§4.3 参数估计

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§4.3 参参参参 参参参参参参参参 参参参参参参参参 一、 参参参参参参参参参参 T 参参参参参 参参参参参 参参参 10 参参参参参参 参参 参参参 参参参 参 (:) 1050 1100 1080 1200 1300 1250 1340 1060 1150 1150

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§4.3 参数估计. 点估计和区间估计. 一、求极大似然估计值. 例、设某种电子元件的寿命 T 服从参数为. 的指数分布,今测得 10 个元件的失效 时间(单位:小时)为. 1050 1100 1080 1200 1300 1250 1340 1060 1150 1150. 求 的极大似然估计值. 解:. >> X=[1050 1100 1080 1200 1300 1250 1340 1060 1150 1150];. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: §4.3    参数估计

§4.3 参数估计

点估计和区间估计一、求极大似然估计值

例、设某种电子元件的寿命 T 服从参数为的指数分布,今测得 10 个元件的失效时间(单位:小时)为1050 1100 1080 1200 1300 1250 1340 1060 1150 1150

Page 2: §4.3    参数估计

求 的极大似然估计值 .解: >> X=[1050 1100 1080 1200 1300

1250 1340 1060 1150 1150];

>> lambda=expfit(X),lambdahat=1/lambdalambda = 1168lambdahat = 8.5616e-04

Page 3: §4.3    参数估计

注 1 : expfit(X) 求到的是服从指数分布的 X 的期望值,即是均值,所以由公式,再求倒数才是它的极大似然估计值

注 2 :对其它分布也有相应的命令求,可自己查阅帮助系统 .

Page 4: §4.3    参数估计

1、例 自一大批产品中抽取 100 个样品 , 其中有 60 个一级品 , 求这批产品的一级品率 p 的置信度为 0.95 的置信区间 .

二、求置信度为 1-a 的置信区间

>> [phat,pci]=binofit(60,100)解:

注:此命令将给出二项分布的 p 的极大似然估计值和置信度为 0.95 的 p 的置信区间

Page 5: §4.3    参数估计

phat =

0.6000

pci =

0.4972 0.6967

故置信区间为 (0.4972, 0.6967).

Page 6: §4.3    参数估计

2 、正态分布

命令: normfit(X), 用法如下:

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X)

(1) 、 mu,sigma 未知

),( 2N

注:输出均值、标准差、以及置信度为 1-a 的它们的置信区间, a 默认为 0.05, 即 a=0.05

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例 1 某工厂生产一批滚珠 , 其直径 X 服从正态分布 N( 2), 现从某天的产品中随机

求、 2 的置信区间 .

抽取 6 件 , 测得直径为

15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1

置信度均为 0.95

Page 8: §4.3    参数估计

解: >> X=[15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1] ;>> [mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(X)

mu = 14.9500

sigma = 0.2258

muci = 14.7130 15.1870sigmaci = 0.1410 0.5539

Page 9: §4.3    参数估计

>> [sigmaci]'.^2

ans =

0.0199 0.3068

故、 2 的置信区间分别为

[14.7130 15.1870]和 [0.0199 0.3068].

Page 10: §4.3    参数估计

2 、 [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X, ALPHA)

注:若 a 不是 0.05, 则输入 a, 按如下命令

例、从一批火箭推动装置中抽取了 10 个进行测试,测得燃烧时间(秒)如下: 50.7 54.9 54.3 44.8 42.2 69.8 53.4 66.1 48.1 34.5设燃烧时间 X 服从正态分布 N( , 2 ), 求均方差置的置信度为 0.9 的置信区间

Page 11: §4.3    参数估计

解: >> X=[50.7 54.9 54.3 44.8 42.2 69.8 53.4 66.1 48.1 34.5];>> [mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(X,0.1)

mu =

51.8800sigma =

10.5525

Page 12: §4.3    参数估计

muci =

45.7629 57.9971

sigmaci =

7.6964 17.3609

故所求的均方差的置信区间为 [7.6964 17.3609]

Page 13: §4.3    参数估计

3 、若 mu,sigma 中有一个已知,求另一个的置信度为 1-a 的置信区间方法:按照书上导出的置信区间公式去算 .

例 1 某工厂生产一批滚珠 , 其直径 X 服从正态分布 N( 2), 现从某天的产品中随机

若 2=0.06, 求 的置信区间

抽取 6 件 , 测得直径为15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1

置信度为 0.95

Page 14: §4.3    参数估计

解: )1(),(22

n

zXn

zX

>> X=[15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1];>> [mean(X)-norminv(0.975)*sqrt(0.06)/sqrt(6), mean(X)+norminv(0.975)*sqrt(0.06)/sqrt(6)]

ans =

14.7540 15.1460

故置信区间为 (14.7540 15.1460)

Page 15: §4.3    参数估计

注:若查分位数,用”分布名 +inv”, 需注意概率为 1-a ,用的分布函数。

Page 16: §4.3    参数估计

§4.4 假设检验一、单个正态总体均值的检验

1 . 方差已知

[H,P]=ztest(X,M,sigma,alpha,tail)

X :样本数据; M :假设均值;sigma :已知的标准差;alpha :显著水平,默认为 0.05 ;

Page 17: §4.3    参数估计

tail: 备择假设。取值如下:’both’ :均值不等于 M ,默认值;‘right’ :均值大于 M ;‘left’ : 均值小于 M

返回值: H=0 可以接受原假设; H=1 不接受原假设;

P 为观测值的概率。

Page 18: §4.3    参数估计

例:某面粉厂每袋面粉的重量服从正态分布,机器运转正常时每袋面粉重量的均值为50kg ,标准差为 1 。某日随机的抽取了刚包装的 9 袋,称其重量分别为:

49.7 50.6 51.8 52.4 49.8 51.1 52 51.5 51.2

问该机器是否运转正常?

Page 19: §4.3    参数估计

解:假设机器运转正常,则备择假设为不正常,即 tail 值为’ both’ (默认值)

>> [h,p]=ztest([49.7 50.6 51.8 52.4 49.8 51.1 52 51.5 51.2],50,1)

h =1p =0.00076083

H=1 说明在显著水平 α=0.05 的情况下不能接受原假设,即该机器运转不正常。

Page 20: §4.3    参数估计

2 . 方差未知

[H,P]=ttest(X,M,alpha)

例:用某仪器间接测量温度,重复 5 次,测得结果分别为(℃)

1250 1265 1245 1260 1275

设测量值 X 服从正态分布,水平 α=0.05 . 试问能否认为该仪器测量值大于1277℃ ?

Page 21: §4.3    参数估计

解一:假设测量值大于 1277℃ ,则备择假设为测量值小于等于 1277℃ , tail 值应为’ left’>> [h,p]=ttest([1250 1265 1245 1260 1275],

1277,0.05,'left')h =1p =0.014

H=1 说明不能接受原假设, 即认为测量值不大于 1277℃

Page 22: §4.3    参数估计

解二:原假设测量值小于等于 1277℃ ,则备择假设为测量值大于 1277℃ , tail 值应为’ right’

>> [h,p]=ttest([1250 1265 1245 1260 1275], 1277,0.05,'right')

h = 0p = 0.986

H=0 说明接受原假设, 即认为测量值不大于 1277℃

Page 23: §4.3    参数估计

二、单个正态总体方差的检验[H,P]=vartest(X,v,alpha,tail)其中 v 为假设的需检验的方差,其它参数同上。

例:某厂生产的铜丝,质量一向比较稳定,今从中随机抽取 10 根检查其折断力,数据(千克)如下: 575 576 570 569 572 582 577 580 571 585

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设铜丝的折断力服从正态分布,检验水平α=0.05 ,试问:可否认为该厂生产的铜丝折断力的方差为 64 ?

解: >> vartest([575 576 570 569 572 582 577 580 571 585],64)

ans =0

H=0 认为接受原假设,

即该批铜丝的折断力的方差为 64.

Page 25: §4.3    参数估计

作 业1 、某手表厂生产机械自动手表,它的走时误差(单位:秒 / 天)服从正态分布,检验员在准备出厂的一批手表中随机地抽出了九只进行检测,结果如下: -4.0 3.1 2.5 -2.9 0.9 1.1 2.0 -3.0 2.8求该手表的走时误差的均值和方差 2

的置信度为 0.95 的置信区间。

Page 26: §4.3    参数估计

2 、电工器材厂生产一批保险丝,抽取 10 根试验其融化时间(单位:秒)结果分别为:

42 , 65 , 75 , 78 , 71 , 59 , 57 , 68 , 54 ,55.

融化时间为正态变量,检验水平 0.05. 试问是否可以认为整批保险丝的融化时间的方差小于或等于8 ?