4/25/2014 nattawoot koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 financial...

4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1


Lecture 8

การจ าลองแบบมอนตคาโลและเทคนคการลดความ

แปรปรวน

(Monte Carlo Simulation and Variance

Reduction Techniques)

หวขอการบรรยาย

การจ าลองแบบมอนตคาโล

เทคนคการลดความแปรปรวนดวย

วธ antithetic variates

เทคนคการลดความแปรปรวนดวย

วธ moment matching


เอกสารประกอบการสอน

Ross, S. (1976), The Arbitrage

Theory of Option Pricing, Journal

of Economic Theory, Vol 13 no.

3, pp. 341-360.


การจ าลองแบบมอนตคาโล (Monte

Carlo Simulation) นยาม

กระบวนการทประกอบดวย (1) การสราง

ตวเลขแบบสมมาจากการแจกแจงความ

นาจะเปนทเปนตวบงชแหลงความไม

แนนอน (เชน ยอดขายผลตภณฑใหม

ราคาหน อตราดอกเบย อตราแลกเปลยน

เงนตราตางประเทศ ราคาสนคาโภค

ภณฑ) (2) การใชตวเลขทจ าลองไดมา

วเคราะหถงผลลพธและความเสยงท

นาจะเกดขนของสงทสนใจ



Carlo Simulation) การใชงาน

ใชวเคราะหความไมแนนอนในการด าเนนธรกจ หรอ

ผลลพธทเปนไดของสงทยงไมเกดขน เชน กอนทจะม

การประกาศใชเงนยโร นกวจยใชการจ าลองแบบมอนต

คาโลในการศกษาผลกระทบตอคณสมบตตางๆ ของกลม

หลกทรพยทประกอบดวยหลกทรพยของหลายประเทศ

ในยโรป ซงมการคาดการณวาหลงจากมการใชเงนสกล

ยโร สหสมพนธของระหวางตลาดในยโรปจะเพมขน



Carlo Simulation) การใชงาน

ใชประเมนราคาตราสารสทธ ทไมมสตรตายตวในการหา

คา เชน ราคาของ Asian options

ใชยนยนผลทางทฤษฎวาเปนจรงหรอไม เชน ตรวจสอบ

การแจกแจงของราคาหน GBM

ใชตรวจสอบการแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรท

เราสนใจ ทไมมทฤษฎรองรบ


standard simulation

สมมตวาเรารรปแบบของตวแปรสม แตเราไมรคณ

สมบตของตวแปรสมตวน เราจงจะจ าลองตวแปรน

มา n คา แลวหลงจากนนจงท าการศกษาคณสมบต

ตวอยาง: เราตองการประมาณราคา call แบบ

ยโรเปยน โดยทหนอางองเคลอนทตาม GBM


0,max)( KSeC T

tTr

t

tTZtTrSS tT )(exp 2

21

standard simulation

สงเกตไดวา μ ใน GBM จะถกแทนทดวยอตรา

ดอกเบยทปราศจากความเสยง r ตามทฤษฎ risk-

neutral pricing

การประเมนราคา call ท าไดดวยการสมเลอก

ตวเลขจาก N(0,1) เพอทจะจ าลอง ST แรกตามน


tTZtTrSS tT )1(2

21)1( )(expˆ

standard simulation

ราคา call (จ าลอง) ราคาแรกสามารถค านวณไดตามน

ท าซ าขนตอนขางบน n ครง ราคาประเมนของ call ตว

นจะค านวณไดตามน

ซง C^t จะมคาคาดหมาย = Ct และความแปรปรวนท

แปรผกผนกบ n


0,max )1()()1( KSeC T

tTr

t

n

i

i

tt Cn

C1

)(1ˆ

standard simulation

ถา X1, X2, …, Xn เปน iid ทมคาเฉลย μ = E(Xi)

และความแปรปรวน σ2 = var(Xi) <

แปลวาถาเราเพมจ านวนคาสงเกตในกลมตวอยาง

คาเฉลยของกลมตวอยางจะมความแปรปรวนลดลงเรอยๆ

(CLT)


n

i

inXX

nXX

1

1

2

var

standard simulation

จ าลอง 1000 คาของ ST จากขอมลดงน

S0 = 100

r = .06

σ = .3

T = 1 ป

∆t = 1/250 ป = 1 วน

lnST จะมการแจกแจงแบบปกต

คาเฉลย = lnS0 + (r – .5 ×σ2)T

ความแปรปรวน = σ2T



histogram of 1000 simulated log-ST from GBM

share price

rela

tive

frequ

ency

4.0 4.5 5.0 5.5

0.0

1.0

histogram of 1000 simulated ST from GBM

share price

rela

tive

frequ

ency

50 100 150 200 250

0.00

00.

010

0.02

0

standard simulation

ก าหนดให K = 5, i = 1, 2, …, 1000

C^t = exp(-.06×1) × คาเฉลยของ max(S(i)

T – K,0) =

95.02587

ราคา call ตวน (ทม S0 = 100, r = .06, σ = .3, T = 1

ป) ตามสตร Black-Scholes = 95.29118 (ขนาดความ

ผดพลาดของ C^t = 0.26538)

C^t = 95.1781 ถาท าซ า 10,000 ครง (ขนาดความ

ผดพลาด = 0.1130773)

C^t = 95.30597 ถาท าซ า 100,000 ครง (ขนาด

ความผดพลาด = 0.01479267)


standard simulation

เนองจาก C^t เปนคาเฉลยของกลมตวอยาง คา

เบยงเบนมาตรฐานของ C^t หรอคาคลาดเคลอน

มาตรฐานของ Monte Carlo Simulation = σ/√n

σ = คาเบยงเบนมาตรฐานของ C(i)t

n = จ านวนการท าซ าในการจ าลองแตละครง

ถาตองการลดคาคลาดเคลอนมาตรฐานลงสองเทา n

ใหมตองเพมเปนสเทาของ n เดม


12

1

2

2

2

4

2

1

nn

nn

Antithetic variates

Moment matching

methods


variance reduction techniques

antithetic variates

แนวคดของวธ AV นคลายกบหลกการของการ

กระจายความเสยงในกลมหลกทรพย (สรางกลม

หลกทรพยทประกอบดวยหลกทรพยทไมม

สหสมพนธแบบสมบรณระหวางกน) ซงหลกทรพยท

มประโยชนในการกระจายความเสยง ไดแก

หลกทรพยทมสหสมพนธแบบลบกบตลาด

เนองจาก Z มสหสมพนธลบแบบสมบรณกบ –Z

และทงสองตวแปรมการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน

ดงนนราคา S(i)T ทไดจาก Z และ S(i)

T ทไดจาก –Z

กจะมการแจกแจงทถกตองเชนเดยวกน


antithetic variates

S(i)T ทไดจาก Z

S(i)T ทไดจาก –Z


tTZtTrSS i

t

i

T )(2

21)( )(exp

tTZtTrSS i

t

i

T )()(exp~ )(2

21)(

0,max )()()( KSeC i

T

tTri

t

0,~

max~ )()()( KSeC i

T

tTri

t

antithetic variates

ถาเราน า Z ทสมเลอกมา n ตว และ –Z (n ตว) มา

เรยงจดการแจกแจง การแจกแจงดงกลาวจะเปน

ระเบยบมากกวา การแจกแจงของ Z ทสมมา 2n ตว

คาเฉลยของ {Z,-Z} = 0 เสมอ ในขณะทคาเฉลยของ Z

จะไมมทาง = 0 ไมวาจะสมเลอกมากตวกตาม

เชนเดยวกน การแจกแจงของ {S(i)T ทไดจาก Z, S(i)

T ท

ไดจาก –Z} จะเปนระเบยบมากกวาการแจกแจงของ S(i)T

ทไดจาก Z เพยงอยางเดยว


antithetic variates

ราคา call ทประเมนไดดวยวธ AV ไดแก


n

i

i

t

i

tt

CC

nC

1

)()(

2

~1ˆ


histogram of 1000 simulated log-ST-tilda from GBM

share price

rela

tive

frequ

ency

4.0 4.5 5.0 5.5

0.0

1.0

histogram of 1000 simulated ST-tilda from GBM

share price

rela

tive

frequ

ency

50 100 150 200

0.00

00.

010

Antithetic variates

ราคาของ call จากวธ AV (n =1000) = 95.24201

(ขนาดความผดพลาด = 0.04916733 ซงนอยกวา

กรณ standard simulation ทม n = 1000)


moment matching

แนวคดของวธ MM ไดแก การท าให Z หรอ S(i)T ท

จ าลองขนมโมเมนตของกลมตวอยางเทากบ

โมเมนตตามทฤษฎ

MM1: จบคโมเมนตแรกของ Z

คาเฉลยของกลมตวอยาง Z มกไมเทากบ 0 แตคาเฉลย

ของกลมตวอยาง Ž จะเทากบ 0


n

i

iii Zn

ZZZZ1

)()()( 1~

moment matching

การประเมนราคา call ตาม MM1


tTZtTrSS i

t

i

T )(2

21)( ~

)(exp~

0,~

max~ )()()( KSeC i

T

tTri

t

moment matching

MM2: จบคสองโมเมนตแรกของ Z

μZ = 0

σZ = 1

sZ = คาเบยงเบนมาตรฐานของกลมตวอยาง Z

คาเฉลยและความแปรปรวนของกลมตวอยาง Ž จะ

เทากบ 0 และ 1 ตามล าดบ ในขณะทคาเฉลยและความ

แปรปรวนของกลมตวอยาง Z จะไมเทากบตวเลขทาง

ทฤษฎ


Z

Z

Zii

sZZZ

)()(~

moment matching

ลองสราง Z มา 1000 คา แลวแปลง Z ตาม MM1

และ MM2 ไดผลดงน


Sample mean Sample standard

deviation

Z -0.01613096 1.012485

Ž (MM1) 4.634144×10-18 1.012485

Ž (MM2) 5.727928×10-18 1

moment matching

MM3: จบคโมเมนตแรกของ S(i)T

คาเฉลยของกลมตวอยางหลงจากทแปลง S(i)T ตาม

MM3 จะเทากบตวเลขทางทฤษฎ


)exp(~

0

)()(rTSSSS

TT SST

i

T

i

T

moment matching

MM3: จบคสองโมเมนตแรกของ S(i)T

σ คอ สมประสทธของความผนผวนจาก GBM

คาเฉลยและความแปรปรวนของกลมตวอยางหลงจากท

แปลง S(i)T ตาม MM3 จะเทากบตวเลขทางทฤษฎ


1)exp(

~

22

00

)()(

TrT

SS

S

S

S

T

i

T

i

T

eeSrTS

sSSS

TT

T

T

T

moment matching

Boyle, P., Broadie, E. and Glasserman, P.

(1997). Monte Carlo methods for security

pricing. Journal of Economic Dynamics and Control, 21, 1267-1321

ใช n = 1000 ครงในการประเมนราคา call ดวยวธ

standard simulation และวธ MM

ท าซ าแบบเดม 10000 ครง แลวใชคาเบยงเบนมาตรฐาน

ของตวประมาณคา 10000 ตว เปนตวแทนคา

คลาดเคลอนมาตรฐานของตวประมาณคาทไดจาก

standard simulation และ MM


moment matching

σ S0/K Standard

simulation

MM1 MM2 MM3 MM4

0.2 0.9 0.24 0.19 0.11 0.19 0.09

1.0 0.62 0.29 0.09 0.26 0.10

1.1 0.93 0.19 0.09 0.15 0.11

0.4 0.9 0.80 0.55 0.24 0.51 0.17

1.0 1.22 0.66 0.19 0.56 0.23

1.1 1.61 0.63 0.17 0.48 0.28

0.6 0.9 1.40 0.95 0.38 0.84 0.28

1.0 1.93 1.1 0.31 0.91 0.39

1.1 2.38 1.13 0.25 0.85 0.49


4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 314/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 31

4/6/2011 Natt Koowattanatianchai 31


Email:

[email protected]

Homepage:

http://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm

Phone:

02-9428777 Ext. 1221

Mobile:

087- 5393525

Office:

ชน 9 ตกใหมคณะบรหารธรกจ

http://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm

4/25/2014 nattawoot koowattanatianchai 1 - web kufin.bus.ku.ac.th/01135532 financial...

Documents