4/28/2015 ﯽﻟﺎﻌﺗ ﻪﻤﺳﺎﺑresearch.iaun.ac.ir/pd/s_emami/pdfs/uploadfile_6211.pdf ·...

4/28/2015

1

Advanced Numerical Methods 1

باسمه تعالی


روش هاي حل دستگاه معادالت

Solving sets of equations

4/28/2015

2


اهداف

هاي متداول حل دستگاه معادالت خطی به روش مستقیم بررسی روش)Direct Solution(

هاي متداول حل دستگاه معادالت خطی به روش تکراري برسی روش)Iterative(

بررسی مسائل و مشکالت موجود براي حل دستگاه معادالت

هاي غیرخطی هاي حل براي دستگاه تعمیم روش


)The occurrence of coupled systems(مقدمه

p

T T Tk k q c

x x y y t

معادله پخش گرماي غیردائم

.براي تمامی گره ها مشتقات گسسته می شوند

4/28/2015

3


)The occurrence of coupled systems(مقدمه

ماتریس ضرائب معلوم بردار مجهوالت بردار ثوابت


بیان معادالت جبري خطی به شکل ماتریس

دستگاه معادالت روبرو را در نظر بگیرید:

این رابطه . توان، دستگاه فوق را به شکل زیر نوشت هاي ریاضی، می اي روش با انجام پاره

.به صورت ماتریسی قابل تعریف است

4/28/2015

4


بیان معادالت جبري خطی به شکل ماتریس

مثال

44.05.03.01.0

67.09.15.0

01.052.03.0

321

321

321

xxx

xxx

xxx

44.0

67.0

01.0

5.03.01.0

9.115.0

152.03.0

}{}{

3

2

1

x

x

x

bXA


ها مروري بر روابط ماتریس

ماتریس قطري ماتریس واحد

ماتریس ترانهاده

4/28/2015

5


ها مروري بر روابط ماتریس

ماتریس پایین مثلثیماتریس باال مثلثی

)Banded Matrix(ماتریس چند قطري )سه قطري(

ماتریس هاي مربعی خاص


جبر ماتریسی

[ ] [ ] [ ] ij ij ijC A B c a b

[ ] [ ] [ ] ij ij ijD A B d a b

تساوي دو ماتریس

جمع دو ماتریس

تفریق دو ماتریس

ضرب یک عدد

در ماتریس

ضرب دو ماتریس

4/28/2015

6



ماتریس معکوس

A یک ماتریس مربعی و.غیرتکین است



دترمینان ماتریس

bcaddc

ba

254

329

132

254

329

132

254

329

132

+ - +

4/28/2015

7



خواص دترمینان ها

det A = det AT

اگر همه عناصر یک سطر یا یک ستون صفر باشند دترمینان صفر خواهد بود.

اگر دو سطر یا دو ستون یکسان باشند دترمینان صفر خواهد بود.



ماتریس معکوس

4/28/2015

8


نمایش دستگاه معادالت خطی به صورت ماتریسی


هاي مستقیم حل دستگاه معادالت روش

Direct methods

4/28/2015

9


) Cramer’s rule(روش کرامر

Aدترمینان

:یادآوري


)مثال(روش کرامر

ضرایب ماتریس

4/28/2015

10


)مثال(روش کرامر


روش کرامر

به . مجهول، عمالً غیرممکن است 3استفاده از روش کرامر براي تعداد مجهوالت بیشتر از

به . است !nمجهول تقریبا nمعادله و nطور کلی تعداد عملیات الزم در روش کرامر براي

.همین دلیل در تعداد مجهوالت باال زمان محاسباتی زیادي براي اعمال این روش الزم است

4/28/2015

11


)Gauss Elimination(روش حذف گوسی

از روش این در کار روند .می شود استفاده امروزه که است الگوریتم هایی مهم ترین از یکی :است شده تشکیل مرحله دو

Forward( .می شود تشکیل مثلثی باال دستگاه یک معادالت ترکیب از 1) Elimination(

مجهوالت جایگذاري با به ترتیب بعد و آمده به دست آخر مجهول معادله آخرین از ابتدا 2)Backward( .می شوند تعیین مجهوالت سایر آمده به دست Substitution(

111 12 1

2 2

1

2 220

0 0

n

n

nn n n

ba a a x

a a

a

x

x

b

b



ضرائب ماتریس کردن مثلثی

شود تقسیم صفر غیر عدد یک بر یا شود ضرب صفر غیر عدد یک در تواند می معادله هر.

شود کم دیگري معادله از یا شود جمع دیگري معادله با تواند می معادله هر.

کرد عوض هم با می توان را سیستم در معادله دو هر جاي.

4/28/2015

12



مثال

مجهوالت جلوي به رو حذف مرحله1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 0.1 0.2 7.85

0.1 7 0.3 19.3

0.3 0.2 10 71.4

x x x

x x x

x x x

3 0.1 0.2 7.85

0.1 7 0.3 19.3

0.3 0.2 10 71.4

3 0.1 0.2 7.85

0 7.00333 0.293333 19.5617

0 0.190000 10.0200 70.6150



مثال

3 0.1 0.2 7.85

0 7.00333 0.293333 19.5617

0 0 10.0120 70.0843

3 0.1 0.2 7.85

0 7.00333 0.293333 19.5617

0 0.190000 10.0200 70.6150

4/28/2015

13



مثال

عقب به رو جایگذاري مرحله

3

70.08437.0000

10.0120x

2

2

7.00333 0.293333(7.0000) 19.5617

19.5617 0.293333(7.0000)2.50000

7.00333

x

x

1

1

3 0.1( 2.50000) 0.2(7.0000) 7.85

3.00000

x

x



.دهیم هم انجام می.... این عمل را براي معادالت سوم، چهارم و

. ضرب و آن را از معادله یک کم کرد a11/a21توان معادله دوم را در توجه شود که می.فرقی بین این دو وجود ندارد

4/28/2015

14





1

1

kk k k ikij ij kj k

kk

kk k k iki i k k

kk

aa a a

a

ab b b

a

1, 2

1, 1

1, 1

k n

i k n

j k n

Forward Elimination:

4/28/2015

15



)Back Substitution(حل دستگاه



4/28/2015

16


تعداد محاسبات در روش حذف گوسی

تعداد محاسبات الزم در روش حذف گوسی

.هر چه سیستم بزرگتر باشد، سهم قسمت حذف گوسی بیشتر است - افزایش براي روش هایی از استفاده بنابراین است، حذف مرحله در محاسبات زمان بیشتر -

.است ضروري مرحله، این سرعت


مشکالت روش حذف گوسی

ضریب صفر روي قطر اصلی

1

1

kk k k ikij ij kj k

kk

kk k k iki i k k

kk

aa a a

a

ab b b

a

گرد کردن خطاي)Round of Error(

1

2

0.00001 0.2 0.2

0.3 0.4 0.1

x

x

1

1 2

2

0.00001 0.2 0.21.0000, 0.0000

0 5999.6 5999.9

xx x

x

شود حل دار معنی رقم 5 دقت با مساله صورتیکه در:

x2=1.0000, x1=0.00000

4/28/2015

17


مشکالت روش حذف گوسی

گرد کردن خطاي)Round of Error(

1

2

0.00001 0.2 0.2

0.3 0.4 0.1

x

x

1

1 2

2

0.00001 0.2 0.21.0000, 0.0000

0 5999.6 5999.9

xx x

x

شود حل دار معنی رقم 9 دقت با مساله صورتیکه در:

x2=1.00000500 x1=-1.00006667

اصلی قطر روي بر کوچک بسیار اعداد یا صفر عدد که گونه اي به سطرها کردن جا جابه با

)Pivoting( .کرد حل حدودي تا را مشکالت این می توان نگیرند، قرار


مشکالت روش گوسی

رفتار بد سیستم )Ill-conditioned system(تغییرات به منجر آن ها ضرایب در کوچک تغییرات که سیستم هایی :رفتار خوش سیستم

.شود ها جواب در کوچک

در بزرگ تغییرات به منجر آن ها ضرایب در کوچک تغییرات که سیستم هایی :رفتار بد سیستم را معادالت می توانند جواب دسته چندین سیستم ها این در گفت می توان .می شود ها جواب.کنند ارضا

رفتار بد سیستم هاي تصویري نمایش

جواب ندارد بینهایت جواب دارد Ill Conditioned

4/28/2015

18


)Ill Conditionedماتریس (مشکالت روش گوسی

هاي ماتریس در خطا این .باشد سیستم در کوچک تغییرات منبع تواند می کردن گرد خطاي

ill conditioned شود می ناصحیح جواب و خطا رشد موجب.

مثال



شیب خط

باشد یکسان تقریبا خط دو شیب اگر:

دترمینان سیستم دو بعدي

هستند موازي خط دو یا شود صفر دقیقاً دترمینان یعنی باشد، برابر خط دو شیب اگر

.دارند قرار یکدیگر روي بر یا

ماتریس باشد صفر به نزدیک ماتریس دترمینان اگر ill-conditioned است.

4/28/2015

19



اما در روش حذف . در صورتیکه تعداد معادالت زیاد باشد، محاسبه دترمینان، مشکل است

.شود گوسی، به دلیل تشکیل ماتریس باال مثلثی، این مشکل برطرف می

:Pivoting مرحله هر انجام با دترمینان مقدار



تکین سیستم )Singular system(

است تکین سیستم باشند، یکسان معادالت از )بیشتر یا و( تا دو صورتیکه در.

جاي به حالت این در واقع در n ،معادله n-1 دارد وجود معادله.

است مشکل کمی بزرگ معادالت دستگاه در ماتریس بودن تکین تشخیص.

است صفر ضرایب ماتریس دترمینان تکین سیستم در.

انجام با و گردید مثلثی باال ماتریس صورتیکه در Pivoting قطر در صفر ایجاد از هم باز .است تکین ماتریس نشد، ممانعت اصلی

4/28/2015

20


هاي بهبود روش حذف گوسی راه

کردن محوري )Pivoting( کردن تراز و )Scaling(

است اصلی قطر روي صفر، ضریب وجود روش، این مشکالت از یکی که شد اشاره.

ضریب بزرگترین که اي گونه به نمود عوض هم با را سطرها جاي توان می لزوم صورتی در Partial( .گیرد قرار اصلی قطر روي Pivoting(

روش شوند، جابجا بیشینه ضریب یافتن براي هم ها ستون سطرها، بر عالوه صورتیکه در

Complete شده استفاده Pivoting است.

بگیرید نظر در را زیر مثال.



4/28/2015

21



Pivoting

باید دقت شود؟ Pivotingچه نکاتی در



کردن تراز )scaling(

این در .می کنیم تراز را ضرائب ماتریس باشد زیاد ضرائب ماتریس در ها المان پراکندگی اگر .می گیرند قرار 0 و 1 بین مقادیر کلیه حالت

مثال

:کردن تراز بدون

سپس و تراز را ضرائب ماتریس ابتدا در pivot می کنیم:

4/28/2015

22



گوس حذف روش براي الگوریتمی

ماتریس n*n ماتریس یک به چپ سمت به ثوابت ماتریس انتقال با را ضرائب n*(n+1) .کنید تبدیل

ضریب طوري که به کرده عوض را ستون ها یا سطرها جاي لزوم صورت در a11 مقدار بزرگترین .باشد داشته اول ستون ضرایب در را

می کنیم صفر شده بیان روش طبق را اول ستون ضرایب.

ضرایب کلیه تا می کنیم تکرار را آن آنقدر و .می بریم کار به جدید ماتریس براي را 3 و 2 مرحله .شوند صفر اصلی قطر زیر

مقدار xn می آوریم به دست را.

مابقی سپس xi می کنیم حساب را ها.

نتایج بهبود براي روش هایی:

باالتر دقت از استفاده )Double Precision(

روش از استفاده pivoting

کردن تراز


مثال

4/28/2015

23


)Gauss-Jordan method(جردن روش گوس


روش گوس جردن

ریاضی عملیات تعداد

4/28/2015

24


)TDMA(قطري روش حل مستقیم ماتریس سه



:داریم فوق، فرموالسیون اعمال با

4/28/2015

25



4/28/2015 ﯽﻟﺎﻌﺗ ﻪﻤﺳﺎﺑresearch.iaun.ac.ir/pd/s_emami/pdfs/uploadfile_6211.pdf ·...

Documents