完整的理论说明． 他第一个给出了方程的定义并揭示了方程组的同解原理． 对于正负数，刘徽的定义可以说是经典性的．他把正与负看成是相对存在

的数的两种情况，从这一认识出发，刘徽在世界数学史上第一个采取了把数的正负与加减运算关系统一起来的做法．

他还运用平面与立体图形对中国古代的开平方与开立方法作出了直观解释，这种方法对于帮助读者正确理解与掌握开方程序是非常有益的．

他由取平方根的近似值而提出的小数概念和表示方法，不仅明显具有近代特征．而且比欧洲最早的小数—斯蒂文的小数记法要早出 1300 多年．

几何方面 刘徽的贡献尤为突出，他是具有中国特色的传统几何理论的奠基者。 他以别具一格的证明方法对中国古代提出的几何命题予以科学的证明，这些方法包括“图

形割补法”、“代数法”、“极限法”以及“无穷小分割法”等等，其中最常用的是图形割补法，这与他提出的“解体以图”的目标是一致的。

(1) 割圆术 《九章算术 “》 圆田术”给出了圆面积的计算公式： “半周半径相乘得积步”

圆田积步＝ ( 其中 为圆周长， 为圆的半径 ) 。 为了证明这一公式，刘徽创造了著名的“割圆术”。

2C R C R

“ 割圆术”的基本思想：“化圆为方”，并借助于极限的方法． 首先，刘徽以“割圆为六瓠图”来指出古率“径一周三”实际上是六瓠的周长 ( ) 与直径之比． 然后，从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并逐次计算得到正多边形的周

长和面积 . “ 以六觚（ gū）之一面乘半径，因而三之，得十二觚之幂” . 即有

6C

612 63 ( ).

2CS R a R

若又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而六之，则得二十四觚之幂” .

即有

若令 , 如 即是圆除去其内接“十二觚”的小弓形面积总和，这些小弓形面积在割圆术“化圆为方”的过程中是要舍弃的．

刘徽指出：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣” 即随着分割的不断细密， 的值不断变小．当分割至“不可割”的极限状态时，内接正多边形与圆重合， 而“无所失”了．

1224 126 ( ).

2CS R a R

3 2 3 2n nS S

圆 12

3 2n

0

刘徽还注意到，如果在圆的内接正边形的每一边上作一高为“余径” (半径与边心距之差 ) 的矩形，就可得到

这样就不需要计算圆外切正多边形的面积来得到圆面积的上限和下限 . 刘徽从圆的内接正六边形出发，并取半径为 1 尺，一直推算到圆的内接

正 192边形．得到圆周率的近似值为 化为分数就是 ，这就是著名的“徽率”．

1 1 13 2 3 2 3 2 3 2( )n n n nS S S S S

圆

3.14 ， 15750

(2) 体积理论 《九章算术 “》 商功”章给出了柱、锥、台体及拟柱体的体积公式，其

公式的编排明显地带有某种逻辑顺序．刘徽首先将一个长方体 ( 刘徽称之为立方 )剖分，得到了几种基本的几何体，如图

“邪解立方得两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，—为鳖臑 .” “不有鳖臑，无以审阳马之数；不有阳马，无以知锥亭之类．功实之主

也 .”

“阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”

为了证明“不之率易”这一关系，刘徽将一个堑堵 ACJLRP斜分为一个阳马 AJLRP 和一个鳖臑 ACLR ，过此堑堵三度的中点进行剖分，则阳马被分割成五个部分：一个小立方 DEHGJKNM ，

两个小堑堵 GHMNQP 和 EHKNOL ，以及两 个小阳马 ADEHG 和 HNORQ；鳖臑被分割 成四个部分：两个小堑堵 BCEFIH ， EHIFLO 和两个小鳖臑 ABEH ， HIOR ．将 分割阳马所得两个小堑堵 GHMNQP 和 EHKNOL合为—小立方，将分割鳖臑所 得两个小堑堵 BCEFIH 和 EHIFLO也合为 另一小立方，这样连同分割阳马所得的小立方 DEHGJKNM.

这些体积是可以计算的，其结果是属于阳马的部分和属于鳖臑的部分的体积之比为 2:1 ．剩下的小阳马 ADEHG (属于阳马 ) 和小鳖臑 ABEH(

属于鳖臑 ) 、小阳马 HNORQ(属于阳马 ) 和小鳖臑 HIOR(属于鳖臑 )又可合成两个堑堵．重复上述过程，分属于阳马和鳖臑的可计算部分的体积之比仍为 2:1 ．将此过程无限地继续下去，直到剩余体积为 0 ，而整个过程中能够计算的阳马与鳖臑的体积之比总是 2:1 ．故刘徽得到了上述“不易之率”

若以 表示立方的三度，上述过程相当于由公式

推出了

刘徽在这里熟练地运用了出入相补原理和无穷分求和原理． 利用这四种基本几何体，将其他的几何体加以恰当的分割，就可以方便

地求出它们的体积了．人们把刘徽的这种方法称为“棋验法”．

, ,a b c

V abc立方

13

V abc阳马

16

V abc鳖

(3) 球体积计算 《九章算术 “》 少广”章的“开立圆术”给出的球体积 ( ) 计算方法相

当于公式 (D 为球直径 ) ， 刘徽对这一公式的正确性产生了怀疑，他娴熟地使用截面法进行了验证

，发现内切圆柱的体积 ( ) 与正方体的体积 ( )之比为 ，在《九章算术》取 的情况下，只有在内切球与圆柱的体积之比也是 时，上述近似公式才成立，而实际上后者是不成立的．

3V

3916

V D

2V 1V 4

=3 4

为了说明这一点，刘徽又引入了一种新的立体：以正方体相邻的两个侧面为底分别作两次内切圆柱切割，剔除外部，剩下的内核部分刘徽称之为“牟合方盖” (如图中的 ) ．他用截面法证明内切球与“牟合方盖”的体积之比为 ．

显然，如果能求出牟合方盖的体积，球的体积就自然可以求出了．但对于牟合方盖的体积如何求出，刘徽百思不得其解，故最后不得不“付之缺疑，以俟能言者”．由此我们可以看出刘徽学术研究中的严谨与谦逊的态度．

4V

4

(4) 勾股测量 刘徽的另一部著作《海岛算经》，就是在测量的具体实践过程中总结而

成的关于“测高望远之术”的专著．该书共 9 问，涉及到的勾股测量方法有重表、累矩、连索以及两望、三望、四望．

《海岛算经》是刘徽对中国古代重差理论的进一步完善，展示了勾股比率和重差测量的演化过程，标志着中算家在测量技术及理论方面所达到的新的高度 .

《海岛算经》第二问： “今有松生山上，不知高下．立两表，齐高三丈，前后相去五十步，

今后表与前表参相直．从前表却行七步四尺，薄地遥望松末，与表端参合．又望松本，入表二尺八寸．复从后表却行八步五尺，薄地遥望松木，亦与表端参合．问松高及山去表各几何？”

如图，刘徽借助于相似勾股形的比例关系和中国古代的“重差术”得到

松高 松去地，

入表 表高

表高 表间

松去地 表高，相多

入表 表间松高 入表.

相多

2. 祖氏父子的数学贡献 祖冲之，字文远，祖籍范阳遒县。他生活在南北朝，家学渊博，

加上他自幼刻苦勤奋，对天文、数学有浓厚的兴趣，而成为一位博学多才的天文学家与数学家、机械制造专家、文学家 . 他编制的《大明历》，首次考虑到岁差，其日、月运行周期的数据也比当时颁行的历法精确 . 此外，他还改造了指南车，制造了水碓磨、千里船等 .

祖暅，字景烁，也精通历法、数学 . 祖冲之父子俩都对《九章算术》与刘徽注有浓厚的兴趣，他们的著作《缀术》在唐代被李淳风收入“算经十书”作为数学教科书 .

祖冲之最突出的成就是对圆周率值的推算 . 《隋书·律历志》记载着他对圆周率的研究成果

祖冲之又给出了圆周率的两个分数值：密率为 ；约率为 . 其中密率在欧洲由德国数学家奥托于 1573 年得到，这比祖冲之要晚 1100 年之久 .至于祖冲之是如何得到圆周率的，由于他的著作已经失传，已无从了解了．但大多数人认为，他可能使用的就是刘徽的割圆术．

祖氏父子在研究《九章算术》及刘徽注时发现了刘徽遗留下的如何计算“牟合方盖”的体积问题，并开始沿着刘徽开辟的道路继续探索．经父子两代人不懈的努力，终于由祖暅解决了牟合方盖体积的计算，得到牟合方盖与其外切正方体的体积比为 2/3 ．

3.1415926. 355113

227

如图，他把正方体 (边长为 D) 等分为 8 个小正方体，去出其中一个，以左下棱为轴、棱长 ( ) 为半径作四分之一圆柱面；再以后下棱为轴作 1/4 圆柱面，二次分割得到 4个曲面立体：其中一块称为内棋 ( ，即牟合方盖的 ) ，还有 3 块称为外棋 ( )．并将这 4 块几何体用水平面 ( 立标记为 )去截分别得到截面：一个大正方形 (边长记为 ) ，小正方形 和两个长方形 ．由勾股定理得，

于是

1V

2D

1U

1 8 2, 3, 4U U U

z1F

y2F 3 4,F F

2 2 21 ( )

2DF y z

2 22 3 4 1( )

2DF F F F z

再考虑到以 为底面边长和高的倒立正四棱锥 ( ) 在立标为 处的截面面积也是 ，由“祖暅原理”有

由图所示关系 ,有 令 则得

32 3 4 5

1 ( ) ,3 2DU U U U

34 1

28 ,3

V U D

2D 5U z2z

,2Dr

34 .3

V r

“ 祖暅原理”：“缘幂势既同，则积不容异” 即：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意

平面所截，若所得截面总相等，则此二几何体体积相等。

“ 祖暅原理”实际上也就是西方数学界所谓的“卡瓦列利原理”。这一原理在西方直到 17 世纪才由意大利数学家卡瓦列里发现，比祖暅晚了 1100 多年。

4 ． 2 ． 4 《算经十书》

从隋代开始，中国有了专门的数学教育机构，在其最高学府——国子监中，设立算学科，专门从事数学教学．唐朝建立以后，在隋的基础上，继续在国子监中设立数学教育机构，他们把数学教育与明经、明法、明书等并列为六科，称作明算科．设有算学博士与算学助教各二人，并招收算学生 80 人．为了教学的需要，由数学家李淳风等人共同审定并注释了十部算经作为数学教材，这十部著作是《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、

《五曹算经》、《五经算术》、《夏候阳算经》、《缀术》和《缉古算经》，这就是历史上著名的“算经十书”，其记载了汉唐的数学成就，并成为后人数学教学与研究的重要源泉．

《孙子算经》

出现在 4—5 世纪，其具体的成书年代与作者姓名已不可考，这是继《九章算术》之后又一部重要的数学著作．

《孙子算经》还记载了举世闻名的“孙子问题”，这就是卷下第 36 题，也即全书的最后一题．原文：

“今有物不知数．三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？”

大意：有堆东西不知有多少，如果三个三个地数，最后余下两个；五个五个地数，最后余下三个；七个七个地数，最后余下二个，问这堆东西共有多少 ?

用同余式组表示出来就是 求 ，这里 表示“ 与 同时被 除所得的余数 相同 . 《孙子算经》的解答原文如下： “ 答曰：二十三．术曰：三三数之剩二 , 置一百四十；五五数之剩三

，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得 . 凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，置十五；一百五上，以一百五减之，即得．”

明代数学家程大位的《算法统宗》卷五所载的“孙子歌”： “三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五

便得知．”

2(mod3) 3(mod5) 2(mod7),x x (mod )a b p a b p

《张邱建算经》

共三卷，为 5 世纪时期北魏人张邱建所撰．该书卷下最后一题就是所谓“百鸡问题”：

“今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一．凡百钱买鸡百只．问鸡翁、母、雏各几何 ?”

此题相当于给出不定方程组：

其中 分别为所买鸡翁、鸡母、鸡雏的只数 .

100,15 3 100.3

x y z

x y z

, ,x y z

张邱建给出了三组解

《张邱建算经》的“术”文实际上指出了这个不定方程的通解公式为：

其中 取 0 ， 1 ， 2.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4, 8, 12,18, 11, 4,78; 81; 84.

x x xy y yz z z

4 4 ,18 7 ,78 3 .

x ty tz t

t

《五曹算经》

为北周甄鸾所撰，共 5 卷，是一本为地方行政官员编写的实用算术手册． 《五经算术》

亦为北周甄鸾所所撰，共 2 卷．该书对儒家经典及其古代经师的注解中所涉及的数学知识进行解释，但数学内容并不深．

《夏侯阳算经》

现传本已不是唐代立于学官的原著，是北宋时期重刻《算经十书》时顶替早已亡佚的原著而选用的唐代中叶的一本实用算术书．该书共 3 卷，较为重要的是有许多关于捷算方法的记载 .

《缉古算经》

为唐代数学家王孝通所撰．全书共 20 题，最重要的有堤岸的体积计算公式和对高次方程的研究，弥补了《九章算术》与《缀术》等书的不足．