42683184 metoda fortelor structuri static nedeterminate
TRANSCRIPT
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 1 -
CALCULUL STRUCTURILOR NEDETERMINATE PRIN METODA FORŢELOR
ACŢIUNEA FORŢELOR
1) Să se caluleze prin metoda forţelor, structura din figura.1, la acţiunea forţelor exterioare.
Se cunosc:
3,8 ; 3 ; 30 / ; 48 ; 64L m H m p kN m F kN M kN m Rezolvare:
4I0
I0
2I0
F4I0
p
L L/3
3H/4
H
1) Stabilirea gradului de nedeterminare statică:
Gradul de nederminare statică se stabileşte cu relaţia: ( ) 3 (6 3) 3 2 3sn r l c
Structura este de trei ori static nedeterminată.
2) Alegerea sistemului de bază:
Sistemul de bază reprezintă, sistemul ataşat sistemului statict nedeterminat, la care se suprimă atâtea legături exterioare sau interioare cât sunt necesare pentru ca acesta sa devin static determinat. În locul fiecărei legături suprimate se introduce un efort static nedeterminat, notat, de obicei, cu 1, 2 , ...X X .
Transformare sistemului real în sistem de bază se poate face în diferite feluri, dintre toate variantele se va alege cea mai convenabilă din punct de vedre al calculelor.
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 2 -
În cazul sistemului nostru, sunt prezentate mai jos câteva variante de sisteme de baza ce pot fi ataşate sistemului nedeterminat. Varianta ce convine fig 2. a).
4I0
I0
2I0
F4I0
p
3,8 1,27
2,25
3
X 1
X 2
X 3
a)
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
X3
X2
X1
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
X 3
X1
X2
b) c)
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 3 -
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
X1
X1
X2
X2
X3
X3
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
X1
X2
X2
X2
d) e)
fig 2
3) Ecuaţiile de echilibru elastic: Se obţin prin scrierea condiţiilor de compatibilitate pe direcţia legăturilor suprimate:
- deplasarea absolută pe direcţia necunoscutelor iX , este egală cu zero:
Explicitat:
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
0
0
0
p
p
p
X X X
X X X
X X X
4) Calculul coeficienţilor şi al termenilor liberi 4.1) Coeficienţii principali şi secundari:
- se calculează cu relaţiile: 2
0
li
ii
Mdx
EI
0
li i
ij ji
M Mdx
EI
- unde: ,i jM M : momentele încovoietoare produse pe sistemul de bază static determinat de necunoscuta iX ,
repectiv jX , egale cu unitatea.
Trasarea diagramelor unitare:
0i
aX
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 4 -
- sistemul incărcat cu 1X :
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
5,25
3
M1
1 1X
0; 1 3 3 ; 0; 3 ;
1 5, 25 5, 25 ; 5, 25 ; 5, 25 .
AB CB BDA B B B
BD DED D E
M M kN m M M kN m
M kN m M kN m M kN
- sistemul incărcat cu 2X :
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D
E
M2
5,07
2 1X
0A B C DM M M M
5,07EM kN m
- sistemul incărcat cu 3X :
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 5 -
3 1X
0AM ;
0; 1 3,8 3,8 ; 0; 3,8 ; 3,8 ;CB AB BC BDC B B B DM M kN m M M kN m M kN m
3,8 ; 1,27DED EM kN m M kN m
3,8 1,27
2,25
3
A
B
C
D
E
M3
3,8
3,8
1,27
Calculul coeficienţilor din sistemul de ecuaţii:
2 2111
0 0 00
0 0 0 0
1 1 2 2, 25 1( 3 3) ( 3) (2 3 2 5, 25 2 3 5, 25) 5, 25 5, 07 5, 25
2 2 3 6 4
4,5 39, 23 34,94 78, 67
l Mdx
EI E I E I E I
EI EI EI EI
22
220 00
1 1 2 10,865,07 5,07 5,07
4 2 3
l Mdx
EI E I EI
23
330 00
2 2
0
0 0 0 0
1 1 2 13,8 3,8 3,8 3,8 2, 25 3,8
4 2 3
5, 07(2 3,8 2 1, 27 2 3,8 1, 27)
6 4
4,57 32, 49 4, 74 41,8
l Mdx
EI E I E I
E I
EI EI EI EI
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 6 -
1 212 21
0 00
1 5,07 16,87(5,25 5,07)
4 2
l M Mdx
EI E I EI
1 313 31
00
0
0 0 0
2, 25(2 3 3,8 2 5, 25 3,8 3 3,8 5, 25 3,8)
6
5,07(2 5, 25 3,8 2 5,25 1,27 5,25 1, 27 5, 25 3,8)
6 4
35,27 8,42 43,69
l M Mdx
EI E I
E I
EI EI EI
2 323 32
0 00
5,07 1,35(2 5,07 1,27 5,07 3,8)
6 4
l M Mdx
EI E I EI
Suma coeficienţilor:
, 1
78, 67 10,86 41,8 2 (43, 69 16,87 1,35) 182, 27sn
iji j
4.2) Termenii liberi, se calculează cu relaţia:
0
lp i
ip
M Mdx
EI
Unde pM , reprezintă momentul produs, pe sistemul de bază static determinat, de încărări.
11
00
0
0 0 0
2,25(2 216,6 3 2 108,6 5,25 216,6 5,25 108,6 3)
6
5,07( 2 108,6 5,25 2 469,36 5,25 108,6 5,25 469,36 5,25)
6 4
1463,56 1200,32 263,24
lp
p
M Mdx
EI E I
E I
EI EI EI
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 7 -
48 kN
30 kN/m
3,8 1,27
2,25
3
A
CB
D
E
3,8 1,27
2,25
3
216,6
108,6
469,36
Mp
22
0 00
5,07 889,09( 2 469,36 5,07 108,6 5,07)
6 4
lp
p
M Mdx
EI E I EI
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 8 -
33
00
0
0
0 0 0
1 1 1( 3,8 216,6) 3,8
4 3 4
2,25(2 216,6 3,8 2 108,6 3,8 108,6 3,8 216,6 108)
6
5,07(2 108,6 3,8 2 469,36 1,27 108,6 1,27 469,36 3,8)
6 4
65,16 1390,23 20,29 14
lp
p
M Mdx
EI E I
E I
E I
EI EI EI
0
75,68
EI
Suma termenilor liberi:
1
(263,24 889,09 1475,68) 2628,01sn
jpj
5) Verificarea coeficienţilor şi a termenilor liberi. Coeficienţii sunt corecţi calculaţi dacă este îndeplinită condiţia:
2
, 1 0
s lns
ij ssi j
Mdx
EI
3,8 1,27
2,25
3Mss
3
3,8
9,05
1,09
6,8
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 9 -
2
00
0
2 2
0
2 2
0
0 0 0 0 0
1 1 2( 3 3) 3
2 2 3
1 1 2( 3,8 3,8) 3,8
4 2 3
2, 25(2 6,8 2 9, 05 2 6,8 9, 05)
6
5, 07(2 9, 05 2 1, 09 2 9, 05 1, 09)
6 4
4,5 4,57 142, 26 30,94 182, 27
ls
ss
Mdx
EI E I
E I
E I
E I
EI EI EI EI EI
Condiţie îndeplinită, coeficienţii sunt corect calculaţi. Termenii liberi sunt corecţi calculaţi dacă este îndeplinită condiţia:
1 0
s lnp s
jp spj
M Mdx
EI
00
0
0
0 0
1 1 1216,6 3,8 3,8
4 3 4
2,25(2 216,6 6,8 2 108,6 9,05 108,6 6,8 216,6 9,05)
6
5,07( 2 108,6 9,05 2 469,36 1,09 463,36 9,05 108,6 1,09)
6 4
65,16 2853,79 290,94
lp s
sp
M Mdx
EI E I
E I
E I
EI EI EI
0 0
2628,01
EI
Condiţie îndeplinită, termenii liberi sunt corect calculaţi.
6) Rezolvarea sistemului de ecuaţii:
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
0
0
0
p
p
p
X X X
X X X
X X X
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 10 -
1 2 30 0 0 0
1 2 30 0 0 0
1 2 30 0 0 0
78,67 16,87 43,69 263,240
16,87 10,86 1,35 889,090
43,39 1,35 41,8 1475,680
X X XEI EI EI EI
X X XEI EI EI EI
X X XEI EI EI EI
Echivalent cu:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
78,67 16,87 43,69 263,24
16,87 10,86 1,35 889,09
43,39 1,35 41,8 1475,68
X X X
X X X
X X X
Soluţia sistemului:
A
78.67
16.87
43.39
16.87
10.86
1.35
43.69
1.35
41.8
B
263.24
889.09
1475.68
X A1
B detA A
detA 5.068 103
X
5.321
94.215
32.822
1
2
3
5,321
94,215
32,822
X kN
X kN
X kN
7) Trasarea diagramelor de eforturi:
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 11 -
48kN
30kN
3,8 1,27
2,25
3
5,321kN
94,215kN
32,826kN
94,215kN
13,04
53,321kN
N
T
5,321kN
32,822kN
81,178kN
53,321kN
127,037
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 12 -
91,84
44,06
15,963
M
75,88
22,04
8) Verificarea diagramelor de eforturi: 8.1) Verificări statice: - Verificarea nodului B:
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 13 -
48
5,321
53,21
81,1
78
15,963
75,88
13,04
94,2
15
B
91,
84
53,321 48 5,321 0
94,215 13,04 81,178 0
91,84 75,88 15,96 0
X
Y
M
- Verificarea diagramei M, prin metoda LMV:
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
22,0448
5,321
94,215
32,822
30
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 14 -
3,8( ) 22,04 48 2,25 5,321 5,25 32,822 1,27 30 3,8 ( 1,27)
294,215 5,07 0
LMV
8.2) Verificărea elastică a diagramei de momente încovoietoare: Diagrama de momente încovoietoare este corect trasată dacă sunt satisfăcute condiţiile:
0
0i
l fi
X
M Mdx
EI
1
1
0
5,07 5,07(2 5,07 22,04 5,07 44,05) (223,4856 223,3335)
6 4 24
5,07 0,0320,1521 0
24
l f
X
M Mdx
EI E I EI
EI EI
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 15 -
CEDĂRI DE REAZEME
2) Să se caluleze prin metoda forţelor, structura din figura.2, la acţiunea cedărilor de reazeme:
Se cunosc: 03,8 ; 3 ; 30 / ; 48 ; 1 ; 1, 4L m H m p kN m F kN v cm
3,8m 1,27m
2,25m
3m
A
B
C
D E
v
Fig. 2
1) Se adoptă acelaşi sistem de bază:
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 16 -
4I0
I0
2I0
F4I0
3,8 1,27
2,25
3
X 1
X 2
X 3
2) Sistemul de ecuaţii de echilibru elastic are forma:
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
c
c
c
X X X L
X X X L
X X X L
3) Coeficienţii au valorile:
2 2111
0 0 00
0 0 0 0
1 1 2 2, 25 1( 3 3) ( 3) (2 3 2 5, 25 2 3 5, 25) 5, 25 5, 07 5, 25
2 2 3 6 4
4,5 39, 23 34,94 78, 67
l Mdx
EI E I E I E I
EI EI EI EI
22
220 00
1 1 2 10,865,07 5,07 5,07
4 2 3
l Mdx
EI E I EI
23
330 00
2 2
0
0 0 0 0
1 1 2 13,8 3,8 3,8 3,8 2, 25 3,8
4 2 3
5, 07(2 3,8 2 1, 27 2 3,8 1, 27)
6 4
4,57 32, 49 4, 74 41,8
l Mdx
EI E I E I
E I
EI EI EI EI
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 17 -
1 212 21
0 00
1 5,07 16,87(5,25 5,07)
4 2
l M Mdx
EI E I EI
1 313 31
00
0
0 0 0
2, 25(2 3 3,8 2 5, 25 3,8 3 3,8 5, 25 3,8)
6
5,07(2 5, 25 3,8 2 5,25 1,27 5,25 1, 27 5, 25 3,8)
6 4
35,27 8,42 43,69
l M Mdx
EI E I
E I
EI EI EI
2 323 32
0 00
5,07 1,35(2 5,07 1,27 5,07 3,8)
6 4
l M Mdx
EI E I EI
Suma coeficienţilor:
, 1
78, 67 10,86 41,8 2 (43, 69 16,87 1,35) 182, 27sn
iji j
4) Calculul termenilor liberi: Termenii liberi se calculează cu relaţia generală:
( )1
ikic i kL R
Unde :
- 1 - acţiunea virtuală 1iX ;
- i - deplasarea după direcţia 1iX ;
- ( )ikR reacţiunile din reazemul k.
Sistemul încărcat cu acţiunea virtuală 1 1X
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 18 -
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
Rx1,1
X1
Rx1,2
1,1 1 5, 25 5, 25xR kN m
1,1 1 1xR kN
1
1, 4 3,14151 0 1 0 5, 25 0,128
180cL
Sistemul încărcat cu acţiunea virtuală 2 1X
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
Rx2,1
X2
Rx2,2
2,1 1 5, 07 5, 07xR kN m
2,1 1 1xR kN
2
1, 4 3,14151 0 1 0 5, 07 0,124
180cL
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 19 -
Sistemul încărcat cu acţiunea virtuală 3 1X
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
Rx3,2
X3
Rx3,1
3,1 1 1, 27 1, 27xR kN m
3,1 1 1xR kN
2
1, 4 3,14151 0, 01 1 0 1, 27 0, 021
180cL
1
0,128 0,124 0, 021 0, 017sn
ici
L
5) Verificarea termenilor liberi: Termenii liberi sunt corect calculaţi dacă este îndeplinită următoarea relaţie:
( )
1
( 1 ) ( )sn
skic sc i k
i
L L R
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 20 -
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
Rs3
X3
Rs2
X1
X2
Rs1
1 1sR kN
2 2sR kN
3 1 1, 27 1 5, 25 1 5, 07 1, 09sR kN
1, 4 3,14151 0, 01 1 0 2 0 1, 09 0, 017
180scL
Deci termenii liber sunt corect calculaţi.
6) Reolvarea sistemului de ecuaţii: Produsul:
7 4 3 20 2,1 10 72 10 151, 2 10E I kN m
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
c
c
c
X X X L
X X X L
X X X L
31 2 3
31 2 3
31 2 3
78, 67 16,87 43, 69 19,3536 10
16,87 10,86 1,35 18, 7488 10
43,39 1,35 41,8 3,1752 10
X X X
X X X
X X X
Soluţia sistemului:
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 21 -
X
391.395
2.302 103
258.775
7) Trasarea diagramelor de eforturi: Sistemul de bază devine:
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
258,775
2302
391,395
Diagrama de forţe axiale:
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 22 -
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
D E
2302
2043,225
391,395
Diagrama de forţe tăietoare:
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
DE
391,395
258,775
391,395
2043,225
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 23 -
Diagrama de momente:
3,8 1,27
2,25
3
A
B C
D E
983,345
1071,478
1174,185190,84 9287,672
1071,478
M
8) Verificarea diagramei de momente, prin LMV:
391,395
2302
258,775
9287
,672
( ) 9287, 672 258, 775 2302 1, 27 2302 5, 07 391,395 5, 25
11671,14 11671,14 0
LMV
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 24 -
ACŢIUNEA VARIAŢIEI DE TEMPERATURĂ
3) Să se caluleze prin metoda forţelor, structura din figura.3, la acţiunea variaţiilor neuniforme de
temperatură, din fig. 3:
35 5 2 4
0
40 603,8 ; 3 ; 10 ; 2,1 10 / ;
12tL m H m E daN cm I cm
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 25 -
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
D
E
100100
100 200
80
Din relaţia:
34
0
40 60
12I cm
- Pentru corpul cu moment de inerţie 0I 3
0 0, 4 ; 0, 612
b hI b m h m
34 4
0
40 600, 0072
12I cm m
- pentru corpul cu momentul de inerţie 02I
0
0
42 4
22 0, 0072 0,8112
II
b hh m
- pentru corpul cu moment de inerţie 04I
0
0
44 4
44 0, 0072 0,96412
II
b hh m
1) Sistemul de bază:
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 26 -
- se adoptă acelaşi sistem de bază şi, ca urmare, coeficienţii sistemului de ecuaţii de condiţie nu se modifică.
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
D
E
100100
100 200
80
X1
X2
X3
2) Sistemul de ecuaţii de condiţii:
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
0
0
0
t
t
t
X X X
X X X
X X X
3) Coeficienţii:
2 2111
0 0 00
0 0 0 0
1 1 2 2, 25 1( 3 3) ( 3) (2 3 2 5, 25 2 3 5, 25) 5, 25 5, 07 5, 25
2 2 3 6 4
4,5 39, 23 34,94 78, 67
l Mdx
EI E I E I E I
EI EI EI EI
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 27 -
22
220 00
1 1 2 10,865,07 5,07 5,07
4 2 3
l Mdx
EI E I EI
23
330 00
2 2
0
0 0 0 0
1 1 2 13,8 3,8 3,8 3,8 2, 25 3,8
4 2 3
5, 07(2 3,8 2 1, 27 2 3,8 1, 27)
6 4
4,57 32, 49 4, 74 41,8
l Mdx
EI E I E I
E I
EI EI EI EI
1 212 21
0 00
1 5,07 16,87(5,25 5,07)
4 2
l M Mdx
EI E I EI
1 313 31
00
0
0 0 0
2, 25(2 3 3,8 2 5, 25 3,8 3 3,8 5, 25 3,8)
6
5,07(2 5, 25 3,8 2 5,25 1,27 5,25 1, 27 5, 25 3,8)
6 4
35,27 8,42 43,69
l M Mdx
EI E I
E I
EI EI EI
2 323 32
0 00
5,07 1,35(2 5,07 1,27 5,07 3,8)
6 4
l M Mdx
EI E I EI
4) Calculul termenilor liberi:
Termenii liberi se calculează ce relaţia generală:
oo
it t ax i t i
tt N M
h
În care:
t - coeficientul de dilatare termică liniară;
oaxt - temperature în axul barei:
2
o oo i eax
t tt
;
ot - diferenţa de temperatură între fibrele extreme ale secţiunii transversale a barei: o o oi et t t ;
h - înălţimea secţiunii transversale a barei;
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 28 -
- Trasarea diagramelor de forţe axiale:
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
D E
X =11
N1
1
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
D E
X =12
N2
1
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
D E
X =12
N3
1
- Determinarea temperaturilor în ax şi a diferenţelor de temperatură:
2
o oo o o oi eax i e
t tt t t t
Valorile pe bare, sunt date în tabelul de mai jos:
BARA ti te Dt tax
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 29 -
AB 20 10 10 15
BC 20 10 10 15
BD 10 10 0 10
DE 10 8 2 9
Fibrele tensionate de diferenţa de temperature, sunt prezentate în figura de mai jos:
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
D E
100100
100 200
80
X1
X2
X3
Termenii liberi:
1 1 1 111 , , , , ,
5 5
5
( )
10 1 210 9 5,07 10 ( 3 3 0 0 5,07 5,25)
0,81 2 0,964
156,41 10
o o o oo AB BD BC DE
t t ax DE tN M AB M BD M BC M DEAB BD BC DE
t t t tt
h h h h
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 30 -
2 2 2 222 , ,2, , , , , ,
5 5
5
( ) ( )
2 110 ( 15 3 10 2,25) 10 (0 0 0 5,07 5,07)
0,964 2
40,84 10
o o o oo o AB BD BC DE
t t ax AB ax BD tN AB N BD M AB M BD M BC M DEAB BD BC DE
t t t tt t
h h h h
3 3 3 33 , 3, , , , ,
5 5
5
( )
10 1 2 1 110 10 2,25 10 [0 0 3,8 3,8 ( 3,8 3,8 1,27 1,27)]
0,964 2 0,964 2 2
39,086 10
o o o oo AB BD BC DE
t t ax BD tN BD M AB M BD M BC M DEAB BD BC DE
t t t tt
h h h h
5 5( 156,41 40,84 39,086) 10 158,164 10it
5) Verificarea termenilor liberi:
Termenii liberi sunt corect calculaţi dacă este îndeplinită condiţia:
oo
it st t ax s t s
tt N M
h
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 31 -
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
D E
Ns
1
2
1
3,8 1,27
2,25
3Mss
3
3,8
9,05
1,09
6,8
5 5
5
10 1 10 110 ( 15 3 10 4,5 9 5,07) 10 [ 3 3 3,8 3,8
0,81 2 0,964 2
2 1 1( 4,25 9,05 1,09 0,545)] 158,14 10
0,946 2 2
st
6) Rezolvarea sistemului de ecuaţii:
7 4 3 20 2,1 10 72 10 151, 2 10E I kN m
1 2 3
1 2 3
1 2 3
78,67 16,87 43,69 236,5
16,87 10,86 1,35 61,75
43,69 1,35 41,8 59,1
X X X
X X X
X X X
Soluţia:
X
35.177
55.809
36.379
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 32 -
7) Trasarea diagramelor de efortui secţionale:
3,8 1,27
2,25
3
A
BC
D
E
100100
100 200
80
36,379
55,809
35,177
55,809kN
19,43kN
35,177kN
NQ
35,177kN
19,43kN
36,379kN
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 33 -
105,53
138,24
52,07
46,44
M
32,71
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 34 -
ECUAŢIA CELOR TREI MOMENTE
Calculul grinzilor continue
B C D
6,3m 3,15m 4,2m
40kN
A
1) Gradul de nedeterminare:
6 3 3sn
2) Sistemul de bază:
Structura este static nedeterminată de 3 ori, sistemul de bază static determinat se obţine suprimând
legaturile de continuitate corespunzătoare momentelor din încastrarea 1, respective din reazemele 2, 3 (apar articulaţii), care legături se înlocuiesc cu momentele corespunzătoare, care constituie necunoscutele problemei.
Aşadar sistemul de bază:
2 3 4
6,3m 3,15m 4,2m
40kN
1M1 M2 M2 M3 M3 M4
Ecuaţia celor trei momente, se aplică astfel:
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 35 -
i-1 i
Mi-1 Mi-1 Mi Mi
i+1
Mi+1Mi+1
li li+1
Pentru nodul i:
'' '1 1 1 1 , 1 1 , 12 ( ) 0i i i i i i i i i i i i il M l l M l M l m l m
Conform relaţiei de mai sus,pentru grinda dată se pot scrie următoarele relaţii:
1 2 1,21 0 0 2 (0 6,3) 6,3 0 0 6,3 ' 0nod M M m
1 2 3 2,1 2,32 6,3 2 (6,3 3,15) 3,15 6,3 '' 3,15 ' 0nod M M M m m
2 3 4 3,2 3,43 3,15 2 (3,15 4,2) 4,2 3,15 '' 4,2 ' 0nod M M M m m
- pe bara 1-2, nu sunt incărcarcări exterioare, deci
1 2
1 2 3 2,3
2 3 3,2 3,4
12,6 6,3 0
6,3 18,9 3,15 3,15 ''
3,15 14,7 (3,15 '' 4, 2 ' )
M M
M M M m
M M m m
Coeficienţii m’’, respective m’ se gasesc în tabele standardizate. Se inlocuiesc coeficienţii m’’ şi m’ , se rezolva sistemul, apoi cu rezultatele obţinute, se ia fiecare bară
separate incărcată cu momentele rezultate din sIstem, şi se rezolvă ca o grindă simplu rezemată. În final se asamblează toate diagramele.
22,3 3,2' '' 0,25 (40 3,15 ) 99,225m m
23,4 4,3' '' 0,25 (40 4,2 ) 176,4m m
1 2
1 2 3
2 3
12,6 6,3 0
6,3 18,9 3,15 312,56
3,15 14,7 1053, 44
M M
M M M
M M
Soluţia sistemului:
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 36 -
1
2
3
4
2.88
-5.759
-70.428
0
M
M
M
M
2
6,3m
1
2,88 5,759
1,37 1,37
Q1,37
M2,88
5,759
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 37 -
2 3
3,15m
42,47 83,53
5,759 70,428
40
Q
42,47
83,53
1,062
M
70,428
22,55
5,759
3 4
4,2m
40kN70,428 0
100,77 67,23
Q
100,77
67,23
2,51
70,428
56,5
M
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 38 -
B C D
6,3m 3,15m 4,2m
40kN
A
100,77
67,53
42,47
83,53
1,37
70,428
31,21822,55
5,759
2,88
Q
M
CADRE STATIC NEDETERMINATE
4) Rezolvarea grinzii de mai jos, prin metida forţelor.
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 39 -
3m
42kN
3m 3m
42kN
2,25m
1
3 5
2 4 6
1) Stabilirea gradului de nedeterminare statică:
( ) 2 (3 10) 2 6 1sn r b N
- structura este static nedeterminată 1 dată. 2) Alegerea sistemului de bază:
- se inlocuieşte bara 2-5, cu necunoscuta X1
3m
42kN
3m 3m
42kN
2,25mX1
X1
1
3
2 4 6
5
Deplasarea relativă pe direcţia necunoscutei X1 este egală cu deformaţia axială a barei 2-5
1 2 511 1 1p
X lX
EA
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 40 -
În cazul general când gradul de neterminare este mai mare de 2: - coeficienţii principali se calculează cu relaţia:
2i
iib
N l
EA
;
- coeficienţii secundari:
i j
ijb
N N l
EA
Unde: ,i jN N forţele axiale din barele sistemului de bază, statict determinat, produse de încărcări egale cu unitatea. - termenii liberi se calculează cu:
p i
ipb
N N l
EA
;
Unde pN forţele axiale produse de încărcările reale pe sistemul de bază static determinat.
Determinarea forţelor iN
3m 3m 3m
2,25m
1
1
3
2 4 6
5
1
V =01
H =01
V =06
H =06N 2-4 N 4-2
N 3-5 N 5-3
N 3-4
N 4-3
N 2-3
N 2-4
2,25cosN N
2-3
3-2
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 41 -
- reacţiunile:
1 6 0H H
1 6 0V V
2 5 9 5,0625 3,75l
2,25 3 2,250,75; cos 0,8; sin 0,6
3 3,75 3,75tg
La o primă vedere se poate constata că:
1 2 1 3 6 5 6 4 0N N N N
Secţionăm barele: 2-4, 3-4, 3-5, şi putem scrie:
2 4 1 cosN
2 3 1 sinN
3 2 4 2 4
5 2 4 3 4 3 4
4 3 5 3 5
0 1 cos 2,25 2,25 0 cos
0 2,25 2,25 cos 0 1
0 2,25 2 1 2,25 cos 0 cos
stg
stg
stg
M N N
M N N N
M N N
- izolăm nodul 2:
2
1
N 2-4
N 2-3
N 1-2
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 42 -
2 40 cosX N
2 30 sinY N
Determinarea forţelor pN
3m
42kN
3m 3m
84kN
2,25m
1
3
2 4 6
5
V =56kN1
H =01
V =70kN6
H =06
Nodul 1:
1
V =56kN1
H =01N1-2
N1-3
1 21 1 2 1 3
1 31 3
cos560 cos 0 sin
10 42 sin 0 56sin
NX H N N
Y N N
Nodul 2:
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 43 -
2N2-1 2-4N
N2-3
1 2 2 4 2 4
2 32 3
cos0 0 56sin
0 0 0
X N N N
Y N N
Nodul 3
42kN3
N3-1
N3-4
N3-5
N3-2
3 43 1 3 4 3 5
3 2 3 1 3 43 5
1140 cos cos 0 sin
cos0 sin sin 42 0 70sin
NX N N N
Y N N N N
Prin analogie:
6 4
6 5
cos70
sin1
70sin
N
N
Bara lungimea
l 1N EA pN 21N l 1pN N l 1X N
1-2 3 0 EA -74,67 0 0 38,34 -74,67
1-3 3,75 0 EA 94,33 0 0 38,34 94,33
2-4 3 -0,8 EA 74,67 1,92 -179,208 38,34 43,998
2-3 2,25 -0,6 EA 0 0,81 0 38,34 -23,004
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 44 -
3-5 3 -0,8 EA 94,33 1,92 -226,392 38,34 63,658
3-4 3,75 1 EA -24,33 3,75 -91,2375 38,34 14,01
4-6 3 0 EA -94,33 0 0 38,34 -94,33
5-6 3,75 0 EA 116,67 0 0 38,34 116,67
4-5 2,25 -0,6 EA 0 0,81 0 38,34 -23,004
9,21/EA 496,838/EA d11 D1p
11 1
9,21 496,838 3,7538,34
XX X kN
EA EA EA
ARCE STATIC NEDETERMINATE
5) Rezolvarea arcului din figură prin metoda forţelor
70kN40kN
1
2
3
18m 9m 9m
5m
1. Gradul de nedeterminare:
5 3 2sn
2. Alegerea sistemului de bază:
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 45 -
70kN40kN/m
A
C
B
18m 9m 9m
5m
X1
X2
y
xSistem de baza
70kN40kN/m
Grinda incastrata atasata sistemului de baza
3. Ecuaţiile de echilibru elastic:
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
0
0
p
p
X X
X X
4. Ecuaţia arcului: - în sistemul xAy arcul are următoarea ecuaţie:
2
4( ) ( )
f xy x l x
l
5. Determinarea coeficienţilor:
- cosiderăm sistemul de bază încărcat cu necunoscuta 1X
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 46 -
1
2
3
18m 9m 9m
5m
X1
y
xSistem de bazay
x
i
Într-o secţiune i putem scrie:
11 1
11 1
, cos
, ( )
N N X
M M X y x
Deplasarea relativă pe direcţia lui 11( ) 1X X , este dată de:
111 111
0 0
l lN N M Mds ds
EA EI
Unde:
1 210
0 0 0 00 0 0 0
( 1 cos ) ( 1 cos ) 1 1 1cos
cos
l l l lN N lds ds dx dx i l
EA EA E A E A EA EI
2
1 201
00 0 0 0
( 1 ( )) ( 1 ( )) ( ) 1( )
l l l l IM M y x y x y xds ds ds y x ds
EI EI EI EI I
Deci:
22 20
11 00 00 0
( ) 1( )
l l Iy x lds y x ds i l
EI EA EI I
Momentul dintr-o secţiune i :
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 47 -
2
4 20( ) ( ) (36 )
36
f x xy x l x x
l
1( ) ( )M x X y x
- cosiderăm sistemul de bază încărcat cu necunoscuta 2X
1
2
3
18m 9m 9m
5m
X1
y
xSistem de bazay
x
i
Deplasarea relativă pe direcţia lui 22 ( ) 1X X , este dată de:
22
22
, 1 sin
, 1
N N
M M x
211 222
0 0
l lN N M Mds ds
EA EI
Unde:
21 21
00 00 0 0 0
( 1 sin ) ( 1 sin ) 1 cos 1 1l l l lN Nds ds ds dx i l
EA EA EA EA EI
2
22
0 0 0
(1 ) (1 )l l lM M x x xds ds ds
EI EI EI
Deci:
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 48 -
2 2022 0
0 00
1 1l Ix ds l i
EI I EI
Momentul dintr-o secţiune i :
2 2
4 20( ) ( ) (36 )
36
f x xy x l x x
l
2( )M x X x
Termenii 12 , 21
01 2 1 212 21
00 0 0 0
1l l l l IN N M M y xds ds ds y xds
EA EI EI EI I
Termenii liberi se calculează cu:
1 1 01
00 0 0 0 0
cos 1l l l l lp p p p
p p
N N M M N M y Ids ds ds ds M yds
EA EI EA EI EI I
2 2 02
00 0 0 0 0
sin 1l l l l lp p p p
p p
N N M M N M x Ids ds ds ds M xds
EA EI EA EI EI I
Deci in final obţinem:
22 2 2
11 0 20 00 0
363 4 3
00 0
1 1 20( ( ) ) ( ( (36 )) )
36 12
1 25 1 481[ ( 18 432 ) 1,08]104976 5
l l x hy x ds i l x dx l
EI EI
x x xEI EI
362 2 3
220 00 0 0
1 15552
3
l lx x xds dx
EI EI EI EI
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 49 -
363 4
12 20 0 00 0 0
0
1 1 20 1 5 5( (36 )) ( )
36 27 1296
2160
l l x x xy xdx x xdx
EI EI EI
EI
Pe grinda încastrată, ataşată sistemului de bază, momentul are urmăoarea lege de variaţie: - pe intervalul:
0 18 0pM
18 27 70 ( 18)pM x
( 27)27 36 70 ( 27) 40 ( 27)
2p
xM x x
Asadar avem:
27 272
1 2 20 00 18 18
0 0
1 1 20 20[ ( 70 ( 18) (36 ) ( 70 ( 27) 20 ( 27) ) (36 ) ]
36 36
1 22005( 12403,125 9601,875)
l
p p
x xM yds x x dx x x x dx
EI EI
EI EI
27 272
20 00 18 18
0 0
1 1[ ( 70 ( 18) ( 70 ( 27) 20 ( 27) )
1 529740( 272160 257580)
l
p pM xds x xdx x x xdxEI EI
EI EI
Rezolvăm sistemul şi obţinem:
1 20 0 0
1 20 0 0
481 2160 220050
2160 15552 5297400
X XEI EI EI
X XEI EI EI
A cărui soluţie este:
1
2
285
74
XkN
X
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 50 -
70kN 40kN
A
C
B
5m
y
x
4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5
1
23 4
5
6
74
285
Determinarea elementelor geometrice ale secţiunilor arcului:
secţiunea ix iy tg sin cos
A 0 0,0 0,556 0,486 0,874
1 4,5 2,2 0,417 0,385 0,923
2 9 3,8 0,278 0,268 0,964
3 13,5 4,7 0,139 0,138 0,990
C 18 5,0 0,000 0,000 1,000
4 22,5 4,7 -0,139 -0,138 0,990
5 27 3,8 -0,278 -0,268 0,964
6 31,5 2,2 -0,417 -0,385 0,923
B 36 0,0 -0,556 -0,486 0,874
285 cos 74 sin 285 0,874 74 0, 486 285
285 sin 74 cos 285 0, 486 74 0,874 74
0
A
A
A
N
A T
M
1
1
1
285 cos 74 sin 285 0,923 74 0,385 292
1 285 sin 74 cos 285 0,385 74 0,923 41
74 4,5 285 2, 2 294
N
T
M
2
2
2
285 cos 74 sin 285 0,964 74 0, 268 295
2 285 sin 74 cos 285 0, 268 74 0,964 5
74 9 285 3,8 417
N
T
M
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 51 -
3
3
3
285 cos 74 sin 285 0,99 74 0,138 292
3 285 sin 74 cos 285 0,138 74 0,99 34
285 13,5 74 4,7 3500
N
T
M
285 cos 74 sin 285 1 285
285 sin 74 cos 74 1 74
285 18 74 5 4760
C
C
C
N
C T
M
4
4
4
285 cos (74 70) sin 285 0,99 (74 70) ( 0,138) 282
4 285 sin (74 70) cos 285 ( 0,138) (74 70) 0,99 43
285 22,5 74 4,7 70 4,5 5750
N
T
M
5
5
5
285 cos (74 70) sin 285 0,964 (74 70) ( 0, 268) 274
5 285 sin (74 70) cos 285 ( 0, 268) (74 70) 0,964 80
285 27 74 3,8 70 9 6784
N
T
M
6
6
6
285 cos (74 70 40 4,5) sin 285 0,923 (74 70 40 4,5) ( 0,385) 331
6 285 sin (74 70 40 4,5) cos 285 ( 0,385) (74 70 40 4,5) 0,923 53
4,5285 31,5 74 2,2 70 13,5 40 4,5 7465
2
N
T
M
285 cos (74 70 40 9) sin 285 0,874 (74 70 40 9) ( 0,486) 422
285 sin (376 70 40 90) cos 285 0,486 (74 70 40 9) 0,874 173
9285 36 74 0 70 18 40 9 7380
2
B
B
B
N
B T
M
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 52 -
1
2 3 4
56
C
A BT
74
41
5
34
74
443
80
53
173
1
2
3 45
6
C
A B
N285
292
295292
285 282
331
422
274
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 53 -
1
2
3 4
5
6
C
A B
M
294
417
3500
4760
5750
74657380
6784
STATICA CONSTRUCŢIILOR – II -
TEMA 2
- 54 -